专题04 指数与对数（考点清单，知识导图+知识导图+3考点清单+7题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

清单04 指数与对数 【清单01】根式 1、n次方根的定义 （1）定义：一般地，如果（，且），那么x叫做a的n次方根. （2）个数： ①当n是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数， 这时的次方根只有一个，记为； ②当n是偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数， 这时，正数的正的次方根用符号，负的次方根用符号表示， 它们可以合并写成 2、根式 （1）根式的定义：式子叫做根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． （2）根式的性质：（，且） a； 【清单02】指数幂 1、分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、指数幂的运算性质 （1）． （2）． （3）． 【清单03】对数 1、对数的概念 （1）对数的定义：如果（，且），那么就称是以a为底N的对数，记作，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． （2）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，对数简记为； （3）自然对数：以无理数为底的对数称为自然对数，对数简记为. 2、对数的运算性质 （1）运算性质：,且， ①； ②； ③ （2）换底公式及推论 (a＞0，且a1；c＞0，且c1；)． 可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 【考点题型一】根式的概念与化简 方法总结： （1）解决根式的化简与求值问题首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简求值； （2）注意对和进行区分； （3）对根式的运算要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差、完全平方及完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论. 【例1】（22-23高一上·江苏徐州·月考）下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高一上·江苏连云港·月考）若，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式1-2】（23-24高一上·广东中山·月考）化简（其中）的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·海南·月考）若，则的值是（    ） A．-3 B．3 C．-9 D．9 【变式1-4】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）若，则 . 【考点题型二】分数指数幂与根式互化 方法总结：（1）根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应：①根指数↔分数指数的分母；②被开方数（式）的指数↔分数指数的分子. （2）当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由内向外用分数指数幂依次写出. 【例2】（23-24高一上·新疆·月考）把根式化成分数指数幂是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）代数式化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·河南·月考）（多选）下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（23-24高一上·河北石家庄·月考）（多选）下列各式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】指数幂运算的化简求值 方法总结：指数幂运算的四个原则 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答 （化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域） 【例3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·湖南长沙·月考）计算（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·江苏南京·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（23-24高一上·湖北武汉·月考）求值： (1) (2) 【考点题型四】指数运算条件求值问题 方法总结：条件求值问题的解题思路 1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论； 2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值； 3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。 【例4】（22-23高一上·广东惠州·月考）已知，则的值为 ． 【变式4-1】（22-23高一上·广西南宁·月考）已知，则的值为（    ） A．7 B． C．47 D．51 【变式4-2】（22-23高一上·河北张家口·月考）已知，则的值等于（    ） A． B．6 C． D．8 【变式4-3】（23-24高一上·河南漯河·月考）（多选）已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】指数式与对数式互化 方法总结：根据对数的定义可得对数与指数间的关系：当，时，. 【例5】（22-23高一上·四川泸定·月考）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式5-1】若（且），则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列对数式中，与指数式等价的是（    ）. A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·贵州安顺·月考）（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【考点题型六】用已知对数表示其他对数 方法总结：观察已知对数与所求对数的关系，通过换底公式以及对数的运算性质建立两者之间的联系. 【例6】（24-25高一上·四川阆中·开学考）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·天津·月考），，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·江苏连云港·月考）设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·上海·月考）已知，，试用、表示 . 【考点题型七】对数运算的化简求值 方法总结：对数运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。 【例7】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）（多选）以下式子中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·浙江·月考）计算： . 【变式7-2】（23-24高一上·湖南株洲·月考）计算： ． 【变式7-3】（23-24高一上·四川绵阳·月考）计算： (1) (2) 【变式7-4】（23-24高一上·江苏盐城·月考）已知. (1)分别求和； (2)若，且，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 指数与对数 【清单01】根式 1、n次方根的定义 （1）定义：一般地，如果（，且），那么x叫做a的n次方根. （2）个数： ①当n是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数， 这时的次方根只有一个，记为； ②当n是偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数， 这时，正数的正的次方根用符号，负的次方根用符号表示， 它们可以合并写成 2、根式 （1）根式的定义：式子叫做根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． （2）根式的性质：（，且） a； 【清单02】指数幂 1、分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、指数幂的运算性质 （1）． （2）． （3）． 【清单03】对数 1、对数的概念 （1）对数的定义：如果（，且），那么就称是以a为底N的对数，记作，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． （2）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，对数简记为； （3）自然对数：以无理数为底的对数称为自然对数，对数简记为. 2、对数的运算性质 （1）运算性质：,且， ①； ②； ③ （2）换底公式及推论 (a＞0，且a1；c＞0，且c1；)． 可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 【考点题型一】根式的概念与化简 方法总结： （1）解决根式的化简与求值问题首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简求值； （2）注意对和进行区分； （3）对根式的运算要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差、完全平方及完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论. 【例1】（22-23高一上·江苏徐州·月考）下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误；故选：C. 【变式1-1】（22-23高一上·江苏连云港·月考）若，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，所以.故选：C 【变式1-2】（23-24高一上·广东中山·月考）化简（其中）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】=,选C. 【变式1-3】（23-24高一上·海南·月考）若，则的值是（    ） A．-3 B．3 C．-9 D．9 【答案】A 【解析】依题意，所以， 所以.故选：A. 【变式1-4】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）若，则 . 【答案】 【解析】因为，所以. 【考点题型二】分数指数幂与根式互化 方法总结：（1）根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应：①根指数↔分数指数的分母；②被开方数（式）的指数↔分数指数的分子. （2）当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由内向外用分数指数幂依次写出. 【例2】（23-24高一上·新疆·月考）把根式化成分数指数幂是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，.故选：D. 【变式2-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）代数式化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选：A 【变式2-2】（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，A正确，B，C错误； ，由于无意义，D错误，故选：A 【变式2-3】（23-24高一上·河南·月考）（多选）下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，时显然等式不成立，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确.故选：ABC. 【变式2-4】（23-24高一上·河北石家庄·月考）（多选）下列各式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确.故选：BD. 【考点题型三】指数幂运算的化简求值 方法总结：指数幂运算的四个原则 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答 （化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域） 【例3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，.故选：D. 【变式3-1】（23-24高一上·湖南长沙·月考）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C 【变式3-2】（23-24高一上·江苏南京·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 【变式3-3】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确；故选：D． 【变式3-4】（23-24高一上·湖北武汉·月考）求值： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） . （2）. 【考点题型四】指数运算条件求值问题 方法总结：条件求值问题的解题思路 1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论； 2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值； 3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。 【例4】（22-23高一上·广东惠州·月考）已知，则的值为 ． 【答案】 【解析】，所以． 【变式4-1】（22-23高一上·广西南宁·月考）已知，则的值为（    ） A．7 B． C．47 D．51 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，所以，所以，故选：C． 【变式4-2】（22-23高一上·河北张家口·月考）已知，则的值等于（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【解析】，则， ， ， 则，故选：C. 【变式4-3】（23-24高一上·河南漯河·月考）（多选）已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【解析】A：，故A正确； B：，故B正确； C：，故C正确； D： 故D正确；故选：ABCD. 【考点题型五】指数式与对数式互化 方法总结：根据对数的定义可得对数与指数间的关系：当，时，. 【例5】（22-23高一上·四川泸定·月考）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】由可得 ,C不正确故选：C 【变式5-1】若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为（且），所以.故选：A. 【变式5-2】下列对数式中，与指数式等价的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据指数式和对数式的关系,等价于.故选：C 【变式5-3】（23-24高一上·贵州安顺·月考）（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【解析】对于选项A，指数式化为对数式为，故A正确； 对于选项B，指数式化为对数式为，故B错误； 对于选项C，指数式化为对数式为，故C正确； 对于选项D，指数式化为对数式为，故D正确.故选：ACD. 【考点题型六】用已知对数表示其他对数 方法总结：观察已知对数与所求对数的关系，通过换底公式以及对数的运算性质建立两者之间的联系. 【例6】（24-25高一上·四川阆中·开学考）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 【变式6-1】（23-24高一上·天津·月考），，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，则.故选：B 【变式6-2】（23-24高一上·江苏连云港·月考）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ，则.故选D 【变式6-3】（23-24高一上·上海·月考）已知，，试用、表示 . 【答案】 【解析】由可得：，即，故 . 【考点题型七】对数运算的化简求值 方法总结：对数运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。 【例7】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）（多选）以下式子中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误.故选：ABC. 【变式7-1】（23-24高一上·浙江·月考）计算： . 【答案】 【解析】由题意可得： . 【变式7-2】（23-24高一上·湖南株洲·月考）计算： ． 【答案】 【解析】原式. 【变式7-3】（23-24高一上·四川绵阳·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2)0 【解析】（1）原式. （2）原式. 【变式7-4】（23-24高一上·江苏盐城·月考）已知. (1)分别求和； (2)若，且，求. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）， ； （2）因为，所以， 由换底公式得， 则， 由于，故，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$