安徽省临泉第一中学2027届高三上学期10月月考数学试卷

高三数学 7.已知a,b∈R,定义运算a⊙b=ab-3a十2b,若关于x的不等式(x十m)⊙(x+n)<mm的 满分:150分 考试时间:120分钟 解集为{x|一4<x<01,则|x十m>刀的解集为 A.(-1,5) B.(-5,1) 注意事项: 1.答题前,考生先将白己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘 C.(-0,-1)U5,+) D.(-0,-5)U1,+o) 贴区 8已知函数f红)=√x一2mT+F丁一n,其中m,n∈(0,十.若fx)有3个不同的零 2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写,字体工整,笔迹 清晰。 点,且最大的零点为,则" 3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效:在草稿 纸,试卷上答题无效。 A音 c n号 4,作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液,修正带,刮纸刀, 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 合题目要求的, 9.已知m<4<0,则下列一定成立的是 L.命题“1x∈(0,十0),3nx一x2>0“的否定是 A.ln(-m)<ln(一n) )>) A.x∈(0.+e),3lnr-x2<0 B.Yt∈(0,+o),31nr-x≤0 C.mi-n>m-n C.3xa∈(0,+).3lnxa-x8<0 D.3xaE(0,十o),3nra-zi≤0 Dia(m+》snn+ 2若集合A-0,2am得,B=-1,0-,则AnB 10.下列函数在区间(2,4)上单调递减的是 A.f(x)=0.99 B.f(r)=x-2 A.{-1.01 B.-1.0,1.2) C.0,1日 D.01 c.fa)=!-inu D.f(x)=3- 3.曲线y=lnx一3x+3在点(1,0)处的切线方程为 A.y=-6x十6 B.y=-5x+5 x+4x十2,x≤1, 11.已知函数f(x)= 则 C.y=6x-6 D.y=5x-5 ln(a-1),x>1 4.g2)+(1og,5) 1 A.若f(x)在(一0,一2)上单调递减,则实数a的取值范附为(一0,4] 1og:10 -0-g5) g B.若f(x)有2个零点,则实数a的取值范围为{2、2U(一,一3] A.2 B.1 C.-1 D.0 C.若a=-1,则y=[f(x)]'-4fx)+3有5个零点 点已知集合A=x∈ZI二5≤0集合P满足:①PSA:②Yr∈P,6-x∈P,若P为非空 D.若y=f[x)]恰有2个零点,则实数a的取值范围为0U(-3.一1) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 数集,则满足条件的集合P的个数为 12.已知1≤x≤3,2≤y5,则2x一3y的取值范围为 A.4 B.5 C.7 D.9 13.已知a>0,全集U=R.集合A=x2x2-5x-3≤0),B=xx-5ur+6a≤01.若 6.已知aeR,雨数fu) 2十+1,则=一士是的图象关于y轴对称的 (C:A)UB=CA,则实数a的取值范围为 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 1记函数f0)=e-6:与g)-山号的交点坐标为,).则a+台 C,充要条件 D.既不充分也不必要条件 【高三数学第1页(共1页)】 【高三数学第2页(共4页)】 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.(17分) 15.(13分) 已知函数f(x)=3 2-1- 2g红)=3x2-ax. 已知偶函数f(x)满足:当x≥0时.f(x)=e- +2. (1)求f(x)的解析式: (1)若a=6,求函数g(x)的单调区间: (2)求不等式x)<3的解集 (2)若a>0,直线y=2x十4与曲线y=g(x)至少有3个交点,求实数a的取值范围: (3)若3x1∈(-0,0],x:∈(0,1],fx,)≥g(x),求实数a的取值范围. 16.(15分) 已知m,>0,完成下列问题: (1)若3m十n十3=3mn,求m取得最小值时m,n的值: 19.(17分) (2)若m2+n=,求m十n的最小值 已知函数f化e)=一士+mh (1)若f(z)在2,4)上单调递增,求实数m的取值范围: (2)讨论函数f(x)的单调性: (3)若m=2,且fx:)+x:lnu:+1=x:,求证:lnr1+ln:≤0, 17.(15分) 已知函数f(x)=x一ax在x=3处取得极小值. (1)求a的值: (2)求「(x)在[一4,一2]上的最大值和最小值: (3)求满足f(x) 1n(x+1一33)>0的x的取值范用。 【离三数学第3页(共4页)】 【高三数学第4页(共4页)】 高三数学参考答案 选择题:1-8题,每题5分;9-11题,每题6分,共58分。 2 3 5 6 7 8 9 10 11 0 A B C D A BC ACD ABD 填空题:每题5分,共15分。 12.[-13,0] 1(层+ 14.0 1e-2+2,x≥0, 15.【答案】(1)f(.x)= (6分) (2){x|-2<x<2}(7分) e2+2,x<0. 【解析】(1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=e-2十2, …(3分) 1e-2+2,x≥0, 而f(x)为偶函数,则f(x)=e+2,则f(x)= …(6分) e-2+2,x<0. 【备注】:写成f(x)=ex1-2十2也给满分 (2)由题可知,f(x)在[0,十叨)上单调递增;…(8分) 而f(x)<3台f(x)<f(2)台|x<2台-2<x<2, 故不等式f(x)<3的解集为{x一2<x<2.…(13分) 16.【答案】(1)当mn取得最小值时m=1,n=3(7分) (2)m2+n2的最小值为6(8分) 【解析】(1)依题意,3mn=3m十n+3≥2√3mn+3, 故(√3mn-3)(W3mn+1)≥0, 解得mn≥3,当且仅当m=1,n=3时等号成立; 故当mn取得最小值时m=1,n=3;…(7分) (2)依题意,√m(2+n)=4: 而m2+n2=m2+(n2+2)-2≥2√m2(2+n)-2=6; 当且仅当m2=n2+2,即m=2,n=√2时等号成立: 故m2十n2的最小值为6……(15分) 17.【答案】(1)a=27(4分) (2)f(x)在[-4,-2]上的最大值为54,最小值为44(7分) (3)(3√5-1,35)U(33,+0)(4分) 【解析】(1)依题意,x∈R,f'(x)=3.x2一a,…(1分) 则f(3)=27-a=0,解得a=27;…(3分) 经检验,以=27符合题意;…(4分) (2)由(1)可知,f′(x)=3(x十3)(x-3),x∈[-4,-2], 令f(江)=0,解得x=一3;…(6分) 故当x∈[-4,-3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;…(7分) 当x∈(-3,一2]时,f(x)<0,f(x)单调递减;…(8分) 故当x=-3时,f(x)取到极大值f(一3)=-27十81=54,也是最大值; 而f(-4)=-64+108=44,f(-2)=-8+54=46: 故f(x)在[一4,一2]上的最大值为54,最小值为44;…(11分) (3)依题意,(x3-27x) ln(x十1-3√3)>0, 【高三数学参考答案第1页(共7页)】 即x(x+3√3)(x-35) ln(x+1-35)>0 因为x>3W5-1,故原不等式等价于(x-3√3) ln(x十1-3√5)>0,…(13分) 而y=x-33,y-ln(x十1-35)均为塔函数,且有共同的零点3√3, 故所求取值范围为(35-1,35)U(35,十0).……(15分) 18.【答案】(1)g(x)的单调递减区间为(-0,0),(1,2);单调递增区间为(0,1),(2,十∞)(答闭区间也给 分)(4分) (2)[2+4√3,+0)(5分) (3)[2,2√5](8分) 【解析】(1)依题意,g(x)=|3.x2-6.x=3x(.x-2)|,…(1分) 作出函数g(x)的大致图象如下所示, 观察可知,g(x)的单调递减区间为(一”,0),(1,2), 单调递塔区间为(0,1),(2,十叨);… …………………………(4分) (2)结合(1)中的图象可知, g)=lz8x-a在0,号 上为拱段y=a.x-3x2,在两侧为y=3x2-ax. 直线与两侧支y=3.x2-a.x的交点满足3.x2-(a十2)x-4=0, 两根之积为-专<0,且负根∈(-2,0),正根∈(台,+∞), 4 故恒有2个有效交点, 因此“至少有3个交点”等价于直线与拱段y=ax-3x(0<x<)有交点. 临界状态为直线与该拱段相切, y=2.x+4, 联立 整理得3.x2十(2一a)x十4=0,…(6分) y=a.x-3.x2, 则 =(2-a)2-48≥0,解得a≥2十43或a≤2-4√5, 又a>0,舍去a≤2-43, 鸟a=2士46时.切点。-20,确在拱段上:a更大时直线与拱段有2个交盒 综上,实数a的取值范围为[2十43,十四);…(9分) (3)设1=25fx)化为y-3影-是 22t1 因为1=2在(一0,0】上单河递城y在10,]单间递描, 所以f)=3 212在(-0,0]单调递增,最大值为f0)=1…12分) 则f(x1)≥g(x2)化为1≥|3.x2-ax|对任意x∈(0,1]恒成立, 则-1≤3x2一ax,可得:3a≤3x计对任意xC0,山恒成立……3分 【高三数学参考答案第2页(共7页)】 函数y=3x一1在区间(0,1]单调递塔,有最大值2。 亚数y=3+2 了-2w5(当且仅当x-取等号)有袋小值2, 3 所以2≤a≤2W3,即实数a的取值范围是[2,2√5] …(17分) 57 1.【答案】(1(-m,4分) (2)当m≤2时,f(x)在(0,十m)上单调递增; 当m>2时,fx)在0,m一n4),(m+n,+n上单调递塔, 2 2 在-n=4,m十n4上单调递减6分) 2 2 (3)见解析(7分) 【解析】(1)依题意,f'(x)=1十 1 m ,………(1分) 令f'x)≥0,则m≤x+元, 1 令(x)=x+x∈2,4,则p'(x)=1->0, 5 故力(x)在[2,4]上单调递培故m≤p(2)=之;… (3分) 经检验当m=号时,f'c)-②1C一2≥0,当且仅当=2时等号成立. 2x2 5 实数m的取值范围为一”,2” (4分) (2)依题意,f(x)=1+1-m-x一mx+1 x2 x x 令h(x)=x2-mx十1,其中 =n2-4;…(5分) 若 ≤0,即-2≤m≤2时,h(x)≥0恒成立, 所以f(x)≥0,f(x)在(0,十0)上单调递增;…(6分) 若 >0,则m<-2或m>2,令h)=0,解得1=m-m, m+√/m2-4 2 2 其中x1十x2=,x1x2=1;…(7分) 若m<-2,则x1十x2<0,此时x1<0,x2<0,所以f'(x)>0,f(x)在(0,十m)上单调递增;…(8分) 若m>2,则当x∈(0,x1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(x2,十m)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 综上所述,当m≤2时,f(x)在(0,十∞)上单调递墙; 当m>2时fx)在o,m-n三,(+,十)上单调递增, 2 2 在(m-m4,m十m)上单调递减:…0分) 2 2 (3)证明:x2lnx2十1-x2=-f(x1), 由(2)可知,当m=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0, 令g(x)=xln.x+1-x; 因为g'(x)=lnx,所以当x∈(0,1)时,g(x)单调递减;…(11分) 【高三数学参考答案第3页(共7页)】 当x∈(1,十∞)时,g(x)单调递增,且g(x)≥g(1)=0; 当x1∈(1,十m)时,一f(x1)<0,g(x2)≥0,不合题意,舍去;…(12分) 当x1=1时,f(x1)=0,所以g(x2)=0,即x2=1,可得x1x2=1,符合题意; 当x1∈(0,1),x2∈(0,1)时,此时恒有:x1x2<1,符合题意; 当x1∈(0,),x2∈1,十n)时,1∈1,十0)…(14分) 令h(a)=fx)+g(),0<x<1,其中fx)=x-21nxg)=xlx+1-x, 则ax)=x-上-2x+之+1-2x+1-是-(+). 令1=1>1,则h()=1+1-2+4+21n. 令9G)=u+2a1-21+1+2,>1, 3 所以'(t)在(1,十∞)上单调递增,且p'(1)=0,故9'(t)>0,从而p(t)>p(1)=0, 因此A(x)>0,即fx)+g(侵)>0,0<r<1, 取x=x,得f()+g()>0>-f1)<g(): 因为-f,)=gx,,所以gx)<g(): (16分) 因为x1,十0g()单调递墙,x∈1,十0),所以< 所以x1x2<1; 综上所述,x1x2≤1,即lnx1十lnx2≤0.…(17分) 【注】:以上各解答题,如有不同解法并且正确,请按相应步骤给分。 【高三数学参考答案第4页(共7页)】 【详解】 1.【答案】D 【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题, 故将“Vx∈(0,十m)”改为“3xo∈(0,+m)”,将“3lnx-x2>0”改为“3ln.xo-x8≤0”,故选D. 2.【答案】A 【解标】依题宫am-ann一)=n()=-1,放A=02,-1。 则A∩B={0,-1},故选A. 3.【答案】B 【解析】依题意,y'=】一6,故切线斜率=y1,1=一5, 故所求切线方程为y=-5(x-1),即y=-5x十5,故选B. 4.【答案】B 【解析】原式=(1g2)2十(1g5)2+21g2 1g5=(1g2十lg5)2=1,故选B. 5.【答案】C 【解析】依题意,A=(x∈Z0<x≤5}=1,2,3,4,5}, 根据条件①②,集合P的全部可能性为{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}, 共7个,故选C 6.【答案】C 【解析】依题意,xR,f一x)22中ax+1=一1,2 22+1-a.x+1; 而f(-x)=fx),即- 2 20+1-ax+1=2++ax+1. 则-=2ar对任意x∈R恒成立,保得a=一子: 反之,当a=一2时f(-x)=f(x)恒成立,故为充要条件.故选C. 7.【答案】D 【解析】依题意,(x十m)⊙(x十n)-mn=x2十(m十n)x十mn-3.x-3m十2.x十2n-mn=x2十 (m十n-1)x-3m+2n,故-4,0是方程x2+(m十n-1)x-3m+2n=0的两根, fm+n-1=4, m=2, 故 解得 故x十m|>n台|x+2|>3台x+2<-3或x+2>3台x<-5或x>1, -3m+2n=0, n=3, 故选D. 8.【答案】A 【解析】因为f(x十2m)=√Tx+2m-2mT+√x+2mT-n=√-x-2mT+√T-xT-n =f(一x), 所以f(x)关于x=m对称, 除对称轴上的零点外,其余零点关于x=m成对出现;因恰有三个不同零点,故x=m必为零点, 得x1=2n-n,x2=m,xs=n,且m≠n, √m+√m=2√m=n 所以 Wn-2mT+√m=n 当a-2m≥0,即n-2x≥0,即0<n≤2时,fn)=-20十万=m0. -2m 4 则√n-2m-√n= √n-2m+√n 【高三数学参考答案第5页(共7页)】 由0- 得2后-受,解得a吕所以m 当A-2m<0,即a-2x<0,即公>2时/0)=Vm十后=n@, 2X 2m-2n √2m-n-√n= T-en √2m-n+√n =-2④ 由⑤-④得2厅=号十2,即(万-2)2=0,解得n=4,此时m- 4=4=,不合题意,舍去. 87n 则4 综上所述,m=64m=16 7g,故选A. 9.【答案】BC 【解析】-m>-n>0,则ln(-m)>ln(-n),故A错误; (兮)”>(分)”显然成立,故B正确: m2-n2>m-n台m十n<1,故C正确; snm+开)>sna+)不一定正确,知m=一受m=一牙赦法C 10.【答案】ACD 【解析】f(x)=0.99在(2,4)上单调递减,故A正确; f(x)=x-2在(2,4)上单调递增,故B错误; y 一元y=-lnx在(2,4)上单调递减,故f(x)=-lnx在(2,4)上单调递减,故C正确: 由复合函数性质可知,f(x)=32x在(2,4)上单调递减,故D正确;故选ACD. 11.【答案】ABD 【解析】依题意,一号>-2,解得a≤,故A正确: 若f(x)有2个零点,则f(x)=x2十ax十2在(-0,1]上有1个零点, 令x十ax+2=0,当x=0时,不合题意,当x≠0时,x x =-a 结合y=x十二,少y=一a的图象可知a=22或a≤一3,故B正确 令[f(x)]3-4f(x)+3=0,则f3(x)-1-4[f(x)-1]=[f(x)-1][f2(x)+f(x)+1-4幻=0, 即f)-fx)+fx)-3]=0,则fx)=1,fx)=-1 W国 2 而f)=1有1解f)=1,飞有1解,f)=-1十压有1解, 2 2 故[f(x)]3-4f(x)十3=0有3解,即y=[f(x)]3-4f(x)+3有3个零点,故C错误; 外层方程f(t)=0恒有根t=2,而f(x)=2至少有两个解。 由于对任意实数t,方程ln(x-l)=t都有一个解, 因此若外层方程还有其他根,复合函数便至少有三个零点. 故必须使t2十at十2=0在t≤1内无根,即-3<a<2√2. 在此条件下,f(x)=2恰有两解,当且仅当a=0,或-a>l. 因此a∈{0}U(-3,-1),D正确.故选ABD. 12.【答案】[-13,0] 【解析】依题意,2≤2.x≤6,6≤3y≤15,则-15≤-3y≤-6,故-13≤2.x-3y≤0. 【高三数学参考答案第6页(共7页)】 13.【答案】(经+o) 【解析】A=女2x+1)(x-3)<0)=女-≤<3,则t,A={女<-或x>3, B={x|(x-3a)(x-2a)≤0}=(x|2a≤x≤3a}; 而(CA)UB=CA台B∈CA, 故只需2a>3,解得。>,故实数a的取值范围为(号,十, 14.【答案】0 【限1长题家安明4 令h(x)=e+x,则h(2-3a)=h①n3a),因为h(.x)在R上单调递塔, 敢2-3a=lna0fa)=e-60=-3a=6,放a十台=0 【高三数学参考答案第7页(共7页)】