专题03 不等式（知识&考点&公式&8高频&2易错&4重难，期中知识清单）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题03 不等式 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(14类) 公式清单(2类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(4类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 不等式与不等关系 1.不等式 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号“≠”“>”“≥”“<”“≤”连接两个数或代数式，以表示他们之间的不等关系，含有这些非等号的式子叫做不等式。 2.不等式符号的含义 1）“”的含义是“”或“”. 2）不等式的含义是“”或“”，等价于“不小于”，即“” 和“”中有一个正确，则正确。 3）不等式的含义是“”或“”，等价于“不大于”，即“” 和“”中有一个正确，则正确。 4）常见的文字语言转化为符号语言的对应关系： 文字语言 大于，超于，高于 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不超过 符号语言 > < 3.用不等式组表示不等关系 如果实际问题是由多个不等关系组成的，就要将这些不等关系一一转化为对应的不等式，并将这些不等式组成不等式组。 知识点02 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点03 基本不等式 如果,那么,当且仅当时，等号成立。其中叫做正数的算数平均数，叫做正数的几何平均数。 基本不等式 表明：两个正数的算数平均数不小于他们的几何平均数。 知识点04 一元二次不等式及其解法 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 2.一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 考点01 倒数不等式 考点内容：不等式取倒数． 1.若则. 2.若则. 3.若则 考点02 实数比较大小 考点内容：比较两个数的大小；比较两个代数式的大小． 1.作差法比较大小：作差，变形，判断符号，下结论 2.作商法比较大小（同号两数比较大小）：作商，变形，判断商与1的大小，下结论 考点03 代数式取值与取值范围 考点内容：已知不等式求代数式取值范围． 由几个代数式的取值范围确定某个代数式的取值范围是一类常见的问题，解题时注意“同向不等式的两边可以相加”，但这种转化不是等价变形，在解题过程中多次进行这种转化后，就有可能扩大真实的取值范围.因此解题时切不可随意拆分所给条件，可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再结合不等式的性质求解. 注意： 1.在不等式中，没有同向相减、同向相除，应把“相减”“相除”分别转化为“同向相加”“同向同正相乘”后再进行相关计算. 2.代数式不能使用同向可加与可乘，需要通过待定系数法建立所求式与已知式之间的关系，用已知式表示所求式，再利用不等式的性质进 行求解。 考点04 不等式的证明与实际应用 考点内容：证明不等；比较两数大小；不等式的实际应用． 1.利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形，变形时，一要考虑已知不等式与待证不等式在运算结构上的联系，二要考虑变形是否等价，三要注意性质适用的前提条件. 2. 求解不等式的实际应用问题时，首先要理解题意，分清量与量之间的不等关系;其次是找到不等关系，选准不等号，将量与量之间用不等号连接，要注意不等式与不等关系的对应，以及在实际问题中变量的取值范围. 考点05 利用基本不等式求最值 考点内容：求和最值；求差最值；证明大小关系． 1.构造定值条件的常用技巧 1)加项变换; 2)拆项变换; 3)乘除系数; 4)统一换元; 5)平方后利用基本不等式. 2.利用基本不等式求最值常用的变形技巧 1)拆：裂项拆项 对分子的次数不低于分母的次数的分式进行分离，分离成整式与“真分式”的和，再根据分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件. 2)并：分组并项 分组并项的目的是分组后各组均可以单独应用基本不等式，或分组后先部分应用基本不等式，然后部分与部分之间应用基本不等式，从而求出最值，一般要应用两次或两次以上基本不等式，注意等号成立的条件. 3)配凑：配式、配系数，凑出定值 有时为了挖掘出积或和为定值，常常需要根据题设条件进行合理的配式、配系数，使配凑的式子与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值，然后应用基本不等式求最值. 4)换：常数代换 一般解题步骤如下: 第一步:若已知条件中的等式不是等于1的形式，则可先变形为“1”的表达式; 第二步:把“1”的表达式与所求最值的代数式相乘求积或相除求商或进行常数代换，通过变形构造和或积的定值; 第三步:利用基本不等式求解最值. 考点06 利用基本不等式比较大小与证明 考点内容：证明代数式；比较代数式的大小． 1.利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应先通过一些常用的变形技巧构造出应用基本不等式的条件，然后利用基本不等式及其变形形式进行求解.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”,将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向. 2. 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之具备能使用基本不等式的条件. 1）无附加条件的不等式证明 证明时首先要根据不等式的结构特征，合理地联想并构造“和、积、平方和、倒数和”的形式，然后选用基本不等式或其变形进行证明。 2）有附加条件的不等式证明 对于此类问题，关键是根据不等式的结构，结合所给条件对不等式进行变形，使之能用基本不等式或其变形进行证明. 注意：多次运用基本不等式时，注意等号成立的条件的一致性。 考点07 恒成立求参数 考点内容：不等式恒成立求参数取值范围． 含参的恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则;若a≥y恒成立，则.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式. 考点08 基本不等式的实际应用 考点内容：实际问题求最值． 应用基本不等式解决实际问题的步骤: 1仔细阅读题目，理解题意; 2分析实际问题中的数量关系，引人未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量表示为关于未知数的函数; 3应用基本不等式求出函数的最值; 4还原实际问题，作答. 对于实际问题一定要注意变量的取值范围。 考点09一元二次不等式 考点内容：解不含参的一元二次不等式，解含参的一元二次不等式， 1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1)化标准:通过对不等式的变形，使不等式右侧为0,使二次项系数为正. 2)判别式:对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. 3)求实根:求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. 4)画图象:根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的大致图象. 5)写解集:根据图象写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式分类讨论，步骤如下: 解含参数的一元二次不等式一般要进行 1)若二次项系数中含有参数，则应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. 2)一次不等式直接求解;二次不等式还需讨论对应方程的判别式A与0的关系，确定方程无根时可直接写出解集，确定方程有根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式. 考点10高次不等式与分式不等式 考点内容：解高次不等式，解分式不等式，类比一元二次不等式。 1.利用转化法解不等式。 2.分式不等式的解法 解分式不等式的思路是根据不等式的性质进行同解变形，变形为整式不等式(组). 3.一元高次不等式的解法(深研拓展) 最高次项的次数大于2的不等式称为高次不等式. 解一元高次不等式的常见方法如下: 1)等价转化为不等式组求解:首先把一元高次不等式的一端转化为0,再将不等式中的多项式分解成若干个最简因式的乘积，然后利用不等式的性质将其等价转化为几个一元低次(一般是一次或二次)不等式(组)，原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集. 2)穿根引线法(序轴标根法),步骤如下: ①将一元高次不等式的一端转化为0，另一端的最高次项的系数化为正数; ②将不等式分解为若干个最简因式的乘积，并求出此时对应的方程的根; 考点11绝对值不等式 考点内容：解含绝对值的不等式，含绝对值不等式的最值。 常见考法：绝对值不等式的解法 1.基本性质法: 若,则. 2.平方法:两边平方后去掉绝对值符号. 3.零点分段法: 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法脱去绝对值符号，将其转化为不等式(组)求解. 4.几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解. 5.数形结合法:在平面直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解. 考点12三个“二次”之间的关系 考点内容：解一元二次型不等式。 1.三个“二次”之间的关系 1)三个“二次”中，二次函数是主体，研究二次函数问题主要是将问题转化为一元二次方程或一元二次不等式的形式来解决. 2)研究一元二次方程和一元二次不等式时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决相关问题. 2.应用三个“二次”之间的关系解题的思想 一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换. 考点13一元二次不等式（能）恒成立 考点内容：解不等式恒成立与存在成立问题。 解决有关一元二次不等式的恒(能)成立问题的方法 1)对于与一元二次不等式有关的恒(能)成立问题，可借助二次函数的图象求解.必要时可通过分离参数，转化为最大(小)值问题求解，一般地，已知范围的是变量，待求范围的是参数. 2)一元二次不等式恒成立问题，可结合二次函数图象从二次项系数与对应方程的判别式两个方面列不等式组求解.不等式恒大于0就是相应的二次函数在给定的范围内的图象全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数在给定的范围内的图象全部在x轴下方. 考点14一元二次方程根的分布 考点内容：解一元二次方程的根，由根的范围求参数与代数式。 1.一元二次方程根的符号问题 一元二次方程根的符号问题可从判别式、两根之积、两根之和等方面入手. 2.一元二次方程根的范围问题 一元二次方程根的范围问题通常是画出对应的函数图象，列出不等式(组)求解.可以从判别式、所给端点处的函数值、对应函数图象的对称轴等方面入手. 1 基本不等式及其变形 基本不等式 当且仅当时，等号成立。 重要不等式 当且仅当时，等号成立。 2.二次函数与一元二次方程不等式的对应关系 二次函数的图像 二次方程的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 一元二次不等式的解集 R 一元二次不等式的解集 ∅ ∅ 辨析01 作差法与作商法异同点 1.作差的目的是与0比较大小，直到能比较出结果为止. 2.分子含根式，不能直接看出大小关系时需利用平方法,比较大小。 3.作商法比较大小，需要式子同号，坐商后需要与1比较大小。 辨析02 使用基本不等式易忽略范围与取等条件 最值定理是求最值时很常用的一个定理，利用基本不等式求最值必须满足三个条件，即“一正，二定，三相等”.具体理解如下: 1.“一正”:所求最值的各项必须都是正值. 2.“二定”:含变量的各项的和或者积必须是常数，如求a+b的最小值，ab必须是定值;求ab的最大值，a+b必须是定值. 3.“三相等”:必须具备不等式中等号成立的条件，才能取得最大值或最小值. 辨析03 多次使用基本不等式忽略考虑取等条件 基本不等式可以多次使用(一般每次使用都会减少未知数)，只要最后确保取等条件能同时满足即可 辨析04 不等式恒成立问题不同方法对比 (1)分离参数法:将参数分离出来，建立明确的参数和变量x的关系，并利用函数最值求解.a>f(x)恒成立,a<f(x)恒成立. (2)变更主元法:利用主元与参数之间的关系，变参数为主元，把相关函数视为关于参数的函数，并从该函数角度解答. (3)数形结合法:对于一些不便于分离参数或者分类讨论较为复杂的问题，可以结合函数的图象，将问题转化为与函数图象的对称轴、最值或端点值有关的问题，还可以结合一元二次方程的根的分布来处理 【题型一】作差法比较大小 【例1】(25-26高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 【变式1-1】(23-24高一上·江苏南京鼓楼区·期中)（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】(23-24高一上·江苏泰兴、兴化·期中)比较大小：_______4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 【题型二】不等式的性质 【例2-1】(25-26高一上·江苏宝应中学·期中)已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】(25-26高一上·江苏苏州苏州大学附属中学·期中) （多选）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若， D．若，，则 【变式2-2】(25-26高一上·江苏淮安·调研)下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-3】(25-26高一上·江苏南京七校联合体·期中) （多选）已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型三】利用不等式的性质求取值范围 【例3】(25-26高一上·江苏奔牛高级中学·期中)已知实数，满足且，则的最大值为______________. 【变式3-1】(25-26高一上·河南郑州巩义中学·)已知，，则的取值范围_______________. 【变式3-2】(22-23高一上·江苏洪泽中学等六校·期中)若，则的取值范围为___________. 【变式3-3】(22-23高一上·江苏盐城响水县灌江高级中学·期中)已知实数满足，则的取值范围是________. 【题型四】基本不等式的辨析 【例4-1】(25-26高一上·江苏盐城射阳中学·期中) （多选）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】(25-26高一上·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中) （多选）已知，，且，则（   ） A． B． C．最小值为 D． 【变式4-2】(25-26高一上·江苏徐州第三十七中学·期中) （多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型五】基本不等式求最值 【例5-1】(25-26高一上·江苏海安高级中学·期中) （多选）已知，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式5-1】(25-26高一上·江苏无锡滨湖区辅仁高级中学·期中)已知正实数，满足，则的最大值为________． 【变式5-2】(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中) （多选）已知，，且，则（    ） A．xy的最大值为1 B．的最大值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【题型六】基本不等式证明不等式 【例6-1】(25-26高一上·江苏南通海门中学·期中)已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 【变式6-1】(25-26高一上·江苏苏州工业园区星海实验高级中学·期中)若实数满足，则称比接近， (1)请判断命题：“比接近”的真假，并说明理由； (2)若比接近，判断：“”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明. (3)已知，若，判断1与哪个数更接近，请说明理由； 【变式6-2】(22-23高一上·江苏苏州·期中)阅读：序数属性是自然数的基本属性之一，它反映了记数的顺序性，回答了“第几个”的问题.在教材中有如下顺序公理：①如果，那么；②如果，那么. (1)请运用上述公理①②证明：“如果，那么.” (2)求证： 【变式6-3】(23-24高一上·江苏连云港连云区连云港高级中学·期中)已知a，b均为正实数. (1)证明：； (2)若的两条直角边分别为a，b，斜边，求周长的最大值. 【题型七】基本不等式的实际应用 【例7-1】(25-26高一上·江苏南京鼓楼区·期中)设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 【变式7-1】(25-26高一上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)如图，矩形中，，周长为．将沿翻折到的位置，使得与交于点，则的面积的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【变式7-2】(25-26高一上·江苏宝应中学·期中)某工厂要建一个长方体无盖蓄水池，其底面积为100平方米，深5米，如图设底边一边长为（）米.现有甲、乙两工程队竞标，甲工程队报价：池底每平米的造价为180元，池壁每平米的造价为150元；乙工程队报价：整体报价为（）.    (1)如果按甲工程队报价，求建造蓄水池的最低总造价； (2)如果蓄水池无论如何设计，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围. 【变式7-3】(25-26高一上·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期中)如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 【题型八】一元二次不等式分式不等式与绝对值不等式 【例8-1】(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中)已知a为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-1】(25-26高一上·江苏阜宁，滨海，射阳三校·期中)不等式的解集为（ ）． A． B． C．或 D．或 【变式8-2】(24-25高一上·江苏马坝高级中学·期中)解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3). 【变式8-3】(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)设为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型一】含参一元二次不等式忽略最高项范围 【例1】(25-26高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是______. 易错警示 对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式，用求根公式计算.二次项系数含有参数时，需要考虑范围. 【变式1-1】(25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中)已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 【变式1-2】(25-26高一上·江苏常州合作学校·期中)设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)解关于的不等式：. 【题型二】给定方程根的范围，忽略范围所在区间 【例2】(23-24高一上·江苏南菁高级中学创新班·期中)若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______． 易错警示 若规定了一元二次方程在某区间上根的个数，则可画出二次函数的图象，再考虑判别式、对称轴、端点 值，但有时只需考虑其中一两点即可，只要它能使图象成为我们需要的情形. 【变式2-1】(24-25高一上·江苏常州联盟学校·期中)已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为________. 【变式2-2】(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)设命题：，不等式有解，命题：关于实数的方程有两个不相等的实数根、，其中，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【变式2-3】(20-21高一上·江苏苏州吴江区·期中)已知. （1）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式. 【题型一】两个三次之间的关系 【例1】(25-26高一上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 【变式1-1】(24-25高一上·江苏南通海门实验学校·期中) （多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【变式1-2】(25-26高一上·江苏南京第二十九中学、盐城中学·期中)已知不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型二】整数解问题 【例2-1】(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则_________，的取值范围为_________． 【变式2-1】(23-24高一上·江苏泰兴、兴化·期中) （多选）关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【变式2-2】(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为________. 【题型三】恒成立问题 【例3】(25-26高一下·江苏盐城滨海中学·期中)在上定义运算，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是______. 【变式3-1】(25-26高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)设m为实数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】(25-26高一上·江苏苏州南京航空航天大学苏州附属中学·期中)设函数 (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)若，求以下两个问题： ①若，，求的最小值： ②若在上恒成立，求实数的取值范围. 【题型四】有解问题 【例4】(25-26高一上·江苏无锡滨湖区辅仁高级中学·期中)已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】(24-25高一上·江苏西交大附中·期中)若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】(22-23高一上·江苏常州华罗康中学·期中)已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，函数在有解，求的取值范围. 技巧 一句话要点 重要不等式链 基本不等式最值问题 积定和最小，和定积最大。 使用基本不等式的条件 一正二定三相等。 基本不等式最值常用方法 “1”的代换，凑配法，解不等式法。 二次不等式不等式恒成立的常用方法 1.讨论二次项系数是否等于0 2.把不等式转化成或的形式 形如,在上恒成立的方法 1.分参法 2.讨论图像法 形如,在参数上恒成立的方法 主元变换法：把看成函数g。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(14类) 公式清单(2类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(4类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 不等式与不等关系 1.不等式 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号“≠”“>”“≥”“<”“≤”连接两个数或代数式，以表示他们之间的不等关系，含有这些非等号的式子叫做不等式。 2.不等式符号的含义 1）“”的含义是“”或“”. 2）不等式的含义是“”或“”，等价于“不小于”，即“” 和“”中有一个正确，则正确。 3）不等式的含义是“”或“”，等价于“不大于”，即“” 和“”中有一个正确，则正确。 4）常见的文字语言转化为符号语言的对应关系： 文字语言 大于，超于，高于 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不超过 符号语言 > < 3.用不等式组表示不等关系 如果实际问题是由多个不等关系组成的，就要将这些不等关系一一转化为对应的不等式，并将这些不等式组成不等式组。 知识点02 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点03 基本不等式 如果,那么,当且仅当时，等号成立。其中叫做正数的算数平均数，叫做正数的几何平均数。 基本不等式 表明：两个正数的算数平均数不小于他们的几何平均数。 知识点04 一元二次不等式及其解法 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 2.一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 考点01 倒数不等式 考点内容：不等式取倒数． 常见考法： 1.若则. 2.若则. 3.若则 考点02 实数比较大小 考点内容：比较两个数的大小；比较两个代数式的大小． 常见考法： 1.作差法比较大小：作差，变形，判断符号，下结论 2.作商法比较大小（同号两数比较大小）：作商，变形，判断商与1的大小，下结论 考点03 代数式取值与取值范围 考点内容：已知不等式求代数式取值范围． 常见考法： 由几个代数式的取值范围确定某个代数式的取值范围是一类常见的问题，解题时注意“同向不等式的两边可以相加”，但这种转化不是等价变形，在解题过程中多次进行这种转化后，就有可能扩大真实的取值范围.因此解题时切不可随意拆分所给条件，可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再结合不等式的性质求解. 注意： 1.在不等式中，没有同向相减、同向相除，应把“相减”“相除”分别转化为“同向相加”“同向同正相乘”后再进行相关计算. 2.代数式不能使用同向可加与可乘，需要通过待定系数法建立所求式与已知式之间的关系，用已知式表示所求式，再利用不等式的性质进 行求解。 考点04 不等式的证明与实际应用 考点内容：证明不等；比较两数大小；不等式的实际应用． 常见考法： 1.利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形，变形时，一要考虑已知不等式与待证不等式在运算结构上的联系，二要考虑变形是否等价，三要注意性质适用的前提条件. 2. 求解不等式的实际应用问题时，首先要理解题意，分清量与量之间的不等关系;其次是找到不等关系，选准不等号，将量与量之间用不等号连接，要注意不等式与不等关系的对应，以及在实际问题中变量的取值范围. 考点05 利用基本不等式求最值 考点内容：求和最值；求差最值；证明大小关系． 常见考法： 1.构造定值条件的常用技巧 1)加项变换; 2)拆项变换; 3)乘除系数; 4)统一换元; 5)平方后利用基本不等式. 2.利用基本不等式求最值常用的变形技巧 1)拆：裂项拆项 对分子的次数不低于分母的次数的分式进行分离，分离成整式与“真分式”的和，再根据分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件. 2)并：分组并项 分组并项的目的是分组后各组均可以单独应用基本不等式，或分组后先部分应用基本不等式，然后部分与部分之间应用基本不等式，从而求出最值，一般要应用两次或两次以上基本不等式，注意等号成立的条件. 3)配凑：配式、配系数，凑出定值 有时为了挖掘出积或和为定值，常常需要根据题设条件进行合理的配式、配系数，使配凑的式子与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值，然后应用基本不等式求最值. 4)换：常数代换 一般解题步骤如下: 第一步:若已知条件中的等式不是等于1的形式，则可先变形为“1”的表达式; 第二步:把“1”的表达式与所求最值的代数式相乘求积或相除求商或进行常数代换，通过变形构造和或积的定值; 第三步:利用基本不等式求解最值. 考点06 利用基本不等式比较大小与证明 考点内容：证明代数式；比较代数式的大小． 常见考法： 1.利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应先通过一些常用的变形技巧构造出应用基本不等式的条件，然后利用基本不等式及其变形形式进行求解.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”,将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向. 2. 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之具备能使用基本不等式的条件. 1）无附加条件的不等式证明 证明时首先要根据不等式的结构特征，合理地联想并构造“和、积、平方和、倒数和”的形式，然后选用基本不等式或其变形进行证明。 2）有附加条件的不等式证明 对于此类问题，关键是根据不等式的结构，结合所给条件对不等式进行变形，使之能用基本不等式或其变形进行证明. 注意：多次运用基本不等式时，注意等号成立的条件的一致性。 考点07 恒成立求参数 考点内容：不等式恒成立求参数取值范围． 常见考法： 含参的恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则;若a≥y恒成立，则.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式. 考点08 基本不等式的实际应用 考点内容：实际问题求最值． 常见考法： 应用基本不等式解决实际问题的步骤: 1仔细阅读题目，理解题意; 2分析实际问题中的数量关系，引人未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量表示为关于未知数的函数; 3应用基本不等式求出函数的最值; 4还原实际问题，作答. 对于实际问题一定要注意变量的取值范围。 考点09一元二次不等式 考点内容：解不含参的一元二次不等式，解含参的一元二次不等式， 常见考法： 1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1)化标准:通过对不等式的变形，使不等式右侧为0,使二次项系数为正. 2)判别式:对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. 3)求实根:求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. 4)画图象:根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的大致图象. 5)写解集:根据图象写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式分类讨论，步骤如下: 解含参数的一元二次不等式一般要进行 1)若二次项系数中含有参数，则应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. 2)一次不等式直接求解;二次不等式还需讨论对应方程的判别式A与0的关系，确定方程无根时可直接写出解集，确定方程有根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式. 考点10高次不等式与分式不等式 考点内容：解高次不等式，解分式不等式，类比一元二次不等式。 常见考法： 1.利用转化法解不等式。 2.分式不等式的解法 解分式不等式的思路是根据不等式的性质进行同解变形，变形为整式不等式(组). 3.一元高次不等式的解法(深研拓展) 最高次项的次数大于2的不等式称为高次不等式. 解一元高次不等式的常见方法如下: 1)等价转化为不等式组求解:首先把一元高次不等式的一端转化为0,再将不等式中的多项式分解成若干个最简因式的乘积，然后利用不等式的性质将其等价转化为几个一元低次(一般是一次或二次)不等式(组)，原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集. 2)穿根引线法(序轴标根法),步骤如下: ①将一元高次不等式的一端转化为0，另一端的最高次项的系数化为正数; ②将不等式分解为若干个最简因式的乘积，并求出此时对应的方程的根; 考点11绝对值不等式 考点内容：解含绝对值的不等式，含绝对值不等式的最值。 常见考法：绝对值不等式的解法 1.基本性质法: 若,则. 2.平方法:两边平方后去掉绝对值符号. 3.零点分段法: 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法脱去绝对值符号，将其转化为不等式(组)求解. 4.几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解. 5.数形结合法:在平面直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解. 考点12三个“二次”之间的关系 考点内容：解一元二次型不等式。 常见考法： 1.三个“二次”之间的关系 1)三个“二次”中，二次函数是主体，研究二次函数问题主要是将问题转化为一元二次方程或一元二次不等式的形式来解决. 2)研究一元二次方程和一元二次不等式时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决相关问题. 2.应用三个“二次”之间的关系解题的思想 一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换. 考点13一元二次不等式（能）恒成立 考点内容：解不等式恒成立与存在成立问题。 常见考法： 解决有关一元二次不等式的恒(能)成立问题的方法 1)对于与一元二次不等式有关的恒(能)成立问题，可借助二次函数的图象求解.必要时可通过分离参数，转化为最大(小)值问题求解，一般地，已知范围的是变量，待求范围的是参数. 2)一元二次不等式恒成立问题，可结合二次函数图象从二次项系数与对应方程的判别式两个方面列不等式组求解.不等式恒大于0就是相应的二次函数在给定的范围内的图象全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数在给定的范围内的图象全部在x轴下方. 考点14一元二次方程根的分布 考点内容：解一元二次方程的根，由根的范围求参数与代数式。 常见考法： 1.一元二次方程根的符号问题 一元二次方程根的符号问题可从判别式、两根之积、两根之和等方面入手. 2.一元二次方程根的范围问题 一元二次方程根的范围问题通常是画出对应的函数图象，列出不等式(组)求解.可以从判别式、所给端点处的函数值、对应函数图象的对称轴等方面入手. 1 基本不等式及其变形 基本不等式 当且仅当时，等号成立。 重要不等式 当且仅当时，等号成立。 2.二次函数与一元二次方程不等式的对应关系 二次函数的图像 二次方程的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 一元二次不等式的解集 R 一元二次不等式的解集 ∅ ∅ 辨析01 作差法与作商法异同点 1.作差的目的是与0比较大小，直到能比较出结果为止. 2.分子含根式，不能直接看出大小关系时需利用平方法,比较大小。 3.作商法比较大小，需要式子同号，坐商后需要与1比较大小。 辨析02 使用基本不等式易忽略范围与取等条件 最值定理是求最值时很常用的一个定理，利用基本不等式求最值必须满足三个条件，即“一正，二定，三相等”.具体理解如下: 1.“一正”:所求最值的各项必须都是正值. 2.“二定”:含变量的各项的和或者积必须是常数，如求a+b的最小值，ab必须是定值;求ab的最大值，a+b必须是定值. 3.“三相等”:必须具备不等式中等号成立的条件，才能取得最大值或最小值. 辨析03 多次使用基本不等式忽略考虑取等条件 基本不等式可以多次使用(一般每次使用都会减少未知数)，只要最后确保取等条件能同时满足即可 辨析04 不等式恒成立问题不同方法对比 (1)分离参数法:将参数分离出来，建立明确的参数和变量x的关系，并利用函数最值求解.a>f(x)恒成立,a<f(x)恒成立. (2)变更主元法:利用主元与参数之间的关系，变参数为主元，把相关函数视为关于参数的函数，并从该函数角度解答. (3)数形结合法:对于一些不便于分离参数或者分类讨论较为复杂的问题，可以结合函数的图象，将问题转化为与函数图象的对称轴、最值或端点值有关的问题，还可以结合一元二次方程的根的分布来处理 【题型一】作差法比较大小 【例1】(25-26高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：A 【变式1-1】(23-24高一上·江苏南京鼓楼区·期中)（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，结合作差法，特殊值法逐项判断即可. 【详解】由题， 对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B正确； 对于C，令满足，但，所以C错误； 对于D，因为，所以不同时为0，则，所以D正确； 故选：ABD 【变式1-2】(23-24高一上·江苏泰兴、兴化·期中)比较大小：_______4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 【答案】 【分析】将两数都平方，然后作差法比较大小即可. 【详解】由，则， 所以. 故答案为： 【题型二】不等式的性质 【例2-1】(25-26高一上·江苏宝应中学·期中)已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质依次判断即可. 【详解】 对于A，若，则.故A错误. 对于B，由，知，所以.故B正确. 对于C，若，则，则； 若，则，则； 若，则，则.故C错误. 对于D，，所以.故D错误. 故选：B. 【变式2-1】(25-26高一上·江苏苏州苏州大学附属中学·期中) （多选）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若， D．若，，则 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质判断AB；取判断C；利用作差法判断D. 【详解】对于A：由可知，所以，所以，故A正确； 对于B：因为，，所以，所以，所以，故B错误； 对于C：取，所以，故C错误； 对于D：因为，且， 所以，所以，故D正确； 故选：AD. 【变式2-2】(25-26高一上·江苏淮安·调研)下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，逐一判断即可. 【详解】选项A，若，只有当时，，当时，，故A错误； 选项B，若，则，或，或，故B错误； 选项C，若，当时，，故C错误； 选项D，若，则，则，故D正确. 故选：D. 【变式2-3】(25-26高一上·江苏南京七校联合体·期中) （多选）已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用作差法结合特殊值法逐项判断即可. 【详解】因为， 对于A选项，，，即，A对； 对于B选项，，则，B对； 对于C选项，取，，，则，， 此时，C错； 对于D选项，，即，D错. 故选：AB. 【题型三】利用不等式的性质求取值范围 【例3】(25-26高一上·江苏奔牛高级中学·期中)已知实数，满足且，则的最大值为______________. 【答案】4 【分析】根据不等式的性质即可求解范围，进而得到最大值. 【详解】由于，且，， 故，即， 因此的最大值为4. 故答案为：4 【变式3-1】(25-26高一上·河南郑州巩义中学·)已知，，则的取值范围_______________. 【答案】 【分析】根据不等式性质直接计算可得结果. 【详解】由可得，， 则可得. 故答案为： 【变式3-2】(22-23高一上·江苏洪泽中学等六校·期中)若，则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】利用不等式的性质逐步计算即可. 【详解】因为，所以，则， 又因为，所以， 故的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-3】(22-23高一上·江苏盐城响水县灌江高级中学·期中)已知实数满足，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】设，求出，再根据不等式的性质即可得解. 【详解】解：设， 则，解得， 所以， 因为， 所以， 又因， 所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 【题型四】基本不等式的辨析 【例4-1】(25-26高一上·江苏盐城射阳中学·期中) （多选）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及不等式性质，逐项求解判断. 【详解】对于A，由，，得， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，，得，当且仅当时取等号， 则， ，因此，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，由，，得， 则， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 【变式4-1】(25-26高一上·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中) （多选）已知，，且，则（   ） A． B． C．最小值为 D． 【答案】BCD 【分析】由基本不等式及柯西不等式直接可得. 【详解】A：由，，且，所以， 当且仅当时等号成立，所以，错误； B：由，当且仅当等号成立，正确； C：令，则， ， 当且仅当，即时等号成立，正确； D： ， 因，，所以， 由A可知，所以，当时等号成立， 所以成立，正确. 故选：BCD. 【变式4-2】(25-26高一上·江苏徐州第三十七中学·期中) （多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】通过可判断A，通过作差法可判断B，由基本不等式可判断C，令，转换成，结合基本不等式可判断. 【详解】对于A，当时，，故错误； 对于B，， 因为， 所以，即，正确； 对于C，因为，当且仅当时去等号，又条件， 故等号不成立，即，正确， 对于D，令， 所以， 等价于， 等价于，即， 即恒成立，当且仅当，即时，取等号，D正确， 故选：BCD 【题型五】基本不等式求最值 【例5-1】(25-26高一上·江苏海安高级中学·期中) （多选）已知，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对进行变形，结合基本不等式逐项进行分析. 【详解】选项A：由得，， 又，，所以， 所以， 因为，所以，所以.故选项A正确. 选项B：由得，， 则， 又，所以，当且仅当即时，等号成立.故选项B错误. 选项C：， 又，所以，当且仅当即时，等号成立. 故选项C正确. 选项D：由得，， 所以， 由选项C知，当时，取得最小值， 故的最小值为.故选项D正确. 故选：ACD 【变式5-1】(25-26高一上·江苏无锡滨湖区辅仁高级中学·期中)已知正实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【分析】由已知变形可得，代入，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】因为，由可得，又，所以， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为， 故答案为： 【变式5-2】(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中) （多选）已知，，且，则（    ） A．xy的最大值为1 B．的最大值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对A，利用基本不等式求解；对B，由题可得，利用二次函数单调性求解判断；对C，举反例说明；对D，将原式变形，利用基本不等式求解. 【详解】对于A，由，，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，，得， 则，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D， ， 当且仅当，即，时，取等号，故D正确. 故选：AD. 【题型六】基本不等式证明不等式 【例6-1】(25-26高一上·江苏南通海门中学·期中)已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明：因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． (2) (3)3 【分析】（1）两次利用基本不等式证明即可； （2）令，结合（1）的结论，即可证明； （3）结合（1），（2）利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）略 （2），当且仅当时等号成立． 推导如下： 由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. （3）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3． 【变式6-1】(25-26高一上·江苏苏州工业园区星海实验高级中学·期中)若实数满足，则称比接近， (1)请判断命题：“比接近”的真假，并说明理由； (2)若比接近，判断：“”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明. (3)已知，若，判断1与哪个数更接近，请说明理由； 【答案】(1)命题：“比接近”为真，理由如下； (2)充要条件； (3)1比更接近. 【分析】（1）利用题干给出的新定义化简即可； （2）先对式子进行化简得到，进而分析即可； （3）对进行化简，再利用换元求出的范围即可求出. 【详解】（1），，，故命题：“比接近”为真. （2）比接近，，即， 当时，则，当时，则， 故是的充要条件. （3）由题意得，， 设，则，当且仅当时取等， 原式 ， 设，则，令， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，当且仅当时取等号， 即，，1比更接近. 【变式6-2】(22-23高一上·江苏苏州·期中)阅读：序数属性是自然数的基本属性之一，它反映了记数的顺序性，回答了“第几个”的问题.在教材中有如下顺序公理：①如果，那么；②如果，那么. (1)请运用上述公理①②证明：“如果，那么.” (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式基本性质得到，，从而得到； （2）法一：利用基本不等式得到，的取值范围为，从而且，利用（1）中的结论即可得到答案； 法二：令，得到函数为对勾函数，从而得到函数的单调性和值域，令，得到的取值范围为，此时，利用其单调性求出值域，得到答案； 法三：令，则，令，得到的取值范围为，换元后得到，再用作差法和因式分解得到，分和，均有，证明出，证明出结论. 【详解】（1），且， 同理， ； （2）法一： 当同号时，，. 当异号时，， ， .· 综上可知，的取值范围为， 的取值范围为 且，· 由（1）中的结论可知：. 法二：令，则关于的函数在区间和上单调递增， 在和上单调递减， 所以的值域为. 令，则的取值范围为， 令函数，则在上单调递减，在上单调递增. 所以函数的值域为， 所以，故.· 法三：令，则， 令，则的取值范围为， 又， 所以. 因为 当时，；当时，. 所以， 又， 所以，原命题即证. 【变式6-3】(23-24高一上·江苏连云港连云区连云港高级中学·期中)已知a，b均为正实数. (1)证明：； (2)若的两条直角边分别为a，b，斜边，求周长的最大值. 【答案】(1) 因为，则， 当且仅当时取“”. 又为正实数， 所以. (2). 【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质即可得证； （2）利用（1）中的结论和三角形性质即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）由题意，得. 由（1）的结论，， 当时取“”. 所以直角周长的最大值为. 【题型七】基本不等式的实际应用 【例7-1】(25-26高一上·江苏南京鼓楼区·期中)设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】设，根据条件先分析出的取值范围，然后根据与全等表示出，结合三角形面积公式以及基本不等式可求解出面积的最大值. 【详解】设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以 ， 故答案为：. 【变式7-1】(25-26高一上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)如图，矩形中，，周长为．将沿翻折到的位置，使得与交于点，则的面积的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据翻折可知三角形的周长，设，，所以，结合直角三角形勾股定理可得，再根据基本不等式可得面积的最大值. 【详解】由题意可知，，，， 所以，所以，， 所以， 所以的周长为；设，，所以， 在中，由勾股定理可得，解得， 且，解得或， 当且仅当时取等号； 因为，，所以，所以，则； 所以在中，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的面积取得最大值， 故选：C. 【变式7-2】(25-26高一上·江苏宝应中学·期中)某工厂要建一个长方体无盖蓄水池，其底面积为100平方米，深5米，如图设底边一边长为（）米.现有甲、乙两工程队竞标，甲工程队报价：池底每平米的造价为180元，池壁每平米的造价为150元；乙工程队报价：整体报价为（）.    (1)如果按甲工程队报价，求建造蓄水池的最低总造价； (2)如果蓄水池无论如何设计，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围. 【答案】(1)48000元 (2) 【分析】（1）根据题意列出总造价，利用基本不等式可求出甲工程队的造价的最小值. （2）由题意可知，不等式恒成立，分离变量可得出，令，利用基本不等式求出的最大值，可得出实数的取值范围. 【详解】（1）记总造价为元，由题意 当且仅当米时等号成立 所以按甲工程队报价，最低总造价为48000元. （2）依题意可知，恒成立 即恒成立，令，， 即在上恒成立 即，当，米时不等式等号成立 因为，所以 【变式7-3】(25-26高一上·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期中)如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）设花坛的长为米，由花坛的宽与长之比为（），得到花坛的宽为米，由花坛的周长为120米和矩形花坛的面积为500平方米，建立和的等式，求解即可； （2）设花坛的长为米，得到花坛的宽为米，由题中条件得到，整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米，从而求得整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 花坛的周长为120米， ， 矩形花坛的面积为500平方米，，联立， 解得，故花坛的宽为米. （2）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 矩形花坛的面积为500平方米，，，， ，， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积为， 展开得到，， ，， ，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小， 故整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小时，. 【题型八】一元二次不等式分式不等式与绝对值不等式 【例8-1】(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中)已知a为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，解不等式得或，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】，即， ，解得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式8-1】(25-26高一上·江苏阜宁，滨海，射阳三校·期中)不等式的解集为（ ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】应用不含参的一元二次不等式的解法求解集即可. 【详解】由，可得， 故解集为. 故选：B 【变式8-2】(24-25高一上·江苏马坝高级中学·期中)解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）解一元二次不等式可得结果. （2）分式型不等式等价转化为一元二次不等式可得结果. （3）讨论的取值范围，去绝对值，解不等式可得结果. 【详解】（1）由得， 即， 解得或， 故不等式的解集为或. （2）由得，即， 等价于， 解得或， 故不等式的解集为或. （3）当时，原不等式可以化为，解得. 当时，原不等式可以化为，即，恒成立. 当时，原不等式可以化为.解得. 综上，原不等式的解集为. 【变式8-3】(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)设为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解分式不等式，根据充分性和必要性可得结论. 【详解】由，可得，所以，所以， 所以，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【题型一】含参一元二次不等式忽略最高项范围 【例1】(25-26高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是______. 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法，以及一元二次不等式的解法，求出不等式的解集，根据充分不必要条件，判断解集之间的包含关系，求出结果. 【详解】由得，解得， 由得，解得， 当是的充分不必要条件时，可得是的真子集， 则，解得， 所以实数的取值集合是. 故答案为：. 易错警示 对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式，用求根公式计算.二次项系数含有参数时，需要考虑范围. 【变式1-1】(25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中)已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）依题意可得，结合可得，解得即可； （2）（i）由题意、是关于的方程的两根且，利用韦达定理即可得解； （ii）结合（i）中结论，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）不等式，整理得， 因为，所以原不等式可化为，解得， 即不等式的解集为； （2）（i）因为关于的不等式的解集为， 所以、是关于的方程的两根且， 由韦达定理可知，所以，，且， 所以. （ii）由（i）知，，，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 【变式1-2】(25-26高一上·江苏常州合作学校·期中)设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1)； (2) 当时，解集为或； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】（1）确定是方程的两个根，结合韦达定理即可求解； （2）分，，，，讨论求解. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根，且， 则，则； （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，解集为， 当时，不等式可化为，且，解集为， 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或, 综上， 当时，解集为或； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 【题型二】给定方程根的范围，忽略范围所在区间 【例2】(23-24高一上·江苏南菁高级中学创新班·期中)若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】且 【详解】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，，然后求出两不等式的公共部分即可． 【分析】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且，解得且． 故答案为：且． 易错警示 若规定了一元二次方程在某区间上根的个数，则可画出二次函数的图象，再考虑判别式、对称轴、端点 值，但有时只需考虑其中一两点即可，只要它能使图象成为我们需要的情形. 【变式2-1】(24-25高一上·江苏常州联盟学校·期中)已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个大于个实数根列不等式，结合韦达定理求得正确答案. 【详解】方程有两个大于的实数根， 则， 由题意可得，可得， 代入可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-2】(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)设命题：，不等式有解，命题：关于实数的方程有两个不相等的实数根、，其中，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式有解的解法，得出关于的一元二次不等式，求解即可； （2）若命题是真命题，设，根据一元二次方程根的情况列出不等式组，得出的范围，然后分为p真q假，p假q真两种情况求解即可． 【详解】（1）若命题是真命题，即，不等式有解， ∴，不等式有解， ∴，即， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是． （2）若命题是真命题，设， 则得，解得， 若p真q假，则，解得或； 若p假q真，则，无解． 综上，实数a的取值范围是． 【变式2-3】(20-21高一上·江苏苏州吴江区·期中)已知. （1）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1）（2）见解析 【解析】（1）由函数的零点的定义，结合二次函数图象的性质列出不等式组，求解即可； （2）将化简为，讨论的大小关系，从而得出该不等式的解集. 【详解】（1）因为在上有两个不相等的实数根 所以 解得. 所以实数的取值范围为 （2）不等式，即，等价于 当，即时，，不等式无解； 当，即时，不等式解集为 当，即时，不等式解集为 综上，当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 【点睛】在解不等式时，关键是讨论的大小关系，利用一元二次不等式的解法进行求解. 【题型一】两个三次之间的关系 【例1】(25-26高一上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据三个二次的关系解得系数的关系，进而直接解一元二次不等式可得. 【详解】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 【变式1-1】(24-25高一上·江苏南通海门实验学校·期中) （多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 【变式1-2】(25-26高一上·江苏南京第二十九中学、盐城中学·期中)已知不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由不等式的解集与不等式之间的关系，得出2和3是关于x的方程的两根，由韦达定理可求出a和b的值，再代入不等式，解出该不等式即可得出答案． 【详解】由题意可知，2和3是关于x的方程的两实根， 由韦达定理可得，解得， 所以不等式为不等式， 解得，所以解集为. 故选：D 【题型二】整数解问题 【例2-1】(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则_________，的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据不等式解集中有且只有个连续整数，确定解集的区间长度， 得出的取值范围，再由对称轴判断出即可. 【详解】由题意，，即， 设不等式的解集为，则，， 则， 因为不等式解集中有且仅有个整数，所以， 即，解得， 所以的对称轴满足， 而，即离对称轴距离最近的整数只有， 所以，所以三个整数解为， 所以，解得. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题入手较难，关键是不等式解集中有个整数如何表示，利用解集的区间长度建立不等式是解题关键. 【变式2-1】(23-24高一上·江苏泰兴、兴化·期中) （多选）关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得，进而可判断ABC，根据二次函数零点分布即可求解D. 【详解】不等式的解集为或， 故和是方程的两个根， 所以，解得，故A正确， 对于B，可变为，解得或，故B错误， 对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，C正确， 对于D，的不等式可变为， 记由于，故0是的一个整数解， 由于对称轴，要使不等式解集中仅有两个整数，则，故，故D正确， 故选：ACD 【变式2-2】(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】求得集合，分类讨论解出集合，并根据中恰有两个整数，求出参数的取值范围即可. 【详解】由，可得，解得，所以， 当时，由，可得，， 因为中恰有两个整数，所以，解得， 当，由，可得，， 此时，不符合题意， 综上所述：若中恰有两个整数，实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型三】恒成立问题 【例3】(25-26高一下·江苏盐城滨海中学·期中)在上定义运算，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据定义，将问题转化为二次不等式在R上恒成立的问题，利用二次函数性质即可容易求得. 【详解】根据定义，不等式即为：， 整理得：对一切实数x恒成立， 则只需，整理得：， 解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-1】(25-26高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)设m为实数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判别式即可求解. 【详解】若不等式恒成立，则，解得， 故选：A 【变式3-2】(25-26高一上·江苏苏州南京航空航天大学苏州附属中学·期中)设函数 (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)若，求以下两个问题： ①若，，求的最小值： ②若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①9；② 【分析】（1）利用不等式的解集结合一元二次方程根和系数的关系求解即可； （2）①利用基本不等式中“1”的应用求解即可；②把转化为在R上恒成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）若不等式的解集为， 则， 所以. 解得. （2）若， ①，，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为9. ②在R上恒成立， 即在R上恒成立， 若 ，则z在上不恒成立，舍， 故， 解得： 故a的取值范围为. 【题型四】有解问题 【例4】(25-26高一上·江苏无锡滨湖区辅仁高级中学·期中)已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 【变式4-1】(24-25高一上·江苏西交大附中·期中)若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用基本不等式，求得最小值为，从而得到，即可求解. 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时，取等号， 又不等式有解，所以，解得或， 故选：D. 【变式4-2】(22-23高一上·江苏常州华罗康中学·期中)已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，函数在有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对进行分类讨论，结合判别式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】（1）若恒成立，则 恒成立. 当时，不恒成立； 当时，，解得：. 实数的取值范围为：. （2）当时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 技巧 一句话要点 重要不等式链 基本不等式最值问题 积定和最小，和定积最大。 使用基本不等式的条件 一正二定三相等。 基本不等式最值常用方法 “1”的代换，凑配法，解不等式法。 二次不等式不等式恒成立的常用方法 1.讨论二次项系数是否等于0 2.把不等式转化成或的形式 形如,在上恒成立的方法 1.分参法 2.讨论图像法 形如,在参数上恒成立的方法 主元变换法：把看成函数g。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $