精品解析：广东东莞市常平中学2026-2027学年高二上学期第一次教学质量自查数学试题

2026~2027学年第一学期第一次教学质量自查 高二数学试题 命题人：王常武 一．选择题：（每小题5分，共40分） 1. 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A. B. C. D. 3. 若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 向量，夹角的余弦值为，则实数k为（　　） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知直线经过点，其方向向量，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（ ） A. B. C. D. 8. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 二．多选题：（每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线的倾斜角都存在 B. 倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C. 两条平行的直线一定有相等的斜率 D. 若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 10. 若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的有（     ） A. B. C. D. 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 三．填空题：（每小题5分，共15分） 12. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是______. 13. 若圆与直线相交于，，且，则实数的值为__________． 14. 在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 四．解答题： 15. 已知直线：与直线：平行． （1）求的值； （2）若直线到的距离与到的距离相等，求直线的方程． 16. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 17. 已知向量，，. （1）若，求； （2）设，，，若四点共面，求实数的值. 18. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离. 19. 如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，且． （1）求平面与平面所成角的余弦值； （2）若点在线段上运动（不含线段端点），且．当直线与平面所成角最大值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期第一次教学质量自查 高二数学试题 命题人：王常武 一．选择题：（每小题5分，共40分） 1. 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角. 【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以. 故选：C 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点关于轴对称的点的坐标为. 3. 若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 4. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又 ，所以． 因此所求圆的标准方程为． 5. 向量，夹角的余弦值为，则实数k为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，， 故，化简得，解得或. 又，所以. 6. 已知直线经过点，其方向向量，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，所以点到直线的距离为： . 7. 如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，得， 又因为， 所以 ， 所以，即. 故选：A. 8. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 二．多选题：（每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线的倾斜角都存在 B. 倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C. 两条平行的直线一定有相等的斜率 D. 若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据倾斜角的定义可知易得A正确， 由于斜率与倾斜角满足，，故时，，D正确； 直线，斜率为负，故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B错误； 当两条直线不重合，且均与轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误. 故选:AD. 10. 若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的有（     ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间中基底的定义依次判断选项即可. 【详解】选项A，因为，所以共面，所以A错误； 选项B，因为与互为相反向量，又为空间的一个基底， 所以能构成空间的一个基底，故B正确； 选项C，假设共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得， 得到共面，与已知矛盾，所以假设不成立，所以C正确； 选项D，因为，所以共面，所以D错误. 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标规律与点的轨迹方程，再逐一验证各选项 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，，，. 由得，即； 因为在上底面内，故设， 由得，化简得， 即的轨迹是上底面内以为圆心，半径的一段圆弧（如图所示）. 选项A：时，，，， 两向量不共线，故不平行于，A错误； 选项B：时，，，B正确； 选项C：直线与平面所成角为，其在平面内的射影为，，故，C错误； 选项D：的坐标均为，故长度为上底面中两点距离， 其中在线段上，在上底面内上（不含）， 圆心到线段的距离为，故， 当且仅当三点共线且时等号成立. 故最小值为，D正确. 三．填空题：（每小题5分，共15分） 12. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是______. 【答案】或 【解析】 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为，代入点，解得， 所以直线方程为，即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为，代入点，解得， 所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 13. 若圆与直线相交于，，且，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 又，则，所以圆心到直线的距离， 则，整理得到，解得或 14. 在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 四．解答题： 15. 已知直线：与直线：平行． （1）求的值； （2）若直线到的距离与到的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行有且即可求出的值；（2）根据直线间距离相等，可判断直线平行，设直线的方程为，再由两平行直线之间的距离公式建立等量关系，求出即可求出直线方程. 【小问1详解】 因为直线：与直线：平行， 则，解得，又，所以，当时，两直线平行； 【小问2详解】 由（1）知直线：，即， 因为直线到的距离与到的距离相等，所以直线与、平行， 设直线的方程为，所以，解得， 故直线的方程为，即． 16. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】（1）或； （2）相交； 【解析】 【小问1详解】 圆，圆心为，半径为. 由，点在圆外. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 直线与圆相交，理由如下： 圆心，， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交. 直线被圆所截得的弦长. 17. 已知向量，，. （1）若，求； （2）设，，，若四点共面，求实数的值. 【答案】（1）5 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用垂直向量数量积为求出参数，得到向量，再求出并代入模长公式计算； （2）根据四点共面等价于对应三个向量共面，利用共面向量定理设线性表达式，列方程组求解参数. 【小问1详解】 由，得，解得，则，又， 因此，所以. 【小问2详解】 若四点共面，则向量共面，设， 即，因此， 解得， 所以的值是. 18. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 则为的中点， 因为为的中点，所以，且， 因为为的中点，所以， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明平行于面内的一条直线，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，设出的长并表达出各点坐标，利用异面直线与所成角的余弦值得出，求出平面的一个法向量，即可得出到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意（1）及几何知识得， 在直四棱柱中，， 两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，， . 设异面直线与所成角为，则 ， 解得：， 故， 则 设平面的一个法向量为， 到平面的距离为. 所以即取， 得. 所以， 即到平面的距离为. 19. 如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，且． （1）求平面与平面所成角的余弦值； （2）若点在线段上运动（不含线段端点），且．当直线与平面所成角最大值时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由面面夹角的余弦公式即可求解； （2）设，由线面夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 因为平面， 在菱形中，，所以，则为等边三角形， 取中点，所以，又，所以， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， 平面的一个法向量为， 得到， 设平面的一个法向量， 所以，即， 取，则，所以， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 【小问2详解】 由题意得而点在线段上运动， 得到， 且， ， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 取，则， 所以， 设直线与平面所成角为，要使最大，即最大， 所以 ， 因为函数在上单调递减， 所以，则， 所以当时，取到最大值， 所以当直线与平面所成角取最大值时，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $