2026-2027学年高一上学期数学期中模拟卷拔高版2

2026~2027学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知命题：∈[]，；命题：，．若，中恰有一个为真命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 设，，则“且”是“且”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 已知关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A. [] B. ]∪[ C. []∪[] D. 5. 已知，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（　　） A. B. [] C. ] D. [ 7. 已知是定义在上的偶函数，且在[上单调递增，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间[]上的值域为[]，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则（　　） A. B. 在上单调递增 C. 不等式的解集为 D. 10. 关于函数||，下列说法正确的是（　　） A. 是奇函数 B. 的单调递增区间为[]和[ C. 的最小值为 D. 方程有三个不同的实根 11. 关于函数（），下列说法正确的是（　　） A. 当时，在[]上的值域为[] B. 若在[]上单调，则或 C. 若在[]上的最小值为，则 D. 若对任意∈[]恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合至多有一个元素，则实数的取值集合为____________． 13. 计算：＝____________． 14. 已知，，且，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，，用，表示． 16. 已知集合，，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 17. 已知关于的不等式，． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对任意∈[]恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）用定义证明在]上单调递减； （3）若不等式对任意∈[]恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数，． （1）若在[]上的最小值为，求的值； （2）若存在∈[]，使，求的取值范围； （3）若对任意，∈[]，都有与之差的绝对值不超过，求的取值范围． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】即，注意区间型集合可能为空集，需分类讨论． 【详解】由得=[]． ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，=[]≠， 要使，只需且，解得． 综上，的取值范围是或． （当时，，而，故不符合题意．） 故选：C． 2. 已知命题：∈[]，；命题：，．若，中恰有一个为真命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，为真的等价条件，再按“一真一假”分类，注意端点的情形． 【详解】若为真，则对任意∈[]成立，所以； 若为真，则，即． ①若真假，则且，所以； ②若假真，则且，所以． 综上，或，即． 故选：B． 3. 设，，则“且”是“且”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由可知，同号，再结合确定符号，双向验证． 【详解】若且，则显然且，必要性成立； 若且，则，同号， 若且，则，与矛盾，所以且，充分性成立． 故“且”是“且”的充要条件． 故选：D． 4. 已知关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A. [] B. ]∪[ C. []∪[] D. 【答案】A 【解析】 【分析】先因式分解求出解集，再按两根大小分类，逐一数出解集中的整数个数，注意端点的开闭． 【详解】原不等式可化为． ①当时，解集为，其中的整数为， 要使恰有个整数，需，即]； ②当时，解集为，不符合题意； ③当时，解集为，其中的整数为， 要使恰有个整数，需，即∈[． 综上，∈[]． 故选：A． 5. 已知，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】展开后把式子统一用表示，再换元，利用函数的单调性求最小值． 【详解】． 因为，所以， 所以原式=． 令，由，，得， 函数在]上单调递减，所以， 故原式的最小值为． 故选：C． 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（　　） A. B. [] C. ] D. [ 【答案】D 【解析】 【分析】先由奇偶性画出（或写出）在上的解析式，再把“零点个数”转化为直线与图象交点个数． 【详解】当时，，，由得． 于是 当时，，在[]上递减、在[上递增，最小值为； 当时，，在]上递增、在[上递减，最大值为． 函数有三个零点，即直线与的图象有三个公共点． 当时，的解为，，，共个； 当时，时有一个解（），时有两个解（方程的两根均小于），共个； 当时，时只有一个解，时有一个解，共个；当时交点也不足个． 所以的取值范围是[． 故选：D． 7. 已知是定义在上的偶函数，且在[上单调递增，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数把化为，再比较、、的大小． 【详解】因为是偶函数，所以． 因为，所以；又（因为）， 所以． 又在[上单调递增，所以， 即． 故选：B． 8. 已知函数在区间[]上的值域为[]，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】按对称轴与区间的位置关系分类，分别求出值域并与[]对照． 【详解】，图象开口向上，对称轴为直线． ①当时，在[]上单调递增，值域为[]， 由得，此时，符合题意； ②当时，，得，与矛盾； ③当时，在[]上单调递减，值域为[]， 由得，与矛盾． 综上，． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则（　　） A. B. 在上单调递增 C. 不等式的解集为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇函数的对称性判断单调性与函数值的符号，注意处函数值为． 【详解】对于A，奇函数的定义域为，故，A正确； 对于B，奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，故在上也单调递增，B正确； 对于C，．当时，由单调递增知时，时； 当时，由单调递增知时，时， 所以的解集为，C正确； 对于D，因为在上单调递增，且，所以，D错误． 故选：ABC． 10. 关于函数||，下列说法正确的是（　　） A. 是奇函数 B. 的单调递增区间为[]和[ C. 的最小值为 D. 方程有三个不同的实根 【答案】BC 【解析】 【分析】先去绝对值化为分段函数，再结合图象判断奇偶性、单调区间、最值与零点个数． 【详解】对于A，||||，所以是偶函数，A错误； 对于B，当时，，在[]上递减、在[上递增； 由偶函数的对称性，当时，在]上递减、在[]上递增， 所以单调递增区间为[]和[，B正确； 对于C，由上述单调性知，C正确； 对于D，由||得||||+，所以||=，即，只有两个实根，D错误． 故选：BC． 11. 关于函数（），下列说法正确的是（　　） A. 当时，在[]上的值域为[] B. 若在[]上单调，则或 C. 若在[]上的最小值为，则 D. 若对任意∈[]恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】二次函数的单调性、最值都与对称轴位置有关，逐项分类讨论并检验端点． 【详解】对于A，当时，，在[]上递减、在[]上递增， 最小值为，最大值为，值域为[]，A正确； 对于B，对称轴为直线，要使在[]上单调，需或，B正确； 对于C，当时，最小值为，得； 当时，最小值为，即，解得，均不在[]内； 当时，最小值为，得， 所以或，C错误； 对于D，当时，得；当时，恒成立； 当时，得．综上，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合至多有一个元素，则实数的取值集合为____________． 【答案】∪[ 【解析】 【分析】按与讨论，时“至多一个元素”即判别式不大于零． 【详解】当时，方程化为，只有一个解，符合题意； 当时，方程至多有一个实根，只需，解得． 所以的取值集合为∪[． 13. 计算：＝____________． 【答案】 【解析】 【分析】用换底公式统一底数，再借助对数恒等式计算第二项． 【详解】，， 所以； 又， 所以原式＝． 14. 已知，，且，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设，用基本不等式把用控制，得到关于的一元二次不等式． 【详解】因为，，所以，即． 令，由得， 所以，整理得，解得或（舍去）． 当且仅当，即，时，且满足， 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）（1）计算：； （2）已知，，用，表示． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）注意零指数幂的底数不为零，底数为的对数用换底公式；（2）用换底公式把所求对数化为以为底的对数． 【详解】（1）；因为，所以； ， 所以原式＝． （2）由换底公式得， 又，，， 所以． 【点睛】换底时统一选择“已知对数的底”最为方便；本题选择以为底，可使分子、分母都直接由，表示． 16. （15分）已知集合，，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或或． 【解析】 【分析】先把两个集合化为区间，注意的端点含参数，需按的符号讨论两根的大小． 【详解】由得，所以=[]； 由得． （1）当时，，所以． （2）①当时，，符合题意； ②当时，，要使，需且，即； ③当时，，要使，需且，即． 综上，． （3）①当时，，，符合题意； ②当时，，要使，需或（不可能），所以； ③当时，，要使，需或（不可能），所以． 综上，或或． 【点睛】本题的端点都含参数，必须先比较与的大小才能写出区间；同时不要遗漏（即）这一情形． 17. （15分）已知关于的不等式，． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对任意∈[]恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）]∪[；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（2）因式分解为，按二次项系数的符号与两根的大小分类；（3）把端点代入转化为一次不等式组． 【详解】（1）当时，不等式为，即， 解得或，解集为]∪[． （2）原不等式可化为． ①当时，不等式为，解集为]； ②当时，不等式化为，因为， 所以解集为]∪[； ③当时，不等式化为， 若，则，解集为[]； 若，则，解集为； 若，则，解集为[]． （3）原不等式即． 当∈[]时，，所以不等式等价于，即． ①当时，由得，恒成立； ②当时，由得，要使它对任意∈[]成立，需， 结合解得． 综上，的取值范围是[． 【点睛】第（3）问用因式分解把“二次式恒非负”转化为“一次式恒非正”，再按的符号讨论，比直接代入端点更严密． 18. （17分）已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）用定义证明在]上单调递减； （3）若不等式对任意∈[]恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）先看定义域是否关于原点对称；（2）作差后化为与的乘积；（3）先判断在[]上的单调性，再求最小值． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是奇函数． （2）证明：任取，]，且， 则． 因为，所以，，即，， 所以，即， 故在]上单调递减． （3）由（2）同理可证在[上单调递增， 所以在[]上递减、在[]上递增， 故． 要使对任意∈[]恒成立，只需， 所以的取值范围是]． 【点睛】本题第（3）问体现了“先单调、后最值、再恒成立”的通用路径：恒成立，而最小值依赖于对单调区间的准确划分． 19. （17分）已知函数，． （1）若在[]上的最小值为，求的值； （2）若存在∈[]，使，求的取值范围； （3）若对任意，∈[]，都有与之差的绝对值不超过，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）（2）都归结为求[]上的最小值，按对称轴位置分类；（3）||的最大值即区间上最大值与最小值之差． 【详解】，图象开口向上，对称轴为直线． （1）①当时，，得，与矛盾； ②当时，，得，故； ③当时，，得，与矛盾． 综上，． （2）存在∈[]使，等价于． ①当时，，得，矛盾； ②当时，，得，故； ③当时，，得，故． 综上，． （3）“与之差的绝对值不超过”对任意，∈[]恒成立，等价于， 其中，分别为在[]上的最大值与最小值． ①当时，在[]上递增，，得，故； ②当时，，， ，得，故； ③当时，，， ，得，故； ④当时，在[]上递减，，得，故． 综上，的取值范围是[]． 【点睛】第（3）问把“任意两函数值之差不超过”转化为“最大值与最小值之差不超过”，这是处理双变量绝对值不等式的常用转化；分类的关键仍是对称轴与区间的相对位置． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $