专题02 不等式热点题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学苏教版高一必修第一册

专题02 不等式热点题型突破（六大题型） 考点01 比较数（式）的大小 考点02 基本不等式的证明 考点03 基本不等式的应用（含实际应用） 考点04 一元二次方程根的分布 考点05 解一元二次不等式（含参） 考点06 一元二次不等式恒成立问题 考点01 比较数（式）的大小 1．下面命题正确的有（     ） A．若，则 B．若 ，则 C．若，，则 D．若，，则 2．若，，则下列不等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．，，，则，，，由大到小的顺序是（   ） A． B． C． D． 5．已知实数a，b满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知，，则下列不等式恒成立的是（） A． B． C． D． 8．已知，，则的取值范围是__________． 9．，，，则的大小关系是_________． 10．(1)解方程组 ； (2)若，设，，试比较，的大小． 考点02 基本不等式的证明 11．当时，不等式 有解，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 12．已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 13．设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 15．（多选）以下结论正确的是（     ） A．的最小值是2 B．若，R且，则 C．的最小值是2 D．若，，且，则的最大值为 16．（多选）已知，，且，则下列选项正确的是（   ） A．的最小值为9 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为7 17．（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值为 18．若，则的最小值为_________． 19．已知，，则的最小值为__________． 20．已知，． (1)若． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）求的最小值． (2)若，证明：． 21．完成下列证明： (1)已知，，都是正数，求证：； (2)已知，，．求证：． 22．若，求证：． 23．，求证：.（已知） 24．已知.求证：. 25．（1）设，为实数，比较与的大小． （2）已知正数，满足，证明： ①； ②． 考点03 基本不等式的应用（含实际应用） 26．如图所示，矩形的边靠在墙上，另外三边是由篱笆围成．围成所需要的篱笆长度为4，则围成的矩形的面积的最大值为（     ） A． B．2 C． D．4 27．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等，可得 B．由，可得 C．由，可得 D．由，可得 28．如图，矩形的周长为，在和边上分别取点和，将四边形沿折叠，使点与点重合，此时点的对应点为． (1)当矩形的面积为时，求的面积； (2)求面积的最大值． 29．某企业2026年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． (1)求关于的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（）． 30．均值不等式的历史可以追溯到世纪，由在年发表的论文中首次提出均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等． (1)写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； (2)利用你写出的式子，解决如下问题：如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ (3)当且时，证明：． 31．长沙市地铁8号线项目正在规划中，通车后将给市民带来便利．该线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，列车处于满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与时间的关系式为（为参数），且发车时间间隔为2分钟时的载客量为280人，记列车载客量为． (1)求当时，的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量． (2)若该线路每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值． 32．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某科研单位进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（百元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为. (1)该单位每月处理成本的最小值和最大值分别是多少百元？ (2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为） 33．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，左右两侧力臂长度分别为厘米和厘米，且，一位顾客到店购买克黄金. (1)如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，当时，顾客得到多少克黄金? (2)如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.判断顾客购得的黄金是小于克，等于克，还是大于克?请说明原因. 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长 考点04 一元二次方程根的分布 34．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 35．关于的方程的两个实根，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 38．如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（　　　） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 39．若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是________. 40．若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 41．已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 42．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 43．已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 考点05 解一元二次不等式（含参） 44．关于的不等式：的解集为（    ） A． B． C． D． 45．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 46．不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．且 47．不等式的解集是（　　） A． B． C．{或} D． 48．若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_________. 49．写出下列不等式的解集： (1) (2) (3) 50．（1）解关于的不等式； （2）解关于的不等式； （3）若时，不等式恒成立，求的取值范围． 51．已知集合，．，且． (1)求实数p及q的值； (2)关于x的不等式的解集为，求实数k的取值范围． 52．(1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式，． 53．解下列关于的不等式： (1)； (2) 考点06 一元二次不等式恒成立问题 54．若不等式的解集是，则的范围是（ ） A． B． C． D． 55．若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 56．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 57．对，恒成立，则实数的取值范围是________________________． 58．若对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是________________ 59．已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 60．（1）若存在，使得不等式成立，求的取值范围； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围； 61．不等式 (1)若存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围 (2)若对于实数不等式恒成立，求实数的取值范围 (3)解关于的不等式 62．设二次函数，其对称轴为． (1)求关于的不等式的解集（请用表示）； (2)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式热点题型突破（六大题型） 考点01 比较数（式）的大小 考点02 基本不等式的证明 考点03 基本不等式的应用（含实际应用） 考点04 一元二次方程根的分布 考点05 解一元二次不等式（含参） 考点06 一元二次不等式恒成立问题 考点01 比较数（式）的大小 1．下面命题正确的有（     ） A．若，则 B．若 ，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】选项A：举反例：取，，但，，不成立， A错误；选项B：举反例：取，，，，不成立， B错误； 选项：不等式性质：同向不等式可相加，，，传递得：，C正确；选项D：举反例：取，，∴，，不成立，D错误； 2．若，，则下列不等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由题可知，，则，故A正确，不符合题意；对于B，由，则，故B正确，不符合题意；对于C，当时，此时，故C错误，符合题意；对于D，，则，，故D正确，不符合题意． 3．若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 已知，根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘正数6，不等号方向不变，可得： 即；已知，根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得： .根据同向不等式的可加性，将上述两个不等式相加，不等号方向不变，可得： . 因此的取值范围为. 4．，，，则，，，由大到小的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，，，因为，，故，，因此，即；又，故， ，因为，，故，，因此，即；又，故，综上，即． 5．已知实数a，b满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，解得，即， 由，得，由，得，则，所以的取值范围是. 6．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，由，得，则，故A正确；对于B，由，得，则，即，则，故B正确；对于C，当时，满足，而，故C错误；对于D，由，得，则，所以，故D错误. 7．（多选）已知，，则下列不等式恒成立的是（） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A，，由直接得，接下来判断的符号，反证法：假设，则；又，故，三数之和大于6，与和为2矛盾，即， 故，即，A恒成立；选项B，， 因当且仅当两项同时为0，但，不可能有，所以，又因，故，所以，得，B恒成立；选项C，，由直接得，接下来判断的符号，假设，则，三数均非正，其和，与和为2矛盾，故，因此，即，C恒成立；选项D， ，由得，式子符号由决定，举反例：取，满足且，此时，两边相等，不满足“大于”，因此D不恒成立. 8．已知，，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】令，，则，，所以，.则.又，则；又，则. 所以，即.故的取值范围是. 9．，，，则的大小关系是_________． 【答案】 【详解】易得，，，，所以，，所以，则. 10．(1)解方程组 ； (2)若，设，，试比较，的大小． 解：（1）由得，即，或， 当时，即，代入得，解得，则； 当时，即，代入得，解得，则， 所以方程组的解集为． （2）由 又，则，且， 所以，即． 考点02 基本不等式的证明 11．当时，不等式 有解，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，由于，所以， 当且仅当即时等号成立.所以实数的取值范围是. 12．已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【详解】由，则 ，由可得，，根据基本不等式可得， 当且仅当，即，又得，代入，解得时等号成立，因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9. 13．设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，即；，得，即，故A正确；对于B，，由均值不等式得，即，，故B正确；对于C、D ，，由均值不等式得，；，即，故C错误，D正确. 14．（多选）已知，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确，又，即，当且仅当时等号成立，故D正确，由，得，当且仅当时等号成立，故A错误，因为，由，得，即，，当且仅当时等号成立，故C正确． 15．（多选）以下结论正确的是（     ） A．的最小值是2 B．若，R且，则 C．的最小值是2 D．若，，且，则的最大值为 【答案】BD 【详解】对于A选项，当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立，故A错误；对于B选项，因为，R且，则，，则，当且仅当即时，等号成立，故B正确；对于C选项，，当且仅当时，等号成立，因为无实数解，故的最小值不为，故C错误；对于D选项，因为，，且，，当且仅当时等号成立，故D正确. 16．（多选）已知，，且，则下列选项正确的是（   ） A．的最小值为9 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为7 【答案】BC 【详解】选项A：，当且仅当时取等，最小值为不是9，A错误；选项B：，当且仅当即时取等，最小值为4，B正确； 选项C：，由得，故，即，当且仅当时取等，最大值为2，C正确；选项D：令，则，代入得，原式，当且仅当即时取等，最小值为6不是7，D错误. 17．（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，可知，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；对于B，可知，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确；对于C，可知，当且仅当时，即当时等号成立，即的最大值是，所以C错误；对于D，，则，当且仅当时，即时取等号，故的最小值为，所以D正确. 18．若，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】，因为，所以所以.当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 19．已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 20．已知，． (1)若． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）求的最小值． (2)若，证明：． 解：（1）（ⅰ）由，可得，则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． （ⅱ）由，可得， 则． 当且仅当，即，即，时取等号， 所以的最小值为． (2)因为，，且， 所以， 当且仅当，即，即，时取等号. 所以． 21．完成下列证明： (1)已知，，都是正数，求证：； (2)已知，，．求证：． 解：(1) ，当且仅当“”时取“=”； (2)因为，，所以，当且仅当时取等号，解得； 于是得，所以成立． 22．若，求证：． 解：由，得， 设，， 因此 ， 而，则，当且仅当时取等号，所以． 23．，求证：.（已知） 解：由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 24．已知.求证：. 解：因为,所以,当且仅当时取等号,解得； 于是得, 所以成立. 25．（1）设，为实数，比较与的大小． （2）已知正数，满足，证明： ①； ②． 解：（1）由为实数，得， 当且仅当时取等号，所以. （2）证明：①正数满足，则，当且仅当时取等号， 所以. ②正数满足，则，当且仅当时取等号， 所以. 考点03 基本不等式的应用（含实际应用） 26．如图所示，矩形的边靠在墙上，另外三边是由篱笆围成．围成所需要的篱笆长度为4，则围成的矩形的面积的最大值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】设米，米，则，所以，解得，当且仅当，即时取等号，所以围成的矩形的面积的最大值为2． 27．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等，可得 B．由，可得 C．由，可得 D．由，可得 【答案】C 【详解】对于A，由图1和图2面积相等，可得，所以，故A错误；对于B，在图（3）中，因为，所以，所以，且， 因为，所以，整理得，故B错误；对于C，因为D为斜边BC的中点，所以，因为，所以，整理得，故C正确；对于D，因为，所以，整理得，故D错误． 28．如图，矩形的周长为，在和边上分别取点和，将四边形沿折叠，使点与点重合，此时点的对应点为． (1)当矩形的面积为时，求的面积； (2)求面积的最大值． 解：（1）设，，则，，所以，， 设，则，在中，， 由勾股定理得，即，解得， 所以，所以的面积为． （2）设，，则，也即，且，所以， 设，则，在中，， 由勾股定理得，即，解得， 所以的面积， 又因为， 所以． 又，当且仅当时，即当时取等号， 所以，故面积的最大值为． 29．某企业2026年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． (1)求关于的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（）． 解：（1）由题意，盈利总额为年的总收入扣除初始设备购置费和年总维修保养费用的剩余值，因此， 故关于的函数关系式为。 （2） 设年平均盈利额为，根据定义得 , 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， 因此，即该设备的年平均盈利额的最大值为22万元. 30．均值不等式的历史可以追溯到世纪，由在年发表的论文中首次提出均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等． (1)写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； (2)利用你写出的式子，解决如下问题：如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ (3)当且时，证明：． 【答案】(1)当时，对正数，， 当且仅当时，等号成立； 证明如下：首先我们证明：对于4个正数,,,，有. 因为,,,是正数， 所以， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 借助已经证明的（），当且仅当时，等号成立． 令，代入（）式得， 即，即，即， 则，当且仅当时，等号成立． （2）设小正方形的边长为，则盒子高，底边边长为， 可得盒子的容积，其中， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长是时，才能使盒子的容积最大，最大容积为； (3)∵，∴，，， ∵， 当且仅当即时等号成立， 同理： 当且仅当时等号成立； 当且仅当时等号成立； ∴， 即， 当且仅当时等号成立； 又∵当且仅当时等号成立； ∴， 即， 此时. 31．长沙市地铁8号线项目正在规划中，通车后将给市民带来便利．该线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，列车处于满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与时间的关系式为（为参数），且发车时间间隔为2分钟时的载客量为280人，记列车载客量为． (1)求当时，的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量． (2)若该线路每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值． 解：（1）当时，设， 发车时间间隔为2分钟时的载客量为280人，即， 所以，解得， 所以当时，，故， 发车时间间隔为5分钟时载客量为475人； （2）当时，， 故当时，取得最大值，最大值为， 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当发车时间间隔为5分钟时，每分钟净收益最大，最大值为1400元. 32．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某科研单位进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（百元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为. (1)该单位每月处理成本的最小值和最大值分别是多少百元？ (2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为） 解：（1）对称轴. 函数在单调递增. 当时，. 当时，. 所以该单位每月处理成本的最小值百元，最大值百元. （2）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为，显然. 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立. 故每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 33．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，左右两侧力臂长度分别为厘米和厘米，且，一位顾客到店购买克黄金. (1)如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，当时，顾客得到多少克黄金? (2)如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.判断顾客购得的黄金是小于克，等于克，还是大于克?请说明原因. 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长 解：（1）设顾客得到克黄金，由题意知，. 将代入得到，解得克. (2)顾客购得的黄金大于，理由如下： 由题可知，天平两臂不等长，则，，， 设先称得黄金为，后称得黄金为，则，. ∴，∴， ∴. 当且仅当，即时等号成立， 但，等号不成立，即. 因此，顾客购得的黄金大于. 考点04 一元二次方程根的分布 34．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 35．关于的方程的两个实根，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令函数，这是一个开口向上的二次函数，根据题意可知，方程的两个实根、满足，所以函数只需满足，即，解得，所以实数的取值范围为，故C正确. 36．若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题， 令，则在上有两个不同的零点，即，即，解得：．故的范围为．故选：D． 37．已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，设的两根为，由都在区间内，得，解得，所以m的取值范围为.故选：D 38．如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（　　　） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】D 【详解】对方程，分情况讨论：①若，方程化为，有实数根，与“没有实数根”矛盾，故；②若，方程为一元二次方程，没有实数根，则判别式：化简得：，解得此时考虑方程，因为，所以可能为零（当时），也可能不为零，当时，方程化为：，有且仅有 个实数根；当且时，方程为一元二次方程，判别式：因为，所以，故，方程有两个不相等的实数根；综上，方程的实数根个数为1或2． 39．若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】当时，方程化为，得，满足；当时，需，得. 若，则两根之积（两根异号），必有一负根；若，则两根之和、两根之积，两根均为负.综上，. 40．若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 【答案】 【详解】设实根，则，，所以.由二次函数特性可知，时取得最大值.，又当时取得最大值，且.所以. 41．已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【详解】令，对称轴为；根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 42．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 解：（1）关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式，解得． （2）由题意得：， 解得或， 由（1）得：， 则的值为2． 43．已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 解：（1）由，是方程的两个实根，得，， 且，解得或， 由，得，即， 解得或，又或，经检验，不满足应舍去， 所以. （2）由方程两根都大于1，得，解得， 所以的取值范围是. 考点05 解一元二次不等式（含参） 44．关于的不等式：的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，即，故，解得. 45．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原不等式变形为，同解变形为解得，又因为，所以原不等式的解集为. 46．不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【详解】对于不等式，当时，有，即，解得；当时，有，即，解得；综上，不等式的解集是或 47．不等式的解集是（　　） A． B． C．{或} D． 【答案】A 【详解】由得，得，故不等式的解集是 48．若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】时，即，满足条件；时，需满足，解得；综上所述：的取值范围是. 49．写出下列不等式的解集： (1) (2) (3) 解：（1），； 不等式的解集为. （2），，即，解得； 不等式的解集为. （3），，即， 解得； 或. 不等式的解集为或. 50．（1）解关于的不等式； （2）解关于的不等式； （3）若时，不等式恒成立，求的取值范围． 解：（1），即， 当时，即，无解； 当时，即，无解； 当，即或时，； 当，即时，； 综上所述：当或时，该不等式的解集为； 当或时，解集为； 当时，解集为； （2）， 当时，，解得； 当时，有，解得或； 当时，有，解得； 当时，该不等式无解； 当时，有，解得； 综上可得：当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，； （3）设关于的函数， 由题意可得当时，恒成立， 则有，解得， 故的取值范围为. 51．已知集合，．，且． (1)求实数p及q的值； (2)关于x的不等式的解集为，求实数k的取值范围． 解：（1）解不等式，得，解得或，所以集合或， 又因为，且，所以， 所以和是方程的两个根，所以有，解得， 故实数p及q的值分别为和. （2）由（1）可得关于x的不等式为， 该不等式的解集为， 不等式对任意恒成立， ①当时，恒成立，符合题意， ②时，需满足，解得， 综上所述，实数k的取值范围为 52．(1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式，． 解：（1）若不等式的解集为， 则，解得， 所以实数的取值范围为； （2）由，得， 当时，，且，解得， 当时，，解得， 当时，，且，解得或， 当时，，解得； 当时，，且，解得或， 所以①当时，解集为； ②当时，解集为； ③当时，解集为； ④当时，解集为； ⑤当时，解集为． 53．解下列关于的不等式： (1)； (2) 解：（1）将原不等式移项得：，化简可得， 所以，解得. 所以不等式的解集为. （2）, 当时，不等式可化为，则不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为. 综上：当时，则不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 考点06 一元二次不等式恒成立问题 54．若不等式的解集是，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为不等式的解集是，当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为；当，即时，一元二次不等式的解集是，则，，，解得.综上所述，的取值范围为． 55．若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立，则有 ，  解得.   故实数a的取值范围为. 56．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立，由题意，解得. 57．对，恒成立，则实数的取值范围是________________________． 【答案】 【详解】对，恒成立，因为的系数是，则 ，解得 ，故实数 的取值范围是 ． 58．若对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是________________ 【答案】 【详解】对任意，，所以，当，，当且仅当，即时取等号，当时，，故在上的上确界为9，故． 59．已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】由，得是增函数，且当时，，当时，，由在时恒成立，得当时，恒成立，当时，恒成立，所以当时，，化简得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 60．（1）若存在，使得不等式成立，求的取值范围； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围； 解：（1）由题意得成立，化简得成立， 而，则，得到成立，即成立， 令，由二次函数性质得在上单调递增， 可得在上单调递减，而，故. （2）因为不等式对恒成立， 所以，令， 可得，解得. 61．不等式 (1)若存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围 (2)若对于实数不等式恒成立，求实数的取值范围 (3)解关于的不等式 解：（1）不等式可化为， 因为，，所以只需能成立即可． 即在上有解， 因为，所以， 所以实数的取值范围为； （2）不等式可化为， 令， 若对于实数不等式恒成立， 则，解得或． 所以或 （3）不等式可化为， 若，则，不等式的解集为， 若，， 若，则，或，不等式的解集为， 若，则，不等式的解集为， 若，则，不等式的解集为． 若，则，，不等式F的解集为． 综上所述： 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为． 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为． 62．设二次函数，其对称轴为． (1)求关于的不等式的解集（请用表示）； (2)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）由对称轴得， 则 移项因式分解得， 令，则，. ①若，则， （i）当时，，不等式解集为， 即不等式的解集为； （ii）当时，，不等式解集为； （iii）当时，，不等式解集为. ②若，则，即，此时解集为. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）由则， 所以不等式对恒成立，分离参数得， 要使对恒成立，则 换元得，其在上单调递减， 且，， 故当时，，故， 所以实数的取值范围为. （3）不等式化简为对恒成立， 令，其中， 要使得对恒成立， 只需，解得. 即实数的取值范围为. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $