专题04 指数与对数（知识&考点&公式&7高频&2易错&3重难，期中知识清单）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题04指数与对数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(7类) 考点清单(9类) 公式清单(4类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(7类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(3类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 根式 1.n次方根的定义 一般地，如果,那么叫做的n次方根，其中． 2．n次方根的性质 1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时的n次方根用符号表示。 2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为表示。 3）负数没有偶次方根 4）0的任何次方根都是0，记作 3.根式的定义与性质 1）定义：式子叫做根式，n叫做根指数，叫做被开方数. 2）性质（其中）： ① ② 知识点02 分数指数幂 1.正数的正分数指数幂：． 1.正数的负分数指数幂： 3.规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 知识点03 无理数指数幂及实数指数幂 1.无理数指数幂． 一般地，无理数指数幂是一个确定的实数，这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从正数逐步拓展到了实数。 2.实数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数均有以下性质： 1) 2) ( 3) = 知识点04 对数的概念、性质与对数恒等式 1.对数的概念 1)对数的概念:一般地，如果 (>0,且≠1)，那么数叫做以为底N的对数,记作,其中叫做对数的底数，N叫做真数. 2)指对互化：当>0,且≠1时，，图示如下： 2.对数的性质 1）负数和0没有对数。 2）1的对数等于0，即 3） 3.对数恒等式： ①＝N(a>0且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0且a≠1)． 知识点05 常用对数与自对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 () 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 知识点06对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)=logaM+logaN； ②loga=logaM-logaN； ③logaMn=nlogaM (n∈R)； 知识点07对数的换底公式与性质 换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 【知识拓展】 (1)可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 考点01 根式的化简 考点内容：根式的化简求值；多重根式的化简． 常见考法： 解决根式化简或求值需要注意： 1.分清根式是奇次根式还是偶次根式； 2.根式化简的公式： ① ② 注意： 1. 且n是奇数时，，为任意实数。 2. 且n是偶数，时，才有意义，且 3. n是偶数，为任意实数,均有意义且 考点02 指数幂的化简求值 考点内容：将根华化为指数幂；指数幂化为根式；负数指数幂的化简． 常见考法： 1.底数是小数的，要先化成分数; 2.底数是带分数的，要先化成假分数，以便于利用指数幂的运算性质. 易错提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 考点03 指数幂条件求值 考点内容：条件求值；代数式化简求值． 常见考法： 1.条件求值问题常用方法： 1）整体代人法. 2）将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代人法”巧妙地求出代数式的值. 2.常用变形公式：（） 1) 2) 3) 4) 考点04 指数方程求解 考点内容：求指数方程的解． 常见考法： ①,求解时只需令,解出的值即可。 ②求解时通常用换元法。 考点05 指数中的连等式问题 考点内容：连续相等的指数；连等式求参数与代数式问题． 常见考法： 1.若连等式中有一项为常数，则把连等式分开写成都与常数相等的等式，分别借助对应运算求解。 2.若连等式中没有常数，引人参数t,让连等式等于t,把连等式分开都写成与t相等的等式，分别借助对应运算求解. 3.若连等式中没有常数，也可把其中一项视为常数，把连等式分开写成都与这一项相等的形式，分别借助对应运算求解. 考点06 对数式的化简求值 考点内容：对数的化简求值；对数的加减与数乘运算；对数的换底公式的使用． 常见考法： 1.对于同底数的对数式，化简的常用方法是: 1)“收”,逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式; 2)“拆”，正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差). 2.对常用对数的化简要创设情境，要充分利用“1g5+lg2=1'来解题. 3.求含有多重对数符号的对数值，应从内向外逐层化简求值，已知含有多重对数符号的对数值求变量的值时，应从外到内，逐步脱去“log”后再求解. 4.当真数是形如“”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”.” 5.不同底数的对数式化简求值常用换底公式. 考点07 对数方程 考点内容：对数方程的解；对数等式． 常见考法： 1.对数方程问题的方法 化同底或换元将其转化为一般方程求解，注意在将对数方程转化为一般方程的过程中，未知数范围的扩大或缩小可能会造成多解或漏解的情况，故解对数方程时必须把所求的解代人原方程进行检验. 2.对数方程解法 1） 解法：将对数式转化为指数式 2. 解法：转化为 3. 解法：转化为 4. 解法：将看成一个整体，转化为关于的方程 易错提醒：注意求得的必须保证所有对数中，真数大于0. 考点08带条件的指数对数问题 考点内容：带附加条件的指数、对数问题，已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这 些已知条件来表示所要求的式子. 常见考法： 1.要充分利用指数、对数的转化，注意整体思想的应用。 2.用已知的指数式或对数式表示其他指数式或对数式。 3.利用对数证明有限制条件的恒等式。 4. 以对数方程为条件的化简求值。 考点09指对的实际应用 考点内容：指对模型的实际应用。 常见考法： 1.指对的实际应用： 1.建立对数式，计算式注意指对互化。 2，建立指数式，必要时进行指对互化进行求解。 1 分数指数幂的公式 ①＝，＝＝ (其中 >0，m，n∈N*，且n>1)． ②0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义． 2.实数指数幂的运算法则 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3.对数的基本性质与恒等式 (1)负数和零没有对数，即N>0； (2)loga1＝0(a>0，a≠1)。 (3)logaa＝1(a>0，a≠1)。 (4)＝N(a>0且a≠1，N>0)。 (5) ＝N(a>0且a≠1)。 4.对数运算常用结论 a>0, a≠1, M>0, N>0, n>1，p∈ （1） （2） （3）() 辨析01 估算法比较指对大小时找不到临界值 比较大小这类题，往往先尝试把各数据估算在相邻的两个整数之间，如(0,1)，(1,2)等，看能否找出最大的一个或最小的一个，对于都在同样两个整数之间的数据，再选择与中点、三等分点等比较． 辨析02不能正确区分 。 1. 已暗含了有意义，根据n的奇偶性可中的范围。 2. 中的可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性。 辨析03 负数指数幂计算式负次幂为倒数易与负数运算混淆 1.有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. 2.负指数幂化为正指数幂的倒数. 3.底数是小数，先要化成分数;底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，以便于运用指数幂的运算性质. 辨析04 指对化简log的符号添加易出现错误 1.指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 2.指数式与对数式互化时应注意的问题并非任意式子=N都可以直接化为对数式， 如=就不能直接写成log(-3)9=2,只有当a>0,且a≠1时,才有 辨析05 对数运算忽略底数范围 1.基本思想:在一定条件下求对数式的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解. 2.基本方法: （1）将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. （2）利用幂的运算性质和指数的性质计算。 辨析06 对数运法则忽略真数范围 1. (1)若M,N同号,则以及还成立吗? 这一点对初学者来说容易出错，事实上是不成立的，但是是成立的. 【题型一】根式的化简求值 【例1】(25-26高一上·江苏宝应中学·期中)下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】对于A，，，所以A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，当为奇数时，（，），所以C错误； 对于D，（，），所以D正确. 故选：D. 【变式1-1】(25-26高一上·江苏天一中学·期中)___________． 【答案】 【分析】利用指数的运算法则计算即可. 【详解】由 . 故答案为： 【变式1-2】(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)设，若，则的值是______. 【答案】 【分析】根据的关系先求解出的值，由此可求的值. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 故答案为：. 【题型二】根式与分数指数幂的互化 【例2-1】(25-26高一上·江苏南通·期中)设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式与分数指数幂的互化可得出结果. 【详解】当时，则. 故选：B. 【变式2-1】(25-26高一上·江苏连云港赣榆区·期中)化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式运算、指数运算等知识进行化简求值. 【详解】 . 故选：C 【变式2-2】(25-26高一上·江苏怀仁中学·期中)化简后的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式、指数幂运算求得正确答案. 【详解】. 故选：C 【题型三】指数化简运算 【例3】(23-24高一上·江苏常州第一中学·期中)化简(，)的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数指数幂的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据实数指数幂的运算法则得：原式. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的化简、求值，其中解答中熟记指数幂的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查计算能力. 【变式3-1】(24-25高一上·江苏镇江区·期中)（1）计算：； （2）因式分解：； （3）已知，，，，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用分数指数幂，及分母有理化与根式的化简可求值； （2）利用十字相乘法可因式分解； （3）由已知可求得，利用立方和因式分解可求值. 【详解】（1） （2） ； （3）由，可得，又，所以， 由. 【变式3-2】(20-21高一上·江苏无锡江阴二中、要塞中学等四校·期中)计算或化简下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）0（2） 【分析】(1)利用指数的性质、运算法则直接求解． (2)利用指数的性质、运算法则直接求解． 【详解】(1) =． (2) ． 【点睛】本题考查指数式化简求值,考查指数性质、运算法则等基础知识,考查运算求解能力,是基础题． 【题型四】指数附加条件求值问题 【例4-1】(25-26高一上·江苏徐州树恩中学·期中)若，则（    ） A．11 B．14 C．30 D．45 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【详解】由，得. 故选：D 【变式4-1】(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据指数的运算性质化简运算得解. 【详解】，， 又，则， 所以，，解得. 故选：C. 【变式4-2】(25-26高一上·江苏江阴部分学校·期中)（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）7；（2）. 【分析】（1）利用指数运算性质求出的值. （2）逆用指数运算法则，代入计算得解. 【详解】（1）由，得. （2）由，得. 【变式4-3】(25-26高一上·江苏南京第二十九中学、盐城中学·期中)（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）100；（2）. 【分析】（1）由指数的运算性质即可计算求解； （2）由平方和公式和立方和公式即可计算求解. 【详解】（1）原式. （2）对两边平方得，所以， 再对两边平方得，所以 所以， 则. 【题型五】指对方程 【例5-1】(25-26高一上·江苏南京第二十九中学、盐城中学·期中)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，进而得，求出即可得. 【详解】令，则， 所以，则，可得（负值舍去）， 所以 . 故选：C 【变式5-1】(25-26高一上·江苏盐城五校联考·期中)若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换底公式结合指数与对数间的运算，求得或，代入，即可化简求得结果. 【详解】由题知，， 则 ，可得或， 所以或， 若，又， 则，所以， 则或（舍去），，； 若，又， 则，所以， 则或（舍去）， 所以， 综上，. 故选：B 【变式5-2】(25-26高一上·江苏南通海门中学·期中)已知，是方程的两个实数根，则__________． 【答案】/ 【分析】解方程求出，再利用换底公式计算即得. 【详解】方程，化为，解得， 依题意，不妨令，所以. 故答案为： 【变式5-3】(21-22高一上·江苏百校大联考·)若，则x=___________. 【答案】 【分析】根据对数的运算法则求解. 【详解】解： ，解得： 故答案为： 【题型六】对数的四则运算与换底公式 【例6-1】(25-26高一上·江苏盐城射阳中学·期中)求值： (1)若，求； (2) 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）结合指数的运算性质求解即可. （2）结合对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以；，即，所以； 故. （2） =11. 【变式6-1】(25-26高一上·江苏连云港灌南县·期中)求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可； （2）利用对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）由 ； （2）由 【变式6-2】(25-26高一上·江苏阜宁，滨海，射阳三校·期中)求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据指数幂以及根式的运算法则，即可求得答案； （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【变式6-3】(23-24高一上·江苏镇江镇江第一中学·期中)（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）0. 【分析】（1）根据指数运算性质可得结果. （2）根据指数和对数的运算性质可得结果. 【详解】（1） ． （2） ． 【题型七】用字母表示对数 【例7-1】(23-24高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)已知，则________．（用表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用换底公式求解即得. 【详解】由，得，又， 所以. 故答案为： 【变式7-1】(25-26高一上·江苏淮安高中协作体·期中)（1）已知，，求的值. （2）化简 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）根据指数运算得，，进而利用指数幂的运算求解即可； （2）利用指数幂的运算和对数运算性质化简求值即可. 【详解】（1）由，，则，， 所以，故的值为； （2）. 【变式7-2】(25-26高一上·江苏扬州中学·期中)求下列各式的值： (1)已知，，试用a，b表示； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换底公式求解即可； （2）利用指数对数运算性质计算. 【详解】（1）, . （2）. 【变式7-3】(25-26高一上·江苏启东中学·期中)设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数运算性质化简即可. 【详解】因为， 所以 ， 故选：A. 【题型一】与基本不等式结合忽略范围 【例1】(25-26高一上·江苏盐城集团校·期中) （多选）已知，且，则下列选项正确的是（   ） A．的最小值为9 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为2 【答案】BC 【分析】根据基本不等式的性质，以及基本不等式的运用方法，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】对于A，可知，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以A错误； 对于B，可知，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确； 对于C，可知， 由，得，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 可知，所以C正确； 对于D，可知，则， 当且仅当时，即时取等号，因为，所以等号不成立，所以D错误； 故选：BC. 易错警示 结合基本不等式，需要考虑等号成立的条件，如果等号不成立，需要考虑对勾函数. 【变式1-1】(25-26高一上·江苏淮安高中协作体·期中) （多选）已知实数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质判断AB选项，利用基本不等式判断CD选项. 【详解】对于A，当时，有，A选项正确； 对于B，当时，有，B选项错误； 对于C，若，则， 当且仅当时等号成立，C选项正确； 对于D，， ， 则， 当且仅当时等号成立，D选项正确. 故选：ACD. 【变式1-2】(24-25高一上·江苏扬州中学·期中)设为正实数，，，则____________． 【答案】/0.5 【分析】根据题意可得，进一步变形为，再利用基本不等式得，从而得，解出的值，代入即可求解. 【详解】因为为正实数，，则，即， ，故， 因为，所以， 又，，则由基本不等式得，当且仅当时，等号成立. 综上，，则，解得，则. 故答案为：. 【题型二】对数公式混淆加减与乘除 【例2】(22-23高一上·江苏连云港华杰高级中学·期中)若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A：，故选项A不正确； 对于B：，故选项B不正确； 对于C：，故选项C不正确； 对于D：，故选项D正确； 故选：D. 易错警示:不成立的公式汇总 1.. 2. . 3.. 4. 【变式2-1】(25-26高一上·江苏宿迁沭阳县·期中) （多选）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据对数的运算依次判断选项即可. 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D正确. 故选：BCD. 【变式2-2】(23-24高一上·江苏连云港连云区连云港高级中学·期中) （多选）若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数运算法则和性质即可判断. 【详解】对于A：，故选项A不正确； 对于B，根据对数的运算法则得，故B正确； 对于C：，故选项B不正确； 对于D：，故选项D正确； 故选：BD. 【变式2-3】(22-23高一上·江苏射阳中学·期中) （多选）下列说法中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】取可判断AB选项；利用指数幂的运算性质可判断C选项；利用对数的换底公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，，A错； 对于B选项，当时，有意义，无意义，B错； 对于C选项，若，则，， 因为，故，C对； 对于D选项，若，由换底公式可得，D对. 故选：CD. 【题型一】指对模型 【例1】(24-25高一上·江苏镇江区·期中)某机构研究某地区的流感暴发趋势，发现从确诊第一名患者开始累计时间(单位：天)与病情暴发系数之间满足函数关系为常数)，当时，标志着疫情将要大面积暴发，若不进行任何干预，第50天时，病情暴发系数为0.5.则从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为（    ）（参考数据：） A．37 B．40 C．43 D．46 【答案】B 【分析】先利用，求得，再解不等式，即可得结论. 【详解】因为， 又第50天时，病情暴发系数为0.5. 所 以，所以， 所以，解得，所以， 由，可得，所以， 所以，，所以， 所以，解得， 所以从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为天. 故选：B. 【变式1-1】(25-26高一上·江苏扬州高邮·期中)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 【变式1-2】(25-26高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)在研究天文学的过程中，苏格兰数学家、天文学家约翰·纳皮尔正是为了简化其中的大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.现已知,，则______，______ 【答案】 【分析】根据对数的运算法则和换底公式化简. 【详解】由题意得，，，则， 则，， 则. 故答案为：；. 【变式1-3】(25-26高一上·江苏南京第二十九中学、盐城中学·期中)著名的天文学家拉普拉斯曾经说过“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”，对数可以将乘除运算转化为加减运算，从而简化运算过程.在一次趣味表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.还未等主持人报出第一个数字，速算专家已经写出了答案：这个数的31次方根是13，他的秘诀就是：他记住了下面的表（表中常用对数为近似值），请你也试一试，一个20位整数的25次方根仍是一个整数，这个整数的25次方根是（   ） 真数 2 3 4 5 6 7 8 常用对数 0.30 0.48 0.60 0.70 0.78 0.85 0.90 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】设这个整数的25次方根为x，则可得，利用对数运算并结合已知图表可求得，即可求得x的值，即得答案. 【详解】设这个整数的25次方根为x，则，N为20位整数， 则， 因为，故， 所以，由表可知， 即，故这个整数的25次方根是6. 故选：D 【题型二】指数连等式 【例2-1】(25-26高一上·江苏盐城射阳中学·期中)若实数a、b满足 则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式互化公式可把用对数表示出来，代入到中，再利用换底公式以及对数的运算法则可得答案. 【详解】由，得；由，得， 则：， 则， 则：， 故选：D 【变式2-1】(24-25高一上·江苏盐城射阳县陈洋中学·期中)已知，则__________. 【答案】1 【分析】由条件结合指数式与对数式关系求，根据换底公式及对数运算法则求结论. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故答案为：. 【变式2-2】(22-23高一上·江苏宿迁青华中学·期中)（多选）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用指数的运算性质，得到，可判断AB选项，然后利用基本不等式判断CD选项的结果. 【详解】由，则，， 即，，两式相乘得， 所以，有，A选项正确，B选项错误； 由，有， 则， C选项错误，D选项正确. 故选：AD 【变式2-3】(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)（1）求值：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1），（2）1，（3） 【分析】（1）根据指数幂的运算化简求解；（2）将指数式化成对数式得，再根据对数的运算求解；（3）将平方求得，再利用立方和公式化简求解. 【详解】（1） ． （2）依题意有， 所以， 所以． （3）因为， 设， 平方得， 即． ． 【题型三】数位问题 【例3】(23-24高一上·江苏扬州新华中学·期中)我们知道，任何一个正数可以用科学记数法表示成（为正整数），此时，当时，称的位数是.根据以上信息可知的位数是（    ）（） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】C 【分析】通过求，根据已知估值计算即可求解． 【详解】， 则的位数是是． 故选：C． 【变式3-1】(22-23高一上·江苏常州十校·期中)一个39位整数的64次方根仍是整数，这个64次方根是（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设这个39位数为，这个数的64次方根为，也即，两边同时取对数，然后计算与参考数据比较即可求出结果. 【详解】设设这个39位数为，这个数的64次方根为， 所以，两边同时取以10为底的对数可得：， 所以，因为， 所以， 也即， 因为，，所以， 所以， 故选：C. 【变式3-2】(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，则是（   ）位数（参考数据：，） A．14 B．15 C．55 D．56 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】， 所以是15位数. 故选：B 【变式3-3】(23-24高一下·江苏如东县第一高级中学创新班·期中)当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（    ）（参考数据：） A．32 B．33 C．34 D．35 【答案】B 【分析】设，则，计算即可求出，从而得出结果． 【详解】设，则 又因为， 所以，即， 因为，所以，所以， 解得：，因为， 故，所以的位数是. 故选：B 技巧 一句话要点 n次方根 1.n是奇数 2.n是偶数 对换底公式的理解 换底公式真神奇，换底新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子 根式化简 一是根式化为幂的形式;二是从内向外依次进行运算. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04指数与对数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(7类) 考点清单(9类) 公式清单(4类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(7类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(3类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 根式 1.n次方根的定义 一般地，如果,那么叫做的n次方根，其中． 2．n次方根的性质 1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时的n次方根用符号表示。 2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为表示。 3）负数没有偶次方根 4）0的任何次方根都是0，记作 3.根式的定义与性质 1）定义：式子叫做根式，n叫做根指数，叫做被开方数. 2）性质（其中）： ① ② 知识点02 分数指数幂 1.正数的正分数指数幂：． 1.正数的负分数指数幂： 3.规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 知识点03 无理数指数幂及实数指数幂 1.无理数指数幂． 一般地，无理数指数幂是一个确定的实数，这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从正数逐步拓展到了实数。 2.实数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数均有以下性质： 1) 2) ( 3) = 知识点04 对数的概念、性质与对数恒等式 1.对数的概念 1)对数的概念:一般地，如果 (>0,且≠1)，那么数叫做以为底N的对数,记作,其中叫做对数的底数，N叫做真数. 2)指对互化：当>0,且≠1时，，图示如下： 2.对数的性质 1）负数和0没有对数。 2）1的对数等于0，即 3） 3.对数恒等式： ①＝N(a>0且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0且a≠1)． 知识点05 常用对数与自对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 () 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 知识点06对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)=logaM+logaN； ②loga=logaM-logaN； ③logaMn=nlogaM (n∈R)； 知识点07对数的换底公式与性质 换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． (1)可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 考点01 根式的化简 考点内容：根式的化简求值；多重根式的化简． 解决根式化简或求值需要注意： 1.分清根式是奇次根式还是偶次根式； 2.根式化简的公式： ① ② 注意： 1. 且n是奇数时，，为任意实数。 2. 且n是偶数，时，才有意义，且 3. n是偶数，为任意实数,均有意义且 考点02 指数幂的化简求值 考点内容：将根华化为指数幂；指数幂化为根式；负数指数幂的化简． 1.底数是小数的，要先化成分数; 2.底数是带分数的，要先化成假分数，以便于利用指数幂的运算性质. 易错提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 考点03 指数幂条件求值 考点内容：条件求值；代数式化简求值． 1.条件求值问题常用方法： 1）整体代人法. 2）将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代人法”巧妙地求出代数式的值. 2.常用变形公式：（） 1) 2) 3) 4) 考点04 指数方程求解 考点内容：求指数方程的解． ①,求解时只需令,解出的值即可。 ②求解时通常用换元法。 考点05 指数中的连等式问题 考点内容：连续相等的指数；连等式求参数与代数式问题． 1.若连等式中有一项为常数，则把连等式分开写成都与常数相等的等式，分别借助对应运算求解。 2.若连等式中没有常数，引人参数t,让连等式等于t,把连等式分开都写成与t相等的等式，分别借助对应运算求解. 3.若连等式中没有常数，也可把其中一项视为常数，把连等式分开写成都与这一项相等的形式，分别借助对应运算求解. 考点06 对数式的化简求值 考点内容：对数的化简求值；对数的加减与数乘运算；对数的换底公式的使用． 1.对于同底数的对数式，化简的常用方法是: 1)“收”,逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式; 2)“拆”，正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差). 2.对常用对数的化简要创设情境，要充分利用“1g5+lg2=1'来解题. 3.求含有多重对数符号的对数值，应从内向外逐层化简求值，已知含有多重对数符号的对数值求变量的值时，应从外到内，逐步脱去“log”后再求解. 4.当真数是形如“”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”.” 5.不同底数的对数式化简求值常用换底公式. 考点07 对数方程 考点内容：对数方程的解；对数等式． 1.对数方程问题的方法 化同底或换元将其转化为一般方程求解，注意在将对数方程转化为一般方程的过程中，未知数范围的扩大或缩小可能会造成多解或漏解的情况，故解对数方程时必须把所求的解代人原方程进行检验. 2.对数方程解法 1） 解法：将对数式转化为指数式 2. 解法：转化为 3. 解法：转化为 4. 解法：将看成一个整体，转化为关于的方程 易错提醒：注意求得的必须保证所有对数中，真数大于0. 考点08带条件的指数对数问题 考点内容：带附加条件的指数、对数问题，已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这 些已知条件来表示所要求的式子. 1.要充分利用指数、对数的转化，注意整体思想的应用。 2.用已知的指数式或对数式表示其他指数式或对数式。 3.利用对数证明有限制条件的恒等式。 4. 以对数方程为条件的化简求值。 考点09指对的实际应用 考点内容：指对模型的实际应用。 1.指对的实际应用： 1.建立对数式，计算式注意指对互化。 2，建立指数式，必要时进行指对互化进行求解。 1 分数指数幂的公式 ①＝，＝＝ (其中 >0，m，n∈N*，且n>1)． ②0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义． 2.实数指数幂的运算法则 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3.对数的基本性质与恒等式 (1)负数和零没有对数，即N>0； (2)loga1＝0(a>0，a≠1)。 (3)logaa＝1(a>0，a≠1)。 (4)＝N(a>0且a≠1，N>0)。 (5) ＝N(a>0且a≠1)。 4.对数运算常用结论 a>0, a≠1, M>0, N>0, n>1，p∈ （1） （2） （3）() 辨析01 估算法比较指对大小时找不到临界值 比较大小这类题，往往先尝试把各数据估算在相邻的两个整数之间，如(0,1)，(1,2)等，看能否找出最大的一个或最小的一个，对于都在同样两个整数之间的数据，再选择与中点、三等分点等比较． 辨析02不能正确区分 。 1. 已暗含了有意义，根据n的奇偶性可中的范围。 2. 中的可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性。 辨析03 负数指数幂计算式负次幂为倒数易与负数运算混淆 1.有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. 2.负指数幂化为正指数幂的倒数. 3.底数是小数，先要化成分数;底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，以便于运用指数幂的运算性质. 辨析04 指对化简log的符号添加易出现错误 1.指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 2.指数式与对数式互化时应注意的问题并非任意式子=N都可以直接化为对数式， 如=就不能直接写成log(-3)9=2,只有当a>0,且a≠1时,才有 辨析05 对数运算忽略底数范围 1.基本思想:在一定条件下求对数式的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解. 2.基本方法: （1）将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. （2）利用幂的运算性质和指数的性质计算。 辨析06 对数运法则忽略真数范围 1. (1)若M,N同号,则以及还成立吗? 这一点对初学者来说容易出错，事实上是不成立的，但是是成立的. 【题型一】根式的化简求值 【例1】(25-26高一上·江苏宝应中学·期中)下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 【变式1-1】(25-26高一上·江苏天一中学·期中)___________． 【变式1-2】(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)设，若，则的值是______. 【题型二】根式与分数指数幂的互化 【例2-1】(25-26高一上·江苏南通·期中)设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】(25-26高一上·江苏连云港赣榆区·期中)化简：（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】(25-26高一上·江苏怀仁中学·期中)化简后的结果为（    ） A． B． C． D． 【题型三】指数化简运算 【例3】(23-24高一上·江苏常州第一中学·期中)化简(，)的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】(24-25高一上·江苏镇江区·期中)（1）计算：； （2）因式分解：； （3）已知，，，，求的值. 【变式3-2】(20-21高一上·江苏无锡江阴二中、要塞中学等四校·期中)计算或化简下列各式： （1）； （2）． 【题型四】指数附加条件求值问题 【例4-1】(25-26高一上·江苏徐州树恩中学·期中)若，则（    ） A．11 B．14 C．30 D．45 【变式4-1】(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式4-2】(25-26高一上·江苏江阴部分学校·期中)（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 【变式4-3】(25-26高一上·江苏南京第二十九中学、盐城中学·期中)（1）计算：； （2）已知，求的值． 【题型五】指对方程 【例5-1】(25-26高一上·江苏南京第二十九中学、盐城中学·期中)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】(25-26高一上·江苏盐城五校联考·期中)若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】(25-26高一上·江苏南通海门中学·期中)已知，是方程的两个实数根，则__________． 【变式5-3】(21-22高一上·江苏百校大联考·)若，则x=___________. 【题型六】对数的四则运算与换底公式 【例6-1】(25-26高一上·江苏盐城射阳中学·期中)求值： (1)若，求； (2) 【变式6-1】(25-26高一上·江苏连云港灌南县·期中)求值： (1)； (2)． 【变式6-2】(25-26高一上·江苏阜宁，滨海，射阳三校·期中)求下列各式的值： (1) (2) 【变式6-3】(23-24高一上·江苏镇江镇江第一中学·期中)（1）； （2）． 【题型七】用字母表示对数 【例7-1】(23-24高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)已知，则________．（用表示） 【变式7-1】(25-26高一上·江苏淮安高中协作体·期中)（1）已知，，求的值. （2）化简 【变式7-2】(25-26高一上·江苏扬州中学·期中)求下列各式的值： (1)已知，，试用a，b表示； (2). 【变式7-3】(25-26高一上·江苏启东中学·期中)设，则（    ） A． B． C． D． 【题型一】与基本不等式结合忽略范围 【例1】(25-26高一上·江苏盐城集团校·期中) （多选）已知，且，则下列选项正确的是（   ） A．的最小值为9 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为2 易错警示 结合基本不等式，需要考虑等号成立的条件，如果等号不成立，需要考虑对勾函数. 【变式1-1】(25-26高一上·江苏淮安高中协作体·期中) （多选）已知实数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】(24-25高一上·江苏扬州中学·期中)设为正实数，，，则____________． 【题型二】对数公式混淆加减与乘除 【例2】(22-23高一上·江苏连云港华杰高级中学·期中)若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 易错警示:不成立的公式汇总 1.. 2. . 3.. 4. 【变式2-1】(25-26高一上·江苏宿迁沭阳县·期中) （多选）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】(23-24高一上·江苏连云港连云区连云港高级中学·期中) （多选）若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】(22-23高一上·江苏射阳中学·期中) （多选）下列说法中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【题型一】指对模型 【例1】(24-25高一上·江苏镇江区·期中)某机构研究某地区的流感暴发趋势，发现从确诊第一名患者开始累计时间(单位：天)与病情暴发系数之间满足函数关系为常数)，当时，标志着疫情将要大面积暴发，若不进行任何干预，第50天时，病情暴发系数为0.5.则从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为（    ）（参考数据：） A．37 B．40 C．43 D．46 【变式1-1】(25-26高一上·江苏扬州高邮·期中)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 【变式1-2】(25-26高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)在研究天文学的过程中，苏格兰数学家、天文学家约翰·纳皮尔正是为了简化其中的大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.现已知,，则______，______ 【变式1-3】(25-26高一上·江苏南京第二十九中学、盐城中学·期中)著名的天文学家拉普拉斯曾经说过“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”，对数可以将乘除运算转化为加减运算，从而简化运算过程.在一次趣味表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.还未等主持人报出第一个数字，速算专家已经写出了答案：这个数的31次方根是13，他的秘诀就是：他记住了下面的表（表中常用对数为近似值），请你也试一试，一个20位整数的25次方根仍是一个整数，这个整数的25次方根是（   ） 真数 2 3 4 5 6 7 8 常用对数 0.30 0.48 0.60 0.70 0.78 0.85 0.90 A．3 B．4 C．5 D．6 【题型二】指数连等式 【例2-1】(25-26高一上·江苏盐城射阳中学·期中)若实数a、b满足 则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 【变式2-1】(24-25高一上·江苏盐城射阳县陈洋中学·期中)已知，则__________. 【变式2-2】(22-23高一上·江苏宿迁青华中学·期中)（多选）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)（1）求值：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【题型三】数位问题 【例3】(23-24高一上·江苏扬州新华中学·期中)我们知道，任何一个正数可以用科学记数法表示成（为正整数），此时，当时，称的位数是.根据以上信息可知的位数是（    ）（） A．27 B．28 C．29 D．30 【变式3-1】(22-23高一上·江苏常州十校·期中)一个39位整数的64次方根仍是整数，这个64次方根是（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【变式3-2】(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，则是（   ）位数（参考数据：，） A．14 B．15 C．55 D．56 【变式3-3】(23-24高一下·江苏如东县第一高级中学创新班·期中)当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（    ）（参考数据：） A．32 B．33 C．34 D．35 技巧 一句话要点 n次方根 1.n是奇数 2.n是偶数 对换底公式的理解 换底公式真神奇，换底新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子 根式化简 一是根式化为幂的形式;二是从内向外依次进行运算. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $