专题02 常用逻辑用语（知识&考点&公式&3高频&1易错&2重难，期中知识清单）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题02 常用逻辑用语 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(6类) 公式清单(2类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(3类) 易错题型清单(1类) 重难题型清单(2类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q,记作pq,并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果“若p,则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q,记作pq.此时，我们说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 知识点02 充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有pq，又有qp，就记作pq.此时，,p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件. 知识点03 全称量词与全称量词命题 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 全称量词命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 一般形式 对M中任意一个x,p(x)成立 符号表示 2.全称量词命题的真假判断 （1）要判定全称量词命题“”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明成立。 （2）要判定全称量词命题“”是假命题，只需举出一个反例，即如果在集合M中找到一个元素x,使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题。 知识点04 存在量词与存在量词命题 1.存在量词与存在量词命题 存在量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 存在量词命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 一般形式 存在M中一个元素x,p(x)成立 符号表示 2.存在量词命题的真假判断 （1）要判定存在量词命题“”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使成立。 （2）要判定存在量词命题“”是假命题，需要对集合M每个元素x,证明都不成立，那么这个全称量词命题就是假命题。 知识点05 命题的否定 1.命题的否定 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.命题p的否定可用“p”来表示. 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 命题的符号表示 命题否定的符号表示 命题否定的类型 全称量词命题 存在量词命题 存在量词命题 全称量词命题 含有一个量词的命题的否定是先改变量词，再否定结论。 考点01 充分条件、必要条件、充要条件的判断 考点内容：判断充分条件，必要条件与充要条件，已知条件求参数问题． 1.定义法： 1）若,但，则的充分不必要条件。 2）若,但，则的必要不充分条件。 3）若,且，则的充要条件。 4）若,但，则的既不充分也不必要条件。 2.集合法：如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得如下结论： 的充分不必要条件 的必要不充分条件 的充要条件 无子集关系 的既不充分也不必要条件。 3.传递法： 充分、必要、充要条件具有传递性，具体如下： 1）若,则有，即的充分条件。 2）若,则有，即的必要条件。 3）若,则有，即的充要条件。 考点02 应用充分条件和必要条件求参数的值或范围 考点内容：已知充分条件与必要条件求参数值或求参数范围． 1.根据充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的包含关系。 2.根据集合间的包含关系，建立关于参数的方程(组)或不等式(组),求解即可. 注意：根据充分条件和必要条件求参数时，关键是分清谁是条件，谁是结论，若A成立的充分条件是B,则BA,B是条件,A是结论. 考点03 全称量词命题与存在量词命题及其真假的判断 考点内容：判断全称量词与存在量词命题的真假，已知命题的真假求参数． 1.全称量词命题与存在量词命题的判定，只需根据命题中的量词性质判断即可. 2.要判定一个全称量词命题是真命题，要通过推理论证;要判定为假命题，只需举出一个 反例.要判定一个存在量词命题是真命题，只需找到一个特例;要判定为假命题，必须通 过推理论证. 考点04 含有一个量词命题的否定 考点内容：求命题的否定． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.命题的真假与其否定的真假相反，不易判断一个命题的真假时，可利用该命题的否定的真假得出结论. 考点05 已知命题的真假求参数 考点内容：由命题的真假求参数以及参数的取值范围． 1.全称量词命题求参数问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可通过构造函数，利用数形结合求参数，也可用分离参数法求参数. 2.存在量词命题求参数问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数，若能求出参数，则假设成立;否则，假设不成立.还可以转化为“有解"问题，分离参数求解. 3.常见结论 1）等价于方程在上有实数根。 2）,就是不等式在上恒成立，等价于 3）,就是不等式在上有解，等价于 4) ,就是不等式在上恒成立，等价于 5) ,就是不等式在上有解，等价于 1充要条件的判断 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，￢p(x0) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，￢p(x) 辨析01 判断充分，必要及充要条件的三种方法 (1)定义法:直接判断“若p，则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法:即利用集合的包含关系判断. (3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性。 辨析02 充要条件的证明思路与关键 1.充要条件的证明思路 一般地，证明“p是q的充要条件”。 (1)充分性:把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q; (2)必要性:把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p. 2.证明充要条件的关键 要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件⇒结论”是证明充分性，由“结论⇒条件”是证明必要性. 在以下两种说法中，充分性和必要性分别是: (1)p是q的充要条件，p⇒q是充分性,q⇒p是必要性。 (2)A成立的充要条件是B:B⇒A是充分性，A⇒B是必要性. 辨析03 参数取值及范围需要注意端点值 1.求参数值(范围)的一般步骤 (1)化简:化简集合，明确题干中的充分条件和必要条件 (2)转化:根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关 系问题 (3)列式:利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组.注意等号成立的条件. (4)获解:解不等式，得参数范围. 2.求参数取值范围的关键点 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，同时注意范围的临界值的取舍. 辨析04含有两次的取值范围问题需要注意变量自身的范围 求解含有量词命题中参数范围的策略 1.已知含量词命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定 要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路. 2.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用集合、方程、不等式 等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制. 【题型一】充要条件的判断 【例1】(25-26高一上·江苏盐城射阳中学·期中)已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 【变式1-1】(25-26高一上·江苏连云港灌南县·期中)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】(25-26高一上·江苏无锡滨湖区辅仁高级中学·期中)“”是“”的（   ） A．既不充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【题型二】命题的否定 【例2-1】(25-26高一上·江苏连云港灌南县·期中)命题：，，则命题的否定为______． 【变式2-1】(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中)命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】(25-26高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)命题“，”的否定为（   ） A．， B．不存在， C．， D．， 【题型三】命题真假的判断 【例3】(25-26高一上·江苏淮安高中协作体·期中)（多选）下列说法正确的是（   ） A．命题：存在，的否定是：任意， B．是的充分不必要条件 C．已知集合，，若，则实数 D．已知集合，，则 【变式3-1】(25-26高一上·江苏无锡宜兴·期中)（多选）下列命题为真命题的有（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】(25-26高一上·江苏苏州南京航空航天大学苏州附属中学·期中)（多选）下列各命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型一】命题一真一假时有时可以只选取一个命题求取值范围 【例1】(21-22高一上·江苏海门第一中学、新沂海门中学·期中)（多选）已知命题：，，命题：，，若命题与命题均为真命题，则实数的可能取值为（    ） A． B．5 C． D．4 易错警示 当两个命题一真一假，且未确定谁为真，谁为假时，可选其中一种情况来求参数范围，另一种情形直 接在此基础上各自取补集再考虑即可. 【变式1-1】(25-26高一上·江苏淮安高中协作体·期中)设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【变式1-2】(24-25高一上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知：关于的方程有实数根，． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【题型一】由充分与必要条件求参数 【例1】(25-26高一上·江苏南通·期中)若不等式的一个充分不必要条件为，则实数的取值范围是__________. 【变式1-1】(25-26高一上·江苏海安高级中学·期中)已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【变式1-2】(21-22高一上·江苏淮安楚中、新马、淮海三校·期中)已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【题型二】命题的真假求参数的取值范围 【例2-1】(22-23高一上·江苏南通海安实验中学·期中)已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立. (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若q和p一真一假，求实数m的取值范围. 【变式2-1】(23-24高一上·江苏徐州·期中)已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【变式2-2】(25-26高一上·江苏南京鼓楼区·期中)已知命题，命题． (1)已知，命题都是真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【变式2-3】(24-25高一上·江苏徐州铜山区·期中)设全集为实数集，集合，. (1)当时，求，； (2)若命题，命题，且p是q的充分且不必要条件，求实数a的取值范围. 技巧 一句话要点 集合角度看充分条件与必要条件 小可推大，大不可推小 命题及否定的真假关系 命题p与改名该命题的否定的浙嘉兴必定相反 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(6类) 公式清单(2类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(3类) 易错题型清单(1类) 重难题型清单(2类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q,记作pq,并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果“若p,则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q,记作pq.此时，我们说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 知识点02 充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有pq，又有qp，就记作pq.此时，,p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件. 知识点03 全称量词与全称量词命题 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 全称量词命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 一般形式 对M中任意一个x,p(x)成立 符号表示 2.全称量词命题的真假判断 （1）要判定全称量词命题“”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明成立。 （2）要判定全称量词命题“”是假命题，只需举出一个反例，即如果在集合M中找到一个元素x,使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题。 知识点04 存在量词与存在量词命题 1.存在量词与存在量词命题 存在量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 存在量词命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 一般形式 存在M中一个元素x,p(x)成立 符号表示 2.存在量词命题的真假判断 （1）要判定存在量词命题“”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使成立。 （2）要判定存在量词命题“”是假命题，需要对集合M每个元素x,证明都不成立，那么这个全称量词命题就是假命题。 知识点05 命题的否定 1.命题的否定 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.命题p的否定可用“p”来表示. 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 命题的符号表示 命题否定的符号表示 命题否定的类型 全称量词命题 存在量词命题 存在量词命题 全称量词命题 含有一个量词的命题的否定是先改变量词，再否定结论。 考点01 充分条件、必要条件、充要条件的判断 考点内容：判断充分条件，必要条件与充要条件，已知条件求参数问题． 常见考法： 1.定义法： 1）若,但，则的充分不必要条件。 2）若,但，则的必要不充分条件。 3）若,且，则的充要条件。 4）若,但，则的既不充分也不必要条件。 2.集合法：如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得如下结论： 的充分不必要条件 的必要不充分条件 的充要条件 无子集关系 的既不充分也不必要条件。 3.传递法： 充分、必要、充要条件具有传递性，具体如下： 1）若,则有，即的充分条件。 2）若,则有，即的必要条件。 3）若,则有，即的充要条件。 考点02 应用充分条件和必要条件求参数的值或范围 考点内容：已知充分条件与必要条件求参数值或求参数范围． 常见考法： 1.根据充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的包含关系。 2.根据集合间的包含关系，建立关于参数的方程(组)或不等式(组),求解即可. 注意：根据充分条件和必要条件求参数时，关键是分清谁是条件，谁是结论，若A成立的充分条件是B,则BA,B是条件,A是结论. 考点03 全称量词命题与存在量词命题及其真假的判断 考点内容：判断全称量词与存在量词命题的真假，已知命题的真假求参数． 常见考法： 1.全称量词命题与存在量词命题的判定，只需根据命题中的量词性质判断即可. 2.要判定一个全称量词命题是真命题，要通过推理论证;要判定为假命题，只需举出一个 反例.要判定一个存在量词命题是真命题，只需找到一个特例;要判定为假命题，必须通 过推理论证. 考点04 含有一个量词命题的否定 考点内容：求命题的否定． 常见考法： 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.命题的真假与其否定的真假相反，不易判断一个命题的真假时，可利用该命题的否定的真假得出结论. 考点05 已知命题的真假求参数 考点内容：由命题的真假求参数以及参数的取值范围． 常见考法： 1.全称量词命题求参数问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可通过构造函数，利用数形结合求参数，也可用分离参数法求参数. 2.存在量词命题求参数问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数，若能求出参数，则假设成立;否则，假设不成立.还可以转化为“有解"问题，分离参数求解. 3.常见结论 1）等价于方程在上有实数根。 2）,就是不等式在上恒成立，等价于 3）,就是不等式在上有解，等价于 4) ,就是不等式在上恒成立，等价于 5) ,就是不等式在上有解，等价于 1充要条件的判断 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，￢p(x0) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，￢p(x) 辨析01 判断充分，必要及充要条件的三种方法 (1)定义法:直接判断“若p，则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法:即利用集合的包含关系判断. (3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性。 辨析02 充要条件的证明思路与关键 1.充要条件的证明思路 一般地，证明“p是q的充要条件”。 (1)充分性:把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q; (2)必要性:把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p. 2.证明充要条件的关键 要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件⇒结论”是证明充分性，由“结论⇒条件”是证明必要性. 在以下两种说法中，充分性和必要性分别是: (1)p是q的充要条件，p⇒q是充分性,q⇒p是必要性。 (2)A成立的充要条件是B:B⇒A是充分性，A⇒B是必要性. 辨析03 参数取值及范围需要注意端点值 1.求参数值(范围)的一般步骤 (1)化简:化简集合，明确题干中的充分条件和必要条件 (2)转化:根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关 系问题 (3)列式:利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组.注意等号成立的条件. (4)获解:解不等式，得参数范围. 2.求参数取值范围的关键点 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，同时注意范围的临界值的取舍. 辨析04含有两次的取值范围问题需要注意变量自身的范围 求解含有量词命题中参数范围的策略 1.已知含量词命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定 要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路. 2.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用集合、方程、不等式 等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制. 【题型一】充要条件的判断 【例1】(25-26高一上·江苏盐城射阳中学·期中)已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，只需写出的范围满足是的真子集即可. 【详解】根据题意，需要寻求p的一个必要不充分条件， 故只需满足是所写范围的真子集即可，故可以为， 此时，是必要不充分条件. 故答案为：（答案不唯一） 【变式1-1】(25-26高一上·江苏连云港灌南县·期中)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用集合的包含关系来判断充要关系即可. 【详解】因为的解集为， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式1-2】(25-26高一上·江苏无锡滨湖区辅仁高级中学·期中)“”是“”的（   ） A．既不充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】由充分，必要条件定义结合题意可得答案. 【详解】显然由，可得，则“”是“”的充分条件； 由，可得或，则由不一定能得到， 即“”不是“”的必要条件.则“”是“”的充分不必要条件. 故选：D 【题型二】命题的否定 【例2-1】(25-26高一上·江苏连云港灌南县·期中)命题：，，则命题的否定为______． 【答案】，. 【分析】利用“”的否定为“”，“”的否定为“”求解即可. 【详解】 “”的否定为“”，“”的否定为“”， 命题：，的否定为，. 故答案为：，. 【变式2-1】(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中)命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定是全称命题得解. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：B. 【变式2-2】(25-26高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)命题“，”的否定为（   ） A．， B．不存在， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断. 【详解】命题“，”, 则其否定为“，”. 故选：D 【题型三】命题真假的判断 【例3】(25-26高一上·江苏淮安高中协作体·期中)（多选）下列说法正确的是（   ） A．命题：存在，的否定是：任意， B．是的充分不必要条件 C．已知集合，，若，则实数 D．已知集合，，则 【答案】ACD 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断A；根据充分条件的定义判断B；根据集合中元素的互异性和集合并集的运算判断C；利用并集定义计算判断D. 【详解】A：根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，命题：存在，的否定是： 任意，，正确； B：若，假设，，此时不成立， 故不是的充分条件，错误； C：因为，所以，所以或. 若，则，此时，集合中的元素不满足互异性，故舍去. 若，则或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去； 当时，，，，故符合题意.综上，正确； D：集合，， 根据并集运算概念知，正确. 故选：ACD 【变式3-1】(25-26高一上·江苏无锡宜兴·期中)（多选）下列命题为真命题的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】运用全称和特称量词的命题的知识逐项分析并判断即可得. 【详解】对A：由，所以为非负整数，即自然数.故对，故A正确； 对B：例如取，则，故，故B正确； 对C：当时，，当时，， 故，故C正确； 对D：由， 故不存在，使得，故D错误. 故选：ABC 【变式3-2】(25-26高一上·江苏苏州南京航空航天大学苏州附属中学·期中)（多选）下列各命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】利用特殊值法可判断AC选项；分、两种情况讨论，去绝对值，可判断B选项；解方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，则，A中的命题为假命题； 对于B选项，当时，；当时，. 综上所述，，，B中的命题为真命题； 对于C选项，取，则，C中的命题为真命题； 对于D选项，若，则，D中的命题为假命题. 故选：AD. 【题型一】命题一真一假时有时可以只选取一个命题求取值范围 【例1】(21-22高一上·江苏海门第一中学、新沂海门中学·期中)（多选）已知命题：，，命题：，，若命题与命题均为真命题，则实数的可能取值为（    ） A． B．5 C． D．4 【答案】AD 【分析】利用条件求出命题，的等价条件，再利用命题与都是真命题，确定实数的取值范围，即可得出答案. 【详解】对于命题：，，∴，∴ 对于命题：，，∴，解得 若命题与均为真命题，则，只有A、D满足. 故选：AD. 易错警示 当两个命题一真一假，且未确定谁为真，谁为假时，可选其中一种情况来求参数范围，另一种情形直 接在此基础上各自取补集再考虑即可. 【变式1-1】(25-26高一上·江苏淮安高中协作体·期中)设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 【变式1-2】(24-25高一上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知：关于的方程有实数根，． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是真命题得到是假命题，利用判别式列不等式来求得的取值范围. （2）根据“是的必要不充分条件”列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题， 即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，若命题是真命题，则， 因为命题是命题的必要不充分条件， 则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【题型一】由充分与必要条件求参数 【例1】(25-26高一上·江苏南通·期中)若不等式的一个充分不必要条件为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先求解不等式，再根据充分不必要条件的性质得到关于的不等式，进而求出实数的取值范围. 【详解】由题意得，即，解得， 当时，不等式无解；当时，不等式的解集为， 不等式是不等式的充分不必要条件， 不等式的解集是不等式解集的真子集， 当时，不等式的解集为空集，不符合要求， 当时，不等式的解集为，需满足，解得. 实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式1-1】(25-26高一上·江苏海安高级中学·期中)已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的值确定集合，再求出集合在全集下的补集，最后再求交集. （2）“”是“”的必要条件得出集合和集合的包含关系，再结合集合非空列出不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 因为，所以或， 又，所以. （2）因为“”是“”的必要条件，所以. 又集合为非空集合，所以，解得. 实数的取值范围为. 【变式1-2】(21-22高一上·江苏淮安楚中、新马、淮海三校·期中)已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案. （2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果. 【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. （2）由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 【题型二】命题的真假求参数的取值范围 【例2-1】(22-23高一上·江苏南通海安实验中学·期中)已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立. (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若q和p一真一假，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对，不等式恒成立，转化为令，则，求出，解不等式即可得出答案. （2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案. 【详解】（1）对，不等式恒成立， 令，则， 当时，即，解得. 因此，当p为真命题时，m的取值范围是. （2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以； 故当命题q为真时，. 又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p真q假时，由，得； 当p假q真时，由或，且，得. 综上所述，m的取值范围为. 【变式2-1】(23-24高一上·江苏徐州·期中)已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）由命题：“，”为真命题，即不等式在上恒成立， 可得，解得，所以实数的取值集合为. （2）解：由“”是“”的充分条件，可得， 因为，， 当时，可得，解得，此时满足； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【变式2-2】(25-26高一上·江苏南京鼓楼区·期中)已知命题，命题． (1)已知，命题都是真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，根据命题为真命题分别表示出对应的取值范围，再由集合交集运算可知结果； （2）根据和进行分类讨论，然后可求结果. 【详解】（1）当时，， 当为真命题时，的取值范围是，当为真命题时，的取值范围是， 当都是真命题时，因为，所以的取值范围是. （2）若为真命题，则， 根据区间的定义可知, 为真命题时，， 要使是的充分不必要条件，则以，解得(经检验，取等号时满足条件)， 综上所述，的取值范围是. 【变式2-3】(24-25高一上·江苏徐州铜山区·期中)设全集为实数集，集合，. (1)当时，求，； (2)若命题，命题，且p是q的充分且不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）求得集合，进而可求得，； （2）根据给定条件得到集合是集合的真子集，再利用集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）解，得，所以， 当时，， 所以，或， 所以或， （2）由（1）知，，而必为非空集合， 因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以（等号不同时成立），解得. 技巧 一句话要点 集合角度看充分条件与必要条件 小可推大，大不可推小 命题及否定的真假关系 命题p与改名该命题的否定的浙嘉兴必定相反 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $