突破02 绝对值的性质与几何意义（期中训练）2026-2027学年人教版七年级数学上册

突破02 绝对值的性质与几何意义 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 绝对值非负性的应用（常考点） 题型02 两个绝对值的和的最值（重点） 题型03 两个绝对值的差的最值 题型04 多个绝对值的和的最值（重点） 题型05 绝对值中最值问题的应用 题型06 已知范围的绝对值化简（重点） 题型07 未知范围的绝对值化简（重点） 题型08 绝对值化简的新定义问题（难点） 题型09 绝对值化简问题综合（难点） A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：绝对值几何意义 绝对值的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，拓展到两个数时，的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离。基于这一几何意义，可以探究出一类含绝对值代数式的最值规律： 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 【针对训练】 【典例1】我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【典例2】已知实数a，b满足，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】若数轴上的两点分别表示实数a，b，那么这两点之间的距离表示．例如，数轴上表示和2的两点之间的距离是．若数轴上一点表示x，则当代数式取最小值时，满足条件的整数x的值是 ． 【变式2】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 典例精析 题型一 绝对值非负性的应用 【典例1】已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求z的值． 题型二 两个绝对值的和的最值 【典例2】（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 题型三 两个绝对值的差的最值 【典例3】已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 题型四 多个绝对值的和的最值 【典例4】观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 题型五 绝对值中最值问题的应用 【典例5】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则两点之间的距离． (1)问题情境：已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为__________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为__________． (2)情境应用：如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则__________； ②的最小值为__________； (3)综合运用：在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为2． 题型六 已知范围的绝对值化简 【典例6】已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：； (3)化简：． 题型七 未知范围的绝对值化简 【典例7】阅读下列材料并解决有关问题，我们知道：用字母表示一个有理数，则用表示的相反数．一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数．用字母表示为：，当时，，当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，______． (2)已知，是有理数，当时，______． (3)已知，，是有理数，且时，求的值． 题型八 绝对值化简的新定义问题 【典例8】如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 题型九 绝对值化简问题综合 【典例9】材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 1．在、、0、、中，非负数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．在，，，，中，负数的个数有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列各数，，0.1，，0，，，中，负分数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列说法中，正确的是（    ）． A．的相反数就是a B．相反数等于它本身的数有无数个 C．有理数a一定比大 D．与互为相反数 5．下列说法：①0既可以表示正数，又可以表示负数；②若是有理数，则与必有一个是负数；③绝对值等于它本身的数是0和1；④与互为相反数；⑤整数包括正整数和负整数．其中正确说法的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如果，那么=_______． 7．当 ______ 时，式子 有最小值． 8．已知点在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是点_____． 9．已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，解答下列问题： (1)数a在数轴上对应的点到数1在数轴上对应的点的距离为______ (2)已知，则______． (3)求的最小值． 10．下列说法中正确的个数为（     ） ①若，则；        ②如果，则； ③若，则；    ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．定义数轴上分别表示,的两点间的距离．关于这个距离，下列结论： ①；②；③若，则； ④．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 12．下列说法中，①一定是负数；②一个有理数不是整数，就是分数；③任何一个有理数都能用数轴上的一个点来表示；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤0是绝对值最小的有理数；⑥如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是或0或1；正确的有（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 13．已知有理数，（均不等于），若，，，则，在数轴上对应的位置可能是（     ） A． B． C． D． 14．下列说法：①若，则x为负数；②若是负数，则a为正数；③没有绝对值为的数；④在数轴的负半轴上，离原点越远的点表示的数就越小．其中正确的有________．（填序号） 15．如图，点和点在数轴上表示的数分别是，，若的绝对值是的绝对值的倍，则的值为________． 16．代数式的最小值是4，则a的值是_______． 17．已知数，在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数，的正负性； (2)在数轴上标出，的相反数，的对应点的位置； (3)若表示与的点相隔2026个单位长度，则数是多少？ 18．已知一个两位数，交换十位数字和个位数字后得到新数，新数比原数大45，若关于x的方程的所有整数解分别为，，…，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．12 D．2 19．下列说法：①不带“”号的数都是正数；②若，那么；③单项式的次数为5；④是二次二项式；⑤若，则点是线段的中点．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 21．设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 22．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 23．定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是_____________ ①若，则；②；③若a，b异号，则或； ④对于任意有理数，总有； 24．已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 突破02 绝对值的性质与几何意义 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 绝对值非负性的应用（常考点） 题型02 两个绝对值的和的最值（重点） 题型03 两个绝对值的差的最值 题型04 多个绝对值的和的最值（重点） 题型05 绝对值中最值问题的应用 题型06 已知范围的绝对值化简（重点） 题型07 未知范围的绝对值化简（重点） 题型08 绝对值化简的新定义问题（难点） 题型09 绝对值化简问题综合（难点） A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：绝对值几何意义 绝对值的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，拓展到两个数时，的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离。基于这一几何意义，可以探究出一类含绝对值代数式的最值规律： 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 【针对训练】 【典例1】我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，由观察数轴可知表示的点在和之间（包括和），从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，表示的点在和之间（包括和）， 所以表示整数的点有，，，，，，， 则所有满足条件的整数有个， 故选：C． 【典例2】已知实数a，b满足，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，即，也就是，所以，因此选项A不符合题意； B．若，则，即，所以，因此选项B不符合题意； C．若，则，即，所以，因此选项C符合题意； D．若，则，即，所以，，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【变式1】若数轴上的两点分别表示实数a，b，那么这两点之间的距离表示．例如，数轴上表示和2的两点之间的距离是．若数轴上一点表示x，则当代数式取最小值时，满足条件的整数x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的性质、数轴上两点间距离的计算，针对能否翻译成数学的语言是解题的关键． 由代数式取最小值时可得，到与到的距离之和最小，那么只有在和之间的线段上时，才能取最小值，据此即可得到答案． 【详解】解：若代数式取最小值，由两点之间的距离表示可知，表示和x的两点之间的距离，表示1和的两点之间的距离，而要使取最小值，当且只当表示的点在和之间的线段上，所以． 故整数x可取：． 故答案为：． 【变式2】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是：， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：，． （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：． （3）解：有最小值， 根据绝对值的几何意义可知，表示：数轴上表示的点到表示与的点的距离之和， ∴当时，取最小值，最小值为， 答：有最小值，最小值为． 典例精析 题型一 绝对值非负性的应用 【典例1】已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求z的值． 【答案】(1)，； (2)6或 【分析】本题主要考查了非负数的性质−绝对值和解一元一次方程等知识点， （1）根据非负数的性质求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出，再结合（1）中的结果即可求出z的值； 熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵， 又∵，， ∴，， ∴，； （2）∵， ∴， 由（1）知，， ∴或， 即z的值为6或． 题型二 两个绝对值的和的最值 【典例2】（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 题型三 两个绝对值的差的最值 【典例3】已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 【答案】(1)填表见解析； (2)； (3)当，的值总是一个固定值，为； (4)的最大值为，当时，的值最小，最小值为3． 【分析】（1）用较大的数减较小的数或作差加绝对值即可； （2）根据数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值即可得到答案； （3）读懂表示到和的距离之和，该问需要进行分类讨论； （4）根据可表示为到表示和1的点的距离之差最大，根据表示到和的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 15 3.5 （2）解：到表示6和的点的距离之和为12的点所表示的整数在和之间的整数有；； （3）解：根据的几何意义是，到的距离之和， 如果值总是一个固定值，则， 这个固定值为：； （4）解：当时，， 当时，， 当时，， 故的最大值为； 根据可表示为到表示1和的点的距离之和，根据两点之间，线段最短， 即当时 得到的值最小为3． 【点睛】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值． 题型四 多个绝对值的和的最值 【典例4】观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 题型五 绝对值中最值问题的应用 【典例5】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则两点之间的距离． (1)问题情境：已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为__________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为__________． (2)情境应用：如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则__________； ②的最小值为__________； (3)综合运用：在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为2． 【答案】(1)①；②； (2)①6或10；②20 (3)或6 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，根据题意找到等量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）①根据点A表示的数和求解即可； ②根据题意得到点C在点A和点B中间，然后列式求解即可； （2）①根据题意得到表示的是有理数x到有理数8的距离为2，然后分x在8左边和x在8右边两种情况，然后分别列式求解即可； ②根据题意得到表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离，然后得出当有理数x在和8之间时，的值最小进而列式求解即可； （3）设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：①∵数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且 ∴数轴上点B表示的数为； ②∵数轴上有一点C到点A、点B的距离相等， ∴点C在点A和点B中间 ∵点A表示的数为8，点B表示的数为 ∴C表示的数为； （2）解：①表示的是有理数x到8的距离为2 ∴当x在8左边时，； 当x在8右边时，； ②表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离， ∴当有理数x在和8之间时，的值最小 ∴此的最小值为； （3）解：设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为 ∴ 整理得， ∴或 ∴或 ∴经过或6秒后P、Q两点之间的距离为2． 题型六 已知范围的绝对值化简 【典例6】已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)5 (3)0 【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义： （1）根据题意，得到互为相反数，进行求解即可； （2）根据绝对值的意义，结合点在数轴上的位置，进行化简求值即可； （3）根据绝对值的意义，结合点在数轴上的位置，判断出式子的符号，进行化简即可． 【详解】（1）解：由图和题意可知，互为相反数且不为0， ∴，； （2）由图可知：， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∴． 题型七 未知范围的绝对值化简 【典例7】阅读下列材料并解决有关问题，我们知道：用字母表示一个有理数，则用表示的相反数．一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数．用字母表示为：，当时，，当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，______． (2)已知，是有理数，当时，______． (3)已知，，是有理数，且时，求的值． 【答案】(1)0 (2)或0 (3)或 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的意义，确定当，时，的值是正确解答的关键． （1）确定a、b的符号，再根据绝对值的性质进行计算即可； （2）对a、b进行讨论，即a、b同正，a、b同负，a、b异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）对，，进行讨论，，，同正，，，同负，，，两正一负，，，两负一正，再根据绝对值的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：0； （2）解：已知a、b是有理数，当时， ①，，； ②，，； ③a、b异号，． 故的值为或0； 故答案为：或0； （3）解：已知，，是有理数，且， ①当，，时，； ②当，，时，； ③当，，两正一负时，令，，，则； ④当，，两负一正时，令，，，； 综上分析可知：的值为或． 题型八 绝对值化简的新定义问题 【典例8】如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 【答案】(1) (2)10或8 (3)的最小值是7，此时 (4) 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对是解题是关键． （1）求出，，4的绝对值，比较即可解答； （2）分和，两种情况，利用两点间距离公式计算即可； （3）根据绝对值的几何意义求解即可； （4）根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：，， 在，，4这三个数中，绝对值最小的数是； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时，求的值为8或10； （3）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，，4的三点的距离之和， 只有当表示的数与点B重合时，距离之和才最小为点A和点C之间的距离为：， 此时：； （4）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，4的两点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小，最小距离为； 同理，的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，5的两点的距离之和， 只有当表示的数在点A点P之间时（包含点A，点P），距离之和才最小，最小距离为； 的几何意义是：数轴上表示数的点到表示,，4，5的四点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小， 最小距离为：； 此时：． 题型九 绝对值化简问题综合 【典例9】材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 【答案】(1)，或； (2)，，； (3)的最大值为，的最大值为． 【分析】（）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可； （）先分，，，四种情况讨论，求出的最小值，再分，，，，五种情况讨论，求出的最小值, 从而求出，的取值范围，然后求出答案即可； 本题主要考查了数轴，绝对值的意义，化简绝对值，解题关键是熟练掌握知识点的应用，分类讨论思想． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得:或， 故答案为：，或； （2）解：可以看作表示的点到和的距离之和， ∴当点在与之间的线段上，即时，， ∴有最小值，最小值为：， 可以看作表示的点到的距离与到的距离以及到的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，的最小值为， 故答案为：，，； （3）解：当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值，为； 当时， ∴， 当时， ∴， 当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴的最大值为，的最大值为． 1．在、、0、、中，非负数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】先化简含绝对值、多重符号的数，再统计非负数的个数． 【详解】解：∵ ，，是负数， ∴ 非负数有、、、，共个． 2．在，，，，中，负数的个数有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：．， 题中负数只有，共1个． 3．下列各数，，0.1，，0，，，中，负分数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先化简含多重符号、绝对值的数，再筛选负分数并计数． 【详解】解：先化简各数： ， ， . 负分数有，，，共3个． 4．下列说法中，正确的是（    ）． A．的相反数就是a B．相反数等于它本身的数有无数个 C．有理数a一定比大 D．与互为相反数 【答案】A 【分析】根据相反数的定义和意义，有理数正负性判断即可求出答案． 【详解】解：A、 的相反数为，说法正确． B、相反数等于它本身的数只有0，共1个，说法错误． C、 当时，，例如时，，，说法错误． D、，，两数相等，不互为相反数，说法错误． 5．下列说法：①0既可以表示正数，又可以表示负数；②若是有理数，则与必有一个是负数；③绝对值等于它本身的数是0和1；④与互为相反数；⑤整数包括正整数和负整数．其中正确说法的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】解：①0既不是正数也不是负数，故①错误； ②若，则，0不是负数，故②错误； ③绝对值等于它本身的数是正数和0，故③错误； ④的相反数是，与不互为相反数，故④错误； ⑤整数包括正整数、0和负整数，故⑤错误； 综上，正确说法的个数为0个． 6．如果，那么=_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，据此求解． 【详解】解：根据绝对值的定义可知，若一个数的绝对值是正数，满足条件的数有两个，且互为相反数， ， 或 ，即 ． 7．当 ______ 时，式子 有最小值． 【答案】2027 【分析】根据绝对值的非负性即可判断取值范围求解． 【详解】解：∵ ∴ 当时，式子有最小值 此时 解得． 8．已知点在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是点_____． 【答案】Q 【分析】根据绝对值越大的数离数轴原点越远，进行作答即可． 【详解】解：结合数轴，点离数轴原点最远，则点对应的数的绝对值最大． 9．已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，解答下列问题： (1)数a在数轴上对应的点到数1在数轴上对应的点的距离为______ (2)已知，则______． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)5或 (3)3 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离表示方法求解； （2）根据数轴上到数2在数轴上对应的点的距离为3的点为5或求解； （3）同上根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，数a在数轴上对应的点到数1在数轴上对应的点的距离为； （2）解：∵，表示数x在数轴上对应的点到数2在数轴上对应的点的距离， ∵数轴上到数2在数轴上对应的点的距离为3的点为5或， ∴或； （3）解：∵表示数a在数轴上对应的点到数1和数在数轴上对应的点的距离之和， ∴当时，取得最小值，最小值为到1的距离，即3． 10．下列说法中正确的个数为（     ） ①若，则；        ②如果，则； ③若，则；    ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合绝对值的性质判断各说法，错误命题可通过举反例快速验证． 【详解】解：①，，该说法正确，符合题意； ②举反例：取，，满足，但，该说法错误，不符合题意； ③，或，该说法错误，不符合题意； ④，，该说法正确，符合题意； 综上，正确的说法共2个． 11．定义数轴上分别表示,的两点间的距离．关于这个距离，下列结论： ①；②；③若，则； ④．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】将新定义的数轴两点距离转化为两数差的绝对值，结合绝对值性质与几何意义逐一判断各结论． 【详解】解：根据定义逐一分析如下： ①，，故，①正确； ②，即，②正确； ③若，则，故，即，③正确； ④由数轴上三点的位置关系及两点之间线段最短，得，即，④正确． 综上，正确结论共个． 12．下列说法中，①一定是负数；②一个有理数不是整数，就是分数；③任何一个有理数都能用数轴上的一个点来表示；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤0是绝对值最小的有理数；⑥如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是或0或1；正确的有（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：①当时，不是负数，原说法错误； ②一个有理数不是整数，就是分数，原说法正确； ③任何一个有理数都能用数轴上的一个点来表示，原说法正确； ④有理数分为正有理数、负有理数和0，原说法错误； ⑤0是绝对值最小的有理数，原说法正确； ⑥如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是0或1，原说法错误； ∴说法正确的有②③⑤，共3个． 13．已知有理数，（均不等于），若，，，则，在数轴上对应的位置可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，且有理数，均不等于， ∴m是正数，n是负数， ∵， ∴m到原点的距离大于n到原点的距离， 四个选项中只有B选项符合． 14．下列说法：①若，则x为负数；②若是负数，则a为正数；③没有绝对值为的数；④在数轴的负半轴上，离原点越远的点表示的数就越小．其中正确的有________．（填序号） 【答案】②③④ 【详解】解：因为，所以为正数或0，所以①的说法错误； 若是负数，则为正数，所以②的说法正确； 因为任何数的绝对值都是非负数，所以没有绝对值为的数，所以③的说法正确； 在数轴的负半轴上，离原点越远的点表示的数就越小，所以④的说法正确； 综上，正确的有②③④． 15．如图，点和点在数轴上表示的数分别是，，若的绝对值是的绝对值的倍，则的值为________． 【答案】 【分析】根据数轴得：，，，根据的绝对值是的绝对值的倍，即可得，即可得，进而得的值为． 【详解】解：如图， 根据数轴得：，，， ∵的绝对值是的绝对值的倍， ∴， ∴，解得：， ∴，解得：， ∴的值为． 16．代数式的最小值是4，则a的值是_______． 【答案】或 【分析】利用绝对值的几何意义，表示数轴上动点到两个定点、的距离和，距离和的最小值等于两定点之间的距离，据此列方程求解． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， ∴是点到两个定点的距离之和， ∵当点在两个定点之间时，距离之和取得最小值，最小值等于两个定点之间的距离， ∴原式的最小值为， 由题意得， 去绝对值得或， 解得或． 17．已知数，在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数，的正负性； (2)在数轴上标出，的相反数，的对应点的位置； (3)若表示与的点相隔2026个单位长度，则数是多少？ 【答案】(1)为负数，为正数 (2)，的对应点的位置如图所示． (3) 【分析】（1）根据数轴判断即可； （2）根据相反数的定义标出，对应点的位置即可； （3）根据数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义可得出与的点都距离原点1013个单位长度，再根据为负数即可得出． 【详解】（1）解：由题图可知，数在原点左侧，数在原点右侧， 故为负数，为正数． （2）略； （3）解：∵表示与的点相隔2026个单位长度， ∴表示与的点都距离原点1013个单位长度． 又∵为负数， ∴． 18．已知一个两位数，交换十位数字和个位数字后得到新数，新数比原数大45，若关于x的方程的所有整数解分别为，，…，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．12 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、一元一次方程，由两位数交换数字后差45得出b与a的关系，代入方程求整数解，得到三个解后求绝对值表达式的最小值． 【详解】∵原数=，新数=， ∴， 即， ∴， ∵a为1至9的整数，b为0至9的整数， ∴a可取1，2，3，4，对应，7，8，9． 方程， 代入，得， ∴， 当时，；时，；时，不是整数；时，． ∴整数解为，，，即． ∴． 当y取2时，和最小为． ∴最小值为5． 故选：A． 19．下列说法：①不带“”号的数都是正数；②若，那么；③单项式的次数为5；④是二次二项式；⑤若，则点是线段的中点．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了正数的定义，绝对值的意义，多项式的次数，多项式的定义，线段中点的性质．逐一判断每个说法的正误：①忽略不是正数；②绝对值相等时可能为或；③单项式次数为字母指数和，应为；④多项式最高次项为次，有项，正确；⑤时不一定在线段上． 【详解】解：①不带“”号，不是正数，故①错误； ②若，那么，故②错误； ③单项式的次数为，故③错误； ④是二次二项式，故④正确； ⑤若，且在线段上，则点是线段的中点，故⑤错误． 故正确的有④，共1个， 故选：A． 20．已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质．由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而推导出的值． 【详解】，且，，均为整数， 和均为非负整数，且和为， 可能情况为： ①且，则， ； ②且，则， ． 综上，． 故选：A． 21．设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 【答案】2 【分析】由整数满足：，得出一个为0，一个为1，从而分情况求解后代值求解即可得到答案，将题中条件转化为解方程问题是解决问题的关键． 【详解】整数满足：， 一个为0，一个为1， ①当，即， 则， 则， ； ②当，即， 则， 则， ； 综上，代数式的值为2． 22．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 【答案】8 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值． 式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值． 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 23．定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是_____________ ①若，则；②；③若a，b异号，则或； ④对于任意有理数，总有； 【答案】①③/③① 【分析】本题考查新定义运算，涉及绝对值的性质．需逐一验证每个结论的正确性． 【详解】解：对于结论①：若，则． 由于绝对值非负性，故且， 即且， 解得， 因此结论①正确． 对于结论②：． 当时，，因此结论②错误． 对于结论③：若 a，b 异号． 当时，； 当时，； 当时，． 因此或， 综上，结论③正确． 对于结论④：取， 则， 而，两者不相等，因此结论④错误． 故答案为：①③． 24．已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是，为定值 【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及非负数和为零的条件、中点定义求线段长、数轴上两点之间距离表示等知识，数形结合，求出各个点在数轴上表示的数是解决问题的关键． （1）根据题意，由绝对值的非负性、平方的非负性及非负数和为零的条件列方程求解即可得到答案； （2）①由（1）可知，结合线段中点定义，数形结合表示出线段之间的和差倍分关系后，代值计算即可得到答案；②将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示，令点表示的数为，分别表示出相关点运动后在数轴上表示的数，由点与点相遇秒后与点相遇，列方程求出，进而确定点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点之间的距离表示出计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，且， ，且， 解得， 故答案为：； （2）解：①如图所示： 是线段的中点，是线段的中点， ，， ， ； ②是定值；理由如下： 点与点重合时，如图所示： 由①知，， 点是线段的中点， ， ，， 将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示： 令点表示的数为， 点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，线段以个单位长度/秒的速度向左运动， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点与点相遇秒后与点相遇， 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； ， 解得， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， 在整个运动过程中，，， 则， 即在整个运动过程中，为定值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $