广东深圳市东北师范大学附属中学深圳学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

弘毅博学弃凡雀 2026-2027上学期高二年级月考考试（数学）学科答案 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高二数学组 审题人：高二数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 题号 1 2 3 × 5 6 7 8 答案 A A B B B B A D 1.A【详解】设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi, 因为2z+z=3-i,所以2a+2bi+a-bi=3a+bi=3-i, 3a=3 所以 6=-1解得a=l,b=-1,故z=1-i,所以z的虚部为-1. 2.A【详解】直线：x-3)-4=0的斜率为名=了由4∥，得直线马的斜率存在，且%=”- m-13 都符m=有则4-6=0，回-3y-24=0。 |-4+241=210 所以这两条平行直线之间的距离为P+(3列 3.B【详解】圆0：x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径为2. 因为直线mx+y=4和圆O:x2+y2=4没有交点， +7>2→m㎡+2<4与r<4-m. 4 所以万 :m+片<+4-m=1-5㎡<1，点(m月在椭圆女+上=1的内部， 9 49 4 36 9 4 过点(mn)的直线与椭圆。+，三的交点有2个 4 3 4,B【详解】设甲、乙、丙三人参加考试合格的事件分别为A,B,C,则P),PB)PC)3 5 而三人中恰有两人合格记为：ABC+ABC+ABC, 因考试的结果相互独立，且ABC,ABC,ABC两两互斥，故得三人中恰有两人合格的概率为： 笃志慎思为天鸿 3、2 2、339 P(4BC+ABC+ABC)=P(4BC)+P(ABC)+P(ABC)x+xx+x 5 3 45 3 4^520 故选：B. 5.B【详解】设直线x-y+5=0与椭圆相交于A(x,y),B(x2,y2), 由题意得x+x2=-8,y+y2=2, 直线4B的斜率为k=-上=1， x2-x 由 64b2 竖·两式相减得店+儿：-%+4一2=0 64 64b2 所以-A=-×+长=1，即-公×8=1，所以6=16，即6=4 x- x2-x64y+2 642 所以椭圆的短半轴长为4. 6.B【详解】因为f(x)=2cos2x+sin2x=1+cos2x=1+1+cos2x-1c 3 cos2x+ 2 对于A选项，函数f()的最小正周期为T=2红 =π，A错； 2 对于B选现。当吾<x<径时，名<2x<名所以，西数) 5π π5π 12 6 (12'12 单调递减，B对； 对于C选项，当孤<」 5π7π <x< 上不单调，C错： 12 径时.<2r<石所以.f 12 6 12’12 对于D选项，f))+)2,D错故选：B 22 7.A【详解】设P(x,),由PA=2PB,得V(x+2)2+y2=2√x-1)2+y2,化简整理，得(x-2)2+y2=4. 由题意得，圆(x-5)2+0y-4)2=r2(r>0)与(x-2)2+y2=4有公共点，故-2≤d≤r+2, d=V(5-2)2+42=5,r-2≤5≤r+2,解得3≤r≤7，所以实数r的最小值是3. 8.D【详解】如图所示，设EF=2c,4EN=3FM,设FN=3t,则FM=4, 在RtaFMN中，MW=VNE+ME=51,由椭圆定义可知FN=2a-3t,FM=2a-4, FN+FM=MN=4a-7t=5t,解得a=3t, 弘毅博学弃凡雀 所以FN=2a-3t=3t=FN,FM=2a-4t=21, 在△RNS中，可得cos∠N5=,在△FM中，由余弦定理可得 c2-312 cos∠MEF= 2ct ∠N℉F+∠MF=π，∴.cos∠NEF+cos∠MFF=0,即 F O c2-32 3 =0, 2ct 解得c-3V51,所以椭圆离心率e=S=5 5 故选：D. a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分。 题号 9 10 11 答案 BCD AC ACD 9.BCD【详解】A.当a=0时，两直线分别为y=1与x=2,二者互相垂直，但a≠-1，所以“互相垂 直”不能推出a=-1,A错误， B.直线xsina+y+2=0的斜率为k=-sina,故-1≤k≤1. 设其倾斜角为0，则0≤0<π且tan0=k,所 B正确. 0≤日≤：或西≤0<π， C.方程x+y2-4x+1=0化为(x-2}+y2=3.设P(-1,0),则y表示直线PQ的斜率，其中Q为圆 x+1 上的动点， 过P作圆的上方切线，设其斜率为k>0,则切线为y=k(x+).由圆心(2,0)到切线的距离等于半径√3， =5，解得k-2,所以，)的最大值为2，C正确。 得R+ 2 x+1 2 D.两圈方程相减得公共弦B所在直线为x=香、代入+=1，得y=士香，所以A=,D 4 2 正确. 10.AC 【详解】对于A,直线：mx-y+2+m=0,即m(x+1)-y+2=0, 笃志慎思为天鸿 y+2=0解得x=-y=2,所以定点坐标为（←1,2），A正确， x+1=0 由 对于B,圆C:(x-1)2+(y-2)2=9的圆心为(1,2)，半径为3， 点（-1,2)与圆心(1,2)的距离为2， 所以MN的最小值为2W32-22=2√5，此时直线1垂直于x轴，故此时MN无最小值， 故B错误， 对于C,设D(-1,2),则 CM.CN=CMCN.cos(CM,CN)=9cos(CM,CN), 当CM,CN=π，即直线方程为y=2时， CM.CN取得最小值为-9，所以C正确， 对于D,若圆C上到直线1的距离为的点恰好有三个， 则圆心到直线1的距离为，所以m-2+2+刚_ 2m-3 Vm2+1 Vm2+12 整理得16m2=9m'+9,7m2=9,m=±37，所以D错误故选：AC 7 11.ACD【详解】由椭圆C:+y=1,可得a=V2,b=1,则c=N-=1, 2 对于A,点P是椭圆C上一点，则PF+PF=22, 所以PR-PEls(PR+P=2,当且仅当Pl=PF时，等号成立， 2 所以PFPF的最大值为2，所以A正确； 。万是，所以B不正确： 对于B,由椭圆离心率的定义，可得e=C=↓=2 对于C,取椭圆的上顶点P(0,1),且F(-1,0),F(1,0), 可得PE=(-1,-),PE,=1,-I),则P℉·PE=1-1=0, 弘毅博学弃凡雀 所以椭圆存在点P,使得P℉·P℉，=O,所以C正确： 对于D中，由%圆C号+y-1,可得)产1-号，且0. 设Px,y),其中-√2≤x≤V2,则Op2=x2+y2,PE2=(x-)2+y2, 所以om+pf=+r+e-+r-2r+2r-2x+1-2r+2×0-乏-2x1 =x2-2x+3=(x-1)2+2, 当x=1时，OP+PF取得最小值，最小值为2，所以D正确.故选：ACD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 2（+- 【详解】因为所求的圆经过两圆(x+3)}+y2=13和x2+(y+3)}2=37的交点， 所以设所求的圆的方程为(x+3+y-13+九+(y+3-37=0, 即(1+)x2+6x+(1+)y2+6y-282-4=0, 防品受 所以其圆心为 3321 1+元’1+元 又圆心在直线x-y-4=0上，代入得-，3，+3说-4=0， 1+21+元 解得天=-1，放所求国的方程为(-++号-驾 故答案为： 8 13.【详解】由题意可知，椭圆C的半焦距c=2,则圆E的半径为OF=2, 由圆F上的点与C上的点间距离的最大值为8， 所以a+c+c=8,解得a=4,故C的长轴长为2a=8. 故答案为：8. 笃志慎思为天鸿 14.【详解】如图，根据椭圆的对称性知点D在直线y=x上，可得三+空=1， 22 a2 62 因为焦点在正方形的内部，所以>≥c,即号= a462>c2, 即a2b2>a2c2+b2c2,可得b2>ac,又b2=a2-c2,所以c2+ac-a2<0, 所以ee10,义0e1,0e,微答案Q5 2 A B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 3,3 +46= a2=4 15.【详解】(1)由题意得c=1 ，解得 a2-b=1 62=3 所以椭圆C的方程为女+y =1. 43 (2)直线1的方程为y- =-5,即yg5 2 2 -=1 43 3 x1+x2= 设M(x,),N(x2,y),联立 x。 化简得7x2-4V3x-9=0,所以 7 9 2 x3=-7 +7=7 又点P(0,√3)到直线I的距离 0-5- d= 236, √2 4 所以APMN的面积为}x106×36_45,即APMN的面积为 5 27414 A 弘毅博学弃凡雀 16.【详解】(1)由题意得(4-2)2+(2-)2>4，则点P在圆外，故有2条切线， 若切线I的斜率不存在，易得直线x=4恰为圆的一条切线： 若切线I的斜率存在，设切线l的方程为y-2=k(x-4),即c-y+2-4k=0. 因为直线1与圆C相切，所以圆心C(2,)到1的距离为2， 即2k-+24然=2，解得k=3 Vk2+1 41 所以切线1的方程为y-2=x-4,即3x+4y-20=0. 综上，切线l的方程为x=4或3x+4y-20=0 (2)如图，由圆心C到直线m:x-y+6=0的距离为 m 2-1+6-72>2,可得直线m与圆C相离， 2+(-1)2 2 由切线的性质得MC⊥M0,则2M=2C-4, 则当QC最小时，QM有最小值， 2-1+67√2 由图知，当OC⊥m时，QC最小，最小值恰为点C到直线m的距离 2+(-1)月 2’ 故QM的最小值为 V82 2 17.【详解】(1I)如图所示，取CD的中点E,连接PE,BE, 因为CD=2AB,AB//CD,所以DE/1AB且DE=AB, 所以四边形ABED是平行四边形，则BEI1AD, 因为CD⊥AD,所以BE⊥CD, 又△PCD为等边三角形，所以PE⊥CD, 因为PEBE=E,PE,BEC平面PBE,所以CD⊥平面PBE, 因为PBc平面PBE, 所以PB⊥CD. 笃志慎思为天鸿 (2)设四棱锥P-ABCD的高为h, 由摄设，得y-写5mh=写分2+4k2xh=45,则h=25, 11 32 由题设知PE=2W3,所以PE⊥底面ABCD, 因为BEC底面ABCD,所以PE⊥BE, E 故可以点E为坐标原点，直线EB为x轴、EC为y轴、EP为z轴建立 D B 如图所示空间直角坐标系E-灯z, 则E(0,00),B(2,0.0),C(0,2,0),P0,0,25A(2,-2,0),D(0,-2,0), 所以PB=(2,0,-23,BC=(-2,2,0),DP=(0,2,2V3,DA=(2,0,0), 设平面PBC的一个法向量为m=(:,,乙)， mLPBmPB=2x-2V32=0 则 LBG' 则 m.BC=-2x+2y=0 令a=1,则x=5y=V5,所以m=(3,3,: 设平面PD的法向量为i=(x2,2,22), n1DP∫i.DP=2y+232=0 0则月n2=0 则 令22=1，则y2=-3,x3=0,所以i=(0,-5,1: -3+1 -1√万 所以cosm,i=3+3+1×3+77 段平面PAD与平面PBC的夹角为0，则cos0二7，所以sim0=1-os0=V2 即平面PAD与平面PBC的夹角正弦值为V42 7 18.【详解】(1)在△ABC中，由c-acos B=b-V3 asin B及正弦定理，得 sin C-sin Acos B=sin B-3 sin Asin B, 而sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,则cos Asin B=sinB-√3 sin Asin B,则 弘毅博学弃凡雀 3 sin Asin B+cos Asin B=sin B, 又sinB>0,因此V3sinA+cosA=l,所以2sin +1,即m4+ 由0<A<元，得2<4+<7，故A+严-5，所以A= 2π 6 66 66 3 =Ibcsin A= (2)由SAABC= bcx5=45得，c=16, 2 叉5c=s+5a,所以45-6b5+5Bc5 22 2 则AB=165,16=2(当且仅当6=6=4时取等， b+c 2bc 即AE的最大值为2. 19【详解】(1)设动圆圆心为M(x,y),半径为r,因为动圆过点C(-1,0),则MC=r, 圆C2:(x-1)2+y2=16的圆心为C2(1,0),半径为4，又动圆与圆C相内切， 则MC2=4-r,所以MC+MC2=4>CC2=2, 则动圆圆心M的轨迹是以C,C2为焦点的椭圆，且2a=4,2c=2,得到a=2,c=1, 所以B=d2-c2=4-1=3,则r的方程为+上=1. 43 (2)设直线：y=x+1,A(x乃)，B(x2,y2),易知P(0,), y=x+1 由x2y2 42=1”消少得到3x2+4(x+1)=12,即7x2+8x+412-12=0, 8t①： 则△=6412-28(412-12）=336-482>0，且+名=- Xx2= 42-12②， 方，0 又PB=(x,-),PA=(,y-),且PB=7PA,所以x2=7x③， 由@3得到=7，由@8得到7=，12，所以7×4-2 7 497 整理得到t2=4,解得1=+2，满足△>0， 所以直线l的方程为y=x+2或y=x-2. 笃志慎思为天鸿弘毅博学弃凡雀 2026-2027上学期高二年级月考考试（数学)学科试卷 中 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高二数学组 审题人：高二数学组 DA XUE F 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知复数z满足2z+z=3-i,则z的虚部为() A.-1 B.1 C.-i D,-i 2.已知直线l:x-3y-4=0与l,:mx+(m-1)y-6=0平行，则这两条平行直线之间的距离为() A.2V10 B.V10 C.2 D.14v10 9三不十文白擗与名厚州(4w)学通‘学交身欲=，(+，x:O啊胖七=w+x A.至多一个 B.2 C.1 D.0 233 4。甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为行，年写则三人 中恰有两人合格的概率是() 9 11 13 A. B. 5 C. D. 20 30 30 5。已知焦点在精上的流四需+后=1的一条弦所在的直线方程是X-y+5=0,法的中友华标是 M(4,),则椭圆的短半轴长为() A.2 B.4 C.8 D.16 6.已知函数f(x)=2cos2x+sin'x,则下列正确的是() A.f(x)的最小正周期为2元 B.合 单调递减 c.f()在12'12 5π7π 上单调递增 D.f(x)的最大值为3 7.已知A(-2,0),B(1,0),若圆(x-5)2+(y-4)2=r2(r>0)上存在点P满足PA=2PB,则实数r的 最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 笃志慎思为天鸿 8. 已知椭圆C:+y F京+F=(a>b>0)的左、右焦点分别为R、R,过r作直线I与椭圆相交于M、N两 点，∠MFN=90°，且4F,N=3FM,则椭圆的离心率为() A.3 B. C.3 D. 3 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分。 9.下列说法正确的是() A.“直线ax-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”是“a=-1”的充分不必要条件 B。直线m0y+2=-0的板斜角0的取值范用足[0引[ C.实数xy满足方程x2+y-4x+1=0,则上的最大值是5 x+1 D.已知圆G:+少=1和圆G:x+y-4x=0的公共点为A,B,则A8= 2 10.直线：x-y+2+m=0和圆C:(x-1)2+y-2)2=9相交于M,N两点，则下列说法正确的是() A.直线I过定点(-1,2) B.IMWI的最小值为3 C.CM.CW的最小值为-9 D.圆C上到直线的距离为的点恰好有三个，则m=37 7 +y=1的左、右焦点分别为，乃，0为坐标原点，P为椭圆C上一点，则 A.PFPF的最大值为2 B,椭圆C的离心率为) C.椭圆C上存在点P,使得PE·P℉，=0 D.lOP+PE的最小值为2 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.经过两圆(x+3)+y2=13和x2+(y+3)=37的交点，且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程 1.已为横四C:等+茶-a>b>0)的左、有焦点分别为5(20,5B0,以5为铜心的丽远 原点O,且圆F上的点与C上的点间距离的最大值为8，则C的长轴长为 弘毅博学弃凡雀 14.正方形1BCD的四个顶点都在椭图等+卡-1口>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内品，则椭 4y2 圆的离心率的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 5.已知椭圆C:女 =1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),点M 3 V3 为椭圆C上一点，斜率为1 的直线I过点M,且与椭圆C的另一个交点为N. (1)求椭圆C的方程： (2)点P为椭圆C的上顶点，求aPMW的面积. 16.已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=4. (1)过点P(4,2)向圆C作切线1，求切线1的方程； (2)若Q为直线m:x-y+6=0上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M,求QM的最小值 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，△PCD为等边三角形，AB/1CD,CD⊥AD, CD=2AB=2AD=4. (1)求证：PB⊥CD: (2)若四棱锥P-ABCD的体积为4V3,求平面PAD与平面PBC的夹 D 角正弦值. 笃志慎思为天鸿 18.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c-acos B=b-V3 asin B (1)求A: (2)若△ABC的面积为4V3,内角A的角平分线交边BC于E,求AE的最大值 19.已知动圆过点C,（-1,0),且与圆C2:(x-1)2+y2=16相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线「. (1)求T的方程： (2)设斜率为1的直线I与「的交点为A,B,与y轴的交点为P,若PB=7PA,求直线l的方程