第九章 因式分解（单元自测·基础卷）数学新教材冀教版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 因式分解·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B D B D B C B B A C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15． 16． 3 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据平方差公式可进行分解因式； （2）根据提公因式及完全平方公式可进行分解因式． 【详解】（1）解：原式；····························3分 （2）解：原式．·································7分 18．（8分） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由平方差公式可分解因式为，然后问题可求解 【详解】证明： ，································6分 ∴当n为整数时，是8的倍数．·································8分 19．（8分） 【答案】11；9；5；4 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用平方差公式． 验证：通过计算可知，即可得出答案； 探究：应用因式分解的方法计算得到，据此可得出结论； 延伸：首先设两个连续的偶数分别为：，再计算得到，据此可得出答案． 【详解】验证：， 所以是8的倍数；·································3分 探究：两个连续奇数，的平方差是8的倍数．证明如下： ∵， ∴两个连续奇数，的平方差是8的倍数．·································6分 延伸：两个连续偶数的平方差是4的倍数． 理由如下：设两个连续的偶数分别为：， ∵， ∴两个连续偶数的平方差是4的倍数． 故答案为：11；9；5；4．·································8分 20．（8分） 【答案】（1）；（2）①C；②否；（3） 【分析】本题考查了因式分解， （1）利用综合提公因式和公式法分解因式即可； （2）①读懂每一步即可完成；②根据因式分解必须分解到再也不能分解为止即可作出判断；③模仿小亮同学的分解方法进行分解即可． 【详解】解：（1）·································2分 （2）①该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C；·································4分 ②由于是一个完全平方式，用完全平方公式可继续分解，所以不是最后分解的结果； 故答案为：否；·································6分 ③设 原式 ．·································8分 21．（9分） 【答案】(1)需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片，计算见解析 (2) (3)12，1，1 【分析】（1）计算，即可得到答案； （2）计算，即可得到答案； （3）利用完全平方公式，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片；·································3分 （2）解：∵1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片， ∴， ∴该正方形的边长为；·································6分 （3）解：∵，， ∴； ∵，， ∴，， 解得，．·································9分 22．（9分） 【答案】（1）；（2）黑色圆环面积的和为；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据平方差公式直接求解； （2）由题意得，黑色圆环面积的和为，再进行因式分解求解即可； （3）利用平方差公式因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：；·································2分 （2）解： ． 答：黑色圆环面积的和为．·································5分 （3）解： ．·································9分 23．（11分） 【答案】(1) (2)①见解析；② 28 【分析】本题主要考查配方法的运用，掌握完全平方公式的变形计算是关键． （1）根据材料提示，运用配方法即可求解； （2）①运用配方法，结合偶次幂的非负性求解即可；②运用配方法，结合偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： = ；·································3分 （2）解：① ， ∵， ∴代数式， 即有最小值为；·································6分 ② ， ∵， ∴，有最大值为28， 即的最大值为28．·································11分 24．（12分） 【答案】(1)；； (2)；． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ；·································3分 解：， ；·································6分 （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：；·································9分 ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：．·································12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 因式分解·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26八年级上·河北唐山·月考）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 通过观察表达式，发现与相等，因此两项均含有公因式． 【详解】解：， ∴ 原式． ∵ 两项都含有因式， ∴ 公因式是． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）把分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，本题可以用提取公因式法，公因式确定方法：系数取各项系数的最大公因数，相同字母因数取最小指数． 通过提取公因式法，找出各项的公因式为，然后进行因式分解． 【详解】解：A、，未提取完全，故本选项不符合题意； B、，符合因式分解的要求，故本选项符合题意； C、，未提取完全，故本选项不符合题意； D、，括号内错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级上·河北保定·期末）关于下列自左向右的两个变形，其中说法正确的是（    ） 甲：；乙：． A．甲、乙均是因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解的定义． 因式分解需将多项式分解为整式的乘积，甲中左边为单项式，乙中右边为和的形式，均不满足定义． 【详解】解：∵ 因式分解的对象必须是多项式，甲中是单项式， ∴ 甲不是因式分解． ∵ 因式分解的结果必须是整式的乘积，乙中是和的形式， ∴ 乙不是因式分解． ∴ 甲、乙均不是因式分解， 故选B． 4．（25-26八年级上·河北唐山·期末）将因式分解后，则“□”内所填的整式为（   ） A．x B． C．2x D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．通过提取公因式法因式分解即可． 【详解】解：∵ ， 故选：D． 5．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）已知，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解及整式的乘法，熟练掌握因式分解及整式的乘法是解题的关键；通过展开因式并比较多项式系数即可求解． 【详解】解：∵=， 展开右边：， 比较系数得：， ∴， ∴， 常数项与左边一致， ∴a的值为3； 故选B． 6．（2026·河北沧州·二模）下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用提取公因式法对原式分解因式，根据分解结果得到原式的因数，即可选出不能整除原式的选项． 【详解】解：， 因此不能被整除， 故选：D． 7．（2026·河北秦皇岛·一模）嘉嘉借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，淇淇发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】B 【分析】根据平方差公式分解因式的特点，多项式需为两个平方项且符号相反，据此逐一判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：可化为的形式，即两个平方项符号相反． ∵①，符合平方差形式，可以分解； ②，两个平方项符号相同，无法写成平方差的形式，不能分解； ③，符合平方差形式，可以分解； ④，符合平方差形式，可以分解． ∴不能按要求分解因式的是②题． 8．（25-26八年级下·河南郑州·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算．运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握利用提取公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键． 甲：利用平方差公式进行因式分解即可；乙：利用完全平方公式进行因式分解即可；丙：有理数范围内不能进行因式分解；丁：利用提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，在有理数范围内不能因式分解，符合题意； D、丁：，故此选项不符合题意； 故选：C． 9．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）已知一个长方形的长和宽分别为m和n，满足 ，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．通过因式分解，将所求表达式转化为已知条件的乘积． 【详解】解：，， ． 故选：B． 10．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键． 对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 11．（24-25九年级下·安徽合肥·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 12．（2026·江苏泰州·一模）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 【答案】C 【分析】设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，根据题意可得为完全平方式，据此即可解答． 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，，代数式的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 14．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）多项式与多项式的公因式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，提公因式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分别将多项式和多项式进行因式分解，再寻找它们的公因式． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式为． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法，将多项式分组为完全平方式与平方差形式，然后应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·天津和平·期末）已知，则___________；则___________． 【答案】 3 【分析】根据因式分解的提公因式法分解因式，利用整体代入的方法即可求得第一个空的解； 分解第二个因式后把写成再重新组合，进行提公因式，最后整体代入即可求得第二个空的解． 【详解】∵ ∴， ∴ 故答案为：3； 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是整体思想的运用． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据平方差公式可进行分解因式； （2）根据提公因式及完全平方公式可进行分解因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 18．（8分）（25-26八年级上·福建莆田·月考）求证：当n为整数时，是8的倍数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由平方差公式可分解因式为，然后问题可求解 【详解】证明： ， ∴当n为整数时，是8的倍数． 19．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·期末）发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 验证：如，（________________）________， 所以是8的倍数； 探究：设两个连续奇数为，（其中n为正整数），请说明“发现”中的结论正确； 延伸：两个连续偶数的平方差是________的倍数（填最大整数值）． 【答案】11；9；5；4 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用平方差公式． 验证：通过计算可知，即可得出答案； 探究：应用因式分解的方法计算得到，据此可得出结论； 延伸：首先设两个连续的偶数分别为：，再计算得到，据此可得出答案． 【详解】验证：， 所以是8的倍数； 探究：两个连续奇数，的平方差是8的倍数．证明如下： ∵， ∴两个连续奇数，的平方差是8的倍数． 延伸：两个连续偶数的平方差是4的倍数． 理由如下：设两个连续的偶数分别为：， ∵， ∴两个连续偶数的平方差是4的倍数． 故答案为：11；9；5；4． 20．（8分）（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）（1）因式分解： （2）整体思想：下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． ①该同学第二步到第三步运用了因式分解的（） A．提取公因式B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式 ②该同学在第四步将用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？(填“是”或“否”)； ③请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）；（2）①C；②否；（3） 【分析】本题考查了因式分解， （1）利用综合提公因式和公式法分解因式即可； （2）①读懂每一步即可完成；②根据因式分解必须分解到再也不能分解为止即可作出判断；③模仿小亮同学的分解方法进行分解即可． 【详解】解：（1） （2）①该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； ②由于是一个完全平方式，用完全平方公式可继续分解，所以不是最后分解的结果； 故答案为：否； ③设 原式 ． 21．（9分）（2026·河北·模拟预测）利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． (1)【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； (2)【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； (3)【应用】若，则______；若，则_______，_______． 【答案】(1)需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片，计算见解析 (2) (3)12，1，1 【分析】（1）计算，即可得到答案； （2）计算，即可得到答案； （3）利用完全平方公式，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片； （2）解：∵1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片， ∴， ∴该正方形的边长为； （3）解：∵，， ∴； ∵，， ∴，， 解得，． 22．（9分）（25-26八年级上·河北衡水·期末）综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 【答案】（1）；（2）黑色圆环面积的和为；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据平方差公式直接求解； （2）由题意得，黑色圆环面积的和为，再进行因式分解求解即可； （3）利用平方差公式因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 答：黑色圆环面积的和为． （3）解： ． 23．（11分）（25-26八年级上·河北保定·期末）阅读材料，解决问题： 教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以解决很多问题． 例如：分解因式， 原式， 再如：小丽的思考：代数式，无论a取何值，，再加4，则代数式，即有最小值为4． (1)根据材料，利用配方法进行因式分解：； (2)请仿照小丽的思考， ①说明：代数式的最小值为； ②直接写出代数式的最大值为______． 【答案】(1) (2)①见解析；② 28 【分析】本题主要考查配方法的运用，掌握完全平方公式的变形计算是关键． （1）根据材料提示，运用配方法即可求解； （2）①运用配方法，结合偶次幂的非负性求解即可；②运用配方法，结合偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： = ； （2）解：① ， ∵， ∴代数式， 即有最小值为； ② ， ∵， ∴，有最大值为28， 即的最大值为28． 24．（12分）（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 【答案】(1)；； (2)；． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 因式分解·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26八年级上·河北唐山·月考）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）把分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北保定·期末）关于下列自左向右的两个变形，其中说法正确的是（    ） 甲：；乙：． A．甲、乙均是因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 4．（25-26八年级上·河北唐山·期末）将因式分解后，则“□”内所填的整式为（   ） A．x B． C．2x D． 5．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）已知，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 6．（2026·河北沧州·二模）下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·河北秦皇岛·一模）嘉嘉借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，淇淇发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 8．（25-26八年级下·河南郑州·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算．运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 9．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）已知一个长方形的长和宽分别为m和n，满足 ，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 11．（24-25九年级下·安徽合肥·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 12．（2026·江苏泰州·一模）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，，代数式的值为______． 14．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）多项式与多项式的公因式是__________． 15．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 16．（25-26八年级上·天津和平·期末）已知，则___________；则___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）分解因式 (1) (2) 18．（8分）（25-26八年级上·福建莆田·月考）求证：当n为整数时，是8的倍数． 19．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·期末）发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 验证：如，（________________）________， 所以是8的倍数； 探究：设两个连续奇数为，（其中n为正整数），请说明“发现”中的结论正确； 延伸：两个连续偶数的平方差是________的倍数（填最大整数值）． 20．（8分）（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）（1）因式分解： （2）整体思想：下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． ①该同学第二步到第三步运用了因式分解的（） A．提取公因式B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式 ②该同学在第四步将用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？(填“是”或“否”)； ③请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 21．（9分）（2026·河北·模拟预测）利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． (1)【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； (2)【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； (3)【应用】若，则______；若，则_______，_______． 22．（9分）（25-26八年级上·河北衡水·期末）综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 23．（11分）（25-26八年级上·河北保定·期末）阅读材料，解决问题： 教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以解决很多问题． 例如：分解因式， 原式， 再如：小丽的思考：代数式，无论a取何值，，再加4，则代数式，即有最小值为4． (1)根据材料，利用配方法进行因式分解：； (2)请仿照小丽的思考， ①说明：代数式的最小值为； ②直接写出代数式的最大值为______． 24．（12分）（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 因式分解·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26八年级上·河北唐山·月考）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）把分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北保定·期末）关于下列自左向右的两个变形，其中说法正确的是（    ） 甲：；乙：． A．甲、乙均是因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 4．（25-26八年级上·河北唐山·期末）将因式分解后，则“□”内所填的整式为（   ） A．x B． C．2x D． 5．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）已知，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 6．（2026·河北沧州·二模）下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·河北秦皇岛·一模）嘉嘉借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，淇淇发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 8．（25-26八年级下·河南郑州·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算．运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 9．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）已知一个长方形的长和宽分别为m和n，满足 ，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 11．（24-25九年级下·安徽合肥·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 12．（2026·江苏泰州·一模）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，，代数式的值为______． 14．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）多项式与多项式的公因式是__________． 15．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 16．（25-26八年级上·天津和平·期末）已知，则___________；则___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）分解因式 (1) (2) 18．（8分）（25-26八年级上·福建莆田·月考）求证：当n为整数时，是8的倍数． 19．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·期末）发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 验证：如，（________________）________， 所以是8的倍数； 探究：设两个连续奇数为，（其中n为正整数），请说明“发现”中的结论正确； 延伸：两个连续偶数的平方差是________的倍数（填最大整数值）． 20．（8分）（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）（1）因式分解： （2）整体思想：下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． ①该同学第二步到第三步运用了因式分解的（） A．提取公因式B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式 ②该同学在第四步将用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？(填“是”或“否”)； ③请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 21．（9分）（2026·河北·模拟预测）利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． (1)【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； (2)【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； (3)【应用】若，则______；若，则_______，_______． 22．（9分）（25-26八年级上·河北衡水·期末）综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 23．（11分）（25-26八年级上·河北保定·期末）阅读材料，解决问题： 教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以解决很多问题． 例如：分解因式， 原式， 再如：小丽的思考：代数式，无论a取何值，，再加4，则代数式，即有最小值为4． (1)根据材料，利用配方法进行因式分解：； (2)请仿照小丽的思考， ①说明：代数式的最小值为； ②直接写出代数式的最大值为______． 24．（12分）（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $