5.4一元一次方程的解法（分层作业，14大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 5.4 一元一次方程的解法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用移项或合并同类项解一元一次方程 题型02 利用去括号或去分母解一元一次方程 题型03 选用合适的方法解一元一次方程 B组 能力进阶 题型01 一元一次方程的错解问题 题型02 一元一次方程的同解问题 题型03 由两个一元一次方程的解之间的关系求求字母的值 题型04 已知一元一次方程的解，求参数 题型05 整体代入法求一元一次方程的解 题型06 与方程的解结合求值 C组 思维拔高 题型01 一元一次方程的整数解问题 题型02 由一元一次方程有解无解情况求字母的值 题型03 解含绝对值的一元一次方程 题型04 与解一元一次方程有关的新定义问题 题型05 利用平方根解方程 利用移项或合并同类项解一元一次方程题型01 1．（24-25七年级上·河北邢台·期末）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，直接移项，得出方程的解即可． 【详解】解：， 移项得：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东·学情诊断）如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，同类项的定义，根据同类项的定义可得，，算出的值，然后代入方程可得关于的一元一次方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴关于x的方程为：， ∴， 故选：C． 3．若代数式2x﹣1与x+2的值相等，则x＝_____． 【答案】3 【分析】由已知可得：2x﹣1=x+2，解方程即可. 【详解】因为代数式2x﹣1与x+2的值相等 所以2x﹣1=x+2 解得：x=3 故答案为3 【点睛】熟练解一元一次方程. 4．如图，是一个的幻方，当空格中填上适当的数后，下列每行每列以及每条对角线上的和都相等，则______. 【答案】231 【分析】设出第一行和第二行的未知数，然后根据每行每列以及每条对角线上的和都相等，列出等式，再根据等量代换的方法求解． 【详解】解：设第一行第一列的数为a，第一行第三列的数为b，第二行第一列的数为c，中间数为d，如下： 根据每行、每列以及每条对角线的数字的和都相等可得： ①， ②， ①+②得： ， 去括号得： ， 即 ， ∴， ∴． 故答案为：231． 【点睛】本题考查了幻方，根据每行每列以及每条对角线上的和都相等列式是解题的关键． 5．（25-26七年级上·北京·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据移项、合并同类项、化系数为1的运算顺序解方程即可． 【详解】解：移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得． 利用去括号或去分母解一元一次方程题型02 1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）在解方程时，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号法则，去括号后，进行判断即可． 【详解】解：， 去括号，得：； 故选D． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴两边同乘6得： ， 即， 故选：C． 3．方程2x+5＝3（x﹣1）的解为_____． 【答案】 【分析】根据题意先去括号，然后移项合并，最后化系数为1即可求解. 【详解】解：2x+5＝3（x﹣1） 去括号： 移项合并： 化系数为1：. 故答案为：. 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键. 4．（25-26七年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解即可． 【详解】解： ． 5．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法．熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 利用去括号，移项法解方程即可． 【详解】解：， ， 解得． 选用合适的方法解一元一次方程题型03 1．解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求解四个选项中的一元一次方程，即可得出答案． 【详解】解：A、解方程，得，故选项A不符合题意； B、解方程，得，故选项B不符合题意； C、去括号，得，移项、合并同类项，得即，故选项C不符合题意； D、去括号，得，移项、合并同类项，得，得，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解答此题的关键． 2．（24-25七年级上·天津·期末）下列方程变形正确的是（   ） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得： D．方程，去分母，得 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握等式基本性质是解题的关键． 根据解方程的步骤和方法逐项判断即可． 【详解】解：A．系数化为1，得，原变形错误，故该选项不符合题意； B．，移项，得，原变形正确，故该选项符合题意； C．，去括号，得：，原变形错误，故该选项不符合题意； D．，去分母，得，原变形错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知关于的一个方程是一元一次方程，则该方程的解_____． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义(未知数的次数为1且一次项系数不为，解答思路是先根据一元一次方程的定义求出参数的值，再将代入原方程求解． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴，且． 由，得，即或； 由，得，故． 将代入原方程，得，即． 解方程，得； 故答案为：． 4．解方程∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解方程，掌握去分母，移项，合并同类项，系数化为1的方法是关键． （1）移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 5．（25-26七年级上·山西晋中·期中）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数a，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数． (1)若“●”表示3，输入数为，求计算结果； (2)若“●”表示的数为最大的负整数，当计算结果为2时，求输入的数a的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，程序框图中的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解程序框图的计算顺序． （1）将“●”表示3代入程序框图中的运算程序进行计算即可； （2）先确定“●”表示的数为，再由题意得方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：由题意得：“●”表示的数为 ， 解得：． 一元一次方程的错解问题题型01 1．下列解方程的过程中，错误开始于（    ） A．去分母，得 B．移项，得 C．合并同类项，得 D．系数化为1，得 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤；按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可得解． 【详解】解：去分母，得，即， 所以错误开始于选项， 故选：． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解看错系数后代入解满足方程是解题关键． 设同学看错的系数为，将代入看错的方程，求解． 【详解】解：设同学看错的系数为， ∵ 同学看错系数后解得， ∴ 将 代入方程 得： ∴ ∴ 故他把“□”处的系数看成了 6． 故选：C． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·月考）小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（   ） A．第5个 B．第8个 C．第10个 D．第12个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键． 先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定写出的运算符号是第8个． 【详解】解： ， 运算结果比小， “”错写成“”， 设写错符号的数是， ， 解得， 写错的运算符号是第8个， 故选：． 4．方程，▲处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么▲处的数字是_____. 【答案】4 【分析】把x=2代入原方程即可解出▲的值． 【详解】把x=2代入原方程得， 解得：▲处为4． 故答案为：4 【点睛】此题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程． 5．（25-26七年级·江苏苏州·月考）小马虎同学解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，试求的值并求方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法． 根据题意可知是方程的解即可求出a的值，再代入原方程解方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵由根据题意可得是方程的解， ∴， 化简，得：， 解得， ∴原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， ∴原方程正确的解为． 一元一次方程的同解问题题型02 1．（25-26上·上海·期末）以下方程中，与方程的解相同的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是关键，先解出的解，然后对选项逐一求解，验证即可． 【详解】解：， ， ， ． A．， ， ， ， ，故不符合题意； B．， ，故不符合题意； C．， ， ， ， ，故不符合题意； D． ， ， ， ，故符合题意； 故选D． 2．（25-26七年级上·期末）如果方程和关于x的一元一次方程的解相同，那么a的值为________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．先解方程 得到的值，由于两个方程的解相同，将该值代入方程求解 【详解】解：解方程， 得 ， 将代入方程， 得， 解得． 故答案为：． 3．如果关于的方程与的解相同，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，绝对值，把第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键． 先解第一个方程求出x的值，再将x代入第二个方程求解，进而得到的值． 【详解】解：解方程， 两边同乘6得， 解得：． 将代入，得， 即， 解得：， 所以：． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先解方程求出，然后把求出的方程的解代入，再解关于的方程求出即可． 【详解】解：对方程， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得； 把代入，得， 解得：． 5．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值． 【答案】(1)是 (2) (3)，或 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据定义进行判断即可； （2）先解方程得到，再根据同解方程的定义得到方程的解为，则，解方程即可； （3）分别求出方程与的解，再根据这两个方程是同解方程得到，再根据m，n都是正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程与方程是同解方程； （2）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程是同解方程， ∴方程的解为， ∴， ∴； （3）解：解方程得：， 解方程得：； ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， ∴， ∵m，n都是正整数， ∴是正整数， ∴或， 当时，； 当时，． 由两个一元一次方程的解之间的关系求求字母的值题型03 1．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期末）已知关于x的方程的解和方程的解互为相反数，则a的值是（   ） A．6 B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出第二个方程的解，根据相反数关系得到第一个方程的解，代入第一个方程求解即可． 【详解】解：∵ 方程 的解为 ， ∴ 方程 的解为 ， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 2．（25-26七年级上·河北张家口·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 【答案】## 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程成为解答本题的关键．先分别求得两方程的解，然后根据解的关系列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：解方程 得； 解方程 得． 由题意，，即， 解得． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·月考）关于的方程的解比关于的方程）的解大，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．通过解关于的方程、，分别求得它们的解，然后依题意列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解方程的解是：； 方程的解是：， 依题意，得， 解得，． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·河南许昌·月考）方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值． 【答案】 【分析】题目主要考查解一元一次方程及倒数的定义，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题关键． 根据题意得出的解为，然后求出倒数代入求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得． ∵的倒数是， ∴将代入方程， ∴， 解得． 5．如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)这两个方程不是“和解方程”；理由如下： 解第一个方程， ， ， 解第二个方程， ， 解得：， ， 这两个方程不是“和解方程”． (2) 【分析】（1）分别解出这两个方程的解，看它们的和是否为，即可得到答案； （2）先求出第一个方程的解，再解第二个关于的方程的解，把两个解相加让结果为，再解关于的方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：解第一个方程：， ， 解得：， 解第二个方程， ， ， 解得， 关于的方程与方程是“和解方程”， ， ． 已知一元一次方程的解，求参数题型04 1．（25-26七年级上·广东广州·期末）已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．4 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴，即， 解得， 故选：A． 2．若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解及解一元一次方程，使方程两边左右相等的未知数的值叫做方程的解；把代入得出关于的一元一次方程，解方程求出值即可得答案．熟练掌握方程的解的定义是解题关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得：． 故选：D． 3．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）已知是方程的解，则的值为______． 【答案】1 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得：， ∴， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 4．一列方程如下排列：的解是， 的解是， 的解是， … 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程：________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律是解此题的关键． 先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律得出答案即可． 【详解】解：∵一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； ∴一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …， 由此可得：解为的方程为： ， 即， 故答案为：． 5．已知． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）把m=4代入+m=my-m，即可求得y的值； （2）把y=4代入+m=my-m，即可求得m的值． 【详解】解：（1）把m=4代入+m=my-m，得+4=4y-4， 移项得：-4y= -4-4， 合并同类项得：-y=-8， 系数化1得：y=． （2）把y=4代入+m=my-m， 得：+m=4m-m， 解得：m=1． 整体代入法求一元一次方程的解题型05 1．（25-26七年级上·浙江·联考）若关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查换元法解一元一次方程，根据题意，易得中，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴中； ∴． 故选：C． 2．（25-26七年级·质检）若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的方程的解为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义和一元一次方程的解法．先将已知方程的解代入，得到与的关系式，再将该关系式代入所求方程，利用一元一次方程的性质求解的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 ∴把代入，得 ∴ 又∵所求方程为，即 ∴将代入，得 ∵原方程是一元一次方程， ∴ ∴两边同时除以，得 ∴ 故选：B． 3．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）当取不同值时对应的多项式的值如表所示，则关于的方程的解是______． 0 1 2 3 14 10 6 2 【答案】 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数，一元一次方程解的关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 通过观察表格数据，当时，多项式的值为，满足方程，从而确定方程的解． 【详解】解：由表格数据可知， 当时，， 代入方程， 得， 等式成立， 故方程的解为． 故答案为：． 4．方程：的解为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，通过将方程拆项移项转化为，即可求得方程的解． 【详解】解：原方程转化为， ， 即， ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则_________； (2)已知，，求代数式的值； (3)已知关于的方程的解为，求方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查代数式求值，整式的加减运算及换元法解一元一次方程，掌握整体代入法是解题的关键． （1）将整体代入即可； （2）将代数式化简为再将，的值代入计算即可； （3）由方程的解为，可得方程中即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，， ； （3）解：方程的解为， 方程中，， ． 与方程的解结合求值题型06 1．如果，那么的值是（    ） A．1 B． C． D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质、解一元一次方程、代数式求值等知识，正确求得的值是解题关键．根据非负数的性质求得的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 2．（2026·河南安阳·模拟）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（     ） A．14 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】先依据正方体展开图的特征确定互为相对的面，再结合“相对面上的数或代数式互为相反数”这一性质建立方程，通过解方程求出、的具体值，最后代入代数式计算出结果． 【详解】解：由正方体展开图的相对面规律，与相对，与相对，与相对． ∴，． 解得，； ∴． 3．已知是关于x的方程的解，则代数式的值是______． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程解的概念和一元一次方程的解法，结合已知条件求得的值是解题的关键． 把代入方程得出，求得的值，然后计算的值即可． 【详解】解：是关于x的方程的解， ， 则， 那么， 故答案为： 4．当的值为时，代数式的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的意义，根据绝对值的意义得出是解本题的关键；根据的值为时，得出的值，代入求值即可． 【详解】解： 即 ， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 5．（24-25七年级上·湖北黄冈·月考）已知关于x的方程与方程的解相同； (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，灵活求含参数的一元一次方程的解是解题的关键． （1）求出两个方程的解，根据解相同可得关于m的一元一次方程，即可求出m值； （2）将m的值代入求解即可． 【详解】（1）解：解第一个方程，得， 解第二个方程，得， ∵两个方程的解相同， ∴， 解得：； （2）解：当时， ． 一元一次方程的整数解问题题型01 1．已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先求的解，根据解的属性，解答即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：， 解得， 由方程的解为正整数， 故， 解得， 又a为正整数， 故a的最大值是13， 故选：A． 2．（25-26七年级·质检）在关于的一元一次方程中，是正整数．对下面两个说法判断正确的是（    ） 甲：当时，方程的解为； 乙：若方程有正整数解，则 A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的求解及正整数解的确定，关键是先将方程变形为用含的代数式表示，再分别对甲、乙的说法进行分析验证． （1）对于甲的说法，将代入的表达式计算，或代入原方程验证解的正确性； （2）对于乙的说法，根据为正整数且为正整数，确定的取值范围，再逐一代入验证，判断是否存在其他值使为正整数． 【详解】解：解方程，得． 验证甲的说法：当时，， 代入左边，右边， 左边=右边，故甲的说法正确； 验证乙的说法：∵方程有正整数解， ∴是正整数，且为正整数， ∴，解得， ∴的可能取值为1，2，3． 当时，，不是正整数； 当时，，是正整数； 当时，，不是正整数； 当时，，不是正整数； ∴只有时方程有正整数解，故乙的说法正确． 综上，甲、乙都正确， 故选：A． 3．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于的方程有正整数解，则满足条件的所有整数的值为______． 【答案】0或2 【分析】本题主要考查了根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，先解方程得到，根据原方程的解为正整数可推出是正整数，则或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则，故这种情况不存在， 当时，则， ∵关于的方程有正整数解， ∴是正整数， 又∵k为整数， ∴或， 解得或， 故答案为：0或2． 4．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值之和为______． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．先求出原方程的解为，根据原方程有正整数解可得，2 ，4，且，求出a的值，再求和即可． 掌握“方程有整数解，则分母必是分子的因数”是解题的关键． 【详解】 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， ∵原方程有正整数解， ，2 ，4，且， 解得，1，且， ∴数的所有可能的取值之和为． 故答案为：2 5．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 由一元一次方程有解无解情况求字母的值题型02 1．（24-25八年级下·上海·月考）若方程无解，则与需要同时满足以下哪个条件（    ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据方程无解，可知含的系数为，常数不为，据此求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当，时，方程有无数个解， 当，时，方程无解， 当时，方程有唯一解， 故选：B． 2．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先求出方程的解，然后代入另一个方程，利用恒成立条件求出和的值． 【详解】解：解方程得． ∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”， ∴对于所有有理数，方程的解均为． 将代入方程：， 化简得：， 两边同乘6：， 即：， 移项：， 整理：， ∵该式对任意有理数恒成立， ∴且， 解得：，， ∴． 故选：B． 3．（24-25上·上海·月考）已知关于的方程无解，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 方程整理后，由方程无解得到x前的系数为0即可得到关于的方程，求出a的值即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．若关于x的方程有无数个解，则的值为____． 【答案】3 【分析】本题考查一元一次方程的解、等式的性质，根据方程有无数个解的条件是化简后x的系数和常数项均为0求解即可． 【详解】解：将方程两边同乘6得：， 移项整理得：， ∵方程有无数个解， ∴令x的系数和常数项均为0，得，， 解得：，， 故． 故答案为：3． 5．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 【答案】． 【分析】本题考查了方程的解，根据方程的解的定义，把代入，得到，由于方程的解与的取值无关，得到且，求解即可， 掌握方程的解是解题的关键． 【详解】解：把代入得： ， 整理得：， ∵方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：． 解含绝对值的一元一次方程题型03 1．（2026·山东青岛·二模）绝对值等于6的数是（     ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义即可求出满足条件的数． 【详解】设绝对值等于6的数为x， 根据绝对值的定义可得：， ∵绝对值等于正数的数有两个，且两个数互为相反数， ∴． 2．（25-26七年级上·广东惠州·月考）点在数轴上，点所对应的数用表示，且点到原点的距离等于3，则的值为（    ） A．或1 B．或2 C．或1 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查数轴，绝对值方程。根据点到原点的距离等于3，可列出绝对值方程，解方程即可． 【详解】解：点A到原点的距离等于3， ∴ 或， 解得或， 故选：A． 3．关于的方程的解是______． 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程．分，和时三种情况讨论，分别列得方程，再解方程可得． 【详解】解：当时， ，解得； 当时, ，此方程无解； 当时, ，解得； 故答案为：或． 4．知识回顾： 若，则，所以若已知非零有理数的绝对值，则有两个值，一个正数，一个负数． 阅读材料： 解方程． 解：当为正数时，，解得； 当为负数时，，解得． 所以原方程的解是或． 解决问题： (1)解方程：； (2)若方程的解也是方程的解，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的求解，把含绝对值的一元一次方程化为不含绝对值的一元一次方程是解题关键． （1）根据绝对值的意义把原方程化为两个一元一次方程即可得解； （2）先求得的值然后代入，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 或， 或； （2）解：， 或， 或， 当时，，， 当时，，， 或． 5．已知关于x的方程有4个不同的解，则的值为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，解决本题的关键是正确理解绝对值的意义并根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把方程转化为一般形式的方程．首先去绝对值符号得到，进而得到或，由关于x的方程有4个不同的解，得到，求出，再整体代入化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∵关于x的方程有4个不同的解， ∴且， ∴， ∴． 与解一元一次方程有关的新定义问题题型04 1．定义运算a★b=,如1★3=||=2.若a=2，且a★b=3,则b的值为（    ）. A．7 B．1 C．1或7 D．3或-3 【答案】C 【分析】根据新定义的运算，将a的值代入，再做绝对值运算即可. 【详解】由新定义的运算得： 再将代入得：，即 由绝对值的定义得：或 解得：或 故选：C. 【点睛】本题考查了绝对值运算，理解新定义的运算是解题关键. 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义新运算“”如下：；若，则______． 【答案】3 【分析】本题考查定义新运算，解一元一次方程，根据题意，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：3． 3．新定义如下：， ； 例如：， ；根据上述知识， 若， 则x的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，求代数式的值，化简绝对值，绝对值方程，正确理解新定义是解题的关键．根据得出含绝对值的方程，解方程可得答案． 【详解】解：由题可得：， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·月考）定义：如果两个方程的解相差，为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“通甫方程”，例如：方程是方程的“通甫方程”． (1)若方程是方程的“通甫方程”，则　　　　　； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“通甫方程”，求的值； (3)当时，如果关于x方程是方程的“通甫方程”，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值， 掌握“通甫方程”的定义是解题的关键． （1）先分别解出两个一元一次方程，然后用较大的方程解减去较小的方程解即可得出答案． （2）先分别解出两个一元一次方程，再根据“通甫方程”的定义列出关于a的一元一次方程求解即可． （3）先分别解出两个一元一次方程，再根据“通甫方程”的定义得出，然后再代入代数式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∴ （2）解：，解得： ，解得：， 根据题意可知：， 解得：． （3）解：，解得：， ，解得：， 根据题意可知：， 整理得：． ∴ 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3)2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是8 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 利用平方根解方程题型05 1．按照如图所示的计算程序，若输入，经过第二轮程序计算之后，输出的值为，则输入的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得每轮程序计算后所得结果是非正数，设第一轮程序计算后结果为a，即可求出a的值，从而求出结论． 【详解】解：∵ ∴，即每轮程序计算后所得结果是非正数 设第一轮程序计算后结果为a 由题意可得 解得：或（不符合已得结论，故舍去） ∴，且符合小于 则输入的应满足 解得： 故选A． 【点睛】此题考查的是解含平方的方程的应用，掌握程序框中的运算顺序是解题关键． 2．（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）已知，则的值等于______． 【答案】4或 【分析】本题考查了平方根，运用平方根的性质进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：4或． 3．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据得，计算9的平方根即可． （2）根据得，计算的平方根即可． 本题考查了平方根应用，熟练掌握平方根是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴或． 4．（24-25七年级下·吉林·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求、的值； (2)直接写出的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根、一元一次方程，熟练掌握立方根、算术平方根、平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是3， ，， 解得：，． （2）解：， ， 的平方根是． 5．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.4 一元一次方程的解法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用移项或合并同类项解一元一次方程 题型02 利用去括号或去分母解一元一次方程 题型03 选用合适的方法解一元一次方程 B组 能力进阶 题型01 一元一次方程的错解问题 题型02 一元一次方程的同解问题 题型03 由两个一元一次方程的解之间的关系求求字母的值 题型04 已知一元一次方程的解，求参数 题型05 整体代入法求一元一次方程的解 题型06 与方程的解结合求值 C组 思维拔高 题型01 一元一次方程的整数解问题 题型02 由一元一次方程有解无解情况求字母的值 题型03 解含绝对值的一元一次方程 题型04 与解一元一次方程有关的新定义问题 题型05 利用平方根解方程 利用移项或合并同类项解一元一次方程题型01 1．（24-25七年级上·河北邢台·期末）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东·学情诊断）如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．若代数式2x﹣1与x+2的值相等，则x＝_____． 4．如图，是一个的幻方，当空格中填上适当的数后，下列每行每列以及每条对角线上的和都相等，则______. 5．（25-26七年级上·北京·期中）解方程：． 利用去括号或去分母解一元一次方程题型02 1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）在解方程时，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 3．方程2x+5＝3（x﹣1）的解为_____． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期中）解方程：． 5．解方程：． 选用合适的方法解一元一次方程题型03 1．解为的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·天津·期末）下列方程变形正确的是（   ） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得： D．方程，去分母，得 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知关于的一个方程是一元一次方程，则该方程的解_____． 4．解方程∶ (1)； (2)． 5．（25-26七年级上·山西晋中·期中）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数a，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数． (1)若“●”表示3，输入数为，求计算结果； (2)若“●”表示的数为最大的负整数，当计算结果为2时，求输入的数a的值． 一元一次方程的错解问题题型01 1．下列解方程的过程中，错误开始于（    ） A．去分母，得 B．移项，得 C．合并同类项，得 D．系数化为1，得 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·月考）小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（   ） A．第5个 B．第8个 C．第10个 D．第12个 4．方程，▲处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么▲处的数字是_____. 5．（25-26七年级·江苏苏州·月考）小马虎同学解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，试求的值并求方程正确的解． 一元一次方程的同解问题题型02 1．（25-26上·上海·期末）以下方程中，与方程的解相同的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·期末）如果方程和关于x的一元一次方程的解相同，那么a的值为________． 3．如果关于的方程与的解相同，那么的值是___________． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 5．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值． 由两个一元一次方程的解之间的关系求求字母的值题型03 1．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期末）已知关于x的方程的解和方程的解互为相反数，则a的值是（   ） A．6 B． C． D．12 2．（25-26七年级上·河北张家口·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·月考）关于的方程的解比关于的方程）的解大，则的值为______． 4．（25-26七年级上·河南许昌·月考）方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值． 5．如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 已知一元一次方程的解，求参数题型04 1．（25-26七年级上·广东广州·期末）已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．4 B． C．10 D． 2．若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）已知是方程的解，则的值为______． 4．一列方程如下排列：的解是， 的解是， 的解是， … 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程：________． 5．已知． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值． 整体代入法求一元一次方程的解题型05 1．（25-26七年级上·浙江·联考）若关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级·质检）若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的方程的解为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）当取不同值时对应的多项式的值如表所示，则关于的方程的解是______． 0 1 2 3 14 10 6 2 4．方程：的解为 ___________． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则_________； (2)已知，，求代数式的值； (3)已知关于的方程的解为，求方程的解． 与方程的解结合求值题型06 1．如果，那么的值是（    ） A．1 B． C． D．2023 2．（2026·河南安阳·模拟）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（     ） A．14 B．8 C． D． 3．已知是关于x的方程的解，则代数式的值是______． 4．当的值为时，代数式的值是______． 5．（24-25七年级上·湖北黄冈·月考）已知关于x的方程与方程的解相同； (1)求m的值； (2)求代数式的值． 一元一次方程的整数解问题题型01 1．已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 2．（25-26七年级·质检）在关于的一元一次方程中，是正整数．对下面两个说法判断正确的是（    ） 甲：当时，方程的解为； 乙：若方程有正整数解，则 A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 3．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于的方程有正整数解，则满足条件的所有整数的值为______． 4．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值之和为______． 5．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 由一元一次方程有解无解情况求字母的值题型02 1．（24-25八年级下·上海·月考）若方程无解，则与需要同时满足以下哪个条件（    ） A．且 B．且 C． D．且 2．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 3．（24-25上·上海·月考）已知关于的方程无解，则的值为______． 4．若关于x的方程有无数个解，则的值为____． 5．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 解含绝对值的一元一次方程题型03 1．（2026·山东青岛·二模）绝对值等于6的数是（     ） A．6 B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东惠州·月考）点在数轴上，点所对应的数用表示，且点到原点的距离等于3，则的值为（    ） A．或1 B．或2 C．或1 D．或2 3．关于的方程的解是______． 4．知识回顾： 若，则，所以若已知非零有理数的绝对值，则有两个值，一个正数，一个负数． 阅读材料： 解方程． 解：当为正数时，，解得； 当为负数时，，解得． 所以原方程的解是或． 解决问题： (1)解方程：； (2)若方程的解也是方程的解，求的值． 5．已知关于x的方程有4个不同的解，则的值为多少？ 与解一元一次方程有关的新定义问题题型04 1．定义运算a★b=,如1★3=||=2.若a=2，且a★b=3,则b的值为（    ）. A．7 B．1 C．1或7 D．3或-3 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义新运算“”如下：；若，则______． 3．新定义如下：， ； 例如：， ；根据上述知识， 若， 则x的值为______． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·月考）定义：如果两个方程的解相差，为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“通甫方程”，例如：方程是方程的“通甫方程”． (1)若方程是方程的“通甫方程”，则　　　　　； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“通甫方程”，求的值； (3)当时，如果关于x方程是方程的“通甫方程”，求代数式的值． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 利用平方根解方程题型05 1．按照如图所示的计算程序，若输入，经过第二轮程序计算之后，输出的值为，则输入的的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）已知，则的值等于______． 3．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）解方程： (1) (2) 4．（24-25七年级下·吉林·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求、的值； (2)直接写出的平方根． 5．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $