3.1.2函数的表示方法导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《函数的表示方法》导学案 一、学习目标 C层（基础层）：了解函数的三种表示方法，能够识别解析法、列表法、图象法，会读取简单列表与函数图像信息。 B层（提升层）：能够根据实际情境选择恰当的函数表示方法，掌握求函数解析式的常用方法，提升读图审题与规范答题能力。 A层（拓展层）：会处理分段函数求值、作图问题，能辨析不同表示方法之间的联系，发展数学抽象与逻辑推理素养，突破分段函数高频易错题型。 思政目标：通过函数多种形式表达同一变化规律，体会形式多样本质统一的辩证思想，培养严谨细致的数学思维，学会用数学模型解释现实生活问题。 二、本课重难点 重点：函数的三种表示方法；分段函数概念与求值；求函数解析式。 难点：分段函数的理解与图像绘制；根据实际问题建立函数解析式。 三、课前预习【学案・自学】 旧知回顾：（设置问题） 1. 函数的三要素是什么？ 2. 判断两个函数为同一函数的条件是什么？ 新知梳理（人教A版必修第一册P67‑P71，填空式） 1.解析法：用________表示两个变量之间的对应关系。 2.列表法：列出________来表示两个变量之间的对应关系。 3.图象法：用________表示两个变量之间的对应关系。 4.分段函数：在定义域的________上，有不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数；分段函数是________个函数。 核心概念（填空式） 1.分段函数的定义域是各段自变量取值集合的________；值域是各段函数值集合的________。 2.函数三种表示方法各有优势：解析法便于________；列表法便于________；图象法便于直观观察函数变化趋势。 预习疑惑：（学生记录） 预习自测：（4个小题） 1.判断：分段函数是多个函数组合而成（） 2.已知分段函数，则____。 3.购买笔记本，单价2元，购买本，总费用元，写出函数解析式________。 4.举一个生活中适合用列表法表示函数的实例。 四、课堂探究【导学案・共学】 情境导入（文字情境） 某便利店售卖矿泉水，1瓶2元。买1瓶、2瓶、3瓶分别花费2元、4元、6元。我们既可以写式子，也可以列表格，还可以画图像描述购买数量和总费用关系。同一个函数可以有不同表达形式，本节课学习函数的表示方法。 核心探究 探究点1：函数的三种表示方法 问题：解析法、列表法、图象法各自优缺点是什么，什么场景适合选用？ 知识梳理：（根据预习，学生呈现，师生共同完善） 1.解析法：等式表达式，便于计算；注意标明定义域。 2.列表法：表格，自变量取值有限，直接读取函数值。 3.图象法：平面直角坐标系内图形，直观看到增减变化。 典型例题1：某种笔记本单价3元，设购买数量，花费元，分别用解析法、列表法表示该函数。 解题思路：先确定自变量取值范围，解析法写出关系式标注定义域；列表法列出所有自变量与对应函数值。 跟踪训练1：已知，，用列表法表示该函数。 方法总结：写函数解析式务必标注定义域；自变量取值有限时适合列表法。 探究点2：分段函数 典型例题2：已知，求，。 解题思路：先判断自变量属于哪一段定义域，再代入对应段的解析式计算。 跟踪训练2：，求，。 易错警示： 1.分段函数是一个函数，不是多个函数； 2.求值先看自变量落在哪一段，不能随便代入别的段式子； 3.画分段函数图像注意端点空心、实心区分。 规范要求：写分段函数，大括号后每一段都要写明对应自变量范围；计算结果书写完整。 合作研讨 问题：出租车收费：3公里以内8元；超过3公里部分，每公里2元。写出车费（元）关于里程（公里）的函数解析式。 点拨：分两段讨论，和，分别写出对应表达式。 结论：________________________________________________ 五、当堂检测 基础必做：3个小题 1.下列说法正确的是（） A.分段函数是多个函数 B.列表法可以表示所有函数 C.解析法必须标明函数定义域 2.，则________。 3.已知，，用列表法写出这个函数。 提升选做：1个小题 3. 已知，求。 拓展选做：1小题 4. 某商店促销，一件商品原价10元，一次性购买不超过5件按原价；超过5件部分每件8元。写出总付款与购买件数（）函数解析式。 六、课堂小结（学生自主建构） 知识框架（呈现） 函数的表示方法 方法模型（教师指导完成） 1.函数表示：根据自变量特点选择解析、列表、图象； 2.分段函数求值：定区间→选对应解析式→代入计算； 3.实际问题：先找分段临界点，写出每段解析式，标注定义域。 七、错题归因（学生填写留空） 错因：（知识漏洞□ 审题失误□ 方法不足□ 书写不规范□） 整改：________________________________________________ 八、学后反思（学生填写留空） 掌握较好：____________________________________________ 存在问题：____________________________________________ 改进措施：____________________________________________ 九、课后分层作业 （分为A、B、C三层） 基础（10道必做：C/B/A层全部必做） 1.不属于函数三种表示方法的是（） A.解析法 B.列表法 C.公式法 D.图象法 2. ，____。 3. 已知，，则函数值集合为________。 4. 判断：分段函数各段定义域可以出现重叠（） 5. 已知，，用列表法表示函数。 6. ，求。 7. 笔记本单价1.5元，买本，写出总费用解析式。 8. 分段函数，定义域是________。 9. 函数，，值域为________。 10. 简述函数三种表示方法。 提升（2道A、B层必做，C层选做） 11. ，求，。 12. 邮寄信件，质量不超过20g邮资0.8元；大于20g不超过40g邮资1.6元，写出邮资关于信件质量的函数解析式。 拓展（1道A层选做） 13. 已知，若，求的值。 函数的表示方法详细答案 新知梳理填空答案 1.解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 2.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 3.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 4.分段函数：在定义域的不同部分上，有不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数；分段函数是一个函数。 核心概念填空答案 1.分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集；值域是各段函数值集合的并集。 2.函数三种表示方法各有优势：解析法便于计算函数值；列表法便于直接读取对应函数值；图象法便于直观观察函数变化趋势。 预习自测答案 1. ×；解析：分段函数只是定义域分段，本质是一个函数。 2. 3. 4.示例：统计班级同学身高，表格记录学号与身高。 典型例题1答案 解析法： 列表法： 1 2 3 4 3 6 9 12 跟踪训练1答案 1 3 5 1 5 9 典型例题2答案 ，； ，。 跟踪训练2答案 ，； ，。 合作研讨结论 解： 分两段讨论： 2. 当时，3公里以内，车费固定8元： 5. 当时，前3公里8元，超出部分公里，每公里2元： 综上，分段函数解析式： 当堂检测参考答案 1. C 2. 3. 2 4 6 1 -3 -5 4.，； 5. 课后分层作业参考答案 基础 1.C 2. 3. 4. ×；分段各段定义域不能重叠。 5. 1 2 3 1 4 7 6. 7. 8. 9. 10.解析法：用数学表达式表示变量对应关系；列表法：用表格呈现自变量与函数值；图象法：用图像表示变量对应关系。 提升 11.； 12. 拓展 13.分两种情况 ①：； ②：（舍去，不符合） 综上：或。 学科网（北京）股份有限公司 $