专题01 集合与常用逻辑热点题型突破（八大题型）（高效培优期中专项训练）数学苏教版高一必修第一册

专题01 集合与常用逻辑热点题型突破（八大题型） 考点01 元素与集合的关系（含求参） 考点02 集合与集合的关系（含求参） 考点03 利用Venn图求集合 考点04 集合的运算 考点05 根据交、并、补运算求参 考点06 已知命题真假求参 考点07 充分条件、必要条件、充要条件（含求参） 考点08 全称量词命题与存在量词命题 考点01 元素与集合的关系（含求参） 1．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 3．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 7．已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 8．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（多选）已知集合，且，则m的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 10．（多选）已知集合，若，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 11．（多选）已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则中的元素为（    ） A． B．0 C．2 D．4 12．已知，则实数_________． 13．已知集合，且，则实数构成的集合为__________． 14．已知集合中元素满足，且，求集合中的元素． 15．已知集合，对任意的，若或，则称集合为集合． （1）判断集合是否为集合，并说明理由； （2）若集合为集合，求的值. 考点02 集合与集合的关系（含求参） 16．已知集合，集合，且，则集合共有（    ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 17．设集合，则之间的关系是（   ） A． B． C． D．以上都不是 18．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．满足的集合的个数为（   ） A． B． C． D． 20．已知集合有且只有8个子集，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 21．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 22．已知集合，，若，则实数（   ） A．或 B．1或2 C．2 D．-2 23．已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 24．已知集合，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 25．已知集合，则的真子集个数为________． 26．若集合有且仅有两个子集，则实数的值为_______. 27．（1）设，，，若，求的值； （2）已知集合，，若，求实数的取值范围． 28．已知集合，． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 29．已知集合，集合． (1)若，求的值； (2)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由． 30．关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 31．设集合，． (1)求集合； (2)若集合有且仅有两个子集，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 考点03 利用Venn图求集合 32．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 33．如图所示，已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 34．已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 35．如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 36．设全集，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 37．如图，是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） (注：图中阴影部分为集合与的交集，但排除集合的部分) A． B． C． D． 38．某科技公司对名职场人士进行“工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过类（写作助手）、类（绘图工具）、类（会议助手）三类工具中的一类.调查数据显示使用过类工具的有人，使用过类工具的有人，使用过类工具的有人；类和类工具都使用过的有人，类和类工具都使用过的有人；三类工具都使用过的有人，则类和类工具都使用过的人数为（    ） A．5 B．13 C．15 D．20 39．已知集合，，，    (1)若，求m的取值范围； (2)当时，求图示阴影部分对应的集合. 40．设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 41．设全集为，集合. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合; (2)在①;②;③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 考点04 集合的运算 42．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 43．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 44．设集合，，则（     ） A． B． C． D． 45．已知集合，则__________． 46．已知集合，，求： (1)，； (2)，． 47．设集合，，.求： (1)； (2)； (3)； 考点05 根据交、并、补运算求参 48．设集合，，若，则实数的所有可能取值之和为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 49．（多选）已知集合，，若，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D． 50．已知集合，或 (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 51．设集合，集合． (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围． 52．已知：集合，． (1)若，求，，； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 53．已知集合，集合，集合 (1)写出的真子集及其非空真子集； (2)若，求的值． (3)若，求的取值所构成的集合． 考点06 已知命题真假求参 54．已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 55．（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 56．已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是________________． 57．设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 58．已知命题；命题，方程有两个不相等的正实数根． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围． 59．已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 考点07 充分条件、必要条件、充要条件（含求参） 60．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 61．“，”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 62．若是实数，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 63．若则“”是“”的 （ ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．无法判断 64．对任意实数，给出下列命题，其中真命题是（ ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“ ”的充要条件 65．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 66．下列选项中，是的必要不充分条件的是（     ） A．p： B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q：且 67．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 68．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 69．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________． 70．已知，． (1)若是的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 71．已知集合 ． (1)当时，求和； (2)若，求实数m的取值范围． (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 考点08 全称量词命题与存在量词命题 72．已知命题，，则为（     ） A．， B．， C．， D．， 73．“所有正数都有平方根”的否定为（     ） A．所有正数都没有平方根 B．所有非正数都没有平方根 C．至少有一个正数没有平方根 D．至少有一个非正数没有平方根 74．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 75．若至少存在一个，使得成立，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 76．（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（   ） A．有些菱形是正方形 B．，则 C．梯形有两边平行 D．， 77．（多选）下列说法正确的是（    ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“，”是真命题 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 78．已知命题：，关于的一元二次方程有实数根．若命题为假命题，则实数的取值范围为______． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑热点题型突破（八大题型） 考点01 元素与集合的关系（含求参） 考点02 集合与集合的关系（含求参） 考点03 利用Venn图求集合 考点04 集合的运算 考点05 根据交、并、补运算求参 考点06 已知命题真假求参 考点07 充分条件、必要条件、充要条件（含求参） 考点08 全称量词命题与存在量词命题 考点01 元素与集合的关系（含求参） 1．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 2．设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 【答案】D 【分析】先求得集合，由此求得. 【详解】解方程，因式分解得，解得或故.由得或. 3．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 【答案】B 【详解】由，集合，可分类讨论：当时，，集合，不满足集合的互异性，舍去；当时，，集合，满足集合的互异性，成立；综上所述，. 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合A，依次判断各选项. 【详解】因为，所以.对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确；对于C：成立，C错误；对于D：成立，D错误. 5．已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助集合与元素关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得.故选：A. 6．集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【详解】由，且，因为，所以，因此，.集合的元素为有序数对. 当时，当时，所以，. 由此可知，且同时成立. 7．已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【答案】B 【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设，，其中都是整数，则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数，∴. 8．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对A：若，则，故A错误；对B：若，则，故B正确；对C：若，则，故C正确；对D：若，此时，故D错误. 9．（多选）已知集合，且，则m的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系，依次讨论，的情况，然后根据集合互异性、无序性、确定性的特点求解即可 【详解】当时，解得，则，符合题意；当时，解得或. 若，则，符合题意；若，则，不满足元素的互异性，舍去. 10．（多选）已知集合，若，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】BC 【分析】先解不等式，得出，再根据元素与集合的关系建立不等式组求解，选择符合范围的选项即可. 【详解】.因为，所以，解得． 所以的值可以是. 11．（多选）已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则中的元素为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】ABC 【分析】根据的情况，分类讨论即可求解. 【详解】由题意得：，当时，，故B正确；当时，，故C正确；当时，，故A正确；当时，，故D错误. 12．已知，则实数_________． 【答案】 【详解】，当时，，元素不满足互异性；当时，，元素不满足互异性；当时，即，解得或（舍去），当时，集合为，符合题意，所以. 13．已知集合，且，则实数构成的集合为__________． 【答案】 【详解】由题意可得或，解得或或，当时，，满足题意；当时，，不满足集合元素互异性，舍去；当时，，满足题意；综上：实数构成的集合为. 14．已知集合中元素满足，且，求集合中的元素． 【详解】由可知为6的正约数，故的值为1，2，3，6，，所以的值为4，3，2，其中-1舍去，所以集合中的元素有2，3，4． 15．已知集合，对任意的，若或，则称集合为集合． （1）判断集合是否为集合，并说明理由； （2）若集合为集合，求的值； 解：（1）不是，理由如下： 取，则，因此不是集合. （2）若，则或，则， 当时，取，则， 取，则， 所以符合题意； 若，则或，则或， 当时，取，则， 所以不符合题意； 若，则或，则， 当时，取，则， 所以不符合题意； 综上. 考点02 集合与集合的关系（含求参） 16．已知集合，集合，且，则集合共有（    ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【详解】由题意可得集合可以是共4个. 17．设集合，则之间的关系是（   ） A． B． C． D．以上都不是 【答案】C 【分析】判断两个集合的元素是否完全一致，进而确定集合关系. 【详解】由，所以与均表示全体奇数，所以集合与集合都表示全体奇数构成的集合，故. 18．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】通过解方程与自然数集写出集合，由子集的计算方法得到答案. 【详解】解方程，即，即，，所以集合的个数. 19．满足的集合的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程以及集合之间的包含关系，可得答案. 【详解】由，整理可得，解得或，则， 则满足条件的集合可以是：、、、、、、、，共个. 20．已知集合有且只有8个子集，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，根据其子集个数列关系式求解范围. 【详解】，因为集合有且只有个子集，所以集合中有且只有个整数，可知，三个整数关于对称，所以，所以，解得. 21．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用集合相等条件求解，并检验集合中元素的互异性即可得到判断. 【详解】由可得：，解得或，当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去，即满足题意，故选：C 22．已知集合，，若，则实数（   ） A．或 B．1或2 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】利用集合的关系与运算，即可求出的值． 【详解】若，则，显然满足题意；若，则，不成立；若，解得，或，若，则不满足元素的互异性，所以.故选A. 23．已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】由题意，，所以或.当，即时，， 与集合元素的互异性矛盾，舍去.当，即，解得或.若，则，与集合元素的互异性矛盾，舍去；若，此时，满足题意.综上所述，. 24．已知集合，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简集合得到，和，进而求得集合间的关系，得出答案. 【详解】由集合， ， 因为的分子是表示所有除以6余1的整数，且和的分子表示所有除以3余1的整数， 所以. 25．已知集合，则的真子集个数为________． 【答案】 【详解】因为，所以的真子集个数为． 26．若集合有且仅有两个子集，则实数的值为_______. 【答案】或 【详解】集合有且仅有两个子集，即集合只有个元素，即方程只有1个解，当时，即，，，只有个解，符合要求；当时，，解得.综上，或. 27．（1）设，，，若，求的值； （2）已知集合，，若，求实数的取值范围． 解：（1）由得，即，故． （2）由得，故的取值范围为． 28．已知集合，． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 解：（1），， ，必有，所以，解得； 故. （2）方程的判别式， 当时，，所以，满足； 当时，，不满足； 当时，，集合有两个元素，若，则必有， 所以，反之，时确有； 综上，实数的取值范围为. 29．已知集合，集合． (1)若，求的值； (2)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）由，得或，得或， 当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，满足集合中元素的互异性，符合题意． 所以． （2）由，得，得或， 若，则，因为，所以； 若，则，因为，所以， 所以存在或使得． 30．关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 解：(1)证明：设，∴，故， ∴是方程的解，∴，∴； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵，∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时，，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. 31．设集合，． (1)求集合； (2)若集合有且仅有两个子集，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 解：（1）由，解得或，所以．     （2）因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以．   （3）由（1）知，， 因为，所以集合可以是，，，．     当时，即方程无实数根， 则，解得；    当时，即方程有且只有一个根， ，解得；    当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解；    当时，方程有和两根， 则，解得，     综上所述，实数的取值范围是或． 考点03 利用Venn图求集合 32．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】阴影部分表示的集合为，也就是. 33．如图所示，已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，则阴影部分表示的集合为. 34．已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可得，，，，，故A，B，D正确，C错误． 35．如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】中间部分的阴影部分表示集合为，外围阴影部分表示的集合为， 所以图中阴影部分表示的集合为． 36．设全集，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，∵，∴阴影部分可以表示为. 37．如图，是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） (注：图中阴影部分为集合与的交集，但排除集合的部分) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分位于集合和的交集内部，但位于集合的外部.因此表示为 . 38．某科技公司对名职场人士进行“工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过类（写作助手）、类（绘图工具）、类（会议助手）三类工具中的一类.调查数据显示使用过类工具的有人，使用过类工具的有人，使用过类工具的有人；类和类工具都使用过的有人，类和类工具都使用过的有人；三类工具都使用过的有人，则类和类工具都使用过的人数为（    ） A．5 B．13 C．15 D．20 【答案】B 【分析】作出文氏图，由集合容斥原理可得． 【详解】设仅只使用过类工具的职场人士的人数为，由图可得：，解得，所以类和类工具都使用过的人数为. 39．已知集合，，，    (1)若，求m的取值范围； (2)当时，求图示阴影部分对应的集合. 解：（1）, 由，有：. 故m的取值范围为. （2）阴影部分即：, , 故：. 40．设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 解：（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 41．设全集为，集合. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合; (2)在①;②;③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 解：（1）由集合知，，解得或，所以， 当时，结合图知. （2）选择①②③，均可得. 当时，，解得; 当时，或，解得或，即. 综上所述，实数的取值范围是. 考点04 集合的运算 42．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，，两集合的公共元素为和，因此. 43．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的定义，合并两个集合的所有元素，结合端点的开闭情况即可得出结果. 【详解】根据并集的定义可得：. 44．设集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合分别化简，结合补集的运算，即可得到结果. 【详解】因为 ， ，所以，故. 45．已知集合，则__________． 【答案】或 【分析】先求解一元一次不等式得到集合，再依据补集的定义计算在实数集上的补集可得. 【详解】解不等式，得，即，所以，由补集的定义得或. 46．已知集合，，求： (1)，； (2)，． 解：（1）由条件可知，， 所以，； （2）因为，所以． 又或，所以． 47．设集合，，.求： (1)； (2)； (3)； 解：（1）； （2）， 又，故或； （3），， 故或， 又，故或 考点05 根据交、并、补运算求参 48．设集合，，若，则实数的所有可能取值之和为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意，因为，所以，由，得或，①当，即时，，符合题意； ②当，即时，，符合题意，所以实数的所有可能取值为2和3，和为. 49．（多选）已知集合，，若，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】，且；，.，.当时，解得，结合，得；当时，解得或，结合，得.对于A，当时，符合题意，故A正确；对于B，当时，符合题意，故B正确；对于C，当时，不符合题意，故C错误；对于D，当时，不符合题意，故D错误. 50．已知集合，或 (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 解：（1）当时，，解得； 当时，，解得， 综上：实数的取值范围是. （2）由可得， 当时满足条件，此时； 当时，或，解得， 综上：实数的取值范围是或. 51．设集合，集合． (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围． 解：（1）当时，，而， 所以，． （2）由于， 当时，，则； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 52．已知：集合，． (1)若，求，，； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 解：（1）当时，，而， 所以或，，. （2）因为，所以，故，解得， 所以实数的取值范围为． （3）当时，，解得，满足，故； 当时，由，得或，解得或， 所以实数的取值范围为． 53．已知集合，集合，集合 (1)写出的真子集及其非空真子集； (2)若，求的值． (3)若，求的取值所构成的集合． 解：（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． 非空真子集：， （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或． （3）因为，所以， 当时，，此时，符合题意， 当为单元素集合时，，即， 此时方程的根为， 即或，不符合题意； 当为双元素集合时，由韦达定理可得，即， 代入检验，符合题意， 综上：的取值所构成的集合为. 考点06 已知命题真假求参 54．已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意求出的取值范围，判断选项 【详解】由题意得，，解得，故选：D 55．（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或，故当，，时符合条件.故选：ABD. 56．已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是________________． 【答案】 【分析】设分别表示的集合为，求出集合，则由题意可得，从而可求出实数的取值范围. 【详解】设分别表示的集合为，由，得，则，因为，且“若p，则q”为真命题，所以，解得，即实数的取值范围是.故答案为： 57．设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 解：（1）若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 58．已知命题；命题，方程有两个不相等的正实数根． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围． 解：（1）根据为假命题，可得是真命题. 所以，解得， 所以实数的取值范围； （2）若是真命题，设方程有两个不相等的正实数根，， 所以，，，解得， 若为真命题且为假命题，则， 解得或； 若为真命题且为假命题，则，此时无解； 综上，实数的取值范围是或． 59．已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 解：（1）由题设两根为，则判别式或. 关于的方程在有两个不相等的实数根， 则，由韦达定理：. 则，结合或，可得实数的取值范围为：； （2）即方程无解. 当时，方程显然无解，满足题意； 当时，判别式. 综上可得，实数的取值范围为； （3）由（1）（2）分析，若命题为假，实数的取值范围为； 若命题q假，实数的取值范围为或. 命题与命题恰有一个为真，则真假或假真. 若真假，则； 若假真，则. 综上，实数的取值范围为：或. 考点07 充分条件、必要条件、充要条件（含求参） 60．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得，解得或.由，可得.所以“”是“”的必要不充分条件. 61．“，”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，，则，即充分性成立；若，例如，满足条件，但，不成立，即必要性不成立；综上所述：“，”是“”的充分不必要条件. 62．若是实数，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】等价于或.，必要性成立；推不出，例如，满足，不满足，故充分性不成立.故“”是“”的必要不充分条件 63．若则“”是“”的 （ ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．无法判断 【答案】A 【详解】若，则，所以“”能推出“”，充分性成立；若，则或，不一定有，所以“”不能由“”推出，必要性不成立；因此，“”是“”的充分条件. 64．对任意实数，给出下列命题，其中真命题是（ ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“ ”的充要条件 【答案】D 【详解】当，时，满足，但，所以由“”推不出“”，则“”不是“”的充分条件，故错误；若“”，则一定有“”，所以“”是“”的必要条件，故错误；当，，时，满足，但，所以“”不是“”的充要条件，故错误； ，所以“”是“ ”的充要条件，故正确． 65．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】由充分性可知，条件能推出，等价于区间包含于，即且．两区间的长度分别为和1，不可能相等，故上述包含关系成立时，不能反推出，满足不必要性．因此实数的取值范围为． 66．下列选项中，是的必要不充分条件的是（     ） A．p： B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q：且 【答案】D 【分析】根据必要不充分条件对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A.当时，成立；当时，或，所以是的充分不必要条件，故A错误.对于选项B.当时，，故；当时，，故，所以是的充要条件，故B错误.对于选项C.当时，（当且仅当时等号成立），因此成立，故；当时，所以可能，故，所以是的充分不必要条件，故C错误.对于选项D.当时，不能得到且，如，，，时不成立，故；当且时，根据不等式的性质，可知，故，所以是的必要不充分条件，故D正确. 67．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解命题为真的充要条件，再根据充分不必要条件对应集合是充要条件对应集合的真子集筛选选项. 【详解】 命题“”为真，等价于对所有恒成立. 当时，的取值范围为，最大值为4，因此命题为真的充要条件是.若某个条件是该命题为真的充分不必要条件，则这个条件对应的的取值集合是集合的真子集：A选项：是命题为真的充要条件，不符合要求；B选项：对应的集合是的真子集，满足“时命题必为真，命题为真时不一定有”，是充分不必要条件，符合要求；C选项：时例如命题为假，无法推出命题为真，不是充分条件；D选项：时例如命题为假，无法推出命题为真，不是充分条件. 68．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得集合是集合的真子集，则或，解得，所以实数的取值范围是. 69．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】先解绝对值不等式得到集合，把充分不必要条件转化为集合是的真子集，列出区间端点满足的不等式组求解参数范围． 【详解】由，得，设集合，，由题意可知，集合是集合的真子集，所以，解得，故实数的取值范围为． 70．已知，． (1)若是的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 解：（1）由，可知， 因为p是q的充分不必要条件，所以，解得， 即a的取值范围是． （2）当，即时，，满足题意， 当，即时，或， 因为是p的必要不充分条件，所以或， 解得或， 综上，a的取值范围是得或． 71．已知集合 ． (1)当时，求和； (2)若，求实数m的取值范围． (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 解：（1）由，且二次函数图象开口向上，得，所以． 当时，，因此． 全集为，故，从而． （2）当，即时，，必有． 当，即时，． 要使，需且只需且，即． 与合并得． 综上，实数的取值范围为． （3）“”是“”的充分不必要条件，等价于⫋，即且． 由（2）知，当且仅当． 当时，，不满足真子集关系． 当时，若，则不含，所以； 若，则，同样有． 因此，实数的取值范围为． 考点08 全称量词命题与存在量词命题 72．已知命题，，则为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题意得：为，. 73．“所有正数都有平方根”的否定为（     ） A．所有正数都没有平方根 B．所有非正数都没有平方根 C．至少有一个正数没有平方根 D．至少有一个非正数没有平方根 【答案】C 【详解】“所有正数都有平方根”的否定为“至少有一个正数没有平方根”． 74．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，当时，可得，故，故A正确；对于B，因为，所以不存在，故B错误；对于C，当时，可得，故C错误；对于D，当时，可得，故D错误. 75．若至少存在一个，使得成立，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，故实数的取值集合是 76．（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（   ） A．有些菱形是正方形 B．，则 C．梯形有两边平行 D．， 【答案】AD 【分析】根据特称命题的定义，逐项进行检验，可得答案. 【详解】对于A，命题等价于存在一个菱形是正方形，显然正方形都满足该条件，故A符合题意； 对于B，这是全称命题，故B不符合题意； 对于C，梯形有两边平行是全称命题，C不符合题意； 对于D，当时，成立，故D符合题意. 77．（多选）下列说法正确的是（    ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“，”是真命题 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】根据命题真假判断、全称命题真假判定、充分必要条件的推导，需结合不等式性质逐一分析选项可得. 【详解】选项A：若，正数的平方恒为正，故一定成立，该命题是真命题，A正确；选项B：对任意实数，都有，因此恒成立，该全称命题是真命题，B正确；选项C：解不等式，得或，故无法推出，但可以推出，因此“”是“”的必要不充分条件，C错误；选项D：若且，根据正数同向不等式的可乘性，可得，充分性成立；若，例如，满足但不满足，必要性不成立，因此“且”是“”的充分不必要条件，D正确. 78．已知命题：，关于的一元二次方程有实数根．若命题为假命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由存在命题为假命题，得出否定命题为真命题，再利用一元二次方程无实根时即可求解. 【详解】因为命题：，方程有实数根，由命题为假命题，则其否定为真， 即，方程没有实数根，所以，解得：. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $