精品解析：广东东莞市第一中学2026-2027学年高二上学期10月段考数学试题

2026-2027学年第一学期东莞一中10月段考高二数学试卷 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A. 3x-19y=0 B. 19x-3y=0 C. 19x+3y=0 D. 3x+19y=0 6. 两条直线l1：和l2：在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知棱长为2的正方体，E，F分别为和的中点，则点B到EF的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面平面 B. 三棱锥的体积为 C. 与平面所成角的最小值为 D. 与所成角的余弦值为 二、多选题 9. 已知，，若为钝角，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线与直线平行 B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C. ，原点到直线的距离为4 D. 直线与直线垂直，则 11. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的斜率可能不存在 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线在轴上的截距为 D. 当时，直线的倾斜角的取值范围为． 三、填空题 12. 点到直线：的距离为_________________． 13. 点关于直线：的对称点为，则的坐标为_________________． 14. 我们已经学习了直线方程的概念：直线上的每一个点的坐标都是方程的解；反之，方程的解所对应的点都在直线上．同理，空间直角坐标系中，也可得到平面的方程：过点且一个法向量为的平面的方程为． 据上述知识解决问题：建立合适空间直角坐标系，已求得某倾斜墙面所在平面方程为：，若墙面外一点P的坐标为，则点P到平面的距离为________． 四、解答题 15. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 16. 设直线：与：． （1）若，求，之间的距离； （2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程． 17. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求面和面夹的余弦值． 18. 已知直线经过点，分别求出下列直线方程 （1）直线与直线垂直； （2）直线在两坐标轴上截距的绝对值相等． 19. 在中，，分别是上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期东莞一中10月段考高二数学试卷 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系关于坐标轴的对称点的特征即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 2. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知直线过点和点， 则直线斜率， 则直线的倾斜角满足， 又，故. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知空间向量，，向量在向量上的投影向量公式为：， 计算得：；， 所以投影向量为：. 4. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体  中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 5. 过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A. 3x-19y=0 B. 19x-3y=0 C. 19x+3y=0 D. 3x+19y=0 【答案】D 【解析】 【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 6. 两条直线l1：和l2：在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将两条直线分别化为截距式，结合图象逐一判断的符号，可得答案． 【详解】， 直线的横纵截距分别为：，直线的横纵截距分别为： 选项A：由可得，由可得，正确； 选项B：由可得，但,由可得，,错误； 选项C：由可得，由可得，错误； 选项D：由可得，由可得，错误； 故选：A 【点睛】本题考查直线的截距式方程，属基础题，对于已知表达式求函数图像的题目，可代入特殊点验证，可通过排除法得出选项. 7. 已知棱长为2的正方体，E，F分别为和的中点，则点B到EF的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在正方体中解，再在中用面积法求边上的高. 【详解】 连接、、，则为与中点， 因为E为的中点，所以, 又正方体边长为2，所以 ，，， ， 设B到EF的距离为，则 ，. 故选：A 8. 在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面平面 B. 三棱锥的体积为 C. 与平面所成角的最小值为 D. 与所成角的余弦值为 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件建立空间直角坐标系，对于选项A，通过判断两平面的法向量是否垂直，从而得出两平面是否垂直，进而判断出选项的正误；对于选项B，通过转换底面，得到，进而求出结果，从而判断出选项B的正误；对于选项C，利用线面角的向量公式求出，再利用的范围，确定的最小值，进而求出的最小值，从而判断出选项C的正误；对于选项D，利用线线角的向量公式，即可求出结果，进而判断出选项D的正误. 【详解】如图，取中点，由题意，，， 由余弦定理得， 故，即，又，所以, 又平面，且平面，平面， 故，， 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 由题意，，，，，，， 设，其中， 设面的法向量为，而，， 故有，即，令，则， 故面的一个法向量为， 设面的法向量为，而，， 故有，即，令，则， 故面的一个法向量为， 选项A，因为，不恒为0，故选项A错误； 选项B，由题意，，由于为中点，故，到面距离相等， 从而，所以选项B正确； 选项C，因为平面，所以平面的一个法向量，而， 设与面所成角为，故， 因为，所以当时，取最小值，此时取最小值，故选项C正确； 选项D，由题意，，， 故， 从而与所成角的余弦值为，故选项D正确. 故选：A. 二、多选题 9. 已知，，若为钝角，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】转化为且不平行. 【详解】若为钝角，则，得， 当，，得， 所以，且，选项中满足条件的只有或. 10. 已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线与直线平行 B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C. ，原点到直线的距离为4 D. 直线与直线垂直，则 【答案】CD 【解析】 【分析】求出直线的方程并判断与直线的关系，即可判断A；分截距为0和截距相等且不为0两种情况，求出，即可判断B；求出原点到直线的距离的取值范围，即可判断C；由两直线垂直求出，即可判断D. 【详解】当时，直线的方程为，与直线完全重合，故A错误； 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若截距相等，分两种情况： ①截距均为0，即时，解得； ②截距相等且不为0，即，解得， 综上，或，故B错误； 将直线变形为， 令，解得，所以直线恒过定点， 则，所以原点到直线的距离， 故，原点到直线的距离为4，故C正确； 若直线与直线垂直，则直线的斜率，则有， 解得，故D正确； 11. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的斜率可能不存在 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线在轴上的截距为 D. 当时，直线的倾斜角的取值范围为． 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线方程的形式，结合斜率、方向向量、截距的定义判断ABC选项，再结合余弦函数的取值范围，利用斜率与倾斜角的关系判断D选项． 【详解】选项A、已知直线：， 直线有意义时， 直线可变形为， 则斜率一定存在，故选项A错误； 选项B、直线的方向向量可表示为， 将其乘以非零常数，可得， 所以直线的一个方向向量为，故选项B正确； 选项C、直线：在轴上的截距是数值， 令得， 所以直线在轴上的截距为3，故选项C错误； 选项D、当时，， 则， 设倾斜角为，，得； 当时，， 则，， 结合，可得， 综上，直线的倾斜角的取值范围为，故选项D正确． 三、填空题 12. 点到直线：的距离为_________________． 【答案】4 【解析】 【详解】点到直线：的距离为. 13. 点关于直线：的对称点为，则的坐标为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用点关于直线对称的两个核心性质：两点连线与对称轴垂直、两点中点在对称轴上，列方程组求解对称点坐标． 【详解】设对称点的坐标为， 易得直线：的斜率为2， 由题意知与直线垂直， 则，整理得， 已知，， 则的中点为， 代入直线的方程得，整理得， 联立，可得， 故的坐标为． 14. 我们已经学习了直线方程的概念：直线上的每一个点的坐标都是方程的解；反之，方程的解所对应的点都在直线上．同理，空间直角坐标系中，也可得到平面的方程：过点且一个法向量为的平面的方程为． 据上述知识解决问题：建立合适空间直角坐标系，已求得某倾斜墙面所在平面方程为：，若墙面外一点P的坐标为，则点P到平面的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】确定平面过定点，平面的法向量为，计算，再计算距离得到结果. 【详解】平面的方程为，取，则平面的法向量为， ，则， 故点Q到平面的距离为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1）3 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【小问1详解】 因为，， 所以， . 【小问2详解】 ， ， ， 所以与的夹角为； 【小问3详解】 ， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 16. 设直线：与：． （1）若，求，之间的距离； （2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据平行求，再代入平行线间的距离公式，即可求解； （2）首先求两坐标轴上的截距，再表示三角形的面积，并求最值，即可求直线的方程. 【小问1详解】 若，则，，得（舍）或， 当时，，即，，，满足， 与之间的距离； 【小问2详解】 ：， 当时，，当时，，其中且， 由条件可知，且，得， 由条件可知，， 当时，取得最大值， 此时直线的方程为. 17. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求面和面夹的余弦值． 【答案】（1）证明：由于是等腰直角三角形，且， 故, 又三棱柱为直三棱柱，所以平面， 平面，故， 平面， 故平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系， , , 设平面的一个法向量为， 则令，则，故， 又平面的一个法向量为, 故, 故平面与平面的夹角余弦值为 18. 已知直线经过点，分别求出下列直线方程 （1）直线与直线垂直； （2）直线在两坐标轴上截距的绝对值相等． 【答案】（1） （2） 或 或 【解析】 【小问1详解】 直线的斜率为， 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线经过点， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当截距为零时，易得； 当截距不为零时，设为， 则当时，可得；当时，， 对应的直线方程分别为和. 综上，满足条件的直线方程为 或 或 . 19. 在中，，分别是上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为在中，，且， 所以，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知且都在面内， 所以平面； （2） （3） 存在；的长度为0 【解析】 【分析】（1）通过证明、证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得与平面所成角的大小. （3）假设在线段上存在点符合题意，根据平面与平面成角余弦值列方程，由此求得，进而求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，故， 由几何关系可知，， 故， ， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，故平面的一个法向量为， 设与平面所成角的大小为， 则有，所以， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为， 在空间直角坐标系中，设，其中，则， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，故平面的法向量为， 由（2）知平面的一个法向量为， 若平面与平面成角余弦值为， 则满足， 化简得，解得或（舍去），即与重合，， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为， 此时的长度为0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $