学易金卷：高一数学上学期期中模拟卷（北京专用，范围：人教B版必修第一册第一章～第三章）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 目 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 口 3[A][B][C][D] 7[A][BJ[C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、 填空题（每小题5分，共25分） 11 12. 13. 14. 15. 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 的1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第一册第一章~第三章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（常考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（热点）若，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（热点）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 5．（新考法）设全集为，集合，，韦恩图如下图，下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 6．（热点）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 10．高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 12．已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 13．已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 14．已知，，，则实数的取值范围为________． 15．已知函数且关于的方程无实根，下列说法正确的是______． ①关于的方程也一定无实根． ②若，则不等式对一切实数都成立． ③若，则一定存在使． ④若，则不等式对一切实数都成立． 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （13分）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 17. （14分）某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． (1)若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； (2)若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 18. （14分）已知函数，，且． (1)求的值； (2)用定义法证明函数在上的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围． 19. （14分）已知命题，， 命题：关于的不等式的解集为． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 20. （15分）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 21. （15分）“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． (1)若，，求与； (2)若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第一册第一章~第三章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式化简集合，再根据集合并集的定义计算. 【详解】因为，且， 所以. 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题． 即原命题的否定命题为“，”. 3．若，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得 ， 则 ， ，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 4．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】A 【详解】对于A，当时，，当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，当时，，当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，当时，，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，，当且仅当时等号成立，故D错误. 5．设全集为，集合，，韦恩图如下图，下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由图可知集合B是集合A的子集，即， 可以推出，但是不一定能推出， 故“”是“”的必要不充分条件. 6．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元二次不等式得到条件""的解集，再把"必要不充分"转化为两解集的真包含关系，由正向包含定出 的下界，并举例验证反向包含不成立. 【详解】由得，即， 记其解集为，条件""的解集为， 由于“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 所以，即的取值范围是. 7．已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数对称性与偶函数性质转化自变量，再结合单调性比较函数值的大小. 【详解】由，可知函数关于直线对称，即. 因为是定义在上的偶函数，所以. 因为在上单调递减，偶函数的图像关于轴对称，所以在上单调递增， 又，所以，即. 8．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次不等式的解集确定的符号以及与的等量关系，再代入所求不等式化简求解即可. 【详解】 因为不等式的解集为， 所以，且方程的两个实根为，， 根据韦达定理得，所以，即， 则不等式，即为，即， 由于，因此，解得， 即不等式的解集为. 9．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 10．高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】由条件画出函数的图象，表示恒过的直线，结合函数与函数有且仅有三个交点求实数的取值范围. 【详解】当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 所以函数的图象如图所示，函数表示恒过的直线， 若方程有三个不同的实根，则函数与函数有且仅有三个交点， 由图可得，当直线过点时，；当直线过点时，； 当直线过点时，；当直线过点时，； 则实数的取值范围是或，故选D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 【答案】 【详解】函数的定义域是， 所以函数的定义域满足 12．已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】令，的图象如图所示， 由题知与有四个不同的交点，由图知， 所以的取值范围为. 13．已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【分析】变形得到，成立，从而得到答案 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 14．已知，，，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】设目标表达式为已知两个式子的线性组合，得到，分别算出两部分取值范围后同向相加得到t的范围． 【详解】设，则，解得， 故， 由，得， 由，得， 故，即实数的取值范围为． 15．已知函数且关于的方程无实根，下列说法正确的是______． ①关于的方程也一定无实根． ②若，则不等式对一切实数都成立． ③若，则一定存在使． ④若，则不等式对一切实数都成立． 【答案】①②④ 【分析】依题意可得函数的图象与直线没有交点，所以或恒成立，从而得到或恒成立，然后再逐一判断即可得出答案. 【详解】因为方程无实数根，即函数的图象与直线没有交点， 所以或恒成立. 因为或恒成立， 所以没有实数根，故①正确； 若，则不等式对一切实数都成立，故②正确； 若，则不等式对一切实数都成立， 所以不存在实数，使，故③错误； 若，则 ，可得 ， 因此不等式对一切实数都成立，故④正确； 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （13分）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则，可得， 当时，，此时，则； 当时，，又因为或，则，解得； 所以的取值范围是． 17. （14分）某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． (1)若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； (2)若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 【详解】（1）由题意，设污水处理池的建造成本为元， 则， 又，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以污水处理池的最低建造成本为元. （2）（ⅰ）由题意知，所以， 整理得， 又，所以，解得， 所以． （ⅱ）由题意，处理池的容积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时最大容积. 18. （14分）已知函数，，且． (1)求的值； (2)用定义法证明函数在上的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）将代入得， 得，解得． （2）由（1）知，故，在区间上，任取，且， 则 ． 因为，且，，所以，，， 故，即． 由单调性定义，函数在上单调递增． （3）因为，所以,所以为奇函数， 等价于， 由（2）知在上单调递增， ，解得或， 的取值范围为． 19. （14分）已知命题，， 命题：关于的不等式的解集为． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 【详解】（1）当命题为真命题时，，. 因为（当时取等号），所以. 所以命题为假命题，则实数的取值范围为. （2）命题为真命题，则或，所以. 若真假，则，即； 若真假，则，即. 所以命题有且仅有一个真命题时，的取值范围为. 20. （15分）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【详解】（1）令，可得，结合知； （2）任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； （3）令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 21. （15分）“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． (1)若，，求与； (2)若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的． 【详解】（1）因为，， 所以； ； （2）因为，，为素数， 所以，或，， 当，时， ， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为为素数，所以等号不成立； 当，时， ， 又因为， 当且仅当，即时等号成立，满足为素数， 所以当时，取最大值为. 此时符合条件的一组集合是. (答案不唯一，只需满足，即可) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第一册第一章~第三章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（常考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（热点）若，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（热点）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 5．（新考法）设全集为，集合，，韦恩图如下图，下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 6．（热点）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 10．高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 11．已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 12．已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 13．已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 14．已知，，，则实数的取值范围为________． 15．已知函数且关于的方程无实根，下列说法正确的是______． ①关于的方程也一定无实根． ②若，则不等式对一切实数都成立． ③若，则一定存在使． ④若，则不等式对一切实数都成立． 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 12．已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 13．已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 14．已知，，，则实数的取值范围为________． 15．已知函数且关于的方程无实根，下列说法正确的是______． ①关于的方程也一定无实根． ②若，则不等式对一切实数都成立． ③若，则一定存在使． ④若，则不等式对一切实数都成立． 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （13分）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 17. （14分）某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． (1)若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； (2)若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 18. （14分）已知函数，，且． (1)求的值； (2)用定义法证明函数在上的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围． 19. （14分）已知命题，， 命题：关于的不等式的解集为． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 20. （15分）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 21. （15分）“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． (1)若，，求与； (2)若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A A A B C A D D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题 11．∅ 12.（1,5） 13. 14. 15. ①②④ 三、解答题 16．（13分） 【详解】（1）当时，集合， ……（ 3分） 且或，所以或. ……（6 分） （2）因为，则，可得，……（ 8分） 当时，，此时，则；……（ 10分） 当时，，又因为或，则，解得；……（12 分） 所以的取值范围是．……（ 13分） 17．（14分） 【详解】（1）由题意，设污水处理池的建造成本为元， 则，……（2分） 又，所以，……（4分） 当且仅当，即，时，等号成立，……（5分） 所以污水处理池的最低建造成本为元. ……（6分） （2）（ⅰ）由题意知，所以， 整理得，……（7分） 又，所以，解得，……（8分） 所以．……（9分） （ⅱ）由题意，处理池的容积 ，……（12分） 当且仅当，即时，等号成立，……（13分） 此时最大容积. ……（ 14分） 18．（14分） 【详解】（1）将代入得，……（1分） 得，解得．……（2分） （2）由（1）知，故，在区间上，任取，且，……（3分） 则 ．……（6分） 因为，且，，所以，，， 故，即．……（7分） 由单调性定义，函数在上单调递增．……（8分） （3）因为，所以,所以为奇函数，……（10分） 等价于，……（ 11分） 由（2）知在上单调递增， ，解得或，……（13 分） 的取值范围为．……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）当命题为真命题时，，. ……（2分） 因为（当时取等号），所以. ……（4分） 所以命题为假命题，则实数的取值范围为. ……（6分） （2）命题为真命题，则或，所以. ……（8分） 若真假，则，即；……（10分） 若真假，则，即. ……（12分） 所以命题有且仅有一个真命题时，的取值范围为. ……（ 14分） 20．（15分） 【详解】（1）令，可得，结合知；……（3分） （2）任取，且，则，……（4分） 由条件知， 所以. ……（6分） 所以，故是上的单调递减函数；……（7分） （3）令，知，，故. ……（ 8分） 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，，……（10分） 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去；……（12分） 当时，，解得，……（14分） 综上所述，实数的取值范围是．……（15分） 21．（15分） 【详解】（1）因为，， 所以；……（2分） ；……（4分） （2）因为，，为素数， 所以，或，，……（6分） 当，时， ， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立，……（10分） 又因为为素数，所以等号不成立； 当，时， ， 又因为， 当且仅当，即时等号成立，满足为素数，……（ 13分） 所以当时，取最大值为. 此时符合条件的一组集合是.……（ 15分） (答案不唯一，只需满足，即可) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $