第12章 因式分解（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材沪教版五四制七年级上册

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第12章 因式分解·基础通关 建议用时：60分钟，满分：100分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D D D C B 二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.44 三．解答题（共7小题，满分52分） 19．（6分） 解：（1） ；.................................3分 （2） ．.................................6分 20．（6分） 解：（1）原式 ；.................................3分 （2）原式 ；.................................6分 21．（6分） 解：（1）342+34×32+162=342+2×34×16+162=(34+16)2=502=2500；.................................3分 （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=(-10)2=100．.................................6分 22．（8分） 证明：能被整除．理由如下： 又为正整数， 是整数， 能被整除．.................................8分 23．（8分） 解：（1）在等式，中， 分别令，， 即可求出：，.................................2分 （2）把代入，得其值为0， 则多项式可分解为的形式， 用上述方法可求得：，， 所以， ．.................................8分 解法二：把代入，得其值为0， 则多项式可分解为的形式， 用上述方法可求得：，， 所以， ．.................................8分 24．（8分） （1）解：根据题意可得，， ， ∴该整式一定有一个因式，没有因式， ∴小磊同学的想法是对的；.................................2分 （2）解：根据题意得： ∴将多项式进行因式分解为：； .................................5分 （3）解：根据题意得， ∴，， ∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴，．.................................8分 25．（10分） 解：（1）这个等式为：； 故答案为：；.................................3分 （2），.................................6分 如图所示： .................................10分 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第12章 因式分解·基础通关 建议用时：60分钟，满分：100分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列多项式能用平方差公式因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．如果是多项式的一个因式，则的值是（　　） A．6 B． C．7 D． 4．小组活动：把多项式因式分解．组长小明发现小组里有以下四种结果与自己的结果“”不同，他认真思考后，发现还有一种结果是正确的，你认为正确的是（　　） A． B． C． D． 5．先观察下列各式：①；②；③；④；下列选项成立的是（　　） A． B． C． D． 6．已知，，是△的三边长，且，则△的形状为（　　） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分） 7．多项式中各项的公因式是___________. 8．因式分解：___________. 9．因式分解：___________. 10．多项式能用完全平方公式分解因式，则___________. 11．分解因式：___________. 12．因式分解：___________. 13．因式分解：___________. 14．如果，那么括号内的整式是___________. 15．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为___________. 16．已知多项式可分解为两个整系数的一次因式的积，则___________. 17．如图，用1个边长为的正方形、1个边长为的正方形和2个长为、宽为的长方形可拼成一个正方形．请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解：___________. 18．1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为_____． 三．解答题（共7小题，满分52分） 19．（6分）分解因式： （1）； （2）． 20．（6分）分解因式： （1）； （2）； 21．（6分）利用因式分解计算： （1）342+34×32+162 （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92 22．（8分）求证：能被整除．（为正整数） 23．（8分）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出、后再代入，就可以把多项式因式分解． （1）求式子中、的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 24．（8分）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则必为的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 25．（10分）数形结合是常用的一种数学思想方法．在本章的学习中，数形结合思想贯穿始终． （1）课本利用图形（如图），借助面积关系表示了一个等式，这个等式为； （2）若给定一个多项式，请将此多项式分解因式并画出相应的图形（请仿照第（1）小题，在几何图形上标出有关数量）． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第12章 因式分解·基础通关 建议用时：60分钟，满分：100分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列多项式能用平方差公式因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．如果是多项式的一个因式，则的值是（　　） A．6 B． C．7 D． 4．小组活动：把多项式因式分解．组长小明发现小组里有以下四种结果与自己的结果“”不同，他认真思考后，发现还有一种结果是正确的，你认为正确的是（　　） A． B． C． D． 5．先观察下列各式：①；②；③；④；下列选项成立的是（　　） A． B． C． D． 6．已知，，是△的三边长，且，则△的形状为（　　） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分） 7．多项式中各项的公因式是___________. 8．因式分解：___________. 9．因式分解：___________. 10．多项式能用完全平方公式分解因式，则___________. 11．分解因式：___________. 12．因式分解：___________. 13．因式分解：___________. 14．如果，那么括号内的整式是___________. 15．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为___________. 16．已知多项式可分解为两个整系数的一次因式的积，则___________. 17．如图，用1个边长为的正方形、1个边长为的正方形和2个长为、宽为的长方形可拼成一个正方形．请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解：___________. 18．1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为_____． 三．解答题（共7小题，满分52分） 19．（6分）分解因式： （1）； （2）． 20．（6分）分解因式： （1）； （2）； 21．（6分）利用因式分解计算： （1）342+34×32+162 （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92 22．（8分）求证：能被整除．（为正整数） 23．（8分）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出、后再代入，就可以把多项式因式分解． （1）求式子中、的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 24．（8分）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则必为的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 25．（10分）数形结合是常用的一种数学思想方法．在本章的学习中，数形结合思想贯穿始终． （1）课本利用图形（如图），借助面积关系表示了一个等式，这个等式为； （2）若给定一个多项式，请将此多项式分解因式并画出相应的图形（请仿照第（1）小题，在几何图形上标出有关数量）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第12章 因式分解·基础通关 建议用时：60分钟，满分：100分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【解答】解：．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； ．右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； ．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； ．符合因式分解的定义，故本选项正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算． 2．下列多项式能用平方差公式因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平方差公式，逐项判断即可求解． 【解答】解：、不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意； 、是三项式，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意； ．是三项式，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意； ．，能用平方差公式因式分解，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握能用平方差公式分解的多项式特点． 3．如果是多项式的一个因式，则的值是（　　） A．6 B． C．7 D． 【答案】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，计算对比得出答案． 【解答】解：是多项式的一个因式， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的意义，利用整式的系数得出另一个因式是解决问题的关键． 4．小组活动：把多项式因式分解．组长小明发现小组里有以下四种结果与自己的结果“”不同，他认真思考后，发现还有一种结果是正确的，你认为正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先提出二次项系数，再利用完全平方公式进行分解即可． 【解答】解：， 故选：． 【点评】此题主要考查了分解因式，关键是掌握分解因式首先提公因式，再利用公式法进行分解，一定要分解彻底． 5．先观察下列各式：①；②；③；④；下列选项成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意得出数字变化规律，运用公式表示即可． 【解答】解：①；②；③；④； ． 故选：． 【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键． 6．已知，，是△的三边长，且，则△的形状为（　　） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】 【分析】欲判断三角形的形状，不妨试着从边的关系出发，求出、、之间的关系；给等式两边同时乘以2，再利用完全平方公式进行配方，可得到；接下来根据非负数的性质可得答案． 【解答】解：， ， ，即， ，，， ， △的形状为等边三角形． 故选：． 【点评】考查学生综合运用数学知识的能力．此题是一道把等边三角形的判定、因式分解和非负数的性质结合求解的综合题． 二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分） 7．多项式中各项的公因式是 　 　． 【答案】． 【分析】先变形得出，再找出多项式的公因式即可． 【解答】解：， 所以多项式中各项的公因式是． 故答案为：． 【点评】本题考查了公因式，能熟记找公因式的方法①系数找各项系数的最大公因数，②相同字母找最低次幂）是解此题的关键． 8．因式分解：___________ 【答案】． 【分析】提取公因式即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确掌握相关运算法则是解题关键， 9．因式分解：___________ 【答案】， 【分析】用十字相乘法因式分解． 【解答】解：， 故答案为：， 【点评】本题主要考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可知、是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出、的值是解题关键． 10．多项式能用完全平方公式分解因式，则___________ 【答案】． 【分析】先根据两平方确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【解答】解：多项式能用完全平方公式分解因式， 又：， ， 解得． 故答案为：． 11．分解因式：　 　． 【分析】首先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是熟练掌握平方差公式与完全平方公式，注意分解要彻底． 12．因式分解： 　 　． 【答案】． 【分析】将原式分组后进行因式分解即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查分组分解法因式分解，将原式进行正确的分组是解题的关键． 13．因式分解：　　． 【答案】． 【分析】先分组得到，再把第1组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式分解． 【解答】解：原式 ． 故答案为． 【点评】本题考查了分组分解法：分组分解一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 14．如果，那么括号内的整式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用． 将右边因式分解后判断即可． 【详解】解：， 可知括号内的整式是． 故答案为：． 15．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为_________． 【答案】 【分析】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解． 【详解】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为， ∴在＝x2+6x+8中，a＝6是正确的， ∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为， ∴在＝x2+10x+9中，b＝9是正确的， ∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝． 故答案为： 【点睛】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键． 16．已知多项式可分解为两个整系数的一次因式的积，则________________.. 【答案】 【分析】利用十字相乘的方法确定出a的值即可． 【详解】解： 或 所以 故答案为. 【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 17．如图，用1个边长为的正方形、1个边长为的正方形和2个长为、宽为的长方形可拼成一个正方形．请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解：__________________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，因式分解，掌握通过拼接图形面积相等推导完全平方公式的因式分解形式是解题的关键． 计算拼接前后图形的面积，利用面积相等得到多项式的因式分解． 【详解】解：拼接前所有图形的总面积为：一个边长为的正方形面积+一个边长为的正方形面积+两个长为、宽为的长方形面积． 即： 拼接后形成的大正方形，其边长为 所以大正方形的面积为： 根据拼接前后面积相等，可得： 所以，该多项式的因式分解为：． 故答案为：． 18．1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为_____． 【答案】44 【分析】本题考查了数字类规律，多项式乘法运算，因式分解的应用，有理数的乘法运算，解题的关键根据题意找出规律求解． 由题意可得，，则得到，据此求解即可． 【详解】解：第2斜列上第1个数记为，第2个数记为，第3个数记，第个数记为，即； 第3斜列上第1个数，第2个数，第3个数，第4个数，，那么第个数为， ∴由题意得，， ∴， 整理得，， 左边因式分解得，， 由有理数乘法可得，或或， 当时，解得（不符合题意，舍）； 当时，解得； 当时，方程组无解， ∴的值为44， 故答案为：44． 三．解答题（共7小题，满分52分） 19．（6分）分解因式： （1）； （2）． 【分析】（1）直接提取公因式，进而分解因式即可； （2）直接提取公因式，进而分解因式即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 20．（6分）分解因式： （1）； （2）； 【分析】（1）首先将拆成，多项式变为，然后分别利用公式法分解因式即可求解； （2）首先将拆成，多项式变为，然后分别利用公式法分解因式即可求解； 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； 21．（6分）利用因式分解计算： （1）342+34×32+162 （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92 【答案】（1）2500；（2）100． 【分析】（1）转化为完全平方公式形式，计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）342+34×32+162=342+2×34×16+162=(34+16)2=502=2500； （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=(-10)2=100． 【点睛】本题考查了根据完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方式的特点是解题关键． 22．（8分）求证：能被整除．（为正整数） 【答案】 证明：能被整除．理由如下： 又为正整数， 是整数， 能被整除． 23．（8分）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出、后再代入，就可以把多项式因式分解． （1）求式子中、的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 【分析】（1）根据，得出有关，的方程组求出即可； （2）由把代入，得其值为0，则多项式可分解为的形式，进而将多项式分解得出答案． 【解答】解：（1）在等式，中， 分别令，， 即可求出：， （2）把代入，得其值为0， 则多项式可分解为的形式， 用上述方法可求得：，， 所以， ． 解法二：把代入，得其值为0， 则多项式可分解为的形式， 用上述方法可求得：，， 所以， ． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法． 24．（8分）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则必为的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 【答案】(1)小磊 (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方式，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，掌握题目提供的方法； （1）根据题目中提供的信息进行解答即可； （2）根据老师提供的方法进行解答即可； （3）根据题意列出竖式，得出，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，得出，求出m、n的值． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ， ∴该整式一定有一个因式，没有因式， ∴小磊同学的想法是对的； （2）解：根据题意得： ∴将多项式进行因式分解为：； （3）解：根据题意得， ∴，， ∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴，． 25．（10分）数形结合是常用的一种数学思想方法．在本章的学习中，数形结合思想贯穿始终． （1）课本利用图形（如图），借助面积关系表示了一个等式，这个等式为； （2）若给定一个多项式，请将此多项式分解因式并画出相应的图形（请仿照第（1）小题，在几何图形上标出有关数量）． 【答案】（1）； （2），图形见解答． 【分析】（1）根据正方形的面积公式可得这个等式； （2）先根据十字相乘法分解因式，再根据长方形的面积公式确定边长并画图即可． 【解答】解：（1）这个等式为：； 故答案为：； （2）， 如图所示： 【点评】本题考查了整式乘法的几何背景和十字相乘法的因式分解，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $