25.2降次——解一元二次方程同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

数学 · 九年级上（人教版） 25.2 降次——解一元二次方程 第1课时 直接开平方法 基础提优题 知识点1 方程 （）的解法 1．老师出示问题：解方程 ．四名同学给出了以下答案：甲：；乙：；丙：；丁：，．下列判断正确的是　（　　） A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 丁正确 2．若一元二次方程 （）的两根分别是 和 ，则 的值为　（　　） A. 16 B. C. 25 D. 或 25 3．解方程： (1); (2). 知识点2 方程 （，）的解法 4．如果关于 的方程 可以用直接开平方法求解，那么 的取值范围是　（　　） A. B. C. D. 5．在等式 ＿＿ 中，＿＿内的数是＿＿＿＿． 6．解方程： (1); (2). 综合应用题 7．若一元二次方程 的两根为 （），则点 位于平面直角坐标系中的　（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8．若 ，则 的值为＿＿＿＿． 9．已知 是关于 的一元二次方程． (1)若 是该方程的一个根，则该方程的另一个根是＿＿＿＿； (2)若该方程有两个相等的实数根，则 的值为＿＿＿＿． 10．若 为方程 的一根， 为方程 的一根，且 都是正数，则 的值为＿＿＿＿． 11．对任意实数 ，规定一种新运算“”：． (1)求 ; (2)求 中 的值; (3)已知直角三角形的两边长是方程 的两根，求该直角三角形的第三边长． 第2课时 配方法 基础提优题 知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 12．用配方法解方程 ，变形正确的是　（　　） A. B. C. D. 13．若方程 可配方成 的形式，则 的值为　（　　） A. B. C. D. 14．填空： (1)＿＿＿＿＿; (2)＿＿＿＿＿; (3)＿＿＿＿＿; (4)＿＿＿＿＿． 15．用配方法解方程： (1); (2); (3). 知识点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 16．若一元二次方程 的两根为 ，且 ，则 的值为　（　　） A. B. C. D. 17．老师设计了一个“接力游戏”，以合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给第一名同学，他完成一步解答后交给第二名同学，…，依次进行，最后完成求解．规则是每人只能看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是　（　　） A. 小明 B. 小丽 C. 小红 D. 小亮 18．用配方法解方程： (1); (2). 综合应用题 19．若方程 用配方法可配成 的形式，则直线 不经过　（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 20．欧几里得的《几何原本》中记载了形如 （）的方程根的图形解法：如图，画 Rt，使 ，，，以 为圆心， 长为半径画圆，交射线 于点 ，则该方程较大的根是　（　　） A. CE 的长度 B. CD 的长度 C. DE 的长度 D. AE 的长度 21．已知 为实数，且 ，，则 之间的大小关系是　（　　） A. B. C. D. 创新拓展题 22．（多选题）已知实数 满足 ，且 ，则下列结论正确的是　（　　） A. B. C. D. 23．已知点 在数轴上的位置如图所示， 为原点，且 为 的中点， 为 的中点．若点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，则 的值是＿＿＿＿． 24．对于两个实数 ，用 表示其中较大的数，则方程 的解是＿＿＿＿． 25．阅读并回答问题：小亮是一名刻苦学习的同学．一天他在解方程 时，突发奇想： 在实数范围内无解，如果存在一个数 ，使 ，那么当 时，有 ，从而 是方程 的两个根．由此可知： (1) 可以运算，例如：，则 ＿＿＿； (2)方程 的两根为＿＿＿＿＿＿．（根用 表示） 26．已知关于 的一元二次方程 ． (1)若方程有一个根为 0，则实数 的值为＿＿＿； (2)当 时，等腰三角形 的底边长和腰长分别是一元二次方程 的两个根，请求出 的周长． 27．李老师提出问题：求代数式 的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：解：．，． 当 时， 的值最小，最小值是 1，即 的最小值是 1．请你根据上述方法，解答下列各题． (1) 的最小值为＿＿＿． (2)求代数式 的最小值． (3)你认为代数式 有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． (4)若 ，求 的最小值． 25.2.2 公式法 基础提优题 知识点1 一元二次方程根的判别式 28．下列方程中，有两个不相等的实数根的是　（　　） A. B. C. D. 29．一元二次方程 的根的情况是　（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 30．若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是　（　　） A. B. C. 且 D. 且 知识点2 一元二次方程的求根公式 31．一元二次方程 在用求根公式 求解时， 的值分别是　（　　） A. B. C. D. 32．若 是一元二次方程 的根，则 　（　　） A. B. 4 C. 2 D. 0 知识点3 用公式法解一元二次方程 33．利用公式法解一元二次方程 可得两根分别为 ，且 ，则 的值为　（　　） A. B. C. D. 34．用公式法解下列方程： (1); (2); (3); (4). 35．如图，点 在数轴的负半轴，点 在数轴的正半轴，且点 对应的数是 ，点 对应的数是 ，已知 ，求 的值． 综合应用题 36．已知关于 的方程 有两个相等的实数根，若 是 的三边长，则这个三角形一定是　（　　） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 37．若一元二次方程 的两个实数根中较小的一个根是 （），则 　（　　） A. B. C. D. 38．已知 是方程 和方程 的一个实数根（其中 ，且 ），则方程 一定有实数根　（　　） A. B. C. D. 39．已知关于 的一元二次方程 （），设方程的两个实数根分别为 （其中 ），若 是关于 的函数，且 ，则当 时， 的取值范围为＿＿＿＿． 40．如图，有一块矩形菜地 ， m， m，面积为 m²，现将边 增加 1 m，边 增加 2 m，有且只有一个 的值使得到的矩形面积为 m²，则 的值是＿＿＿＿． 41．已知 满足：，．若 为正偶数，则 ＿＿＿＿． 42．已知 的两边 的长是关于 的方程 的两个实数根． (1)当 为何值时， 是菱形？并求出此时菱形 的边长． (2)若 的长为 2，则 的周长是多少？ 创新拓展题 43．若关于 的一元二次方程 （）的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的根的判别式 一定为完全平方数．现规定 为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程” 的两个根均为整数，其“快乐数” ．若有另一个“快乐方程” （）的“快乐数”为 ，且满足 ，则称 与 互为“开心数”． (1)“快乐方程” 的“快乐数”为＿＿＿； (2)若关于 的一元二次方程 （ 为整数，且 ）是“快乐方程”，求 的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于 的一元二次方程 与 （ 均为正整数）都是“快乐方程”，且两方程的“快乐数”互为“开心数”，直接写出 的值． 25.2.3 因式分解法 基础提优题 知识点1 用因式分解法解一元二次方程的依据 44．用因式分解法解方程，下列过程正确的是　（　　） A. 化为 或 B. 化为 或 C. 化为 或 D. 化为 45．已知某一元二次方程的两根分别为 ，则这个方程可能为　（　　） A. B. C. D. 知识点2 用因式分解法解一元二次方程 46．三角形两边的长分别是 7 和 11，第三边的长是一元二次方程 的一个实数根，则该三角形的周长是　（　　） A. 23 B. 23 或 33 C. 24 D. 24 或 30 47．设 是方程 的一个较大的根， 是方程 的一个较小的根，则 的值是　（　　） A. B. C. D. 2 48．菱形一条对角线的长为 6，另一条对角线的长是 的一个根，则这个菱形的边长为＿＿＿＿． 49．小明在与 DeepSeek 对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的 3 倍后再加上 4，结果等于这个数？”经过 40 秒的深度思考和验证，DeepSeek 给出的这个数应该是＿＿＿＿． 50．解下列方程： (1); (2); (3); (4). 知识点3 用适当的方法解一元二次方程 51．解下列方程：①；②；③；④．用较简便的方法依次是　（　　） A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 C. ①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D. ①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 52．用合适的方法解方程： (1); (2); (3); (4). 综合应用题 53．点 的横、纵坐标恰好是方程 的两个根，则经过点 的正比例函数图象一定过　（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一象限 D. 第四象限 54．已知实数 满足 ，那么 的值为　（　　） A. 或 1 B. 1 C. 2 D. 0 或 2 55．若最简二次根式 和 是同类二次根式，则 ＿＿＿＿． 56．已知方程 和方程 的根完全相同，则 ＿＿＿＿． 57．定义：如果关于 的一元二次方程 （）满足 ，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)判断一元二次方程 是否为“完美方程”，并说明理由． (2)已知 是关于 的“完美方程”，若 是此方程的一个根，则 的值为多少？ 创新拓展题 58．【阅读材料】解方程：，可将方程变形为 ，设 ，则原方程可化为 ．①解得 ．当 时，，无实数根；当 时，，解得 ． 原方程的解为 ． (1)【解决问题】在由方程 得到方程①的过程中，利用＿＿＿法达到了降次的目的，体现了＿＿＿＿的数学思想． (2)【延伸拓展】利用上面的解题方法，解答下列问题：①解方程：； ②已知实数 满足 ，求 的值． 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 基础提优题 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 59．若 是方程 的两个根，则　（　　） A. B. C. D. 60．若 是一元二次方程 的两个实数根，则 ＿＿＿＿． 61．请写出一个满足下列条件的一元二次方程：二次项系数不为 1，且两根之和为负，两根之积为负．你所写的一元二次方程是＿＿＿＿＿＿． 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 62．已知 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，其中 ，则 ＿＿＿＿． 63．若一元二次方程 的两根为 ，则 的值为＿＿＿＿． 64．若一元二次方程 的两根之和与两根之积分别为 ，则点 在平面直角坐标系中位于　（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 知识点3 用一元二次方程根与系数的关系求字母的值 65．定义 为方程 （）的特征数．若特征数为 的方程的两实数根的平方和为 12，则 的值为　（　　） A. 或 4 B. 4 C. D. 或 1 66．已知 是关于 的方程 的两个实数根，且 ，则 的值为＿＿＿＿． 67．已知关于 的一元二次方程 ． (1)若该方程有一个根是 ，求 的值． (2)若该方程的两个实数根 满足 ，求 的值． 综合应用题 68．若一元二次方程 的两个根为 ，则一次函数 的大致图象是　（　　） A. B. C. D. 69．若 为方程 的两根，则 的值为　（　　） A. 1 B. C. D. 4053 70．已知 是方程 的两根，则代数式 的值是＿＿＿＿． 71．已知 ，且 那么 的值为＿＿＿＿． 72．已知 为一元二次方程 的根，方程的另一个根为 ．回答下列问题： (1)＿＿＿，＿＿＿； (2)＿＿＿． 创新拓展题 73．阅读材料，解答问题：已知实数 满足 ，，且 ，则 是方程 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道 与 的和， 与 的积．根据上述材料，解决以下问题： (1)【材料理解】＿＿＿，＿＿＿； (2)【类比应用】已知实数 满足 ，，且 ，求 的值； (3)【思维拓展】已知实数 满足 ，，且 ，求 的值． 参 考 答 案 1．D 2．B 3．【解】(1)，，，．(2)，，，，． 4．A 5．2 或 6．【解】(1)，，．(2)，，，． 7．B 8．7 9．(1)；(2)1 10．6 11．【解】(1)由题意，得 ．(2)由题意，得 ，即 ．两边直接开平方，得 ，解得 ．(3)由题意，得 ．解方程 ，得 ．当 11 是该直角三角形的斜边长时，第三边长为 ；当 11 是该直角三角形的直角边长时，第三边长为 ．综上所述，该直角三角形的第三边长为 或 ． 12．A 13．B 14．(1)25；5 (2)36；6 (3)； (4)； 15．【解】(1)，，，．(2)，，，．(3)，，，． 16．A 17．C 18．【解】(1)，，，，，．(2)，，，，，． 19．C 20．D 21．A 22．AD 23．2 24． 25．(1)1 (2) 26．【解】(1)1 或 ．(2)当 时，方程为 ，整理，得 ，配方，得 ，即 ，直接开平方，得 或 ，解得 ．当 的底边长为 3 时，该三角形的三边长分别为 3,5,5， 其周长为 13；当 的底边长为 5 时，该三角形的三边长分别为 5,3,3， 其周长为 11．综上所述， 的周长为 13 或 11． 27．【解】(1)3．(2)．，． 当 时， 的值最小，最小值为 7，即 的最小值为 7．(3)有最大值．．，． 当 时，代数式 有最大值，最大值为 8．(4)，．．，． 当 时， 的值最小，最小值为 2，即 的最小值为 2． 28．D 29．B 30．C 31．D 32．D 33．D 34．【解】(1)．(2)．(3)．(4)无实数根． 35．【解】根据题意，得 ，整理，得 ．，．，即 ． 点 在数轴的负半轴，．．． 36．B 37．D 38．B 39． 40． 41．2 42．【解】(1) 是菱形，．，解得 ． 当 时， 是菱形．当 时，原方程为 ，解得 ． 菱形 的边长为 ．(2)把 代入 ，得 ，解得 ．把 代入原方程，得 ，解得 ．． 四边形 是平行四边形， 的周长为 ． 43．【解】(1)．(2)在 （ 为整数，且 ）中，．，． 为完全平方数， 或 ．（舍去）或 ． 原方程为 ．“快乐数”为 ．(3) 的值是 3． 44．A 45．A 46．B 47．C 48． 或 5 49．2 50．【解】(1)，， 或 ，解得 ．(2)，，， 或 ，解得 ．(3)，， 或 ，解得 ．(4)原方程可化为 ， 或 ，解得 ． 51．A 52．【解】(1)，，．(2)，，，，．(3)，．．．(4)，，，， 或 ，． 53．B 54．D 55． 56． 57．【解】(1)方程 是“完美方程”，理由如下：，． 一元二次方程 是“完美方程”．(2) 是关于 的“完美方程”，其中 ，，即 ，． 原方程可化为 ． 是此方程的一个根，，即 ．解得 或 ． 58．【解】(1)换元；转化．(2)①令 ，则原方程可化为 ，即 ，解得 ．当 时，，即 ，此方程无实数解；当 时，，即 ，解得 ． 原方程的解为 ．②设 ，则 可化为 ，整理得 ，即 ，解得 ．．． 59．A 60． 61．（答案不唯一） 62． 63．10 64．C 65．C 66．2 67．【解】(1)把 代入方程得 ，解得 或 ．(2) 方程 的两个实数根为 ，，解得 ，，．，解得 或 （不合题意，舍去）．． 68．B 69．B 70．36 71．205 72．(1)； (2)1 73．【解】(1)1；．(2) 实数 满足 ，且 ， 实数 是关于 的方程 的两个不相等的实数根．．．(3)当 时，，．，．，．， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根．．．．． 学科网（北京）股份有限公司 $