重难点03 绝对值压轴题型专项突破（8大知识点8大题型、单元复习、期中复习） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点03 绝对值压轴题型专项突破 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、绝对值的基本概念 2 知识点二、零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型） 3 知识点三、绝对值的几何意义 3 知识点四、基础绝对值方程|A|=B 3 知识点五、双绝对值相等方程|A|=|B| 4 知识点六、双绝对值求和方程|A|+|B|=C 4 知识点七、双绝对值求差方程 |A|-|B|=C 5 知识点八、绝对值方程与数轴动点综合（压轴） 6 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 6 【题型 1 绝对值概念与非负性】 6 【题型 2 零点分段法化简多绝对值】 7 【题型 3 绝对值几何意义——距离和最值】 9 【题型 4 基础绝对值方程 |A|=B】 12 【题型 5 双绝对值相等方程 |A|=|B|】 14 【题型 6 双绝对值求和方程|A|+|B|=C】 15 【题型 7 双绝对值求差方程|A|-|B|=C】 16 【题型 8 绝对值方程与数轴动点综合压轴】 18 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 21 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 25 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・绝对值代数定义与非负性 ・零点分段法化简多绝对值式子 ・绝对值几何意义，距离和、距离差最值 ・基础绝对值方程|A|=B求解 ・双绝对值相等方程|A|=|B| ・双绝对值和、差型方程|A|±|B|=C ・绝对值方程与数轴动点综合问题 ・分类讨论思想、数形结合思想 ・多以填空压轴、解答压轴形式考查，是期中重难点 ・以几何意义为载体，重点考查距离最值问题 ・绝对值方程分层设问，由基础方程过渡到双绝对值方程 ・常和数轴动点融合，设置存在性、求值类问题 ・侧重考查分段讨论，检验学生严谨解题习惯 考情解码： ・易错集中在去绝对值时符号变换出错 ・分段解方程后不验证解的区间，产生伪解 ・混淆距离和、距离差的最值规律，判断无解出错 ・动点综合题型容易遗漏绝对值，丢失一组解 ・综合性强，对读图、代数转化、分类讨论能力要求高 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、绝对值的基本概念 （1）非负性：（补充：）． 对应题型：绝对值的化简． 方法：判断“”里面整体的正负性． 易错点：求一个多项式的相反数． 对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数． ①的相反数是； ②的相反数是； ③的相反数． （2）双解性：，则． （3）绝对值的代数意义： （常用）或 变式结论：①若，则； ②若，则． 知识点二、零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型） 零点：使绝对值为0的未知数值即为零点． 方法： ①寻找所有零点，并在数轴上表示； ②依据零点将数轴进行分段； ③分别根据每段未知数的范围去绝对值． 易错点：分类不明确，不会去绝对值． 化简：． ①零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即，，． ②当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 知识点三、绝对值的几何意义 的几何意义：数轴上表示数的点与原点的距离； 的几何意义：数轴上表示数x的点与数a的点之间的距离； 的几何意义：数轴上表示数x的点与数a、b两点的距离之和． 举例： ①表示x到的距离． ②表示x到和x到的距离之和． ③表示x到和x到的距离之差． 基本结论：令， ． 方法：直接套用几何意义画数轴． ①当n为奇数时，当时取最小值； ②当n为偶数时，当时取最小值． 常见变形： ①在时取得最小值． ②在时取得最小值． ③既有最小值也有最大值． 知识点四、基础绝对值方程|A|=B 核心：利用绝对值的双解性，转化为一元一次方程求解，复杂题型搭配零点分段 公式：若|A|=B (1) B<0，方程无解； (2) B=0，则A=0，仅有一解； (3) B>0，拆分为A=B或A=-B两个方程。 方法： ① 移项整理，把绝对值整体单独放在等号一侧； ② 按B的正负分类，去掉绝对值符号； ③ 分别解方程； ④ 回代原式检验，舍去增根； ⑤ 多层复合型绝对值方程，先用零点分段法划分区间再求解。 举例： ① |x-1|=2$解：x-1=2或x-1=-2，解得x=3或x=-1，检验成立。 ② |2x+1|=-3解：右边-3<0，方程无解。 易错点： • 等号右侧为负数，仍然强行求解； • 复杂绝对值方程求解后省略检验步骤； • 零点分段时区间分界处理不当，漏解、重复取值。 知识点五、双绝对值相等方程|A|=|B| 核心：两个绝对值相等，有两种情况：内部式子相等，或者内部式子互为相反数 公式：若|A|=|B|，则 A=B或 A=-B 方法： ① 直接根据结论拆成两个一元一次方程； ② 分别求解； ③ 回代检验； ④ 如果式子复杂，也可以用零点分段法分类讨论。 举例： |x-1|=|2x+3| 解：x-1=2x+3或者 x-1=-(2x+3) 由 x-1=2x+3，得 x=-4 由 x-1=-2x-3，得，检验，两个解均成立。 易错点： • 只写 A=B，漏掉 A=-B，造成漏解； • 去括号时，相反数形式忘记给每一项变号； • 遇到带参数的双绝对值方程。不会分类讨论。 知识点六、双绝对值求和方程|A|+|B|=C 核心：先求|A|+|B|的最小值，若常数C小于最小值，直接无解；大于最小值两解；等于最小值时，零点之间区间上无数解。 公式：零点m<n，|x-m|+|x-n|最小值为n-m 方法： ① 找出两个零点，把数轴划分为三段； ② 在每一段内判断绝对值内部式子正负，去掉绝对值； ③ 在当前区间内解方程； ④ 检验解是否落在本段范围，在区间内保留，不在则舍去； ⑤ 汇总全部有效解。 举例1：解方程 |x-1|+|x+2|=5 零点：x=1，x=-2，区间：x<-2，-2≤x≤1，x＞1 1． 当x<-2时：-(x-1)-(x+2)=5，-2x-1=5，x=-3（满足x<-2，有效） 2． 当-2≤x≤1时：-(x-1)+(x+2)=5，3=5，矛盾，本段无解 3． 当x>1时：(x-1)+(x+2)=5，2x+1=5，x=2（满足x>1，有效） 综上：x=-3 或 x=2 举例2（等于最小值）：解方程 |x-1|+|x+2|=3， 最小值就是1-(-2)=3，所以解为-2≤x≤1，区间内所有数都是解。 易错点： • 不会先比较常数和最小值，浪费时间计算本来无解的方程； • 算出解不验证所属区间，保留不在区间里的伪解； • 去绝对值时符号变换出错； • 等于最小值的情况，误以为只有两个零点是解，漏掉中间无数解。 知识点七、双绝对值求差方程 |A|-|B|=C 核心：|x-m|-|x-n|有最大值，最小值，先确定取值范围，再零点分段求解 公式：零点m<n)，|x-m|-|x-n|最大值n-m，最小值m-n 方法： ① 找到两个零点，划分三段区间； ② 分段去掉绝对值，转化一元一次方程； ③ 解必须落在当前区间才成立； ④ 不在最值范围内，直接判定无解。 举例：解方程 |x-1|-|x+2|=2，零点：x=-2，x=1)，最值范围：-3≤|x-1|-|x+2|≤3，2在范围内，可以求解 (1) x<-2：(1-x)-(-x-2)=2 ，3=2，无解 (2) -2≤x≤1：(1-x)-(x+2)=2 ，-2x-1=2 ， x=-1.5，在区间内，有效 (3) x>1：(x-1)-(x+2)=2， -3=2，无解 综上：x=-1.5 易错点： • 不知道差值有上下限，盲目分段； • 分不清和型、差型结论，混淆最值特点； • 分段去绝对值时括号处理失误。 知识点八、绝对值方程与数轴动点综合（压轴） 核心：用含t代数式表示动点，两点距离用绝对值|M-N|表示，列绝对值方程 方法： ① 设运动时间为t，遵循右加左减，写出动点代表的数； ② 根据距离关系列出绝对值方程； ③ 按照绝对值方程解法求解； ④ 结合动点运动范围，判断解是否符合题意，舍去不合理解。 举例： 点A表示-2，点B表示4。A向右速度1单位/s，B向左速度2单位/s，t秒后两点距离为3，求t。 解：t秒后：A：-2+t；B：4-2t，|(-2+t)-(4-2t)|=3，即|3t-6|=3。 3t-6=3或3t-6=-3，解得t=3或t=1，均符合题意。 易错点： • 距离直接用大数减小数，遗漏绝对值，丢失一组解； • 不考虑动点停止边界，保留不符合运动场景的解； • 动点代数式书写错误（方向、速度看错）。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型 1 绝对值概念与非负性】 【例 1】已知两个非零有理数x，y满足，则的值为__________． 【变式 1-1】若有理数m、n满足，则_______． 【变式 1-2】阅读材料： 的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数与数的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离． 根据材料的说法，试求： (1)使成立的的值； (2)若为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个代数式的最大值及此时的值；如果没有，请说明理由； (3)若为有理数，则有最　　　　　值（填“大”或“小”），其值为　　　　　． 【变式 1-3】如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足． (1) _____ ， _______ ． (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端与点B重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，它的左端与点A重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_____ ； ②图中点C表示的数是_______ ，点D表示的数是_______ ． (3)根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾经是数学教师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生，你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【题型 2 零点分段法化简多绝对值】 【例 2】阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（）（）（）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式．综上所述，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解； 【变式 2-1】已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题： (1)请直接写出的值．　 　，　 　，　 　； (2)所对应的点分别为，点为一动点，其对应的数为，点在之间运动时，请化简式子：．（请写出化简过程） (3)在（1）（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点以每秒（）个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设经过秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【变式 2-2】求的最小值． 【变式 2-3】当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离 不是瞬间便无处寻觅 而是尚未相遇 便注定无法相聚 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： ①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，例如表示到2的距离，而则表示到的距离； ②我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和2分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③．从而化简可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式＝ 结合以上材料，回答以下问题： (1)若，则　 　． (2)当代数式取最小值时，x的取值范围是 　 　． (3)代数式有最大值，这个值是 　 　． 【题型 3 绝对值几何意义 —— 距离和最值】 【例 3】【背景知识】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数的点与表示数的点的距离为，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)【初步应用】 ①数轴上表示数的点与表示数的点的距离为________； ②若，则________； (2)找出满足的的所有值是________． (3)【深入探究】求的最小值，以下是小明的解答过程： 解：记点，，分别表示数，，，点、点的距离，点、点的距离．当点在点的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即．当点在线段上，即时，如图②，此时．即，当点在点的右边时，即时，如图③，此时，．∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为． 请根据小明的解答过程，完成下列问题：求式子的最小值． 【变式 3-1】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【变式 3-2】已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4．    (1) 　 　， 　 　． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，0，，的点，并用“”连接起来． 【变式 3-3】阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为 与 在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：求当满足什么条件时？有最小值，并求其最小值； （3）若，求的值． 【题型 4 基础绝对值方程 |A|=B】 【例 4】某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法． 例如解绝对值方程： 解：分类讨论： 当时，原方程可化为，它的解是 当时，原方程可化，，它的解是 原方程的解为或 (1)依例题的解法，方程的解是 ； (2)在尝试解绝对值方程时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程； (3)在尝试解绝对值方程，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，在前面的学习中我们知道，表示数a、b在数轴上对应的两点A、B之间的距离，则表示数x与2在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解是 ； (4)在理解上述解法的基础上，自选方法解关于x的方程；（如果用数形结合的思想，需要画出数轴，并加以必要说明）． 【变式 4-1】阅读下面例题的解题方法． 解方程：． 解：根据绝对值的意义，原方程可化为 或． 解方程得， 解方程得， 所以原方程的解是或． 请仿照上面例题的解题方法，解方程：． 【变式 4-2】先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：①当时，原方程可化为，解得． ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或 根据以上材料 (1)解绝对值方程； (2)解绝对值方程． 【变式 4-3】知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像，，都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： （1）表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和． 解：因为，所以，或． （1）表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和． 解：因为，所以，或，解得：或． 知识应用： （1）求出下列未知数的值． ； ． （2）知识探究： 直接写出的最小值． 【题型 5 双绝对值相等方程 |A|=|B|】 【例 5】阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式 5-1】我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： 解方程：． 【变式 5-2】解方程：，则______． 【题型 6 双绝对值求和方程|A|+|B|=C】 【例 6】解方程，求符合的的取值． 【变式 6-1】解方程． 【变式 6-2】阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子（表示，例如：5和的距离可用或表示． (1)【知识应用】我们解方程时，可用把看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点P（P表示的数为x）与5的距离为2，所以该方程的解为或所以，方程的解为___（直接写答案，不离过程）． (2)【知识拓展】我们在解方，可以设A表示数5，B表示数，P表示数x，该方程可以看作在数轴上找一点P使得，因为，所以由可知，P在线段AB上都可，所以该方程有无数解，x的取值范围是．类似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范围）； (3)【拓展应用】解方程 【题型 7 双绝对值求差方程|A|-|B|=C】 【例 7】解方程：． 【变式 7-1】[现场学习] 定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，||﹣x＝2，…都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． 我们知道，根据绝对值的意义，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2． [例]解方程：|2x﹣1|＝3． 我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝-3． 解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1； 经检验可知，原方程的解是x＝2或x＝﹣1． [解决问题] 解方程：||﹣x＝2． 解：根据绝对值的意义，得 ＝　 　或＝　 　， 解这两个一元一次方程，得x＝　 　或x＝　 　， 经检验可知，原方程的解是 　 　． [学以致用] 解方程：|2x+1|＝|5x﹣6|． 【变式 7-2】解方程： 【变式 7-3】先阅读，后解题： 因为，，所以当时，可得或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程： (1)； (2)． 【题型 8 绝对值方程与数轴动点综合压轴】 【例 8】如图，数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （1）填空：若，则______；若，则______． 【延伸探究】 （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和？（直接写出答案） 【变式 8-1】如图，数轴上有，，三个点，，，对应的数分别是，，，且满足． （1）则______，______，______． 【阅读材料】在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （2）若式子，则______；若式子，则______． 【延伸探究】 （3）若式子取最小值时，最小值是______；当式子取最小值时，则______． 【拓展探究】 （4）若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，当点运动多少秒时，动点到点、点的距离之和为． 【变式 8-2】数学活动课上，同学们将数轴进行折叠变换．请阅读下列素材，完成探究任务． 【素材1】机灵小组绘制了一条数轴（如图①），其中点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．已知、、满足． 【素材2】笨笨小组把如图①中的数轴在点和点处各折一下，形成了如图②所示的“折线数轴”，其中点和点之间的部分（包括点和点）叫做“滑梯坡面”． 【任务1】在【素材1】中，________，________，________． 【任务2】折叠如图①的数轴，使点与点重合，求此时与点重合的点所表示的数． 【任务3】点落在“滑梯坡面”上，．现在动点、同时开始运动：点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向点运动，过点后以5个单位长度/秒的速度至点，再以2个单位长度/秒的速度至终点；点从点出发，以1个单位长度/秒的速度至终点．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点在“滑梯坡面”上运动时，满足，若此时点的运动时间为秒，请直接写出的值． 【变式 8-3】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），A、B两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，所以的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离，若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请解决以下问题： 直接应用 （1）若点P到所表示的点之间的距离是3个单位长度，则a的值为______； （2）若点P在表示2和的两点之间运动，请写出代数式的几何意义，并求的值； 拓展应用 （3）代数式的最小值为______； 迁移应用 （4）若对于有理数x，m，n满足，则我们称x是关于m，n的“整十数”．如果有理数x是关于3，的“整十数”，请直接写出x的值． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 2．如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 3．已知，，且， 则的值为 （       ） A． B．7 C．或 D．7或 4．下列语句： ①一个数的绝对值一定是正数； ②一定是一个负数； ③没有绝对值是的数； ④若，则a是一个正数； ⑤在原点左边离原点越近的数就越大； 正确的有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 5．若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 6．已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 7．已知整式，其中为正整数，，，，…，均为绝对值小于3的整数，且满足，．下列结论中正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式之和为； ③若，则满足条件的整式有5个； ④所有满足条件的整式共有12个． A．0 B．1 C．2 D．3 8．下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； ⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知三个数将其中任意两个数相减后取绝对值再加上第三个数，因不同的选择可得到三个结果，称为第一次操作；将按照上述的方法再进行一次操作，可得到三个结果，以此类推，第次操作后的得到的三个结果记为，下列说法： ①若，则三个数中最大的数是11； ②若，且中最小值为8，则或； ③若，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．对于下列说法：①若，则a，b互为相反数；②如果，则；③若x表示一个有理数，则的最小值为7；④折叠纸面，若在数轴上表示的点与表示5的点重合，则表示10的点与表示的点重合；⑤若，，则．其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．【问题探究】 点在数轴上分别表示实数；两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和． 利用几何意义，解决下列问题： （1）求方程的解是_____； （2）求的最小值是_____； 【问题解决】 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为200米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站P．请问点P选在_____处时，才能使这9个小区的居民到点P（物资供应站）的距离总和最小，最小值是_____； 【问题拓展】 求方程的解是_____． 12．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．例：表示在数轴上数x与数3对应点之间的距离为2．这个结论可以推广为：表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义． 根据上面的阅读材料，结合数轴解答下列问题： (1)方程的解是___________ (2)方程的解是___________ (3)解方程 (4)代数式的最小值为___________ 13．如图，在数轴上，点A、O、B表示的数分别为、0、12． (1)直接写出______，_______； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，求x的值； ②若点P为线段上的一个动点，化简的结果； (3)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，同时动点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在B、A两点之间往返运动，当点M运动到点B时，M和N两点同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 14．已知，有理数a，b，c在数轴上所对应的点分别是A，B，且a，b，c满足：①；②多项式是关于x的二次三项式． (1)a，b，c的值分别是___________（直接写出答案）； (2)若数轴上点B、C之间有一动点P，且点P对应的数为y，化简； (3)若点A在数轴上以每秒1个单位的速度向左运动，同时点B和点C在数轴上分别以每秒m个单位长度和4个单位长度的速度向右运动（其中），若在整个运动过程中，点B到点C的距离与点B到点A的距离差始终不变，求运动几秒后点B与点A的距离为13个单位长度． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 55 页 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点03 绝对值压轴题型专项突破 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、绝对值的基本概念 2 知识点二、零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型） 3 知识点三、绝对值的几何意义 3 知识点四、基础绝对值方程|A|=B 3 知识点五、双绝对值相等方程|A|=|B| 4 知识点六、双绝对值求和方程|A|+|B|=C 4 知识点七、双绝对值求差方程 |A|-|B|=C 5 知识点八、绝对值方程与数轴动点综合（压轴） 6 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 6 【题型 1 绝对值概念与非负性】 6 【题型 2 零点分段法化简多绝对值】 9 【题型 3 绝对值几何意义——距离和最值】 14 【题型 4 基础绝对值方程 |A|=B】 18 【题型 5 双绝对值相等方程 |A|=|B|】 23 【题型 6 双绝对值求和方程|A|+|B|=C】 25 【题型 7 双绝对值求差方程|A|-|B|=C】 27 【题型 8 绝对值方程与数轴动点综合压轴】 30 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 39 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 54 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・绝对值代数定义与非负性 ・零点分段法化简多绝对值式子 ・绝对值几何意义，距离和、距离差最值 ・基础绝对值方程|A|=B求解 ・双绝对值相等方程|A|=|B| ・双绝对值和、差型方程|A|±|B|=C ・绝对值方程与数轴动点综合问题 ・分类讨论思想、数形结合思想 ・多以填空压轴、解答压轴形式考查，是期中重难点 ・以几何意义为载体，重点考查距离最值问题 ・绝对值方程分层设问，由基础方程过渡到双绝对值方程 ・常和数轴动点融合，设置存在性、求值类问题 ・侧重考查分段讨论，检验学生严谨解题习惯 考情解码： ・易错集中在去绝对值时符号变换出错 ・分段解方程后不验证解的区间，产生伪解 ・混淆距离和、距离差的最值规律，判断无解出错 ・动点综合题型容易遗漏绝对值，丢失一组解 ・综合性强，对读图、代数转化、分类讨论能力要求高 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、绝对值的基本概念 （1）非负性：（补充：）． 对应题型：绝对值的化简． 方法：判断“”里面整体的正负性． 易错点：求一个多项式的相反数． 对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数． ①的相反数是； ②的相反数是； ③的相反数． （2）双解性：，则． （3）绝对值的代数意义： （常用）或 变式结论：①若，则； ②若，则． 知识点二、零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型） 零点：使绝对值为0的未知数值即为零点． 方法： ①寻找所有零点，并在数轴上表示； ②依据零点将数轴进行分段； ③分别根据每段未知数的范围去绝对值． 易错点：分类不明确，不会去绝对值． 化简：． ①零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即，，． ②当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 知识点三、绝对值的几何意义 的几何意义：数轴上表示数的点与原点的距离； 的几何意义：数轴上表示数x的点与数a的点之间的距离； 的几何意义：数轴上表示数x的点与数a、b两点的距离之和． 举例： ①表示x到的距离． ②表示x到和x到的距离之和． ③表示x到和x到的距离之差． 基本结论：令， ． 方法：直接套用几何意义画数轴． ①当n为奇数时，当时取最小值； ②当n为偶数时，当时取最小值． 常见变形： ①在时取得最小值． ②在时取得最小值． ③既有最小值也有最大值． 知识点四、基础绝对值方程|A|=B 核心：利用绝对值的双解性，转化为一元一次方程求解，复杂题型搭配零点分段 公式：若|A|=B (1) B<0，方程无解； (2) B=0，则A=0，仅有一解； (3) B>0，拆分为A=B或A=-B两个方程。 方法： ① 移项整理，把绝对值整体单独放在等号一侧； ② 按B的正负分类，去掉绝对值符号； ③ 分别解方程； ④ 回代原式检验，舍去增根； ⑤ 多层复合型绝对值方程，先用零点分段法划分区间再求解。 举例： ① |x-1|=2$解：x-1=2或x-1=-2，解得x=3或x=-1，检验成立。 ② |2x+1|=-3解：右边-3<0，方程无解。 易错点： • 等号右侧为负数，仍然强行求解； • 复杂绝对值方程求解后省略检验步骤； • 零点分段时区间分界处理不当，漏解、重复取值。 知识点五、双绝对值相等方程|A|=|B| 核心：两个绝对值相等，有两种情况：内部式子相等，或者内部式子互为相反数 公式：若|A|=|B|，则 A=B或 A=-B 方法： ① 直接根据结论拆成两个一元一次方程； ② 分别求解； ③ 回代检验； ④ 如果式子复杂，也可以用零点分段法分类讨论。 举例： |x-1|=|2x+3| 解：x-1=2x+3或者 x-1=-(2x+3) 由 x-1=2x+3，得 x=-4 由 x-1=-2x-3，得，检验，两个解均成立。 易错点： • 只写 A=B，漏掉 A=-B，造成漏解； • 去括号时，相反数形式忘记给每一项变号； • 遇到带参数的双绝对值方程。不会分类讨论。 知识点六、双绝对值求和方程|A|+|B|=C 核心：先求|A|+|B|的最小值，若常数C小于最小值，直接无解；大于最小值两解；等于最小值时，零点之间区间上无数解。 公式：零点m<n，|x-m|+|x-n|最小值为n-m 方法： ① 找出两个零点，把数轴划分为三段； ② 在每一段内判断绝对值内部式子正负，去掉绝对值； ③ 在当前区间内解方程； ④ 检验解是否落在本段范围，在区间内保留，不在则舍去； ⑤ 汇总全部有效解。 举例1：解方程 |x-1|+|x+2|=5 零点：x=1，x=-2，区间：x<-2，-2≤x≤1，x＞1 1． 当x<-2时：-(x-1)-(x+2)=5，-2x-1=5，x=-3（满足x<-2，有效） 2． 当-2≤x≤1时：-(x-1)+(x+2)=5，3=5，矛盾，本段无解 3． 当x>1时：(x-1)+(x+2)=5，2x+1=5，x=2（满足x>1，有效） 综上：x=-3 或 x=2 举例2（等于最小值）：解方程 |x-1|+|x+2|=3， 最小值就是1-(-2)=3，所以解为-2≤x≤1，区间内所有数都是解。 易错点： • 不会先比较常数和最小值，浪费时间计算本来无解的方程； • 算出解不验证所属区间，保留不在区间里的伪解； • 去绝对值时符号变换出错； • 等于最小值的情况，误以为只有两个零点是解，漏掉中间无数解。 知识点七、双绝对值求差方程 |A|-|B|=C 核心：|x-m|-|x-n|有最大值，最小值，先确定取值范围，再零点分段求解 公式：零点m<n)，|x-m|-|x-n|最大值n-m，最小值m-n 方法： ① 找到两个零点，划分三段区间； ② 分段去掉绝对值，转化一元一次方程； ③ 解必须落在当前区间才成立； ④ 不在最值范围内，直接判定无解。 举例：解方程 |x-1|-|x+2|=2，零点：x=-2，x=1)，最值范围：-3≤|x-1|-|x+2|≤3，2在范围内，可以求解 (1) x<-2：(1-x)-(-x-2)=2 ，3=2，无解 (2) -2≤x≤1：(1-x)-(x+2)=2 ，-2x-1=2 ， x=-1.5，在区间内，有效 (3) x>1：(x-1)-(x+2)=2， -3=2，无解 综上：x=-1.5 易错点： • 不知道差值有上下限，盲目分段； • 分不清和型、差型结论，混淆最值特点； • 分段去绝对值时括号处理失误。 知识点八、绝对值方程与数轴动点综合（压轴） 核心：用含t代数式表示动点，两点距离用绝对值|M-N|表示，列绝对值方程 方法： ① 设运动时间为t，遵循右加左减，写出动点代表的数； ② 根据距离关系列出绝对值方程； ③ 按照绝对值方程解法求解； ④ 结合动点运动范围，判断解是否符合题意，舍去不合理解。 举例： 点A表示-2，点B表示4。A向右速度1单位/s，B向左速度2单位/s，t秒后两点距离为3，求t。 解：t秒后：A：-2+t；B：4-2t，|(-2+t)-(4-2t)|=3，即|3t-6|=3。 3t-6=3或3t-6=-3，解得t=3或t=1，均符合题意。 易错点： • 距离直接用大数减小数，遗漏绝对值，丢失一组解； • 不考虑动点停止边界，保留不符合运动场景的解； • 动点代数式书写错误（方向、速度看错）。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型 1 绝对值概念与非负性】 【例 1】已知两个非零有理数x，y满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据条件方程，分析和 的值只能为1或，且它们的和为零，说明两者符号相反，从而推断x和y的符号关系，进而计算出的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴和互为相反数． 当，则， 即， ∴， ∴； 当，则， 即， ∴， ∴； 故答案为： 【变式 1-1】若有理数m、n满足，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，根据绝对值和平方的非负性得到．且，求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式 1-2】阅读材料： 的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数与数的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离． 根据材料的说法，试求： (1)使成立的的值； (2)若为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个代数式的最大值及此时的值；如果没有，请说明理由； (3)若为有理数，则有最　　　　　值（填“大”或“小”），其值为　　　　　． 【答案】(1)或2025 (2)有最大值3，此时x的值为2，理由如下： 因为， 所以当时，取得最大值， 所以令，解得， 所以代数式的最大值为3，此时x的值为2； (3)小，2 【分析】（1）根据绝对值的几何意义求解； （2）根据绝对值的非负性求解； （3）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：表示数轴上数与数1的对应点之间的距离为2024， ∴或2025； （2）略 （3）解：∵表示数轴上数与数1和数3的对应点之间的距离之和， ∴当时，有最小值，即1和3之间的距离，即2． 【变式 1-3】如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足． (1) _____ ， _______ ． (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端与点B重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，它的左端与点A重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_____ ； ②图中点C表示的数是_______ ，点D表示的数是_______ ． (3)根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾经是数学教师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生，你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【答案】(1)7，28； (2)①7；②14，21 (3)70岁 【分析】（1）根据绝对值的非负性即可求解； （2）①由数轴观察知三根木棒长是，即可求解； ②根据数轴中线段的距离即可求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看作木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴， （2）①由题知，， 又∵B点表示的数为28，A点表示的数是7，， ∴， ②∵， ∴点C表示的数是14； ∵， ∴点D表示的数是21； （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了”， 所以， 且， 所以爷爷现在的年龄是70岁． 【题型 2 零点分段法化简多绝对值】 【例 2】阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（）（）（）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式．综上所述，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解； 【答案】(1)和 (2) 当时，； 当时，； 当时，． (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，解题关键是“分类讨论思想”． （1）由即可求解． （2）分三种情况讨论当时，当时，当时化简即可． （3）根据（2）中化简结果即可求解． 【详解】（1）解∶ 和 和． （2）略 （3）， ， 整数解为∶． 【变式 2-1】已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题： (1)请直接写出的值．　 　，　 　，　 　； (2)所对应的点分别为，点为一动点，其对应的数为，点在之间运动时，请化简式子：．（请写出化简过程） (3)在（1）（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点以每秒（）个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设经过秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，6 (2) (3)不变，3 【分析】（1）根据最小的正整数是1，推出，再利用非负数的性质可得，，求解即可； （2）首先确定的取值范围，再化简绝对值即可； （3）根据题意，用表示出，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，． 故答案为：，1，6； （2）∵所对应的点分别为， 由（1）可知，，，， ∴点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是6， ∵根据题意，点在之间运动， ∴， ∴ ； （3）不变，理由如下： 根据题意，当经过秒钟过后， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 由题意，， ∴， ∴的值不变，． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、化简绝对值、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离以及数轴上动点问题等知识，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． 【变式 2-2】求的最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的运算．原式整理得，即表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，，2023倍x到的距离之和，求得在取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，，2023倍x到的距离之和， ∵， ∴在第1023638和1023639个数之间取得最小值， ∵，， ∴在取得最小值， 原式 ． 【变式 2-3】当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离 不是瞬间便无处寻觅 而是尚未相遇 便注定无法相聚 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： ①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，例如表示到2的距离，而则表示到的距离； ②我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和2分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③．从而化简可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式＝ 结合以上材料，回答以下问题： (1)若，则　 　． (2)当代数式取最小值时，x的取值范围是 　 　． (3)代数式有最大值，这个值是 　 　． 【答案】(1)3或 (2) (3)2 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）若代数式取最小值时，表示在数轴上找一点到和2的距离之和最小，据此可解； （3）分、、分别化简，结合的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值． 【详解】（1）解：由绝对值的几何意义知：表示在数轴上表示的点到1的距离等于2， ，， 或； （2）解：若代数式取最小值时， 表示在数轴上找一点，到和2的距离之和最小，显然这个点在和2之间， 当时，有最小值3． （3）当时，原式， 当时，原式，， 当时，原式， 则的最大值为2． 【点睛】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间的距离及绝对值的运算法则，是解题的关键． 【题型 3 绝对值几何意义 —— 距离和最值】 【例 3】【背景知识】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数的点与表示数的点的距离为，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)【初步应用】 ①数轴上表示数的点与表示数的点的距离为________； ②若，则________； (2)找出满足的的所有值是________． (3)【深入探究】求的最小值，以下是小明的解答过程： 解：记点，，分别表示数，，，点、点的距离，点、点的距离．当点在点的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即．当点在线段上，即时，如图②，此时．即，当点在点的右边时，即时，如图③，此时，．∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为． 请根据小明的解答过程，完成下列问题：求式子的最小值． 【答案】(1)①；②或； (2)， (3) 【分析】（1）①利用数轴两点距离公式，代入数字直接计算．②根据绝对值的定义，去掉绝对值符号得到两个一元一次方程，求解 （2）表示数轴上到和两点距离之和，分，，三段讨论，列方程求解． （3）参照题干示例，记点表示，表示，表示，表示；式子表示．分四段：、、、分别分析距离之和大小，找到最小值． 【详解】（1）解：①； ②， 或， 或； （2）解：当时，， 解得； 当时，， ，不成立，故此时无解； 当时，， 解得； 满足的的所有值是，． （3）解：记点、、、分别表示数，，，， ，，，，，， 当时，如图， 此时，，， ∴，即； 当时，如图， 此时，，， ∴，即； 当时，如图， 此时，，，， ∴，即， 当时，如图， 此时，，， ∴，即， 当时，如图， 此时，，， ∴，即； 当时，有最小值，最小值为． 【变式 3-1】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 【变式 3-2】已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4．    (1) 　 　， 　 　． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，0，，的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)2，； (2)，，； (3) 在数轴表示为：      则． 【分析】本题考查有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． （1）根据点M表示的数即可求出a，再求出b即可； （2）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （3）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4， ∴，， 故答案为：2，； （2）解：大于的所有负整数是，，； （3）解：， 【变式 3-3】阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为 与 在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：求当满足什么条件时？有最小值，并求其最小值； （3）若，求的值． 【答案】（1），；（2）当时，有最小值，最小值为6；（3）或5 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义以及分类讨论的思想，有一定的难度，理解题意是解决问题的关键． （1）由可知表示数x与两点间的距离； （2）根据数轴上的两点距离及绝对值的几何意义可进行求解； （3）由（2）知当或时有，化简解方程即可． 【详解】解：（1）由可知表示数x与两点间的距离； 故答案为，； （2）由可知：数轴上表示x的数到表示和的距离之和， 根据绝对值的几何意义可知：当表示x的数在和之间时，的值最小， 即当时，有最小值； （3）由（2）知当时，， ∴若时，则或， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述：当或5时，． 【题型 4 基础绝对值方程 |A|=B】 【例 4】某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法． 例如解绝对值方程： 解：分类讨论： 当时，原方程可化为，它的解是 当时，原方程可化，，它的解是 原方程的解为或 (1)依例题的解法，方程的解是 ； (2)在尝试解绝对值方程时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程； (3)在尝试解绝对值方程，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，在前面的学习中我们知道，表示数a、b在数轴上对应的两点A、B之间的距离，则表示数x与2在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解是 ； (4)在理解上述解法的基础上，自选方法解关于x的方程；（如果用数形结合的思想，需要画出数轴，并加以必要说明）． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4)当时，方程无解；当时，方程右边无数个解；当时，或 【分析】（1）仿照例题，分类讨论求解即可； （2）仿照例题，分类讨论再求解即可； （3）根据数轴上点的特点可得或，计算即可； （4）分类讨论求解即可． 本题考查绝对值的性质，一元一次方程的解，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为，它的解是 当时，原方程可化，，它的解是 原方程的解为或 故答案为：或； （2）解：当时，原方程可化为，它的解是 当时，原方程可化，它的解是 原方程的解为或； （3）表示数x与2在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度， ∴或， 解得或 故答案为或 （4） 当时，， 当时，解得； 当时，方程无解； 当时，， ∴，此时方程无数解； 当时，， 当时，解得； 当时，方程无解； 综上所述： 原方程的解是：当时，方程无解； 当时，方程有无数解； 当时， 或． 【变式 4-1】阅读下面例题的解题方法． 解方程：． 解：根据绝对值的意义，原方程可化为 或． 解方程得， 解方程得， 所以原方程的解是或． 请仿照上面例题的解题方法，解方程：． 【答案】或 【分析】根据阅读材料的解题过程结合绝对值的意义即可求解． 【详解】解：根据绝对值的意义，原方程可化为 或． 解方程得， 解方程得， ∴原方程的解是或． 【点睛】本题考查了绝对值方程的解答方法，读懂阅读材料，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【变式 4-2】先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：①当时，原方程可化为，解得． ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或 根据以上材料 (1)解绝对值方程； (2)解绝对值方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解一元一次方程，绝对值的意义； （1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为三种情况：①当时，②当时，③当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：①当时， 原方程可化为，解得； ②当时， 原方程可化为：， 解得：， 所以原方程的解为或； （2）①当时， 原方程可化为：，解得： ②当时， 原方程可化为：，原方程无解， ③当时， 原方程可化为：，解得： 所以原方程的解为或． 【变式 4-3】知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像，，都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： （1）表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和． 解：因为，所以，或． （1）表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和． 解：因为，所以，或，解得：或． 知识应用： （1）求出下列未知数的值． ； ． （2）知识探究： 直接写出的最小值． 【答案】（1）①或；②或；（2）2． 【分析】本题考查了数轴上的点所表示的数、绝对值的含义、数轴上两点间的距离等基础知识，明确相关概念是解题的关键． （1）表示在数轴上，数与数的距离为个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是和； 表示在数轴上，数与数的距离为个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是和． （2）根据表示数与表示数和的点之间的距离之和，当表示数的点处于表示和的点之间时，距离最小，可得答案． 【详解】解：（1）①因为， 所以或， 解得：或； 因为， 所以或， 解得：或； （2）表示数与表示数和的点之间的距离之和， 当a在3和5之间时距离之后最小，最小值为2， 的最小值是． 【题型 5 双绝对值相等方程 |A|=|B|】 【例 5】阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，正确理解绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解； （2）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或； （2）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 【变式 5-1】我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： 解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法．先去绝对值，化成一元一次方程求解即可． 【详解】解：由绝对值的意义得或， 解得或． 【变式 5-2】解方程：，则______． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，绝对值方程，一元一次方程的求解，解题的关键是熟知绝对值的意义和一元一次方程的解法． 由，得或，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【题型 6 双绝对值求和方程|A|+|B|=C】 【例 6】解方程，求符合的的取值． 【答案】或 【分析】根据绝对值的意义，分三种情况：当时，当时，当时，去绝对值，得出一元一次方程，解出即可得出答案． 【详解】解：当时，原式变形为：， 解得：； 当时，原式变形为：， 整理，可得：，此等式不成立，故方程无解； 当时，原式变形为：， 解得：， 综上所述，符合的的取值为：或． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在根据绝对值的意义，去绝对值．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0． 【变式 6-1】解方程． 【答案】． 【分析】根据绝对值的几何意义：在数轴上点x到点4的距离与点x到点的距离之和为7的所有数值， 再根据x的取值范围：，，，进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）当时， 原方程可化为： 解得：，与题意不符，故舍去． （2）当时， 原方程可化为：， 即， 所以； （3）当时， 原方程可化为， 解得：与题意不符，故舍去． 故原方程的解是． 【点睛】本题主要考查的是含绝对值符号的一元一次方程的计算题，主要是绝对值几何意义的应用，解题的关键是要针对x的取值范围进行分类讨论． 【变式 6-2】阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子（表示，例如：5和的距离可用或表示． (1)【知识应用】我们解方程时，可用把看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点P（P表示的数为x）与5的距离为2，所以该方程的解为或所以，方程的解为___（直接写答案，不离过程）． (2)【知识拓展】我们在解方，可以设A表示数5，B表示数，P表示数x，该方程可以看作在数轴上找一点P使得，因为，所以由可知，P在线段AB上都可，所以该方程有无数解，x的取值范围是．类似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范围）； (3)【拓展应用】解方程 【答案】(1)或 (2)不唯一； (3)或 【分析】（1）将方程的解看作在数轴上找一点P与的距离为2，进而可得方程的解； （2）类比题干中的求解方法，进行求解即可； （3）由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论：①若P点在A，B之间，表示出的值，然后列方程求解；②若P点在A点的左边，表示出的值，然后列方程求解；③若点P在B点的右边，表示出的值，然后列方程求解． 【详解】（1）解：方程的解，可以看作在数轴上找一点P与的距离为2 ∴或 故答案为：或． （2）解：由题意知，设A表示数，B表示数6，P表示数x， ∴该方程可以看作在数轴上找一点P使得， ∵， ∴P在线段AB上都可， ∴该方程有无数解，x的取值范围是 故答案为：不唯一；． （3）解：由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论： ①若P点在A，B之间 则（不合题意，舍去） ②若P点在A点的左边 则 ∴ ③若点P在B点的右边 ∴ 综上所述：原方程的解为或． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上点的距离．解题的关键在于明确绝对值的意义． 【题型 7 双绝对值求差方程|A|-|B|=C】 【例 7】解方程：． 【答案】 【分析】根据题意，当时，则，当，则，当时，则，分别解一元一次方程，求得的值，即可求解． 【详解】解：当时，原方程可化为：， ， 解得：， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当时，原方程可化为：， ． ； 当时，原方程可化为：， 与不相符，舍去； 综上所述，方程的解为：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，代数式求值，求得的值是解题的关键． 【变式 7-1】[现场学习] 定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，||﹣x＝2，…都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． 我们知道，根据绝对值的意义，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2． [例]解方程：|2x﹣1|＝3． 我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝-3． 解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1； 经检验可知，原方程的解是x＝2或x＝﹣1． [解决问题] 解方程：||﹣x＝2． 解：根据绝对值的意义，得 ＝　 　或＝　 　， 解这两个一元一次方程，得x＝　 　或x＝　 　， 经检验可知，原方程的解是 　 　． [学以致用] 解方程：|2x+1|＝|5x﹣6|． 【答案】[解决问题]：2+x，﹣2﹣x，﹣5，﹣1，x＝﹣5或x＝﹣1，[学以致用]：或 【分析】[解决问题]根据题目中的例子及绝对值的意义求解即可得； [学以致用]考虑两个绝对值相等，则这两个数或（代数式）相等或互为相反数，求解即可得． 【详解】[解决问题]：， ， 根据绝对值的意义，得： 或， 解这两个一元一次方程，得或， 经检验可知，原方程的解为或， 故答案为：；；；；或； [学以致用] ， 或， 解这两个一元一次方程，得：或， 经检验可知，原方程的解为或． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及解一元一次方程，理解题目中的例题，结合绝对值的意义是解题关键． 【变式 7-2】解方程： 【答案】 【分析】通过绝对值的概念分三种情况，当时，当时，当时，分别将方程化简求解即可． 【详解】解：， 当时，原方程可化为： ， 解得：x=2不合题意，舍去； 当时，原方程可化为： ， 解得：； 当时，原方程可化为： ， 解得：x=0不合题意，舍去， 所以，这方程的解是． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的求解，涉及绝对值的知识，难度一般，通过绝对值的概念对式子分类讨论是解题的关键． 【变式 7-3】先阅读，后解题： 因为，，所以当时，可得或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，绝对值的意义是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，可得或，求出两个一元一次方程的解即可； （2）根据绝对值的意义，可得或，求出两个一元一次方程的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：∵， ∴或， 解得或． 【题型 8 绝对值方程与数轴动点综合压轴】 【例 8】如图，数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （1）填空：若，则______；若，则______． 【延伸探究】 （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和？（直接写出答案） 【答案】（1）3或1；； （2）或 （3）或 【分析】本题主要考查整式的加减运算，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义即可； （2）设点表示的数为，依题意，得再根据绝对值的意义分三种情况讨论即可； （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，再分情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵， ∴或 解得或1； ∵即 ∴表示的数为1和的中点 ∴ （2）∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴设点表示的数为， ∵动点到点、点的距离之和为10， ∴ 当时，，， 解得； 当时，，， 此情况不成立，舍去 当时，，， 解得； ∴当经过或秒时，动点到点、点的距离之和为10， （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，则点表示的数为4， 点、表示的数分别为， 点、之间的距离为 点到点、点的距离和 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 时，，， 即 解得 不在取值范围内，舍去； 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 所以经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和． 【变式 8-1】如图，数轴上有，，三个点，，，对应的数分别是，，，且满足． （1）则______，______，______． 【阅读材料】在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （2）若式子，则______；若式子，则______． 【延伸探究】 （3）若式子取最小值时，最小值是______；当式子取最小值时，则______． 【拓展探究】 （4）若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，当点运动多少秒时，动点到点、点的距离之和为． 【答案】（1），，；（2）或，；（3），；（4）秒或秒． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出，，的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可得出，，的值； （2）【初步运用】解方程及，即可求出结论； （3）【延伸探究】利用“奇点偶段”，即可找出的最小值以及当式子取最小值时的值； （4）【拓展探究】当运动时间为秒时，点表示的数为，根据动点到点、点的距离之和为，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，， 故答案为：，，； （２）【初步运用】：， 即或， 解得： 或 ， 即或（不符合题意，舍去）， 解得：． 故答案为：或，； （3）【延伸探究】：根据题意得：若式子取最小值时，最小值是； 当式子取最小值时， 故答案为：，； （４）【拓展探究】：当运动时间为秒时，点表示的数为， 根据题意得： ， ①当点在右侧时： 即 ②当点在左侧时： ， ． 综上所述：当点运动或秒时，动点到点、点的距离之和为． 【变式 8-2】数学活动课上，同学们将数轴进行折叠变换．请阅读下列素材，完成探究任务． 【素材1】机灵小组绘制了一条数轴（如图①），其中点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．已知、、满足． 【素材2】笨笨小组把如图①中的数轴在点和点处各折一下，形成了如图②所示的“折线数轴”，其中点和点之间的部分（包括点和点）叫做“滑梯坡面”． 【任务1】在【素材1】中，________，________，________． 【任务2】折叠如图①的数轴，使点与点重合，求此时与点重合的点所表示的数． 【任务3】点落在“滑梯坡面”上，．现在动点、同时开始运动：点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向点运动，过点后以5个单位长度/秒的速度至点，再以2个单位长度/秒的速度至终点；点从点出发，以1个单位长度/秒的速度至终点．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点在“滑梯坡面”上运动时，满足，若此时点的运动时间为秒，请直接写出的值． 【答案】[任务1]；； [任务2]2 [任务3] 【分析】[任务1]利用非负数的性质解答即可； [任务2]利用对称性求得折叠处对应的数为，再根据点对应的数距离的长度解答即可； [任务3] 利用分类讨论的方法分两种情况讨论：当时，点、都在做下坡运动和当时，此时点在做上坡运动、点在做下坡运动，再分类讨论点在点上方和点在点下方时，和的表达式，根据，列方程求解即可． 【详解】[任务1] 解：根据题意得， 则， 那么 解得 故答案为：，，； [任务2] 解：点与点重合， 折叠处对应的数为， 与点重合的点所表示的数； [任务3] 解：点落在“滑梯坡面”上，， 点D表示的数为0， 点到达终点需要秒， 点到达终点需要秒， 当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动， 则， 点在“滑梯坡面”上运动， ， 当时，此时点、都在做下坡运动， ①点在点上方时， 由题意得：、、， ， ， 解得； ②点在点下方时， 由题意得：、、， ， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，此时点在做上坡运动、点在做下坡运动， 由题意得：、， ， ①点在点下方时， ， ， 解得（不合题意，舍去）； ②点在点上方时， ， ， 解得（不合题意，舍去）； 综上所述，当点在“滑梯坡面”上运动时，满足， 的值为． 【点睛】本题考查数轴、非负数的应用、折叠的性质、一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，根据已知条件列出方程是解题的关键． 【变式 8-3】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），A、B两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，所以的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离，若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请解决以下问题： 直接应用 （1）若点P到所表示的点之间的距离是3个单位长度，则a的值为______； （2）若点P在表示2和的两点之间运动，请写出代数式的几何意义，并求的值； 拓展应用 （3）代数式的最小值为______； 迁移应用 （4）若对于有理数x，m，n满足，则我们称x是关于m，n的“整十数”．如果有理数x是关于3，的“整十数”，请直接写出x的值． 【答案】（1）1或；（2）点P到所表示的点之间的距离与到所表示的点之间的距离之和；7；（3）9；（4）或 【分析】本题考查了数轴、绝对值的几何意义、解一元一次方程，解题的关键是正确理解绝对值的几何意义，学会利用数形结合思想与分类讨论思想解决问题． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可求解； （2）根据绝对值的几何意义即可解答； （3）代数式的几何意义是点P到、6、1这三个数所表示的点之间的距离之和，再结合数轴即可得到最小值； （4）根据题意，得，再分，，三种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵点P到所表示的点之间的距离是3个单位长度， ∴， 解得或， ∴a的值为1或； 故答案为：1或； （2）代数式的几何意义是点P到所表示的点之间的距离与到所表示的点之间的距离之和， ∵点P在表示2和的两点之间运动， ∴， ∴，， ∴； （3）代数式的几何意义是点P到、6、1这三个数所表示的点之间的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为9， 故答案为：9； （4）∵有理数x是关于3，的“整十数”， ∴， 当时，， 解得； 当时，，舍去； 当时，， 解得； ∴综上所述，x的值为或． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的意义表示到的距离与的距离的差，进而分类讨论绝对值符号，化简代数式，并分析各段取值范围，得出最值． 【详解】解：表示到的距离与的距离的差， ①当时，，， ∴ ②当时，，， ∴ ∴ ③当时，，， ∴ 综上所述，当时，有最小值为 故选：C． 2．如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的乘法，利用绝对值的意义确定值和的符号是解答的关键． 先求的最小值，利用数轴上两点距离和的性质，得，由和，推出，再计算所求表达式各项的值，求和为． 【详解】解：根据绝对值的意义，当时，取得最小值，值为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．已知，，且， 则的值为 （       ） A． B．7 C．或 D．7或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简与有理数乘方计算，由绝对值和平方根求出x和y的可能值，再根据绝对值方程推出x与 y的大小关系，排除不满足条件的值，最后计算的可能值． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵，且当且仅当， ∴，即， 当时，，但或均小于5，故不满足； 当时，，或均满足， 若，则； 若，则， ∴的值为或， 故选：C． 4．下列语句： ①一个数的绝对值一定是正数； ②一定是一个负数； ③没有绝对值是的数； ④若，则a是一个正数； ⑤在原点左边离原点越近的数就越大； 正确的有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的性质和正负数的概念，根据绝对值的性质和正负数的概念逐个判断即可． 【详解】解：一个数的绝对值一定是非负数，故①错误； 当是负数或0时，不是负数（是正数或0），故②错误； 没有绝对值是的数，故③正确； 若，则a是一个正数或0，故④错误； 在原点左边离原点越近的数就越大，故⑤正确； 正确的有③和⑤，共2个． 故选：B． 5．若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数和有理数的乘方运算，利用两个绝对值互为相反数，且绝对值非负，则两数均为0是解题的关键． 首先根据两个绝对值互为相反数，且绝对值非负的已知条件，得到两数均为0，进而解出a和b的值，最后计算的值即可． 【详解】∵与互为相反数，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 6．已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质．由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而推导出的值． 【详解】，且，，均为整数， 和均为非负整数，且和为， 可能情况为： ①且，则， ； ②且，则， ． 综上，． 故选：A． 7．已知整式，其中为正整数，，，，…，均为绝对值小于3的整数，且满足，．下列结论中正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式之和为； ③若，则满足条件的整式有5个； ④所有满足条件的整式共有12个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式的相关知识，涉及整式的定义，绝对值的性质以及不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． 根据已知条件确定整式的各项系数，再逐一分析各个结论即可． 【详解】解：时，则， ∴， ∴， ∵，，，…，均为绝对值小于3的整数， ∴，， ∴，故①正确； 当时，， ∴， ∴， ∵，，且，，均为绝对值小于3的整数， ∴有以下几种情况： 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； ∴满足条件的整式之和为：，故②错误； 当时，， ∴， ∴， ∵，，且，均为绝对值小于3的整数， ∴有以下几种情况： 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴满足条件的整式有个，故③错误； 由前面的分析可知，当时，有个；当时，有个；当时，有个， ∴满足条件的整式共有个，故④错误； 综上正确的只有①， 故选：B． 8．下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； ⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式等知识点．根据绝对值的化简法则、数轴上两点间的距离公式即可进行判断． 【详解】解：∵，∴且，故，故①错误； ∵，∴， ∴，即， ∴不是正数；故②错误； ∵三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等， ∴或或， ∴或或， 解得：或或，故③错误； ④若，则；故④正确； ⑤∵，， ∴中有两个正数一个负数， ，，， 设，，， 则，故⑤错误； 综上正确的④，共1个； 故选：A． 9．已知三个数将其中任意两个数相减后取绝对值再加上第三个数，因不同的选择可得到三个结果，称为第一次操作；将按照上述的方法再进行一次操作，可得到三个结果，以此类推，第次操作后的得到的三个结果记为，下列说法： ①若，则三个数中最大的数是11； ②若，且中最小值为8，则或； ③若，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的运算以及规律探究，熟练掌握绝对值的性质和通过分析前几次操作结果找规律的方法是解题的关键． 分别对三个说法进行分析，通过计算每次操作的结果，结合绝对值的性质和规律探究来判断对错． 【详解】解：∵ ，，三个数为，，． ∴ 第一次操作：；；． ∴ 中最大的数是，故①正确． ∵ ，三个数为，，． ∴ 第一次操作：；；． 当时，或，解得或． 当时，或，解得或． 当时，，解得． 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，，满足最小值为． 故仅满足，故②错误． ∵ ，三个数为，，． ∴第一次操作：；；． 第二次操作：；；． 第三次操作：；；． 第四次操作：；；． ……， ∴第11次操作：；；． ∴，故③错误． 综上，正确的个数为． 故选：． 10．对于下列说法：①若，则a，b互为相反数；②如果，则；③若x表示一个有理数，则的最小值为7；④折叠纸面，若在数轴上表示的点与表示5的点重合，则表示10的点与表示的点重合；⑤若，，则．其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义、有理数的加法法则，绝对值的意义，有理数的乘除法则等知识，熟知相关知识并根据题意逐项判断是解题关键． 【详解】解：①若，则，所以，即a，b互为相反数，故①结论正确； ②当且仅当a、b同号或至少一个为0时成立，此时，故②结论正确； ③若x表示一个有理数，则可以看作数轴上一点到、、三点的距离和最小，此时时，，是最小值，故③结论正确； ④折叠中点为，则的对称点为，故④结论错误； ⑤由得，得，故，错误． 综上，正确的有①、②、③，共3个， 选C． 11．【问题探究】 点在数轴上分别表示实数；两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和． 利用几何意义，解决下列问题： （1）求方程的解是_____； （2）求的最小值是_____； 【问题解决】 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为200米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站P．请问点P选在_____处时，才能使这9个小区的居民到点P（物资供应站）的距离总和最小，最小值是_____； 【问题拓展】 求方程的解是_____． 【答案】问题探究：（1）或；（2）4；问题解决：，4000米；问题拓展： 【分析】本题考查数轴，绝对值的几何意义以及两点间距离，解题的关键是熟练运用数形结合的思想． 问题探究：（1）根据数轴的意义即可得解；（2）根据代数式的几何意义求出即可； 问题解决：根据两点间的距离即可得出结论； 问题拓展：根据代数式的几何意义，分情况求出即可． 【详解】解：问题探究：（1）∵的几何意义是表示有理数的点到表示数1的点的距离为2， ∴表示有理数的点在表示数1的点的左侧2个单位或右侧2个单位， 即或； （2）∵代数式是表示有理数的点到表示数1的点与表示数的点的距离之和， ∴的最小值为； 问题解决：解： ， 当点P在线段上时，最小，为1600米， 当点P在线段上时，最小，为1200米， 当点P在线段上时，最小，为800米， 当点P在线段上时，最小，为400米， 当点P在位置时，最小，为0米， ∴最小距离和为：（米）， ∴当点P在位置时，这9个小区的居民到点P（物资供应站）的距离总和最小，最小值是4000米； 问题拓展：由绝对值的几何意义可知，表示x对应的点到1的距离与到的距离之差， 当x对应的点在1对应的点和对应的点之间时，即， ， ， 解得：； 当x对应的点在对应的点左侧时，即， ，不存在的情况； 当x对应的点在1对应的点右侧时，即， 不存在的情况； 综上所述，方程的解是． 12．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．例：表示在数轴上数x与数3对应点之间的距离为2．这个结论可以推广为：表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义． 根据上面的阅读材料，结合数轴解答下列问题： (1)方程的解是___________ (2)方程的解是___________ (3)解方程 (4)代数式的最小值为___________ 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）由的几何意义，即可求解； （2）可得，即可求解； （3）可得，所以表示到表示的点与到表示的点的距离和为；①当在与之间时， ，可判断所以表示点在表示的点右边或在表示的点的左边；②当表示点在表示的点右边时，此时，去绝对值即可求解；③表示点在表示的点的左边时；此时，去绝对值即可求解； （4），由（3）的解法可得：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； 故答案：． （2）解：由题意得 解得：或； （3）解：由题意得 ， 所以表示到表示的点与到表示的点的距离和为； ①如图，当在与之间时， 由图得：， 所以表示点在表示的点右边或在表示的点的左边； ②如图当表示点在表示的点右边时，此时， 由图得：， 解得：； ③如图，表示点在表示的点的左边时；此时， 由图得：， 解得：； 综上所述：或． （4）解： ， 由（3）的解法可得： ①当时， 原式 ， 此时没有最小值； ②当时， 原式 ， 此时没有最小值； ③当时， 原式 ， 此时最小值为； ④当时， 原式 ， 当时 此时最小值； ⑤当时， 原式 ， 当时 此时最小值； 综上所述：最小值为． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义及应用，理解意义是解题的关键． 13．如图，在数轴上，点A、O、B表示的数分别为、0、12． (1)直接写出______，_______； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，求x的值； ②若点P为线段上的一个动点，化简的结果； (3)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，同时动点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在B、A两点之间往返运动，当点M运动到点B时，M和N两点同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10；22 (2)①；②22 (3)存在，或11 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据线段中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案；②若点P为线段上的一个动点，则，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案； （3）先求出点M表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：10，22； （2）解：①∵点P为线段的中点， ∴， ∴， 解得． ②∵点P为线段上的一个动点， ∴， （3）解：∵动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动， ∴， ∴点M表示的数为； 当时，点N表示的数为； 当时，点N表示的数为． 当时，， ∴或， 解得或； 当时，， ∴或， 解得或． ∴存在t值，使得，或11． 14．已知，有理数a，b，c在数轴上所对应的点分别是A，B，且a，b，c满足：①；②多项式是关于x的二次三项式． (1)a，b，c的值分别是___________（直接写出答案）； (2)若数轴上点B、C之间有一动点P，且点P对应的数为y，化简； (3)若点A在数轴上以每秒1个单位的速度向左运动，同时点B和点C在数轴上分别以每秒m个单位长度和4个单位长度的速度向右运动（其中），若在整个运动过程中，点B到点C的距离与点B到点A的距离差始终不变，求运动几秒后点B与点A的距离为13个单位长度． 【答案】(1)，1，5 (2) (3)4 【分析】（1）由非负性和二次三项式的定义可求a，b，c的值； （2）由y的取值范围，化简可求解； （3）先求出m的值，再由题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）∵多项式是关于x的二次三项式 ∴，解得： ∵ ∴， （2）∵数轴上点B、C之间有一动点P，且点P对应的数为y， ∴ ∴ （3）∵点B到点C的距离与点B到点A的距离差始终不变， 是定值， ∴， ∵点B与点A的距离为13个单位长度， ∴ 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是列出正确的方程． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 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