专题01 集合与常用逻辑用语（期中真题汇编，北京专用）高一数学上学期

**基本信息** 汇集北京人大附中、北京四中、北师大附属实验中学等名校期中试题，聚焦集合与常用逻辑用语5大高频考点，通过新定义、跨学科情境设计，实现基础巩固与创新思维的梯度训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|38题|集合概念、运算、充分必要条件等|结合75周年校庆、电影票房调查等真实情境，如“共轭集合”“强和差集”新定义题型| |填空题|12题|集合关系、量词否定|融入群论、向量集等拓展概念，如“完美n维向量集”探究| |解答题|18题|集合运算综合、证明推理|名校原创题占比高，如人大附中“自邻集”证明、北京四中“平衡数”论证|

专题01 集合与常用逻辑用语 5大高频考点概览 考点01 集合的概念、新定义 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念、新定义 1．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）2025年10月17日，中国人民大学附属中学举办了学校成立75周年的庆祝活动．2025是一个特殊的数字，它是完全平方数，若集合中最大数为，集合中最小数为，则（     ） A. 90 B. 100 C. 180 D. 4050 2．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（     ） A. 0对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 3．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（       ） A. 集合中至多有2个元素 B. 集合中至多有3个元素 C. 集合中至少有4个元素 D. 集合中至少有5个元素 4．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①，若，则；②，若，则，则称为的共轭集合． （1）若，求的存在共轭集合； （2）若，，存在恰有个元素的共轭集合，求证：； （3）若集合存在共轭集合，且，求集合中的元素个数的最大值． 5．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）对非空数集T，给出如下定义， 定义1：若，，当时，，则称T为强和差集； 定义2：若，，当时，，则称T为弱和差集． （1）分别判断是否为强和差集，是否是弱和差集，并说明理由； （2）若集合是弱和差集，求A； （3）若强和差集B的元素个数为12，且，求满足条件的集合B的个数． 考点02 集合间的基本关系 1．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）若集合，，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）设非空集合，且中至多含有一个奇数，那么这样的集合共有　　　　　　个． 3．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）“若，则”为真命题，则实数的一个值为　　　　　　. 4．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知关于的不等式组 的解集是，集合. （1）求实数的值； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 5．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为． （1）直接写出的所有自邻集； （2）若n为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； （3）若，求证：． 6．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知，，的所有非空子集的所有元素和分别为，若互不相等，则称具有“和而不同”性质．此时记． （1）判断和是否具有“和而不同”性质，若具有，写出或； （2）若且具有“和而不同”性质，判断命题“中元素个数最大值为3”是否正确，并说明理由； （3）若集合，都具有“和而不同”性质，判断“”是不是“”的充分条件，并说明理由． 考点03 集合的基本运算 1．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）设集合，则（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知集合，则（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知全集，，或，则集合（    ） A.  B.  C. 或 D.  11．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（     ） A.  B. 0 C.  D. 5 13．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知全集，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知集合，则A∩B＝ A. {0} B. {0，1} C. {1，2} D. {0，1，2} 17．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知集合且，集合，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （1），； （2）A的元素个数不是A中的元素，的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 22．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（       ） A. 10 B. 9 C. 3 D. 2 24．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知非空集合满足以下两个条件： （ⅰ），； （ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素， 则有序集合对的个数为                                                                A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）集合， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围 26．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知集合，集合，集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 27．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 28．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知全集，集合，集合 （1）求 （2）若集合，且满足，求实数m的取值范围. 29．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知集合，，若，求实数的取值范围. 30．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 31．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 32．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知全集，集合，其中． （1）化简集合A，并求集合； （2）若，求集合； （3）若，都有或，求实数的取值范围． 33．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）定义某种运算“”如下： ，则集合中的元素个数是　　　　　　 34．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 35．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知全集，，， （1）求，，. （2）若集合且，求实数的取值范围. 36．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 37．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称无序子集组构成集合U的一个k划分．已知集合，则集合I的所有划分的个数为　　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知集合，集合. （1）求集合； （2）当时，求； （3）若，求实数的取值范围. 39．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知全集，集合，. （1）求； （2）求. 40．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知集合． （1）若，且，求的值； （2）若，求实数的取值范围． 41．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 42．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知集合或． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 43．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人，观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有　　　　　　人． 44．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）“群”的概念由数学家伽罗瓦在世纪年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设“”为一个非空集合，“”为一种运算，如果同时满足下述条件： （1）对任意的，均有； （2）对任意的，均有； （3）存在使得，对任意的，都有， （4）对任意的，存在，使得； 则称为一个群.下列叙述中，使得构成群的是　　　　　　. ①，对任意的，； ②，对任意的，； ③，对任意的，； ④，对任意的，. 45．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知实数集，定义． （1）若，求； （2）若，求集合A； （3）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 46．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. （1）若，求； （2）若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组； （3）若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值. 47．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）定义两个n维向量，的数量积（），，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由n维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集. （1）求2的完美3维向量集： （2）判断是否存在完美4维向量集，并说明理由： （3）若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和. 48．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． （1）分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； （2）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． （3）若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 49．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知集合，则下列四个结论中： ①集合为的真子集； ②集合； ③设集合，则； ④对任意，且，总存在，使得. 正确的序号是　　　　　　　　　　. 50．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知n是正整数，集合.若集合且P中元素个数为k，则称P是的k元子集.若P是的一个k元子集，且对任意：，都存在P中若干个不同元素，，，，满足，则称P是的k元基子集. （1）判断是否是的4元基子集，说明理由； （2）设P是的7元子集，判断P是否一定是的7元基子集，说明理由； （3）若的任意k元子集均是k元基子集，求k的最小值. 51．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；．若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集． （1）当时，已知集合，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由； （2）当时，已知集合．若不是的完美子集，求的值； （3）已知集合，其中，若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例． 52．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质． （1）试判断集合和是否具有性质？并说明理由． （2）若．证明：A不可能具有性质． （3）若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值． 53．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）设正整数，若由实数组成的集合满足：“对中任意三个不同的元素，均有或．则称具有性质． （1）分别判断和是否具有性质，并说明理由： （2）设，集合具有性质，记中不小于1的元素个数为，求的取值范围； （3）若集合具有性质，求的最大值． 54．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）记集合的元素个数为.对于集合且，如果且，均，使得，那么就称是集合的一个“平衡数” （1）当时，直接判断和是否为的“平衡数”； （2）若为集合的“平衡数”，求证：； （3）求集合的“平衡数”的最小值（用表示）. 55．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知集合．对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）． （1）若，求和； （2）若满足且，求的所有可能结果； （3）是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由． 56．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数. （1）若，求集合和，以及的值； （2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合 ①求证：； ②求的最小值. 考点04 充分条件与必要条件 1．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知，则“”是“”的（       ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）设函数的定义域为，则“是上的减函数”是“对于任意实数，函数无零点”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）对于实数，“”是“”的（       ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知都是实数，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）设集合，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）设，，则“且”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）已知向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数，使得”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点05 全称量词与存在量词 1．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知命题，，则是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知命题：，；命题：，，则（       ） A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 3．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知命题：，，则命题的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知命题，，则命题的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）命题“，”的否定是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）设命题，则的否定为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）设命题，则为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知命题：，，那么命题为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）对于命题：“，都有”，则是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知命题，使得”，则为（       ） A. “” B. ” C.  D.  13．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）命题“，”的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知命题：，则是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）设有下面四个命题，其中真命题为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知命题，则为（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）命题的否定是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知命题：“，”，则命题为　　　　　　. 19．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）命题“，使”是真命题，则的取值范围是　　　　　　　　． 20．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 21．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）设全集，，． （1）当时，求； （2）若对于任意，都有，求实数的取值范围． 22．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知命题，命题，若命题P，Q均为假命题．则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 考点01 集合的概念、新定义 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念、新定义 1．A 2．C 3．C 4．【答案】（1）；     （2）证明：不妨设，恰有个元素的共轭集合为， 假设，即，则，，且， 由条件②，因为，故有，即， 所以，则. 因为集合有4个元素，故设， 若，则或，此时，矛盾. 若，则，所以或或， 即或或，这与集合元素的互异性矛盾. 故假设不成立，即.     （3）4.      【分析】 （1）根据共轭集合的定义，以及，可知，再说明集合中没有第4个元素即可得解； （2）设，假设，由条件① 结合条件② 推出矛盾，假设不成立，即可得证； （3）由题意设，由条件① 和条件② 逐步分析得即可由得解. (1) 小问详解： 因为，由题意可得：，即， 此时，满足题意； 假设集合中还有第4个元素，则由题意知： 若，即或，此时，故不成立， 若，则，所以或4或8，这与元素的互异性矛盾， 综上所述，集合中没有第4个元素，所以的共轭集合. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 不妨设，的共轭集合为，. 所以，，又因为，所以. 同理. 若，由（2）可知：，从而. 对于任意的，有，即， 所以，解得. 若，即，， 故， 所以， 故，从而， 对任意的，必有， 即， 所以，解得. 综上所述，的最大值为4. 当时，，符合题意. 【点睛】 思路点睛：在理解相关新概念、新定义时，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，此题的落脚点仍然是集合中元素的互异性，确定性，无序性. 5．【答案】（1）是强和差集，不是弱和差集，理由如下： 由题，根据强和差集定义，当时， x与y的所有取值可能为 ， ，都满足， 所以是强和差集. ，根据弱和差集定义，当时， x与y的所有取值可能为 ， ， ， ， 其中 时不满足， 所以不是弱和差集.     （2）、、；     （3）11个；      【分析】 （1）根据强和差集与弱和差集定义进行验证即可判断. （2）根据弱和差集定义讨论参数取值，进行求解. （3）根据强和差集定义，以及B的元素个数为12，且，讨论中元素关系，求出条件的集合B. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 若集合是弱和差集，则当 时， 据题意有， 若，则，当 时 继续重复以上步骤，显然矛盾. 所以必有，不妨，则. 当 有， 若，此时为弱和差集. 若,此时为弱和差集. 若,此时为弱和差集. 所以或或 (3) 小问详解： 因为B为强和差集且，如果B中有其它正数，设其最大值为， 当 时，，所以， 不妨设集合B中包含k个正数，不妨设为， 所以， 所以,即集合B中至少有个不同的负数， 同理，若集合B中包含k个负数，则集合B中至少有个不同的正数， 所以集合B中包含5个负数6个正数，或者6个负数5个正数， 当集合B中有6个正数5个负数时， 设为， 取时， 此时，结合， 所以， 取时，因为， 所以 此时，结合， 所以 令，，所以， 又，所以， 又， 所以， 结合，可得此时满足要求的集合B有6个； 同理，当集合B中包含6个负数5个正数时，此时满足要求的集合B有5个； 故满足条件的集合B只有11个. 【点睛】 本题属于集合新定义题目，抓住定义分析题目，有理有据讨论即可. 考点02 集合间的基本关系 1．A 2．【答案】 【分析】 列出符合题意的集合，即可得解. 【详解】 因为非空集合，且中至多含有一个奇数， 所以或或或或， 所以满足条件的集合共有个. 故答案为： 3．【答案】0（答案不唯一，满足即可） 【分析】 分析可知，结合包含关系运算求解即可. 【详解】 “若，则”为真命题，则， 可得 ，解得，例如. 故答案为：0（答案不唯一，满足即可）. 4．【答案】（1）2；     （2） 选择条件① ：实数的取值范围是. 选择条件② ：实数的取值范围是.      【分析】 （1）求出不等式组的解集，结合已知建立方程求解. （2）选择条件① ，条件② ，利用集合的包含关系列式求解. (1) 小问详解： 由不等式组 ，解得， 因此， 而，则 ，所以. (2) 小问详解： 集合，， 选择条件① ：，则， 因此 ，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件② ：，则， 因此 ，解得， 所以实数的取值范围是. 5．【答案】（1）     （2）对于的含5个元素的自邻集， 不妨设. 因为对于，都有或，，2，3，4，5， 所以，，或. 对于集合，，，，， 因为，所以，，2，3，4，5， ， 所以. 因为，，或. 所以，， 或， 所以对于任意或，，2，3，4，5， 所以集合也是自邻集.因为当为偶数时，， 所以. 所以对于集合的含5个元素的自邻集， 在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应. 所以的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数.     （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，， 当时，，， 显然. 下面证明：. ① 自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为， 因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是， 所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为. ② 自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素， 记自邻集除，之外最大元素为，则， 每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集.此时的自邻集的最大元素为， 可将此时的自邻集分为个； 其中含有最大数为2的集合个数为，含有最大数为3的集合个数为，， 含有最大数为的集合个数为. 则这样的集合共有个. ③ 自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个. 综上可得， 所以，故时，得证.      【分析】 （1）根据自邻集的定义及子集的概念一一写出结果即可； （2）取的一个含5个元素的自邻集，判定 集合，再证明C也是自邻集且，从而得出结论； （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，则当时有，再分类讨论证明即可. (1) 小问详解： 由题意可得，的所有自邻集有：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 6．【答案】（1）集合具有“和而不同”性质，，集合不具有“和而不同”性质     （2）不正确，理由如下： 因为，例如， 则其非空子集分别为，， 则对应的所有元素和分别为，互不相等， 可知集合具有“和而不同”性质，但集合的元素个数为4， 所以命题“中元素个数最大值为3”不正确.     （3）是，理由如下： 若，可知集合的元素个数相同， 设，，其中， 且，， 定义为非空数集中元素的最小值， 不妨设，， 可知，， 若，则，即； 设，，，且，， 则，， 假设集合中不包含的非空子集对应的所有元素和为， 集合中不包含的非空子集对应的所有元素和为， 可知集合的非空子集对应的所有元素和为， 则为集合中的不同元素，即集合的非空子集对应的元素和互不相等， 可知集合具有“和而不同”性质，且； 同理可得：集合具有“和而不同”性质，且； 因为，则集合，即， 可得，即； 依次类推，可得，所以.      【分析】 （1）对于集合：求其非空子集对应的所有元素和，进而判断，对于集合：举反例说明即可； （2）取反例，根据题意证明其具有“和而不同”性质即可； （3）根据题意从最小元素开始证明，逐步去掉最小元素，结合“和而不同”性质可得元素相等，进而可得集合相等. (1) 小问详解： 对于集合，其非空子集为， 则对应的所有元素和分别为，互不相等， 所以集合具有“和而不同”性质，且； 对于集合，可知集合和为其非空子集， 但对于的所有元素和均为，所以集合不具有“和而不同”性质. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 考点03 集合的基本运算 1．C 2．B 3．A 4．D 5．B 6．B 7．B 8．C 9．C 10．B 11．C 12．C 13．C 14．B 15．D 16．B 17．D 18．C 19．D 20．A 21．B 22．B 23．A 24．A 25．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）解绝对值不等式求集合A，再由并集运算求； （2）由题设有，讨论、求参数范围即可. (1) 小问详解： 由题设，， 所以. (2) 小问详解： 由， 当时，； 当时， ； 综上，. 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出集合，再根据交集的运算即可得到答案. （2）分为和两种情况分别讨论，结合子集的概念即可求解. (1) 小问详解： 不等式可化为，解得或， 则或，则. (2) 小问详解： 当时，，满足，符合题意； 当时，，由得 ，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 27．【答案】（1）或；     （2）；     （3）或.      【分析】 （1）解一元一次不等式、一元二次不等式求集合，再由并运算求结果； （2）由包含关系列不等式求参数范围； （3）由交集结果列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 由题设或， 所以或； (2) 小问详解： 由，则 ，可得； (3) 小问详解： 由，则 或 ，可得或. 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解不等式得到A，B，再求交集即可. （2）由，可得，利用含参集合间的关系求解即可. (1) 小问详解： 由题，， ，等价于， 解得，故， 所以 (2) 小问详解： 由可得，， ① 当，即，即时，满足条件； ② 当时，有 ，解得， 综上，，故实数m的取值范围为 29．【答案】 【分析】 分析可知，分和两种情况，结合包含关系列式求解即可. 【详解】 因为，则， 且集合，， 若，则，解得； 若，则 ，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 30．【答案】（1）或，或，.     （2）.      【分析】 （1）解一元二次不等式求出集合A，根据集合的运算，即可求得答案. （2）由可得，列出相应不等式，即可求得答案. (1) 小问详解： 由题意知：或， 当时，， 或， 或， . (2) 小问详解： 若，则 当，即时，符合题意； 当时，只需满足 ，或 ， 解得：. 综上所述，的取值范围为. 31．【答案】(1) (2) 【分析】(1) 代入，将集合和集合分别化简，从而得到，再求出，从而得到答案；(2) 根据集合的范围，以及，得到关于的不等式，解出的范围，得到答案. 【详解】(1) 当时，可得 ， ， 所以 所以 (2) 因为,且, 则有 解得 所以可得. 【点睛】本题考查集合的运算，根据集合的运算结果求参数的范围，属于简单题. 32．【答案】（1）或，     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式求集合A，进而可得其补集； （2）可得，进而可得交集； （3）分析可知，结合交集运算求解. (1) 小问详解： 由，解得或，可得或， 所以. (2) 小问详解： 若，则， 所以或. (3) 小问详解： 由题意可知：， 且或，， 可得，所以实数的取值范围为. 33．【答案】9 【分析】 分类讨论的奇偶性是否相同，结合运算“”的定义分析求解即可. 【详解】 因为，且， 若的奇偶性相同，则， 满足条件的有，，，，； 若的奇偶性不相同，则， 满足条件的有，，，； 综上所述：集合中的元素个数是9. 故答案为：9. 34．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）化简集合，按集合交集、并集、补集的概念计算； （2）由得，讨论求解. (1) 小问详解： 集合， 若，则，所以或， 所以，. (2) 小问详解： 若，则， 若，则，满足； 若，则，因为，， 所以 ，解得，即此时， 综上可知，实数的取值范围为. 35．【答案】（1） ，，.     （2）      【分析】 （1）化简集合，根据集合的交并补运算求解即可； （2）根据交集运算结果转化为包含关系计算即可. (1) 小问详解： 因为，， 所以，， 又因为，所以. (2) 小问详解： 因为，所以, 所以. 36．【答案】（1）或     （2）或      【分析】 （1）先求出集合，再根据补集、并集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. (1) 小问详解： 当时，， 则或，所以或. (2) 小问详解： 由，， 当时，，解得； 当时，有 或 ，解得. 综上所述，实数的取值范围为或. 37．【答案】51 【分析】 化简集合，再由新定义及组合知识分类求解即可. 【详解】 由题意得，，共有5个元素， 则2划分有个，3划分有个，4划分有个， 5划分有1个，所以共有划分的个数为51个． 故答案为；51 38．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）解分式不等式，即可求得集合； （2）当时得到集合，然后由补集的定义求得，再由并集的定义求得； （3）由交集的结果得到集合之间的关系，讨论集合是否为空集，结合条件列不等式组后得到实数的取值范围. (1) 小问详解： 解，则， ∴，即， ∴. (2) 小问详解： 时，， 或， ∴或 (3) 小问详解： 当时，即， ①，即，∴， ②，此时 ，解得， ∴. 39．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）解不等式求得集合，利用交集的意义即可求解； （2）利用补集的意义求得，利用并集的意义即可求解. (1) 小问详解： 由，得 ，解得，所以， 由，得或，所以或， 所以； (2) 小问详解： 由（1）可知，所以或， 又或，所以或. 40．【答案】（1）或；     （2）.      【分析】 （1）由题设是的两个根，利用韦达定理及已知条件求参数值，注意验证，即可得； （2）由题设求出集合且，结合集合中的不等式求参数范围. (1) 小问详解： 由题设是的两个根，则 ， 由， 则，可得或， 又，则，显然或均满足， 综上，或； (2) 小问详解： 由题设，， 又，即，故 . 41．【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）先化简集合，再利用集合的并集，补集，交集运算即可； （2）分和两种情况进行讨论得解. (1) 小问详解： 当时，， ， 或，； (2) 小问详解： 若，则当时，，解得； 当时， ，解得， 综上，实数的取值范围为或. 42．【答案】（1）或     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据并集的定义运算即得； （2）因，结合数轴表示可列式求解； （3）根据，结合数轴表示可列式求解. (1) 小问详解： 若，则，或， 则或； (2) 小问详解： 因，则， 由，可得且，解得， 故实数的取值范围为； (3) 小问详解： 因，则，则或，即或， 故实数的取值范围为或. 43．【答案】120 【分析】 根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案． 【详解】 不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有120人． 故答案为:120. 44．【答案】① ③ ④ 【分析】 根据的范围和的定义，依次验证四个条件是否全部成立即可. 【详解】 对于① ，若，，则，，（1）成立； ，， ，， ，（2）成立； ，若，则， 解得：，（3）成立； ，，使得，（4）成立； ① 可以使构成群； 对于② ，若，，则，，（1）成立； ，， ，， ，（2）成立； ，若，则， 解得：，（3）成立； ，，若，则，（4）不成立； ② 不可以使构成群； 对于③ ，若，，则或，，，（1）成立； ，，，，（2）成立； ，若，则， 解得：，（3）成立； ，， 时，，时，，（4）成立； ③ 可以使构成群； 对于④ ，若，，则，，（1）成立； ，， ， ， ，（2）成立； ，若，则， 解得：，（3）成立； ，，（4）成立； ④ 可以使构成群； 综上所述：① ③ ④ 可以使构成群. 故答案为：① ③ ④ . 45．【答案】（1）     （2）或者.     （3）13      【分析】 （1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； （3）分 中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解. (1) 小问详解： ; (2) 小问详解： 首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ① 当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ② 当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. (3) 小问详解： 估值+构造   需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 46．【答案】（1）     （2）的最大值为，     （3）n的最大值为11      【分析】 （1）根据新定义即可求出； （2）由，且要使得取到最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值. （3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可. (1) 小问详解： 由集合知，， 所以. (2) 小问详解： 因为，， 由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同， 根据定义要让取到最大值， 则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中， 4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中 这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为， 所以有一组满足题意， (3) 小问详解： 要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为， 因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集， 不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如, 则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如， 同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如， 是集合中有个元素的非空真子集，且，例如， 所以， 解得或（舍去）， 所以n的最大值为11. 【点睛】 方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 47．【答案】（1）；     （2）不存在完美4维向量集，理由如下： 依题意，完美4维向量集B含有4个4维向量元素（），， （i）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； （ii）当时，，不满足条件③ ，舍去； （iii）当时，， 因为，故与至多有一个为集合B中元素， 同理：与至多有一个为集合B中元素，与至多有一个为集合B中元素， 故集合B中的元素个数小于4，不满足条件① ，舍去； （iv）当时，，不满足条件③ ，舍去； （v）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 综上所述，不存在完美4维向量集.     （3） 依题意，T的完美n维向量集C含有n个n维元素（）， 因为，所以每个元素中有T个分量为1，其余分量为0， 所以， 由（2）知，故， 假设存在k，使得，不妨设. （i）当时，如下图， 由条件③ 知，或（）， 此时，与（*）矛盾，不合题意. （ii）当时，如下图， 记（）， 不妨设，，， 下面研究的前个分量中所有含1的个数. 一方面，考虑中任意两个向量的数量积为1， 故（）中至多有1个1， 故的前个分量中， 所有含1的个数至多有个1（**）. 另一方面，考虑（）， 故的前个分量中， 含有个1，与（**）矛盾，不合题意. 故对任意且，，由（*）可得.      【分析】 （1）利用的完美维向量集定义求解即可. （2）分别研究，，，，时，结合新定义及集合中元素的互异性即可判断. （3）依题意可得，运用反证法，假设存在，使得，不妨设，分别从及两方面证得矛盾即可得，进而可证得结果. (1) 小问详解： 由题意知，集合A中含有3个3维向量元素（）， 因为，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0. 又，所以，，， 所以2的完美3维向量集为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 48．【答案】（1） 若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数， 对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性， 对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性；     （2） 不存在，理由如下： 假设存在满足要求的五元集，其中， 则去掉时，可能的情况为或， 若，则去掉时，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 若，则去掉时，，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性；     （3）7．      【分析】 （1）若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数，由此可以快速判断（1）中两个集合不具有可分性； （2）存在性问题，可先假设存在满足要求的五元集合，再根据新定义进行检验； （3）根据新定义，设，则容易发现为偶数，若n为偶数，则可进一步得到为偶数，为4的倍数，为8的倍数，……，从而得出矛盾，n必为奇数，易知不符合，由（2）知不符合要求，构造出符合要求的7元集合即可说明n的最小值为7． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数， 否则n为偶数，记，则为偶数，所以为偶数，所以M为偶数，ai为偶数， 所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则为4的倍数，所以为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数， 所以是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则为8的倍数，所以为8的倍数，所以M为8的倍数，为8的倍数， ………， 依次类推下去，可得为的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕． 时，去掉任意元素之后，另两个元素不可能相等，集合A不可分， 由（2）知时，集合A也不可分，所以， 当时，取， 划去1时，； 划去3时，； 划去5时，； 划去7时，； 划去9时，； 划去11时，； 划去13时，， 即A具有可分性， 综上可知，集合A中元素个数的最小值为7. 【点睛】 思路点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 49．【答案】① ④ 【分析】 利用有理数、无理数的概念与性质，结合题意，可以判定① ② ③；利用换元思想，构造函数（) ，结合对勾函数的性质分类分析，可证明④正确. 【详解】 结论①： 中的元素均为有理数，因为分子和分母均为整数，且分母不为零，故. 但，例如，但不属于, （假设，则，令，得 ， 解得，与为有理数矛盾）. 此外，中的元素均非负（因时，），而包含负数， 故是的真子集，故结论①正确； 结论②： 集合是闭区间，包含无理数. 但仅包含有理数，且并非所有中的有理数都属于（如不属于）， 不等于，故结论②错误； 结论③： 是中的所有有理数，但不包含中所有的有理数（如不属于）， 故，故结论③错误； 结论④：当时，，记，则， 当时，，记，则， 所以总存在，使得,设（) 表示，. 当时，在上严格递增，在  上严格递减，最大值  定义，则 . 对任意，且，设， 下面对于的范围的不同情况分类研究. 情形1： 当时，在  上严格递增，为使，则， 取，则， 令，则 . 情形2： 当时，在  上严格递减，所以， 取，则， 令，则 且. 情形3： 当时，在上严格递增，在上严格递减， 且， 为使，则，取，则， 令，则且. 情形4： 当时，在上严格递增，在  上严格递减， 且， 为使，则，取，则， 令，则且 . 因此，对任意  且 ，存在  满足 ，故结论④正确。 故答案为：① ④ 50．【答案】（1）是，理由：由于， 因为且， 所以是的4元基子集     （2）P不一定是的7元基子集，理由如下： ， 取，则，故4不能写成中若干个元素之和， 所以不是的7元基子集     （3）15      【分析】 （1）根据4元基子集的定义即可验证求解， （2）根据4元基子集的定义举反例即可说明， （3）先用反证法证明不符要求，即可得，设，由于0可以表示为中若干个元素之和, 根据对称性只证明整数，均可表示为中若干个元素之和,，即可根据① ② 两种情况求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，考虑的元子集， 当时，中的元素均不是正数， 此时中的正整数均不能写成中若干个元素之和， 当时，中所有的正元素之和为， 故不能写成中若干个元素之和，所以， 设，则， 任取的15元子集，因为，所以或存在使得, 所以0可以表示为中若干个元素之和， 由对称性，只需要证明整数，均可表示为中若干个元素之和， 设， 因为中至多包含11个非正数，所以， 下面证明这11个数中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和， ① 若中存在不小于的数，设其中最小的一个为， 则， 所以中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和， ② 若，设在所有可表示中若干个元素之和的数中， 小于的最大数为， 则，所以，解得， 设是在中的补集， 则对于任意的，均有， 即中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和， 设,， 因为的元素个数，中的元素个数，又, 所以，即不为空集， 设，则可表示为中若干个不同元素之和， 所以可表示为中若干个不同元素之和， 综上可得：最小值为15. 【点睛】 方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 51．【答案】（1） 由， 显然只有唯一解，即， 所以为的完美子集； 同理，对于，， 令， 即 ，方程组的解不唯一， 比如，，为方程组的一组解，所以不是的完美子集.     （2）     （3） 是完美子集，理由如下： 假设存在不全为0的实数，，满足， 不妨设，则否则与假设矛盾， 由，得， 所以， 与，即矛盾， 所以假设不成立，所以．所以， 所以一定是完美子集.      【分析】 （1）根据完美子集的定义，列方程组求值判断即可； （2）根据题意列方程组，解方程组即可求解； （3）假设存在不全为0的实数，，满足条件，不妨设，由条件得出矛盾即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意得， 所以 ， 由不是的完美子集，即方程组的解不唯一， 因为， 由集合的互异性得，且， 所以，，， 所以 ， 所以， 所以或， 检验： 当时，存在，，，使得， 当时，因为，所以，，舍， 所以. (3) 小问详解： 略 52．【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由如下： 因为，又， 但，所以集合不具有性质， 因为，又， 但， 所以集合具有性质.     （2） 将集合中的元素分为如下个集合， ， 所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选10个元素， 所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为， 所以A不可能具有性质. 先说明连续11项中集合中最多选取5项，     （3）920      【分析】 （1）根据定义判断是否具有性质即可； （2）将分为个子集，结合抽屉原理证明结论； （3）先证明连续个自然数中至多有个元素属于，由此可得集合A中元素个数不超过个，再举例说明存在含有个元素的满足要求的集合. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 以为例. 构造抽屉，，，，，，. ①同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选；选6则不选；选7则不选； 则只剩. 故中属于集合的元素个数不超过5个. ②选2个， 若只选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则只能从中选，但不能同时选， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. ③中只选1个， 又四个集合，，，每个集合至多选1个元素， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 由上述① ② ③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个， 如取. 因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项； 从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合的元素最多有个. 给出如下选取方法：从中选取； 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次. 此时集合的元素为：；；；； ，共个元素. 经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个. 【点睛】 关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解. 53．【答案】（1） 具有性质，不具有性质. 对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于， 当任意三个元素中有，则三个元素的乘积为，当任意三个不同元素不含， 则，，， ，可知具有性质 对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于， ，，因此不具有性质.     （2）；     （3）9.      【分析】 （1）根据集合具有性质的定义结合反例可判断两个集合是否具有性质. （2）根据条件对的取值进行分类讨论，根据集合具有性质的定义进行判断. （3）根据集合具有性质，对于的范围进行分类讨论即可得到结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，集合具有性质， 记中不小于1的元素个数为， 当时，，且，不具有性质， 当时，，例如具有性质， 当时，，例如具有性质， 当时，，且不具有性质， 所以的取值范围为； (3) 小问详解： 显然取最大时，，因为. 设集合有个正实数，且不妨设. 现取三元集，其中 由于，故，只能是. 注意到是两两不等的实数. ①当时，有 又因为这个元素都在中， 所以只能是，则为等比数列， 取，则有(*) 显然有，否则若. 再取三元集，其中，又因为， 同理可得， 取，则有与 式矛盾. ②当时，有，由①同理可得. ③当时，有 则，则为等比数列， 取，则有， 则，有 由①同理可得，， 当时，由前面分析可知 且， 对于三元集和，， 显然，否则推出矛盾. 则，即 即 ，方程无解，故. 同理可得A集合中负数的个数小于等于4. 构造满足题意. 综上所述，的最大值为9. 54．【答案】（1） 不是的“平衡数”，是的“平衡数”；     （2） ，， 若，取，显然其中六个元素不存在两个元素之和为13， 即不是的“平衡数”，同理，更不满足定义； 事实上，中的元素满足和为13的有六组， 而当时，由抽屉原理，在上述六组数中取7个数，必有2个在同一组，其和为13， 所以若为集合的“平衡数”，则；     （3）      【分析】 （1）根据定义结合集合的子集可一一判定； （2）利用反证法集合抽屉原理证明即可； （3）利用抽屉原理结合定义计算即可. (1) 小问详解： 当时，，， 若，取，显然，所以不是的“平衡数”， 若，则P可以为， 以上四个集合，含元素或的各两个，， 均可满足定义，所以是的“平衡数”； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对于集合， 能组成和为的有，共组， 根据抽屉原理，要保证任取k个元素，都至少有一对的和为，则k至少为， 假设，同上道理，取，在P中找不到两个不同的数， 使得， 所以集合的“平衡数”的最小值为. 55．【答案】（1）；     （2）、、、；     （3） 存在正整数n使且，理由如下： 由，则， 所以， 若，， 所以， 若，则，，， 所以，对都有， 当时，恒成立， 综上，n所有取值为使成立.      【分析】 （1）根据定义依次写出、即可得结果. （2）由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果； （3）由定义得，依次写出直到即可判断存在性，并确定n的所有取值. (1) 小问详解： 由题意，，，， ，，，. (2) 小问详解： 由且， ① ， 当或1时，， 同理，或1时，， 或1时，， 或1时，， 所以① 等价于 ，则，， 当，，则为满足； 当，，则为满足， 当，，则为满足， 当，，则为满足， 综上，的所有可能结果、、、. (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：第二、三问，根据已知条件及的定义依次写出结果，判断存在性并列举出结果. 56．【答案】（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3； （2）①显然. 若A∪B中含有一个不在S中的元素，则，即 . 若，且，则 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素. 所以. 因为， 所以，即. 综上，. ② 【分析】 （1）直接根据定义求解即可； （2）①分若A∪B中含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可，当，且时，可通过得证； ②结合① 知，讨论若，或，得，若，且，设，，可证得的最小值是 【详解】 （1）根据定义直接得X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3. （2）① 略 ② 由① 知. 所以 若，或，则 若，且，设， 且，， 则， 若， 因为， 所以这个数一定在 集中C中，且均不等于1. 所以 所以 当，时， 所以的最小值是 【点睛】 关键点点睛：本题的第三问较难，解题的关键是由① 得，进而进行分情况讨论可得解. 考点04 充分条件与必要条件 1．A 2．A 3．B 4．A 5．B 6．A 7．D 8．A 9．D 10．A 11．A 12．A 考点05 全称量词与存在量词 1．B 2．C 3．B 4．A 5．B 6．D 7．D 8．D 9．C 10．D 11．D 12．B 13．A 14．B 15．C 16．C 17．【答案】 【分析】 根据全称量词命题的否定的知识写出正确答案. 【详解】 全称量词命题的否定是存在量词命题，要注意否定结论， 所以命题的否定是： 故答案为： 18．【答案】， 【分析】 根据全称命题的否定是存在量词命题，即可求解. 【详解】 因为命题：“，”， 所以命题为“，”. 故答案为：，. 19．【答案】 【分析】 可根据题意得出“，恒成立”，然后根据即可得出结果. 【详解】 因为命题“，使”是真命题， 所以，恒成立，即恒成立， 因为当时，，所以，的取值范围是， 故答案为：. 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. (1) 小问详解： 若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. (2) 小问详解： 若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则 或 ， 解得. 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解分式不等式得集合A，根据补集与交集运算得答案即可； （2）根据已知可得，讨论当，，时满足列不等式即可得实数的取值范围． (1) 小问详解： ， 当，则， 所以，则； (2) 小问详解： 对于任意，都有，则， 当时，，此时满足； 当时，， 要满足，则 ，解得； 当时，， 要满足，则 ，解得； 综上，实数的取值范围为. 22．【答案】 【分析】 根据含量词命题的否定方法，对两个假命题进行否定，进而根据真命题的情况，列出参数不等式，求出结果即可. 【详解】 因为命题为假命题，所以是真命题， 设，可知函数图象开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 为真时，可得，即，解得； 因为命题为假命题，所以为真命题， 可知有解，即，解得或， 综上所述，当命题P，Q均为假命题时，实数的取值范围是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 5大高频考点概览 考点01 集合的概念、新定义 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念、新定义 1．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）2025年10月17日，中国人民大学附属中学举办了学校成立75周年的庆祝活动．2025是一个特殊的数字，它是完全平方数，若集合中最大数为，集合中最小数为，则（     ） A. 90 B. 100 C. 180 D. 4050 【答案】A 【分析】 由题意求出，即可得出答案. 【详解】 因为集合中最大数为，集合中最小数为， 又， 所以，所以. 故选：A. 2．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（     ） A. 0对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】C 【分析】 由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0，然后分9种情况讨论即可. 【详解】 由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0， 除以3的余数是0，除以3的余数是0； 除以3的余数是1，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是2； 除以3的余数是2，除以3的余数是0； 除以3的余数是0，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是1； 除以3的余数是0，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是0； 所以满足条件的数对有，共3对， 故选：C. 3．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（       ） A. 集合中至多有2个元素 B. 集合中至多有3个元素 C. 集合中至少有4个元素 D. 集合中至少有5个元素 【答案】C 【分析】 由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点. 【详解】 因为若，则，所以，， 则， 当时，4个元素中，任意两个元素都不相等， 所以集合中至少有4个元素， 故选：C 4．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①，若，则；②，若，则，则称为的共轭集合． （1）若，求的存在共轭集合； （2）若，，存在恰有个元素的共轭集合，求证：； （3）若集合存在共轭集合，且，求集合中的元素个数的最大值． 【答案】（1）；     （2）证明：不妨设，恰有个元素的共轭集合为， 假设，即，则，，且， 由条件②，因为，故有，即， 所以，则. 因为集合有4个元素，故设， 若，则或，此时，矛盾. 若，则，所以或或， 即或或，这与集合元素的互异性矛盾. 故假设不成立，即.     （3）4.      【分析】 （1）根据共轭集合的定义，以及，可知，再说明集合中没有第4个元素即可得解； （2）设，假设，由条件① 结合条件② 推出矛盾，假设不成立，即可得证； （3）由题意设，由条件① 和条件② 逐步分析得即可由得解. (1) 小问详解： 因为，由题意可得：，即， 此时，满足题意； 假设集合中还有第4个元素，则由题意知： 若，即或，此时，故不成立， 若，则，所以或4或8，这与元素的互异性矛盾， 综上所述，集合中没有第4个元素，所以的共轭集合. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 不妨设，的共轭集合为，. 所以，，又因为，所以. 同理. 若，由（2）可知：，从而. 对于任意的，有，即， 所以，解得. 若，即，， 故， 所以， 故，从而， 对任意的，必有， 即， 所以，解得. 综上所述，的最大值为4. 当时，，符合题意. 【点睛】 思路点睛：在理解相关新概念、新定义时，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，此题的落脚点仍然是集合中元素的互异性，确定性，无序性. 5．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）对非空数集T，给出如下定义， 定义1：若，，当时，，则称T为强和差集； 定义2：若，，当时，，则称T为弱和差集． （1）分别判断是否为强和差集，是否是弱和差集，并说明理由； （2）若集合是弱和差集，求A； （3）若强和差集B的元素个数为12，且，求满足条件的集合B的个数． 【答案】（1）是强和差集，不是弱和差集，理由如下： 由题，根据强和差集定义，当时， x与y的所有取值可能为 ， ，都满足， 所以是强和差集. ，根据弱和差集定义，当时， x与y的所有取值可能为 ， ， ， ， 其中 时不满足， 所以不是弱和差集.     （2）、、；     （3）11个；      【分析】 （1）根据强和差集与弱和差集定义进行验证即可判断. （2）根据弱和差集定义讨论参数取值，进行求解. （3）根据强和差集定义，以及B的元素个数为12，且，讨论中元素关系，求出条件的集合B. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 若集合是弱和差集，则当 时， 据题意有， 若，则，当 时 继续重复以上步骤，显然矛盾. 所以必有，不妨，则. 当 有， 若，此时为弱和差集. 若,此时为弱和差集. 若,此时为弱和差集. 所以或或 (3) 小问详解： 因为B为强和差集且，如果B中有其它正数，设其最大值为， 当 时，，所以， 不妨设集合B中包含k个正数，不妨设为， 所以， 所以,即集合B中至少有个不同的负数， 同理，若集合B中包含k个负数，则集合B中至少有个不同的正数， 所以集合B中包含5个负数6个正数，或者6个负数5个正数， 当集合B中有6个正数5个负数时， 设为， 取时， 此时，结合， 所以， 取时，因为， 所以 此时，结合， 所以 令，，所以， 又，所以， 又， 所以， 结合，可得此时满足要求的集合B有6个； 同理，当集合B中包含6个负数5个正数时，此时满足要求的集合B有5个； 故满足条件的集合B只有11个. 【点睛】 本题属于集合新定义题目，抓住定义分析题目，有理有据讨论即可. 考点02 集合间的基本关系 1．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）若集合，，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】 因为，所以，，故A对，BCD都错. 故选：A. 2．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）设非空集合，且中至多含有一个奇数，那么这样的集合共有　　　　　　个． 【答案】 【分析】 列出符合题意的集合，即可得解. 【详解】 因为非空集合，且中至多含有一个奇数， 所以或或或或， 所以满足条件的集合共有个. 故答案为： 3．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）“若，则”为真命题，则实数的一个值为　　　　　　. 【答案】0（答案不唯一，满足即可） 【分析】 分析可知，结合包含关系运算求解即可. 【详解】 “若，则”为真命题，则， 可得 ，解得，例如. 故答案为：0（答案不唯一，满足即可）. 4．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知关于的不等式组 的解集是，集合. （1）求实数的值； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1）2；     （2） 选择条件① ：实数的取值范围是. 选择条件② ：实数的取值范围是.      【分析】 （1）求出不等式组的解集，结合已知建立方程求解. （2）选择条件① ，条件② ，利用集合的包含关系列式求解. (1) 小问详解： 由不等式组 ，解得， 因此， 而，则 ，所以. (2) 小问详解： 集合，， 选择条件① ：，则， 因此 ，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件② ：，则， 因此 ，解得， 所以实数的取值范围是. 5．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为． （1）直接写出的所有自邻集； （2）若n为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； （3）若，求证：． 【答案】（1）     （2）对于的含5个元素的自邻集， 不妨设. 因为对于，都有或，，2，3，4，5， 所以，，或. 对于集合，，，，， 因为，所以，，2，3，4，5， ， 所以. 因为，，或. 所以，， 或， 所以对于任意或，，2，3，4，5， 所以集合也是自邻集.因为当为偶数时，， 所以. 所以对于集合的含5个元素的自邻集， 在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应. 所以的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数.     （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，， 当时，，， 显然. 下面证明：. ① 自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为， 因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是， 所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为. ② 自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素， 记自邻集除，之外最大元素为，则， 每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集.此时的自邻集的最大元素为， 可将此时的自邻集分为个； 其中含有最大数为2的集合个数为，含有最大数为3的集合个数为，， 含有最大数为的集合个数为. 则这样的集合共有个. ③ 自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个. 综上可得， 所以，故时，得证.      【分析】 （1）根据自邻集的定义及子集的概念一一写出结果即可； （2）取的一个含5个元素的自邻集，判定 集合，再证明C也是自邻集且，从而得出结论； （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，则当时有，再分类讨论证明即可. (1) 小问详解： 由题意可得，的所有自邻集有：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 6．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知，，的所有非空子集的所有元素和分别为，若互不相等，则称具有“和而不同”性质．此时记． （1）判断和是否具有“和而不同”性质，若具有，写出或； （2）若且具有“和而不同”性质，判断命题“中元素个数最大值为3”是否正确，并说明理由； （3）若集合，都具有“和而不同”性质，判断“”是不是“”的充分条件，并说明理由． 【答案】（1）集合具有“和而不同”性质，，集合不具有“和而不同”性质     （2）不正确，理由如下： 因为，例如， 则其非空子集分别为，， 则对应的所有元素和分别为，互不相等， 可知集合具有“和而不同”性质，但集合的元素个数为4， 所以命题“中元素个数最大值为3”不正确.     （3）是，理由如下： 若，可知集合的元素个数相同， 设，，其中， 且，， 定义为非空数集中元素的最小值， 不妨设，， 可知，， 若，则，即； 设，，，且，， 则，， 假设集合中不包含的非空子集对应的所有元素和为， 集合中不包含的非空子集对应的所有元素和为， 可知集合的非空子集对应的所有元素和为， 则为集合中的不同元素，即集合的非空子集对应的元素和互不相等， 可知集合具有“和而不同”性质，且； 同理可得：集合具有“和而不同”性质，且； 因为，则集合，即， 可得，即； 依次类推，可得，所以.      【分析】 （1）对于集合：求其非空子集对应的所有元素和，进而判断，对于集合：举反例说明即可； （2）取反例，根据题意证明其具有“和而不同”性质即可； （3）根据题意从最小元素开始证明，逐步去掉最小元素，结合“和而不同”性质可得元素相等，进而可得集合相等. (1) 小问详解： 对于集合，其非空子集为， 则对应的所有元素和分别为，互不相等， 所以集合具有“和而不同”性质，且； 对于集合，可知集合和为其非空子集， 但对于的所有元素和均为，所以集合不具有“和而不同”性质. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 考点03 集合的基本运算 1．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）设集合，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据交集运算的概念，求解即可得答案. 【详解】 因为， 所以. 故选：C 2．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出两个集合，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】 ，，则. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】 由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 4．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据常见数集，结合交集运算，可得答案. 【详解】 因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D. 5．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用集合的交集运算求解. 【详解】 集合，，则. 故选：B 6．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知集合，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据集合的交集运算法则计算即可. 【详解】 根据集合的交集运算法则，易知. 故选：B. 7．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据并集的运算即可求解. 【详解】 集合包含所有小于2的实数，包含1和2两个元素，所以， 故选：B. 8．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 依据交集的定义求解. 【详解】 由集合，， 所以，故C正确. 故选：C. 9．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用列举法表示出集合A，B，再利用并集的定义求解作答. 【详解】 集合，， 所以. 故选：C 10．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知全集，，或，则集合（    ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】B 【分析】 由条件，根据补集的定义求，再由交集的定义求. 【详解】 因为全集，或， 所以，又， 所以， 故选：B. 11．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意结合交集运算求解即可，注意集合的元素特征. 【详解】 联立方程 ，解得 或 ， 所以. 故选：C. 12．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（     ） A.  B. 0 C.  D. 5 【答案】C 【分析】 解不等式化简集合A，根据可得，结合选项分析判断. 【详解】 因为集合，， 若，则， 结合选项可知：ABD错误，C正确； 故选：C. 13．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据集合交集运算即可． 【详解】 ，则． 故选：C． 14．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】 由， 则. 故选：B 15．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知全集，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据补集定义计算即可. 【详解】 因为，集合，则. 故选：D. 16．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知集合，则A∩B＝ A. {0} B. {0，1} C. {1，2} D. {0，1，2} 【答案】B 【分析】解出集合B，再根据集合的交集的概念得到结果. 【详解】集合=；，则A∩B＝{0，1}. 故答案为B. 【点睛】与集合元素有关问题的思路： （1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件． （3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 17．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据韦恩图和集合间的运算，判断集合中的元素，求出结果. 【详解】 根据韦恩图可知，图中阴影部分表示的元素满足且， 所以图中阴影部分表示的集合为； 故选：D. 18．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 应用集合的交运算求集合. 【详解】 由. 故选：C 19．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知集合且，集合，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据集合包含的元素特征，结合的结果可得结果. 【详解】 ，. 故选：D. 20．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】 由， 则. 故选：A 21．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （1），； （2）A的元素个数不是A中的元素，的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【分析】 根据已知条件，按集合中得元素个数进行分类讨论. 【详解】 若集合A中只有1个元素，则集合中有3个元素，且，，所以，，此时有序集合对有1对；同理，若集合中只有1个元素，则集合A中有3个元素，此时有序集合对有1对；若集合A中有2个元素，则集合中有2个元素，且，，不满足题意．所以满足题意的有序集合对的个数为．故A，C，D错误. 故选：B． 22．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解. 【详解】 设， 则，即， 所以, 若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 所以,即， 因为， 且满足， 所以包含了的个元素外， 还包含个属于而不属于的元素， 当时，则, 如，符合题意. 当时，则, 如，符合题意. 所以的最大值为， 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的关键由已知条件求，再分和讨论，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大. 23．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（       ） A. 10 B. 9 C. 3 D. 2 【答案】A 【分析】 先考虑2部电影和3部电影的情况，进而可归纳得出只要满足任意两部电影的点播量高于，，，且专家评分高于，即得. 【详解】 记这10部微电影为，. 先考虑2部电影的情况，若的点播量高于，且的专家评分高于， 则此时优秀影片数目最多，为2部； 然后考虑3部电影的情况，若点播量由高到低依次为电影，且专家评分由高到低依次为电影， 则此时优秀影片数目最多为3部； 以此类推，在10部微电影中，最多可能有10部优秀影片. 故选：A 24．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知非空集合满足以下两个条件： （ⅰ），； （ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素， 则有序集合对的个数为                                                                A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，分别讨论集合A、B中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果． 【详解】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素 1、当集合A只有一个元素时，集合B中有5个元素，且，此时仅有一种结果，； 2、当集合A有两个元素时，集合B中有4个元素，且，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，故有如下可能结果： （1），；（2），；（3），；（4），．共计4种可能． 3、可以推测集合A中不可能有3个元素； 4、当集合A中的4个元素时，集合B中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A、B互换即可．共计4种可能． 5、当集合A中的5个元素时，集合B中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A、B互换即可．共1种可能． 综上所述，有序集合对（A，B）的个数为10．答案选A． 【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键． 25．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）集合， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）解绝对值不等式求集合A，再由并集运算求； （2）由题设有，讨论、求参数范围即可. (1) 小问详解： 由题设，， 所以. (2) 小问详解： 由， 当时，； 当时， ； 综上，. 26．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知集合，集合，集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出集合，再根据交集的运算即可得到答案. （2）分为和两种情况分别讨论，结合子集的概念即可求解. (1) 小问详解： 不等式可化为，解得或， 则或，则. (2) 小问详解： 当时，，满足，符合题意； 当时，，由得 ，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 27．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；     （2）；     （3）或.      【分析】 （1）解一元一次不等式、一元二次不等式求集合，再由并运算求结果； （2）由包含关系列不等式求参数范围； （3）由交集结果列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 由题设或， 所以或； (2) 小问详解： 由，则 ，可得； (3) 小问详解： 由，则 或 ，可得或. 28．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知全集，集合，集合 （1）求 （2）若集合，且满足，求实数m的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解不等式得到A，B，再求交集即可. （2）由，可得，利用含参集合间的关系求解即可. (1) 小问详解： 由题，， ，等价于， 解得，故， 所以 (2) 小问详解： 由可得，， ① 当，即，即时，满足条件； ② 当时，有 ，解得， 综上，，故实数m的取值范围为 29．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】 分析可知，分和两种情况，结合包含关系列式求解即可. 【详解】 因为，则， 且集合，， 若，则，解得； 若，则 ，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 30．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或，或，.     （2）.      【分析】 （1）解一元二次不等式求出集合A，根据集合的运算，即可求得答案. （2）由可得，列出相应不等式，即可求得答案. (1) 小问详解： 由题意知：或， 当时，， 或， 或， . (2) 小问详解： 若，则 当，即时，符合题意； 当时，只需满足 ，或 ， 解得：. 综上所述，的取值范围为. 31．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 代入，将集合和集合分别化简，从而得到，再求出，从而得到答案；(2) 根据集合的范围，以及，得到关于的不等式，解出的范围，得到答案. 【详解】(1) 当时，可得 ， ， 所以 所以 (2) 因为,且, 则有 解得 所以可得. 【点睛】本题考查集合的运算，根据集合的运算结果求参数的范围，属于简单题. 32．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知全集，集合，其中． （1）化简集合A，并求集合； （2）若，求集合； （3）若，都有或，求实数的取值范围． 【答案】（1）或，     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式求集合A，进而可得其补集； （2）可得，进而可得交集； （3）分析可知，结合交集运算求解. (1) 小问详解： 由，解得或，可得或， 所以. (2) 小问详解： 若，则， 所以或. (3) 小问详解： 由题意可知：， 且或，， 可得，所以实数的取值范围为. 33．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）定义某种运算“”如下： ，则集合中的元素个数是　　　　　　 【答案】9 【分析】 分类讨论的奇偶性是否相同，结合运算“”的定义分析求解即可. 【详解】 因为，且， 若的奇偶性相同，则， 满足条件的有，，，，； 若的奇偶性不相同，则， 满足条件的有，，，； 综上所述：集合中的元素个数是9. 故答案为：9. 34．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）化简集合，按集合交集、并集、补集的概念计算； （2）由得，讨论求解. (1) 小问详解： 集合， 若，则，所以或， 所以，. (2) 小问详解： 若，则， 若，则，满足； 若，则，因为，， 所以 ，解得，即此时， 综上可知，实数的取值范围为. 35．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知全集，，， （1）求，，. （2）若集合且，求实数的取值范围. 【答案】（1） ，，.     （2）      【分析】 （1）化简集合，根据集合的交并补运算求解即可； （2）根据交集运算结果转化为包含关系计算即可. (1) 小问详解： 因为，， 所以，， 又因为，所以. (2) 小问详解： 因为，所以, 所以. 36．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或     （2）或      【分析】 （1）先求出集合，再根据补集、并集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. (1) 小问详解： 当时，， 则或，所以或. (2) 小问详解： 由，， 当时，，解得； 当时，有 或 ，解得. 综上所述，实数的取值范围为或. 37．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称无序子集组构成集合U的一个k划分．已知集合，则集合I的所有划分的个数为　　　　　　　　　　　． 【答案】51 【分析】 化简集合，再由新定义及组合知识分类求解即可. 【详解】 由题意得，，共有5个元素， 则2划分有个，3划分有个，4划分有个， 5划分有1个，所以共有划分的个数为51个． 故答案为；51 38．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知集合，集合. （1）求集合； （2）当时，求； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）解分式不等式，即可求得集合； （2）当时得到集合，然后由补集的定义求得，再由并集的定义求得； （3）由交集的结果得到集合之间的关系，讨论集合是否为空集，结合条件列不等式组后得到实数的取值范围. (1) 小问详解： 解，则， ∴，即， ∴. (2) 小问详解： 时，， 或， ∴或 (3) 小问详解： 当时，即， ①，即，∴， ②，此时 ，解得， ∴. 39．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知全集，集合，. （1）求； （2）求. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）解不等式求得集合，利用交集的意义即可求解； （2）利用补集的意义求得，利用并集的意义即可求解. (1) 小问详解： 由，得 ，解得，所以， 由，得或，所以或， 所以； (2) 小问详解： 由（1）可知，所以或， 又或，所以或. 40．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知集合． （1）若，且，求的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；     （2）.      【分析】 （1）由题设是的两个根，利用韦达定理及已知条件求参数值，注意验证，即可得； （2）由题设求出集合且，结合集合中的不等式求参数范围. (1) 小问详解： 由题设是的两个根，则 ， 由， 则，可得或， 又，则，显然或均满足， 综上，或； (2) 小问详解： 由题设，， 又，即，故 . 41．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）先化简集合，再利用集合的并集，补集，交集运算即可； （2）分和两种情况进行讨论得解. (1) 小问详解： 当时，， ， 或，； (2) 小问详解： 若，则当时，，解得； 当时， ，解得， 综上，实数的取值范围为或. 42．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知集合或． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据并集的定义运算即得； （2）因，结合数轴表示可列式求解； （3）根据，结合数轴表示可列式求解. (1) 小问详解： 若，则，或， 则或； (2) 小问详解： 因，则， 由，可得且，解得， 故实数的取值范围为； (3) 小问详解： 因，则，则或，即或， 故实数的取值范围为或. 43．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人，观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有　　　　　　人． 【答案】120 【分析】 根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案． 【详解】 不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有120人． 故答案为:120. 44．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）“群”的概念由数学家伽罗瓦在世纪年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设“”为一个非空集合，“”为一种运算，如果同时满足下述条件： （1）对任意的，均有； （2）对任意的，均有； （3）存在使得，对任意的，都有， （4）对任意的，存在，使得； 则称为一个群.下列叙述中，使得构成群的是　　　　　　. ①，对任意的，； ②，对任意的，； ③，对任意的，； ④，对任意的，. 【答案】① ③ ④ 【分析】 根据的范围和的定义，依次验证四个条件是否全部成立即可. 【详解】 对于① ，若，，则，，（1）成立； ，， ，， ，（2）成立； ，若，则， 解得：，（3）成立； ，，使得，（4）成立； ① 可以使构成群； 对于② ，若，，则，，（1）成立； ，， ，， ，（2）成立； ，若，则， 解得：，（3）成立； ，，若，则，（4）不成立； ② 不可以使构成群； 对于③ ，若，，则或，，，（1）成立； ，，，，（2）成立； ，若，则， 解得：，（3）成立； ，， 时，，时，，（4）成立； ③ 可以使构成群； 对于④ ，若，，则，，（1）成立； ，， ， ， ，（2）成立； ，若，则， 解得：，（3）成立； ，，（4）成立； ④ 可以使构成群； 综上所述：① ③ ④ 可以使构成群. 故答案为：① ③ ④ . 45．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知实数集，定义． （1）若，求； （2）若，求集合A； （3）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】（1）     （2）或者.     （3）13      【分析】 （1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； （3）分 中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解. (1) 小问详解： ; (2) 小问详解： 首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ① 当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ② 当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. (3) 小问详解： 估值+构造   需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 46．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. （1）若，求； （2）若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组； （3）若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值. 【答案】（1）     （2）的最大值为，     （3）n的最大值为11      【分析】 （1）根据新定义即可求出； （2）由，且要使得取到最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值. （3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可. (1) 小问详解： 由集合知，， 所以. (2) 小问详解： 因为，， 由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同， 根据定义要让取到最大值， 则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中， 4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中 这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为， 所以有一组满足题意， (3) 小问详解： 要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为， 因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集， 不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如, 则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如， 同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如， 是集合中有个元素的非空真子集，且，例如， 所以， 解得或（舍去）， 所以n的最大值为11. 【点睛】 方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 47．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）定义两个n维向量，的数量积（），，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由n维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集. （1）求2的完美3维向量集： （2）判断是否存在完美4维向量集，并说明理由： （3）若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和. 【答案】（1）；     （2）不存在完美4维向量集，理由如下： 依题意，完美4维向量集B含有4个4维向量元素（），， （i）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； （ii）当时，，不满足条件③ ，舍去； （iii）当时，， 因为，故与至多有一个为集合B中元素， 同理：与至多有一个为集合B中元素，与至多有一个为集合B中元素， 故集合B中的元素个数小于4，不满足条件① ，舍去； （iv）当时，，不满足条件③ ，舍去； （v）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 综上所述，不存在完美4维向量集.     （3） 依题意，T的完美n维向量集C含有n个n维元素（）， 因为，所以每个元素中有T个分量为1，其余分量为0， 所以， 由（2）知，故， 假设存在k，使得，不妨设. （i）当时，如下图， 由条件③ 知，或（）， 此时，与（*）矛盾，不合题意. （ii）当时，如下图， 记（）， 不妨设，，， 下面研究的前个分量中所有含1的个数. 一方面，考虑中任意两个向量的数量积为1， 故（）中至多有1个1， 故的前个分量中， 所有含1的个数至多有个1（**）. 另一方面，考虑（）， 故的前个分量中， 含有个1，与（**）矛盾，不合题意. 故对任意且，，由（*）可得.      【分析】 （1）利用的完美维向量集定义求解即可. （2）分别研究，，，，时，结合新定义及集合中元素的互异性即可判断. （3）依题意可得，运用反证法，假设存在，使得，不妨设，分别从及两方面证得矛盾即可得，进而可证得结果. (1) 小问详解： 由题意知，集合A中含有3个3维向量元素（）， 因为，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0. 又，所以，，， 所以2的完美3维向量集为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 48．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． （1）分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； （2）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． （3）若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 【答案】（1） 若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数， 对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性， 对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性；     （2） 不存在，理由如下： 假设存在满足要求的五元集，其中， 则去掉时，可能的情况为或， 若，则去掉时，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 若，则去掉时，，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性；     （3）7．      【分析】 （1）若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数，由此可以快速判断（1）中两个集合不具有可分性； （2）存在性问题，可先假设存在满足要求的五元集合，再根据新定义进行检验； （3）根据新定义，设，则容易发现为偶数，若n为偶数，则可进一步得到为偶数，为4的倍数，为8的倍数，……，从而得出矛盾，n必为奇数，易知不符合，由（2）知不符合要求，构造出符合要求的7元集合即可说明n的最小值为7． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数， 否则n为偶数，记，则为偶数，所以为偶数，所以M为偶数，ai为偶数， 所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则为4的倍数，所以为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数， 所以是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则为8的倍数，所以为8的倍数，所以M为8的倍数，为8的倍数， ………， 依次类推下去，可得为的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕． 时，去掉任意元素之后，另两个元素不可能相等，集合A不可分， 由（2）知时，集合A也不可分，所以， 当时，取， 划去1时，； 划去3时，； 划去5时，； 划去7时，； 划去9时，； 划去11时，； 划去13时，， 即A具有可分性， 综上可知，集合A中元素个数的最小值为7. 【点睛】 思路点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 49．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知集合，则下列四个结论中： ①集合为的真子集； ②集合； ③设集合，则； ④对任意，且，总存在，使得. 正确的序号是　　　　　　　　　　. 【答案】① ④ 【分析】 利用有理数、无理数的概念与性质，结合题意，可以判定① ② ③；利用换元思想，构造函数（) ，结合对勾函数的性质分类分析，可证明④正确. 【详解】 结论①： 中的元素均为有理数，因为分子和分母均为整数，且分母不为零，故. 但，例如，但不属于, （假设，则，令，得 ， 解得，与为有理数矛盾）. 此外，中的元素均非负（因时，），而包含负数， 故是的真子集，故结论①正确； 结论②： 集合是闭区间，包含无理数. 但仅包含有理数，且并非所有中的有理数都属于（如不属于）， 不等于，故结论②错误； 结论③： 是中的所有有理数，但不包含中所有的有理数（如不属于）， 故，故结论③错误； 结论④：当时，，记，则， 当时，，记，则， 所以总存在，使得,设（) 表示，. 当时，在上严格递增，在  上严格递减，最大值  定义，则 . 对任意，且，设， 下面对于的范围的不同情况分类研究. 情形1： 当时，在  上严格递增，为使，则， 取，则， 令，则 . 情形2： 当时，在  上严格递减，所以， 取，则， 令，则 且. 情形3： 当时，在上严格递增，在上严格递减， 且， 为使，则，取，则， 令，则且. 情形4： 当时，在上严格递增，在  上严格递减， 且， 为使，则，取，则， 令，则且 . 因此，对任意  且 ，存在  满足 ，故结论④正确。 故答案为：① ④ 50．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知n是正整数，集合.若集合且P中元素个数为k，则称P是的k元子集.若P是的一个k元子集，且对任意：，都存在P中若干个不同元素，，，，满足，则称P是的k元基子集. （1）判断是否是的4元基子集，说明理由； （2）设P是的7元子集，判断P是否一定是的7元基子集，说明理由； （3）若的任意k元子集均是k元基子集，求k的最小值. 【答案】（1）是，理由：由于， 因为且， 所以是的4元基子集     （2）P不一定是的7元基子集，理由如下： ， 取，则，故4不能写成中若干个元素之和， 所以不是的7元基子集     （3）15      【分析】 （1）根据4元基子集的定义即可验证求解， （2）根据4元基子集的定义举反例即可说明， （3）先用反证法证明不符要求，即可得，设，由于0可以表示为中若干个元素之和, 根据对称性只证明整数，均可表示为中若干个元素之和,，即可根据① ② 两种情况求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，考虑的元子集， 当时，中的元素均不是正数， 此时中的正整数均不能写成中若干个元素之和， 当时，中所有的正元素之和为， 故不能写成中若干个元素之和，所以， 设，则， 任取的15元子集，因为，所以或存在使得, 所以0可以表示为中若干个元素之和， 由对称性，只需要证明整数，均可表示为中若干个元素之和， 设， 因为中至多包含11个非正数，所以， 下面证明这11个数中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和， ① 若中存在不小于的数，设其中最小的一个为， 则， 所以中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和， ② 若，设在所有可表示中若干个元素之和的数中， 小于的最大数为， 则，所以，解得， 设是在中的补集， 则对于任意的，均有， 即中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和， 设,， 因为的元素个数，中的元素个数，又, 所以，即不为空集， 设，则可表示为中若干个不同元素之和， 所以可表示为中若干个不同元素之和， 综上可得：最小值为15. 【点睛】 方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 51．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；．若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集． （1）当时，已知集合，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由； （2）当时，已知集合．若不是的完美子集，求的值； （3）已知集合，其中，若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例． 【答案】（1） 由， 显然只有唯一解，即， 所以为的完美子集； 同理，对于，， 令， 即 ，方程组的解不唯一， 比如，，为方程组的一组解，所以不是的完美子集.     （2）     （3） 是完美子集，理由如下： 假设存在不全为0的实数，，满足， 不妨设，则否则与假设矛盾， 由，得， 所以， 与，即矛盾， 所以假设不成立，所以．所以， 所以一定是完美子集.      【分析】 （1）根据完美子集的定义，列方程组求值判断即可； （2）根据题意列方程组，解方程组即可求解； （3）假设存在不全为0的实数，，满足条件，不妨设，由条件得出矛盾即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意得， 所以 ， 由不是的完美子集，即方程组的解不唯一， 因为， 由集合的互异性得，且， 所以，，， 所以 ， 所以， 所以或， 检验： 当时，存在，，，使得， 当时，因为，所以，，舍， 所以. (3) 小问详解： 略 52．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质． （1）试判断集合和是否具有性质？并说明理由． （2）若．证明：A不可能具有性质． （3）若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值． 【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由如下： 因为，又， 但，所以集合不具有性质， 因为，又， 但， 所以集合具有性质.     （2） 将集合中的元素分为如下个集合， ， 所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选10个元素， 所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为， 所以A不可能具有性质. 先说明连续11项中集合中最多选取5项，     （3）920      【分析】 （1）根据定义判断是否具有性质即可； （2）将分为个子集，结合抽屉原理证明结论； （3）先证明连续个自然数中至多有个元素属于，由此可得集合A中元素个数不超过个，再举例说明存在含有个元素的满足要求的集合. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 以为例. 构造抽屉，，，，，，. ①同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选；选6则不选；选7则不选； 则只剩. 故中属于集合的元素个数不超过5个. ②选2个， 若只选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则只能从中选，但不能同时选， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. ③中只选1个， 又四个集合，，，每个集合至多选1个元素， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 由上述① ② ③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个， 如取. 因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项； 从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合的元素最多有个. 给出如下选取方法：从中选取； 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次. 此时集合的元素为：；；；； ，共个元素. 经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个. 【点睛】 关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解. 53．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）设正整数，若由实数组成的集合满足：“对中任意三个不同的元素，均有或．则称具有性质． （1）分别判断和是否具有性质，并说明理由： （2）设，集合具有性质，记中不小于1的元素个数为，求的取值范围； （3）若集合具有性质，求的最大值． 【答案】（1） 具有性质，不具有性质. 对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于， 当任意三个元素中有，则三个元素的乘积为，当任意三个不同元素不含， 则，，， ，可知具有性质 对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于， ，，因此不具有性质.     （2）；     （3）9.      【分析】 （1）根据集合具有性质的定义结合反例可判断两个集合是否具有性质. （2）根据条件对的取值进行分类讨论，根据集合具有性质的定义进行判断. （3）根据集合具有性质，对于的范围进行分类讨论即可得到结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，集合具有性质， 记中不小于1的元素个数为， 当时，，且，不具有性质， 当时，，例如具有性质， 当时，，例如具有性质， 当时，，且不具有性质， 所以的取值范围为； (3) 小问详解： 显然取最大时，，因为. 设集合有个正实数，且不妨设. 现取三元集，其中 由于，故，只能是. 注意到是两两不等的实数. ①当时，有 又因为这个元素都在中， 所以只能是，则为等比数列， 取，则有(*) 显然有，否则若. 再取三元集，其中，又因为， 同理可得， 取，则有与 式矛盾. ②当时，有，由①同理可得. ③当时，有 则，则为等比数列， 取，则有， 则，有 由①同理可得，， 当时，由前面分析可知 且， 对于三元集和，， 显然，否则推出矛盾. 则，即 即 ，方程无解，故. 同理可得A集合中负数的个数小于等于4. 构造满足题意. 综上所述，的最大值为9. 54．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）记集合的元素个数为.对于集合且，如果且，均，使得，那么就称是集合的一个“平衡数” （1）当时，直接判断和是否为的“平衡数”； （2）若为集合的“平衡数”，求证：； （3）求集合的“平衡数”的最小值（用表示）. 【答案】（1） 不是的“平衡数”，是的“平衡数”；     （2） ，， 若，取，显然其中六个元素不存在两个元素之和为13， 即不是的“平衡数”，同理，更不满足定义； 事实上，中的元素满足和为13的有六组， 而当时，由抽屉原理，在上述六组数中取7个数，必有2个在同一组，其和为13， 所以若为集合的“平衡数”，则；     （3）      【分析】 （1）根据定义结合集合的子集可一一判定； （2）利用反证法集合抽屉原理证明即可； （3）利用抽屉原理结合定义计算即可. (1) 小问详解： 当时，，， 若，取，显然，所以不是的“平衡数”， 若，则P可以为， 以上四个集合，含元素或的各两个，， 均可满足定义，所以是的“平衡数”； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对于集合， 能组成和为的有，共组， 根据抽屉原理，要保证任取k个元素，都至少有一对的和为，则k至少为， 假设，同上道理，取，在P中找不到两个不同的数， 使得， 所以集合的“平衡数”的最小值为. 55．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知集合．对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）． （1）若，求和； （2）若满足且，求的所有可能结果； （3）是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；     （2）、、、；     （3） 存在正整数n使且，理由如下： 由，则， 所以， 若，， 所以， 若，则，，， 所以，对都有， 当时，恒成立， 综上，n所有取值为使成立.      【分析】 （1）根据定义依次写出、即可得结果. （2）由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果； （3）由定义得，依次写出直到即可判断存在性，并确定n的所有取值. (1) 小问详解： 由题意，，，， ，，，. (2) 小问详解： 由且， ① ， 当或1时，， 同理，或1时，， 或1时，， 或1时，， 所以① 等价于 ，则，， 当，，则为满足； 当，，则为满足， 当，，则为满足， 当，，则为满足， 综上，的所有可能结果、、、. (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：第二、三问，根据已知条件及的定义依次写出结果，判断存在性并列举出结果. 56．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数. （1）若，求集合和，以及的值； （2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合 ①求证：； ②求的最小值. 【答案】（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3； （2）①显然. 若A∪B中含有一个不在S中的元素，则，即 . 若，且，则 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素. 所以. 因为， 所以，即. 综上，. ② 【分析】 （1）直接根据定义求解即可； （2）①分若A∪B中含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可，当，且时，可通过得证； ②结合① 知，讨论若，或，得，若，且，设，，可证得的最小值是 【详解】 （1）根据定义直接得X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3. （2）① 略 ② 由① 知. 所以 若，或，则 若，且，设， 且，， 则， 若， 因为， 所以这个数一定在 集中C中，且均不等于1. 所以 所以 当，时， 所以的最小值是 【点睛】 关键点点睛：本题的第三问较难，解题的关键是由① 得，进而进行分情况讨论可得解. 考点04 充分条件与必要条件 1．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知，则“”是“”的（       ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】 直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】 若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 2．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）设函数的定义域为，则“是上的减函数”是“对于任意实数，函数无零点”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据条件，由函数零点的定义及单调性的定义，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】 当时，， 若函数为上的减函数，则，所以， 函数无零点， 所以是上的减函数可推出对于任意实数，函数无零点， 若对于任意实数，函数无零点，则或恒成立， 所以可能是上的增函数， 即对于任意实数，函数无零点推不出是上的减函数， 所以“是上的减函数”是“对于任意实数，函数无零点”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）对于实数，“”是“”的（       ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【分析】 根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】 当时，例如当，但，故充分性不成立；反之，若，则，故必要性成立. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 解不等式可得且，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】 由不等式可得，等价于 ，解得且， 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知都是实数，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】 由题意当时，由推不出，此时； 当时，，则可得， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 6．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）设集合，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据可得，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】 由，， 则，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】 根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 例：当，时，，满足； 但此时，不满足, 因此，“”不能推出“”，充分性不成立； 例：当，时，，满足； 但此时，不满足, 因此，“”不能推出“”，必要性不成立； 故选：D. 8．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）设，，则“且”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 先由解出，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】 ， 所以，化简可得， 所以. 若且，则，所以充分性成立， 但，，，则也满足条件，所以必要性不成立； 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 9．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】 根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 因为函数 . 当时，若，则在上单调递减， 所以不是在上单调递增的充分条件； 由于在上单调递增， ， 所以，所以不是在上单调递增的必要条件； 综上，是在上单调递增的既不充分也不必要条件； 故选：D. 10．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】 由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 【详解】 11．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 先利用分式不等式的解法和绝对值的解法解不等式，然后根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】 因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 若，则成立，所以“”是“”的充分条件； 若，则不一定成立，所以“”是“”的不必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 12．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）已知向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数，使得”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据题意，利用向量的运算法则，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】 由向量，为非零向量，设向量，的夹角为，其中， 因为，可得， 即， 即， 所以，可得，所以，即向量与反向， 由共线向量的基本定理，可得存在实数，使得， 取时，可得， 所以存在非零实数，使得，所以充分性成立； 反之：若存在非零实数，使得，则向量与共线， 当向量与同向时，，所以必要性不成立， 所以是存在非零实数，使得的充分不必要条件. 考点05 全称量词与存在量词 1．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知命题，，则是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 存在性命题的否定应为全称命题，同时结论也要否定 【详解】 命题“，”的否定为“，”. 故选：B. 2．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知命题：，；命题：，，则（       ） A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 【答案】C 【分析】 根据条件，直接判断出命题和的真假，即可求解. 【详解】 由，得到，解得或，所以命题为真命题， 又当时，，所以命题是假命题，故选项A，B和D错误，选项C正确， 故选：C. 3．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知命题：，，则命题的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 利用存在量词命题的否定是全称量词命题即可得解. 【详解】 根据命题的否定原则可得，命题的否定为，. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知命题，，则命题的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】 根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案. 【详解】 根据特称命题的否定为全称命题知： 命题的否定是，. 故选：A. 5．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）命题“，”的否定是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题即可求出结果. 【详解】 则命题“，”的否定为，， 故选：B. 6．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）设命题，则的否定为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据全称量词命题的否定为特称量词命题即得. 【详解】 根据全称量词命题的否定为特称量词命题， 所以命题的否定为“”. 故选：D. 7．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 由命题的否定的定义即可得到结果. 【详解】 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题的条件不变． ∴命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 8．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）设命题，则为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】 由特称命题的否定为全称命题，则为. 故选：D 9．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知命题：，，那么命题为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】 因为命题为：，， 所以为：，， 故选：C 10．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 由特称命题的否定是存在改任意并否定原结论，即可得答案. 【详解】 由特称命题的否定为特称命题，原命题的否定为，. 故选：D 11．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）对于命题：“，都有”，则是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据全称量词命题的否定的方法求解即可. 【详解】 根据全称量词命题的否定方法， ：. 故选：D 12．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知命题，使得”，则为（       ） A. “” B. ” C.  D.  【答案】B 【分析】 对于存在量词的命题的否定，只需改变量词，否定结论即得. 【详解】 命题，使得”的否定为：”. 故选：B. 13．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）命题“，”的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】 利用存在量词命题的否定直接写出结论即得. 【详解】 根据特称命题的否定为全称命题， 命题“，”的否定为，. 故选：A 14．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知命题：，则是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题即可得答案. 【详解】 因为， 所以：. 故选：B. 15．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）设有下面四个命题，其中真命题为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据量词的意义，逐项分析其真假，即可求解. 【详解】 对A：由恒成立，故该命题为假命题，故A错误； 对B：当时，，故该命题为假命题，故B错误； 对C：，故该命题为真命题，故C正确； 对D：，故无解，故该命题为假命题，故D错误. 故选：C. 16．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知命题，则为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题进行解答即可. 【详解】 因为特称命题的否定是将变为，然后对结论进行否定， 即为. 故选：C. 17．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）命题的否定是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据全称量词命题的否定的知识写出正确答案. 【详解】 全称量词命题的否定是存在量词命题，要注意否定结论， 所以命题的否定是： 故答案为： 18．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知命题：“，”，则命题为　　　　　　. 【答案】， 【分析】 根据全称命题的否定是存在量词命题，即可求解. 【详解】 因为命题：“，”， 所以命题为“，”. 故答案为：，. 19．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）命题“，使”是真命题，则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 可根据题意得出“，恒成立”，然后根据即可得出结果. 【详解】 因为命题“，使”是真命题， 所以，恒成立，即恒成立， 因为当时，，所以，的取值范围是， 故答案为：. 20．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. (1) 小问详解： 若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. (2) 小问详解： 若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则 或 ， 解得. 21．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）设全集，，． （1）当时，求； （2）若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解分式不等式得集合A，根据补集与交集运算得答案即可； （2）根据已知可得，讨论当，，时满足列不等式即可得实数的取值范围． (1) 小问详解： ， 当，则， 所以，则； (2) 小问详解： 对于任意，都有，则， 当时，，此时满足； 当时，， 要满足，则 ，解得； 当时，， 要满足，则 ，解得； 综上，实数的取值范围为. 22．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知命题，命题，若命题P，Q均为假命题．则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据含量词命题的否定方法，对两个假命题进行否定，进而根据真命题的情况，列出参数不等式，求出结果即可. 【详解】 因为命题为假命题，所以是真命题， 设，可知函数图象开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 为真时，可得，即，解得； 因为命题为假命题，所以为真命题， 可知有解，即，解得或， 综上所述，当命题P，Q均为假命题时，实数的取值范围是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $