第十六章 一元二次方程（单元自测·基础卷）数学新教材北京版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十六章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·北京西城·月考）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键． 含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次方程；据此进行逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.原方程可化为，未知数的次数最高是1，不符合一元二次方程的定义，故不符合题意； B.是一元一次方程，故不符合题意； C.是分式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； D.是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级下·北京·月考）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟知配方法是解答的关键．使用配方法，将常数项移项后，加上一次项系数一半的平方，完成配方即可． 【详解】解：∵方程， ∴移项得， ∴方程两边加16得， 即， ∴此方程可化为． 故选：A． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，求代数式的值，利用方程根的定义，将代入方程后变形即可求解． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ， ∴ ， 故选A． 4．（25-26九年级上·北京顺义·期末）生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2020年全国生活垃圾无害化处理能力约为3.6亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2025年提升到约8亿吨．如果设这几年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查增长率问题的数学模型，掌握（为初始量，为年平均增长率，为增长年数，为最终量）是解题关键． 根据年平均增长率的变化规律，结合初始量、增长年数和最终量列出方程即可． 【详解】解：∵ 2020年全国生活垃圾无害化处理能力为亿吨，年平均增长率为， 又∵2020年到2025年共经过5年，且2025年处理能力约为亿吨， ∴经过5年增长后，处理能力可表示为亿吨， ∴可列方程为， 故选C． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根分别为和， ∴， 故选：C． 6．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的近似解的确定，熟练掌握“通过函数值的变化趋势确定方程解的区间”是解题的关键． 通过对比表格中的取值与1.1的大小关系，确定方程解的区间． 【详解】解：∵当时，， ∵当时，， ∵随的增大而增大， ∴方程的一个解在与之间，即， 故选：C． 7．（24-25九年级上·北京·期末）对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（    ） A． B．20 C．202 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算和一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．根据题意得到关于的一元二次方程，然后求得根的判别式的值，再根据有两个不相等的实数，满足，求出的取值范围，再选择即可． 【详解】解：， ， 整理得， 有两个不相等的实数，满足， ，且， ，且， 只有选项A符合， 故选：A ． 8．（25-26八年级下·北京海淀·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26八年级下·北京门头沟·月考）一元二次方程的根是_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本步骤，是解题的关键．根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得 ， 因式分解得， 所以或， 解得：或． 故答案为：或． 10．（25-26八年级下·北京通州·月考）已知某种营养素在果蔬储存过程中，每天因氧化分解导致含量减少．若经过天后，该营养素的含量降为原来的．设这种营养素的日平均分解率为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确地列出方程，是解题的关键．设营养素的初始含量为，日平均分解率为，则每天后剩余含量为前一天的倍．经过天后，剩余含量为，根据题意，该值等于，从而列出方程． 【详解】解：设营养素的初始含量为，日平均分解率为，则每天后剩余含量为前一天的倍． 经过天后，剩余含量为， 根据题意得：． 故答案为：． 11．（25-26九年级下·北京·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解不等式得， 即的取值范围是． 12．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 【答案】14 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解一元二次方程得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：， ， 解得 或 ， 当腰长为3时，三边为3、3、6， ∵ ，不构成三角形； 当腰长为4时，三边为4、4、6，满足三角形三边关系， ∴周长为 ． 故答案为：14． 13．（25-26八年级下·北京·月考）设，是方程的两个根，则________． 【答案】10 【分析】利用方程根的定义，将根代入方程得到关于和的等式，再对所求代数式进行整体代换，最后结合韦达定理完成计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 因此． 同理，也是方程的根， ∴． 因此． 于是，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入思想，解题关键是利用根的定义对代数式进行降次与代换，避免直接求解方程根的复杂计算． 14．（2025九年级下·北京·专题练习）学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为厘米和厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸(如图)．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则彩纸条的宽为_____． 【答案】厘米 【分析】本题考查一元二次方程在面积问题中的实际应用，关键是结合彩纸与相片面积的数量关系建立方程求解．首先设彩纸宽为厘米，分析得出镶彩纸后大长方形的长和宽；然后根据“彩纸面积=大长方形面积-相片面积”列出一元二次方程；最后解方程并舍去不符合实际的负根，得到彩纸的宽． 【详解】解：设彩纸条的宽为厘米． 镶上彩纸后，大长方形的长为厘米，宽为厘米，其面积为平方厘米； 由彩纸面积=大长方形面积-相片面积，可列方程： ， 化简整理得：， 因式分解得：， 解得：，(舍去)； 故答案为：厘米． 15．（23-24八年级上·上海金山·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据整数，是正整数，可得出或，然后分情况求出c的值，再验证即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和， ∴， ∵， ∴， 即可得出：，， ∵整数，是正整数， ∴或， 根据题意可知：， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 综上：或． 故答案为：或． 16．（25-26九年级上·全国·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】2024 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中“同族二次方程”的定义是解题关键．利用“同族二次方程”定义可得，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程求解，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ， ， ，， 解得：，， 将，代入，得， ，且 代数式的最小值是2024， 故答案为：2024． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25九年级上·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）先化为一般式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：，； （2）解：， 整理得：， 因式分解得， ∴或， 解得：，． 18．（5分）（24-25九年级上·河北承德·月考）阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． 解：移项，得，① 两边同除以2，得，② 配方，得，③ 即， 或，④ ，．⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；等式两边没有同时加4 (2)见解析 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程： （1）步骤③中，等式两边没有同时加4； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤 ③（填序号），错误的原因是等式两边没有同时加4； 故答案为：③ ，等式两边没有同时加4； （2）解：移项，得， 两边同除以2，得， 配方，得，即， 或， ，． 19．（6分）（25-26九年级上·北京海淀·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及平方差公式，熟练掌握一元二次方程的解及平方差公式是解题的关键；由题意易得，然后根据整体代入进行求解即可． 【详解】解：原式 ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴原式． 20．（6分）（25-26九年级上·北京密云·期中）目前，共享单车已成为居民不可或缺的出行选择之一，是实现绿色出行的重要工具．已知某地区从1月到5月的共享单车投放量如右图所示．求2月至4月共享单车投放量的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设共享单车投放量的月平均增长率为x，根据2月、4月份的共享单车投放量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设月至月共享单车投放量的月平均增长率为x， ，(不符合题意舍去) 答：2月至4月共享单车投放量的月平均增长率为． 21．（6分）（25-26九年级上·北京门头沟·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个实数根为2，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是掌握以上知识． （1）求出，然后问题可求证； （2）由的一个实数根为2，可得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：由可知： ， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵的一个实数根为2， ∴， 解得，； ∴m的值为或． 22．（8分）（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 23．（8分）（25-26八年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 24．（8分）（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）如图是证明勾股定理时可用到的一个图形，，，是和的边长，我们把关于x的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”，请解决下列问题： (1)请结合图形证明勾股定理，并判断关于x的“弦系一元二次方程”是否有实根？ (2)若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求四边形的面积？ 【答案】(1)证明见解析；一定有实根 (2) 【分析】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的证明，完全平方公式及一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是理解“弦系一元二次方程”的定义，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用证明，得出，进而得出，利用梯形面积公式即可得出，利用一元二次方程根的判别式可得，即可得出一定有实根； （2）把代入可得，利用勾股定理及完全平方公式得出，根据四边形的周长是，得出，根据即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：由图可知，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴一定有实根． （2）解：∵是“弦系一元二次方程”的一个根， ∴，即， ∴， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， 解得：， ∴ ． 25．（10分）（25-26九年级上·四川成都·期末）阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为；（2），理由见解析；（3）①；②当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米 【分析】本题主要考查了配方法的应用，一元一次不等式组的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）把原代数式变形为，再仿照题意求解即可； （2）利用作差法得到，据此可得结论； （3）①根据篱笆的长度可求出对应的关系式，再根据墙的长度和x要为正数列出不等式组求出x的取值范围即可；②根据矩形的面积公式列出矩形的面积关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2），理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①由题意得，， ∵， ∴， ∴； ②设围成的矩形菜地的面积为S， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，S有最大值，最大值为162， ∴当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米． 26．（10分）（24-25八年级下·北京东城·月考）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先模仿题干过程，得出，再整理得，然后运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）由得出，因为关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，故，代入求出，最后把代入，解得； （3）依题意，，令，原方程化为，此时，无实数根，整理得，又因为，当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根，故，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， 令，原方程化为， ∴， 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， ∴原方程的解为或 （2）解：∵， ∴， ∵关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根， ∴， 解得， ∴ ∴ 解得， 依题意，把代入， 得， ∴， 解得； （3）解：依题意，， 令，原方程化为，此时， 即，无实数根， ∴ ， 又∵， 当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根， ∴， 则， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十六章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·北京西城·月考）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京·月考）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 4．（25-26九年级上·北京顺义·期末）生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2020年全国生活垃圾无害化处理能力约为3.6亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2025年提升到约8亿吨．如果设这几年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A．1 B． C． D． 6．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·北京·期末）对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（    ） A． B．20 C．202 D．2025 8．（25-26八年级下·北京海淀·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26八年级下·北京门头沟·月考）一元二次方程的根是_____． 10．（25-26八年级下·北京通州·月考）已知某种营养素在果蔬储存过程中，每天因氧化分解导致含量减少．若经过天后，该营养素的含量降为原来的．设这种营养素的日平均分解率为，则根据题意可列方程为_____． 11．（25-26九年级下·北京·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 12．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 13．（25-26八年级下·北京·月考）设，是方程的两个根，则________． 14．（2025九年级下·北京·专题练习）学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为厘米和厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸(如图)．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则彩纸条的宽为_____． 15．（23-24八年级上·上海金山·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 16．（25-26九年级上·全国·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25九年级上·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 18．（5分）（24-25九年级上·河北承德·月考）阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． 解：移项，得，① 两边同除以2，得，② 配方，得，③ 即， 或，④ ，．⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 19．（6分）（25-26九年级上·北京海淀·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 20．（6分）（25-26九年级上·北京密云·期中）目前，共享单车已成为居民不可或缺的出行选择之一，是实现绿色出行的重要工具．已知某地区从1月到5月的共享单车投放量如右图所示．求2月至4月共享单车投放量的月平均增长率． 21．（6分）（25-26九年级上·北京门头沟·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个实数根为2，求的值． 22．（8分）（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 23．（8分）（25-26八年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 24．（8分）（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）如图是证明勾股定理时可用到的一个图形，，，是和的边长，我们把关于x的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”，请解决下列问题： (1)请结合图形证明勾股定理，并判断关于x的“弦系一元二次方程”是否有实根？ (2)若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求四边形的面积？ 25．（10分）（25-26九年级上·四川成都·期末）阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 26．（10分）（24-25八年级下·北京东城·月考）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十六章 一元二次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D A A C C C A A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．或 10． 11．/ 12．14 13．10 14．厘米 15．或 16．2024 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：，；·································2分 （2）解：， 整理得：， 因式分解得， ∴或， 解得：，．································5分 18．（5分） 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤 ③（填序号），错误的原因是等式两边没有同时加4； 故答案为：③ ，等式两边没有同时加4；································3分 （2）解：移项，得， 两边同除以2，得， 配方，得，即， 或， ，．································5分 19．（6分） 【详解】解：原式································2分 ∵是方程的一个根， ∴，即，································4分 ∴原式．································6分 20．（6分） 【详解】解：设月至月共享单车投放量的月平均增长率为x， ································2分 ，(不符合题意舍去)································4分 答：2月至4月共享单车投放量的月平均增长率为．································6分 21．（6分） 【详解】（1）证明：由可知： ， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根；································3分 （2）解：∵的一个实数根为2， ∴， 解得，； ∴m的值为或．································6分 22．（8分） 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得································2分 当时，，解得．································4分 （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得································6分 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：．································8分 23．（8分） 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程，································3分 （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得；································8分 24．（8分） 【详解】（1）证明：由图可知，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴一定有实根．································3分 （2）解：∵是“弦系一元二次方程”的一个根， ∴，即， ∴， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， 解得：，································6分 ∴ ．································8分 25．（10分） 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为；································3分 （2），理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴；································6分 （2）①由题意得，， ∵， ∴， ∴； ②设围成的矩形菜地的面积为S， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，S有最大值，最大值为162， ∴当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米．································10分 26．（10分） 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， 令，原方程化为， ∴， 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， ∴原方程的解为或································3分 （2）解：∵， ∴， ∵关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根， ∴， 解得， ∴ ∴ 解得， 依题意，把代入， 得， ∴， 解得；································7分 （3）解：依题意，， 令，原方程化为，此时， 即，无实数根， ∴ ， 又∵， 当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根， ∴， 则， ∴， 解得．································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十六章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·北京西城·月考）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京·月考）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 4．（25-26九年级上·北京顺义·期末）生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2020年全国生活垃圾无害化处理能力约为3.6亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2025年提升到约8亿吨．如果设这几年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A．1 B． C． D． 6．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·北京·期末）对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（    ） A． B．20 C．202 D．2025 8．（25-26八年级下·北京海淀·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26八年级下·北京门头沟·月考）一元二次方程的根是_____． 10．（25-26八年级下·北京通州·月考）已知某种营养素在果蔬储存过程中，每天因氧化分解导致含量减少．若经过天后，该营养素的含量降为原来的．设这种营养素的日平均分解率为，则根据题意可列方程为_____． 11．（25-26九年级下·北京·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 12．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 13．（25-26八年级下·北京·月考）设，是方程的两个根，则________． 14．（2025九年级下·北京·专题练习）学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为厘米和厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸(如图)．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则彩纸条的宽为_____． 15．（23-24八年级上·上海金山·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 16．（25-26九年级上·全国·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25九年级上·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 18．（5分）（24-25九年级上·河北承德·月考）阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． 解：移项，得，① 两边同除以2，得，② 配方，得，③ 即， 或，④ ，．⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 19．（6分）（25-26九年级上·北京海淀·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 20．（6分）（25-26九年级上·北京密云·期中）目前，共享单车已成为居民不可或缺的出行选择之一，是实现绿色出行的重要工具．已知某地区从1月到5月的共享单车投放量如右图所示．求2月至4月共享单车投放量的月平均增长率． 21．（6分）（25-26九年级上·北京门头沟·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个实数根为2，求的值． 22．（8分）（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 23．（8分）（25-26八年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 24．（8分）（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）如图是证明勾股定理时可用到的一个图形，，，是和的边长，我们把关于x的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”，请解决下列问题： (1)请结合图形证明勾股定理，并判断关于x的“弦系一元二次方程”是否有实根？ (2)若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求四边形的面积？ 25．（10分）（25-26九年级上·四川成都·期末）阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 26．（10分）（24-25八年级下·北京东城·月考）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $