专题03 指数与对数热点题型突破（五大题型）（高效培优期中专项训练）数学苏教版高一必修第一册

专题03 指数与对数热点题型突破（五大题型） 考点01 根式的化简与求值 考点02 指数幂的运算（化简与求值） 考点03 指数式与对数式的互化 考点04 对数运算的性质与应用 考点05 换底公式的应用 考点01 根式的化简与求值 1．下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知a满足，则的值为______. 4．化简：______． 5．已知实数满足，则________． 6．，求______． 7．求下列各式的值： (1)； (2) 8．求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) 9．化简与求值： (1)； (2)； (3)； (4). 考点02 指数幂的运算（化简与求值） 10．已知正实数满足，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 11．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 12．实数满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．，则的值为________． 14．已知，，则的值为________． 15．计算的结果为______________. 16．已知，则__________． 17．计算： (1) (2)已知，求的值 18．化简下列各式： (1)； (2)． 19．求值与化简． (1)； (2)． 20．已知，求的值. 考点03 指数式与对数式的互化 21．化为对数式是（    ） A． B． C． D． 22．已知，则（    ） A． B． C． D． 23．已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 24．已知，则（ ） A． B． C． D． 25．指底对换法则：，，则．（   ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 26．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 27．已知，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 28．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度达到，则的值是（    ） A．100 B．82 C．18 D． 29．噪声污染问题越来越受到人们的重视，我们常用声压（单位：Pa）与声压级（单位：dB）来度量声音的强弱，声压级与声压满足，其中常数为听觉下限阈值.已知两辆匀速行驶的汽车，其声压级分别为80dB，60dB，声压分别为，，则（   ） A． B． C．10 D． 30．，则________． 31．已知，则__________. 32．方程的解为_____. 考点04 对数运算的性质与应用 33．已知，则的溶液的是的溶液的的（    ） A． B．10倍 C．倍 D． 34．国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 35．___________． 36．某新能源汽车厂研发了一种新型电池，为提升新型电池的性能，现对新型电池进行改良.第次改良后，新型电池的性能指标满足函数关系式：（为常数），其中是未改良时新型电池的性能指标，是首次改良后新型电池的性能指标.已知该新型电池未改良时性能指标为90，首次改良后性能指标为90.3，则________，至少经过________次改良后，该新型电池的性能指标不低于95.（参考数据：，） 37．计算： (1) (2) 38．计算：(1) (2)已知，，求 39．计算下列各式的值： (1)已知，求； (2)； (3). 40．计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） (1) (2) (3)设，求的值． 41．（1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 考点05 换底公式的应用 42．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（    ） A． B． C． D． 44．设，，，则（    ） A． B． C． D． 45．下列计算恒成立的是 A． B． C． D． 46．完成下列2个小题： (1)化简； (2)已知，，求的值. 47．（1）已知，，试用、表示； （2）求的值． 48．已知：，求证：． 49．已知a，b，c均为正数，且，求证：； 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 指数与对数热点题型突破（五大题型） 考点01 根式的化简与求值 考点02 指数幂的运算（化简与求值） 考点03 指数式与对数式的互化 考点04 对数运算的性质与应用 考点05 换底公式的应用 考点01 根式的化简与求值 1．下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 【答案】D 【详解】对于A，，，所以A错误；对于B，，所以B错误；对于C，当为奇数时，（，），所以C错误；对于D，（，），所以D正确.故选：D. 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ； ； 所以. 3．已知a满足，则的值为______. 【答案】2026 【详解】由，得，因为，所以，故. 4．化简：______． 【答案】 【详解】， ，故答案为：. 5．已知实数满足，则________． 【答案】 【详解】因为，所以.故答案为：. 6．，求______． 【答案】 【详解】法一：因为，，所以. 法二：.故答案为： 7．求下列各式的值： (1)； (2) 解：（1），. （2）原式， 当时，原式， 当时，原式， 所以，原式＝. 8．求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) 解：（1）. （2）， 因为，所以， 所以. （3）. 9．化简与求值： (1)； (2)； (3)； (4). 解：（1）. （2） （3）， . （4）原式. 当时，原式； 当时，原式． 考点02 指数幂的运算（化简与求值） 10．已知正实数满足，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】因为，且，所以，即，所以，所以， 当且仅当即时取等号，所以的最小值是. 11．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍，即，即，即，再过周后该植物的长度为 .因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 12．实数满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，由题意得，，设，， 则可得方程组，解得，即，由得，由得，则两式相乘可得. 13．，则的值为________． 【答案】2 【详解】由可得，即，故. 14．已知，，则的值为________． 【答案】/ 【详解】. 15．计算的结果为______________. 【答案】/0.5 【详解】 16．已知，则__________． 【答案】10 【详解】，，即，所以，，即所以，∴﹒ 17．计算： (1) (2)已知，求的值 解：（1）原式. （2）因为，所以， 所以． 18．化简下列各式： (1)； (2)． 解：（1）原式． （2）原式． 19．求值与化简． (1)； (2)． 解：（1）原式． （2）原式． 20．已知，求的值. 解：， ， ， 所以. 考点03 指数式与对数式的互化 21．化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 22．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即，因为，所以，得 23．已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【答案】D 【详解】依题意，，，所以，所以. 24．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，所以. 25．指底对换法则：，，则．（   ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】A 【详解】因为，所以． 26．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，又，所以，当且仅当，即，也即时取等号.故选：B. 27．已知，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，令，则， 则，因为，所以，即，等号成立时， 则，，则的最大值为，故的最大值是.故选：B 28．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度达到，则的值是（    ） A．100 B．82 C．18 D． 【答案】B 【详解】由可得，解得.故选：B. 29．噪声污染问题越来越受到人们的重视，我们常用声压（单位：Pa）与声压级（单位：dB）来度量声音的强弱，声压级与声压满足，其中常数为听觉下限阈值.已知两辆匀速行驶的汽车，其声压级分别为80dB，60dB，声压分别为，，则（   ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【详解】第一辆汽车：，对应声压为，则，即，所以. 第二辆汽车：，对应声压为，则，即，所以.所以.故选：A. 30．，则________． 【答案】 【详解】，令 ，则变形为所以，因为 ，所以 ，所以所以，或 （舍去），又 ，所以，所以. 31．已知，则__________. 【答案】36 【详解】由于，则，，，，   32．方程的解为_____. 【答案】1 【详解】，得，整理得.即.因为，所以，所以，所以.所以方程的解为.故答案为：. 考点04 对数运算的性质与应用 33．已知，则的溶液的是的溶液的的（    ） A． B．10倍 C．倍 D． 【答案】B 【详解】当时，由，得，当时，由，得， 所以的溶液的是的溶液的的倍. 34．国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 【答案】D 【详解】设，则，所以，即最接近. 35．___________． 【答案】/ 【详解】. 36．某新能源汽车厂研发了一种新型电池，为提升新型电池的性能，现对新型电池进行改良.第次改良后，新型电池的性能指标满足函数关系式：（为常数），其中是未改良时新型电池的性能指标，是首次改良后新型电池的性能指标.已知该新型电池未改良时性能指标为90，首次改良后性能指标为90.3，则________，至少经过________次改良后，该新型电池的性能指标不低于95.（参考数据：，） 【答案】 0.5 15 【详解】由，得，所以，解得，则，根据题意可知，，整理得，两边取常用对数并移项，得，所以，故至少经过15次改良后，该新型电池的性能指标不低于95. 37．计算： (1) (2) 解：（1）原式. （2）原式. 38．计算：(1) (2)已知，，求 解：（1）原式 . （2）因为，，即，即， 所以. 39．计算下列各式的值： (1)已知，求； (2)； (3). 解：（1）设 ，则 ，， 原式 ； （2）由，，， 设 ，则 ， 所以 ， 原式 ； （3）由，，，， 原式 ． 40．计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） (1) (2) (3)设，求的值． 解：（1）原式; （2）原式； （3）因为，所以， 所以， 所以. 41．（1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 解：（1） ． （2） ； （3）． ，． 所以． 考点05 换底公式的应用 42．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确. 43．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 . 44．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以. 45．下列计算恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以A不对；因为，所以B不对； 因为，所以C不对；因为，D正确. 故选D. 46．完成下列2个小题： (1)化简； (2)已知，，求的值. 解：（1），，， 故原式. （2）由得；由得， 所以. 47．（1）已知，，试用、表示； （2）求的值． 解：（1）； （2）（方法一）； （方法二）． 48．已知：，求证：． 证明：设，显然， 则，可得， 所以. 49．已知a，b，c均为正数，且，求证：； 证明：设，则. ∴， ∴， 而， ∴，得证. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $