第21章《一元二次方程》冲刺卷 2026-2027学年上海市沪教版（五四制）数学八年级上册

21章《一元二次方程》2026-2027学年上海市沪教版（五四制）数学 八年级冲刺卷 一、选择题： 本大题共6小题，共18分。 1.下列方程中，一元二次方程有(    ) ①；②；③；④；⑤ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2.方程  的解是(    ) A. B. 或 C. D. 或  3.用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 4.关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 5.下列多项式在实数范围内能分解因式的是(    ) A. ； B. ； C. ； D. 6.如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共12小题，共24分。 7.方程是关于x的一元二次方程，          . 8.方程的根是________. 9.关于x的方程有两个实数根，若其中一根为，则_______. 10.若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为          . 11.已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为          . 12.请写出以为根的一个一元二次方程______. 13.如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每个长方形地砖的面积为          . 14.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩．设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程：_______________. 15.若关于x的方程无解，则a的值是__________. 16.随着电影《奇迹笨小孩》热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用800元和1200元两次购进该小说，第二次数量是第一次的2倍，且第二次进价比第一次进价便宜8元/套，设书店第一次购进x套，根据题意，列方程          . 17.已知，是关于x的方程的两个不相等的实数根.若，且k，，都是整数，则k的值为          . 18.已知m，n是方程的两个不相等的实数根，则 __. 三、计算题：本大题共2大题，3小题，共18分。 19.解方程： 20.在实数范围内分解因式．；                     四、解答题：本大题共6小题，共40分。 21.已知关于x的一元二次方程 若方程有两个实数根，求m的范围； 若方程的两个实数根为和，，求m的值． 22.关于x的一元二次方程 如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围； 如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根 23.如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门建在EF处，另用其他材料 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24.松江区于4月22日，举办“ G60”上海佘山半程马拉松比赛，主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由A厂家完成，已知A厂家要在规定的天数内生产3600对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求 A厂家在原计划基础上增加的总量，而且还要比原计划提前3天完成.经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20对.求原计划每天生产多少对护膝. 25.已知一元二次方程 求证：当时，方程总有两个不相等的实数根； 若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求b的值以及这个等腰三角形的周长． 26.阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则 材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根． 材料理解：一元二次方程 两个根为，则_____，______. 应用探究：已知两实数m，n满足，求的值。 思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义.判断一个方程是否是一元二次方程时，首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是 【解答】 解：①符合一元二次方程定义，正确； ②方程含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，错误； ③是整式方程，不符合一元二次方程定义，错误； ④符合一元二次方程定义，正确； ⑤符合一元二次方程定义，正确． 故选： 2.【答案】D  【解析】解：方程移项得：， 分解因式得：， 解得：或， 故选： 方程移项后，利用因式分解法求出解即可． 此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 3.【答案】B  【解析】，，则，即，故选 4.【答案】C  【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根， 且， 解得且， 故选： 根据关于x的一元二次方程有实数根知且，解之即可． 本题主要考查根的判别式、一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当时，方程有两个相等的两个实数根； ③当时，方程无实数根． 5.【答案】B  【解析】解：，不能分解因式，不符合题意； B.，可以分解因式，符合题意； C.，不能分解因式，不符合题意； D.，不能分解因式，不符合题意. 故选 6.【答案】D  【解析】解：设通道的宽为xm，由题意得： 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的定义，属于基础题，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程；根据一元二次方程的定义求出n的值即可得出答案． 【解答】 解：是关于x的一元二次方程， ，， 解得：， 故答案为： 8.【答案】，  【解析】解：， ， ， ， 9.【答案】  【解析】解：关于x的一元二次方程有一根是， ， 解得 10.【答案】  本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键． 把代入原方程，可得，然后整体代入求值即可． 【解答】 解：一元二次方程的一个解是， ， ， 11.【答案】  12.【答案】答案不唯一  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程，解题的关键是数练运用根与系数的关系，本题属于基础题型. 根据根与系数的关系即可求出答案. 【解答】 解：设的两根分别是和， ，， ，， 方程为答案不唯一 13.【答案】  【解析】解：设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm， 依题意得：，解得， 小长方形面积，即每个小长方形的面积为 14.【答案】  【解析】【分析】根据变化前数量变化后数量，即可列出方程． 【详解】第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 第二个月新建了个充电桩， 第三个月新建了个充电桩， 第三个月新建了500个充电桩， 于是有， 故答案为 15.【答案】2  【解析】【分析】 此题考查了分式方程的解和解分式方程，注意在任何时候都要考虑分母不为分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值． 【解答】 解：， 分式方程去分母得：， 由分式方程无解，得到，即， 将代入整式方程得：， 解得： 故答案为 16.【答案】  【解析】解：设书店第一次购进x套，则第二次购进2x套， 根据题意，得出 . 17.【答案】2  【解析】解：原方程有两个不相等的实数根， ， 解得； ， ， 为整数， 整数k的值为2，3，4， 把，3，4，分别代入方程， 又k，，为整数， 当时，方程为：， 解得：，； 当时，方程为：， 解得，不符合题意，舍去； 当时，方程为， 解得，不符合题意，舍去 综上所述，k的值为 18.【答案】5  【解析】解：因为m是方程的实数根， 所以， 即， 将代入， 得。 又因为m、n是方程的两个根， 根据根与系数的关系， 得， 所以原式 19.【答案】解：， ， ， 解得，或 经检验，是原方程的根，是原方程的增根，应舍去， 所以，原方程的根为  【解析】本题考查的是解分式方程有关知识，关键是熟练掌握分式方程的解法步骤，首先把该方程去分母，得出，求解后，再验根即可. 20.【答案】解：原式 原式  21.【答案】 解：根据题意得且， 解得且； 根据题意得，， ， 即， ， 解得， 经检验是分式方程的解， 故m的值是  【解析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解两个不等式得到其公共部分即可； 根据根与系数的关系得到，，再由已知条件得，然后整体代入得到，再解方程即可． 22.【答案】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， ， ， ， 且， 把代入， ， ， 根据， ， 则 【解析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，，再计算即可， 根据方程有一个根是2，求出，再设方程的另一根为，利用根与系数的关系列式计算即可． 23.【答案】【小题1】 解：设矩形ABCD的边，则边， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 当时，；当时， 答：当羊圈的长为40 m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为的羊圈. 【小题2】 解：不能，理由如下： 设矩形ABCD的边，则边， 由题意，得， 整理，得， ， 一元二次方程没有实数根， 羊圈的面积不能达到 24.【答案】解：设原计划每天生产的护膝x对，则实际每天护膝对． 根据题意，可列方程 两边同时乘以，再整理，得 解得 经检验，都是原方程的解，但护膝得对数不能为负数，所以取 答：原计划每天生产护膝100对．   25.【答案】解：在一元二次方程中，，。 。 当时，， 。 当时，方程总有两个不相等的实数根； 等腰三角形的两条腰长是方程的两个根，且等腰三角形两腰相等， 方程有两个相等的实数根，即。 即， 解得，或。 当时，方程为， 解得，根为负数，不能作为边长，舍去。 当时，方程为， 解得，根为正数，符合条件， 该等腰三角形的腰长为3，底边长为2， ，，满足三角形两边之和大于第三边，能构成三角形， 这个等腰三角形的周长为。  26.【答案】解：， 方程²中，，，， 因此x₁₂，x₁₂ 若，则； 若，m、n是方程²的两个根， ，， ， 综上，的值为2或 由t满足t²且，可知， 将t²两边除以t²， 得²， 即²， 又因s满足²且即 由材料2可知，s与是方程²的两个根， ，，， 因此，， ² 由² ²， 则   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $