3.1.2 函数的表示法 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“函数的表示法”，涵盖解析法、图象法、列表法三种表示形式，函数解析式求法（待定系数法、换元法等），作函数图像步骤及分段函数概念。通过填空、判断正误夯实基础，衔接函数定义，搭建从概念理解到应用的学习支架。 资料亮点在于考点与题目对应清晰，题型多样且结合实际问题（如散步距离、生产成本），能培养学生用数学眼光观察现实世界，通过不同方法求解析式训练数学思维，提升用数学语言表达函数关系的能力，助力自主学习与教学评估。

3.1.2函数的表示法 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】函数的表示法 (1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系 (2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系 (3)列表法：就是列出________来表示两个变量之间的对应关系 【答案】 数学表达式 图象 表格 【2】函数的解析式：请在下列括号中填写对应求函数解析式的方法名称. ______：已知函数类型（一次、二次、反比例等）设通用解析式，代入点求系数； ______：已知求，令，反解x代入，化简得，替换为； ______：对代数式变形，配凑出整体，直接写出； ______：含与等式，联立方程消元求解. 【答案】 待定系数法 换元法 配凑法 方程组法 【3】．作函数图像最基本的方法是_____________；其步骤是_____________、_____________、_____________. 【答案】 描点法 列表 描点 连线 【4】判断正误． （1）任何一个函数都可以用列表法表示．( ) （2）任何一个函数都可以用解析法表示．( ) （3）函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．( ) 【答案】 错误 错误 错误 【详解】（1）如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示； （2）有些函数无解析式，如某地一天24小时内的气温变化情况； （3）反例：的图象就不是连续的曲线. 【5】分段函数 （1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的________的函数． （2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的____；各段函数的定义域的交集是______ 【答案】 对应关系 并集 空集 【6】判断正误． （1）分段函数由几个函数构成．( ) （2）分段函数有多个定义域．( ) （3）函数是分段函数．( ) （4）函数可以用分段函数表示．( ) 【答案】 错误 错误 错误 正确 ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 已知函数类型求解析式 4，10，13,15 换元法或配凑法求函数解析式 5，10,12,15 方程组法求函数解析式 10，14,15 列表法表示函数 1，16 图象法表示函数 1，2,17 分段函数问题 6,7,9,1118,19 实际问题中的函数 3，8 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义求值即可． 【详解】因为，所以． 故选：C． 2．某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据给定的扇形，结合该同学的速度一定，离家距离的变化情况判断即可得结论. 【详解】由题意可知，该同学速度一定，从家出发时在一定时间内离家距离均匀增加， 到达扇形的弧上时，离家距离不变，最后一段沿扇形的半径往家的方向走时， 离家距离均匀减小，只有D选项符合题意，ABC均不符合题意. 故选：D. 3．某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（   ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出生产成本与产量的函数关系，再代入求出函数值. 【详解】令生产零件件的成本为元， 当时，， 当时，， 因此，当时，， 所以当时，生产成本为1750元. 故选：B 4．已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 5．若则当，且时，（ ） A． B． C． D．－1 【答案】B 【分析】利用配凑法即求得结果. 【详解】∵＝， ∴. 6．已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 8．如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断. 【详解】当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 因此 由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数，故A选项符合. 二、多选题 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】A：根据自变量所对应范围直接计算出函数值；B：分类讨论求解出自变量的值；C：分别求解出两段函数的值域，然后取并集可得结果；D：分别计算出每段函数所对应不等式的解集，然后取并集可得结果. 【详解】对于A：因为，故正确； 对于B：当时，，解得(舍去)； 当时，，解得或(舍去)， 所以的值是，故错误； 对于C：当时，；当时，， 且，所以的值域为，故正确； 对于D：当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集是，故正确； 故选：ACD. 10．下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 【答案】AD 【分析】对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 因为，所以，故B不正确； 对于C，设，则， 所以，解得或， 所以或，故C不正确； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①+②，得， 所以，故D正确. 故选：AD. 11．狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据狄利克雷函数解析式逐项分析即可． 【详解】对于A选项，因为，即的取值范围在有理数和非有理数中，合起来就是全体实数，所以A正确； 对于B选项，，所以，，所以，所以，所以B错误； 对于C选项，无论是有理数还是无理数，都只取0或1，而0和1均为有理数， 所以恒成立，所以C正确； 对于D选项，当时，不等式为，此时， 因此上的所有有理数都是不等式的解， 同样当时，不等式为，没有无理数解， 所以不等式的解集为区间内的所有有理数，所以D错误． 三、填空题 12．已知，求函数的解析式___________． 【答案】 【分析】利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域. 【详解】令，则， 可得， 所以. 13．已知是二次函数，且，若，则的解析式为______. 【答案】 【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解. 【详解】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 14．已知函数满足，则___________． 【答案】 【分析】将题设等式用替换得：，再与联立即可求得的解析式． 【详解】用替换得：， ， ，可得， 解得， ． 故答案为：． 四、解答题 15．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 16．某问答游戏的规则是：共5道选择“题”，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法､图象法､解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x（x∈{0，1，2，3，4，5}）之间的函数关系. 【答案】列表、图象见解析，解析法(x∈{0，1，2，3，4，5}). 【分析】根据题设描述，应用列表法每个x对应的y值，再在直角坐标系中描点得到图象，进而写出函数的解析式及定义域. 【详解】该函数关系用列表表示为： x/道 0 1 2 3 4 5 y/分 50 40 30 20 10 0 该函数关系用图象表示，如图所示    该函数关系用解析表示为（x∈{0，1，2，3，4，5}）. 17．画出函数的图象． 【答案】作图见解析. 【分析】分段去绝对值符号，再分段画出图象即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 分段画出的图象，如图，    18．已知函数 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的定义域和值域． 【答案】(1) (2)或 (3)作图见解析，定义域为，值域为． 【分析】（1）根据分段函数解析式直接代入求值即可； （2）按照分段函数分段求解方程的根，即可得的值； （3）直接利用解析式画分段函数图象，由图得函数的定义域和值域． 【详解】（1）解：因为 所以． （2）解：当时，，不合题意，应舍去； 当时，，解之得或（舍）； 当时，，则， 综上，或． （3）解：由题可作图如下： 则函数定义域为，值域为． 19．已知函数，求； 【答案】. 【分析】根据分段函数的定义域和值域求解. 【详解】由题设知：时， 时， 时， 又因为， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2函数的表示法 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】函数的表示法 (1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系 (2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系 (3)列表法：就是列出________来表示两个变量之间的对应关系 【2】函数的解析式：请在下列括号中填写对应求函数解析式的方法名称. ______：已知函数类型（一次、二次、反比例等）设通用解析式，代入点求系数； ______：已知求，令，反解x代入，化简得，替换为； ______：对代数式变形，配凑出整体，直接写出； ______：含与等式，联立方程消元求解. 【3】．作函数图像最基本的方法是_____________；其步骤是_____________、_____________、_____________. 【4】判断正误． （1）任何一个函数都可以用列表法表示．( ) （2）任何一个函数都可以用解析法表示．( ) （3）函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．( ) 【5】分段函数 （1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的________的函数． （2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的____；各段函数的定义域的交集是______ 【6】判断正误． （1）分段函数由几个函数构成．( ) （2）分段函数有多个定义域．( ) （3）函数是分段函数．( ) （4）函数可以用分段函数表示．( ) ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 已知函数类型求解析式 4，10，13,15 换元法或配凑法求函数解析式 5，10,12,15 方程组法求函数解析式 10，14,15 列表法表示函数 1，16 图象法表示函数 1，2,17 分段函数问题 6,7,9,1118,19 实际问题中的函数 3，8 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 2．某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   3．某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（   ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 4．已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 5．若则当，且时，（ ） A． B． C． D．－1 6．已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 10．下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 11．狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 三、填空题 12．已知，求函数的解析式___________． 13．已知是二次函数，且，若，则的解析式为______. 14．已知函数满足，则___________． 四、解答题 15．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 16．某问答游戏的规则是：共5道选择“题”，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法､图象法､解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x（x∈{0，1，2，3，4，5}）之间的函数关系. 17．画出函数的图象．    18．已知函数 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的定义域和值域． 19．已知函数，求； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $