专题03 不等式（考点清单，知识导图+3个考点清单+12题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

清单03 不等式 【清单01】不等式的基本性质 1、比较实数a、b的大小 （1）文字描述：如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么，反过来也对。 （2）符号表示：；； 2、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【清单02】基本不等式 1、基本不等式 （1）给定两个正数，，数称为，的算数平均数；数称为，的几何平均数 （2）如果，是正数，那么，当且仅当时，等号成立. （3）几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 2、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 3、基本不等式的推论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 【清单03】从函数观点看一元二次方程 1、一元二次不等式的相关概念 （1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 （2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） 2、三个“二次”之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【考点题型一】利用不等式的性质判断真假 方法总结：不等式的性质常与比较大小结合考查，常用方法有作差法、作商法、介值比较法 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 【例1】（23-24高一上·江苏淮安·月考）（多选）已知实数，满足，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·江苏镇江·月考）（多选）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·江苏南京·月考）（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【变式1-3】（23-24高一上·江苏·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．， B．，则 C．，则 D．若 R，则+ |2ab| 【考点题型二】利用不等式的性质证明不等式 方法总结： 1、不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小； 2、证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导． 【例2】（23-24高一上·江苏镇江·月考）（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砥智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】（23-24高一上·吉林长白·月考）证明不等式： （1）设，求证：； （2）设，求证：. 【变式2-2】（23-24高一上·河北保定·月考）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【变式2-3】（23-24高一上·广东惠州·月考）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 【考点题型三】利用不等式的性质求取值范围 方法总结：利用不等式的性质求取值范围的一般思路 （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解． 拓展：已知两个关于线性关系的取值范围，求另一个关于线性关系的取值范围． 根据条件，确定的取值范围，一般采用待定系数法求解，即令，然后通过比较系数建立方程组求得的值． 【例3】（23-24高一上·江苏常州·月考）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·江苏镇江·月考）若实数满足：，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·江苏无锡·月考）设实数满足：，则的最大值是 【变式3-3】（23-24高一上·江苏常州·月考）（1）已知，，求，取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 【考点题型四】利用基本不等式求最值 方法总结：在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 【例4】（23-24高一上·江苏常州·月考）（多选）设正实数a，b满足，则（    ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D． 【变式4-1】（23-24高一上·江苏南通·月考）（多选）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值是4 D．的最小值为 【变式4-2】（23-24高一上·江苏·月考）（多选）下列四个命题中，所有假命题为（    ） A． B．设，都是正数，若，则的最小值是 C． D．若，则 【变式4-3】（23-24高一上·江苏无锡·月考）（多选）下列结论中，正确的结论有（    ） A．函数的最小值是2 B．如果，，，那么的最大值为3 C．函数的最小值为 D．如果，，且，那么的最小值为2 【变式4-4】（23-24高一上·江苏南通·月考）已知，，且，则的最小值为 ． 【变式4-5】（23-24高一上·江苏盐城·月考）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【变式4-6】（23-24高一上·江苏南京·月考）已知正数满足，则的最小值为 . 【考点题型五】基本不等式恒成立问题 方法总结：不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 【例5】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·江苏扬州·月考）设，若恒成立，则的最大值为（    ） A．16 B．2 C．8 D．1 【变式5-2】（23-24高一上·江苏连云港·月考）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式5-】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知，且．若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】利用基本不等式证明不等式 方法总结：利用基本不等式证明不等式 （1）解题思路：从已知不等式和条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需要证明的问题． （2）基本方法：利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的目的；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到． 【例6】（23-24高一上·江苏无锡·月考）证明： (1)若，求证：； (2)若，求证：. 【变式6-1】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）已知，为正数，证明下列不等式成立： (1) (2)（其中） 【变式6-2】（22-23高一上·江苏常州·月考）（1）已知，求证： （2）设，，为正数，求证： 【变式6-3】（23-24高一上·广东深圳·月考）（1）已知且，证明：，并指出何时取到等号； （2）已知，证明：，并指出何时取到等号. 【考点题型七】基本不等式的实际应用 方法总结：基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下： （1）先理解题意，设出变量，设变量时一般要把要求最大值或最小值的变量定为因变量； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）根据实际意义写出正确的答案． 【例7】（23-24高一上·江苏南通·月考）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成． (1)现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【变式7-1】（23-24高一上·江苏平潮·月考）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 【变式7-2】（23-24高一上·江苏徐州·月考）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）． (1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为） (2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 【变式7-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为米． (1)记为甲工程队整体报价，求关于的关系式； (2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，问是否存在实数，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出满足的条件；若不存在，请说明理由． 【考点题型八】解不含参数的一元二次不等式 方法总结：解一元二次不等式的步骤 1、画标准：通过对不等式的变形，使不等式的右侧为0，是二次项系数为正； 2、判别式：对不等式右侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； 3、求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根； 4、画草图：根据一元二方程根的情况画出对应的二次函数的草图； 5、写解集：根据图象写出不等式的解集． 【例8】（23-24高一上·江苏扬州·月考）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式8-1】（23-24高一上·江苏平潮·月考）不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）不等式的解集为 . 【变式8-3】（23-24高一上·江苏无锡·月考）不等式的解集为 ． 【考点题型九】解含参数的一元二次不等式 方法总结：含参数的一元二次不等式讨论依据 1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 【例9】（23-24高一上·江苏徐州·月考）设集合，．若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一上·江苏徐州·月考）（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一上·江苏扬州·月考）关于的不等式的解集中恰有3个整数，写出符合题意的的两个值 ， . 【变式9-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）解关于的不等式：． 【考点题型十】解分式或高次不等式 方法总结： 1、解分式不等式的实质就是将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式． 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 2、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“奇过偶不过”； （5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 【例10】（23-24高一上·江苏苏州·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式10-2】（23-24高一上·江苏盐城·月考）不等式的解集是 -. 【变式10-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）解下列关于x的不等式： (1) (2) (3) 【考点题型十一】三个“二次”间对应关系应用 方法总结： 1、在三个“二次”关系中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究； 2、讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题． 【例11】（23-24高一上·江苏苏州·月考）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24高一上·江苏扬州·月考）（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【变式11-2】（23-24高一上·江苏镇江·月考）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D． 【变式11-3】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【考点题型十二】一元二次不等式恒成立问题 方法总结：一元二次不等式恒成立问题的求解 利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题 （1）未说明不等式为一元二次不等式时，有 不等式对任意实数恒成立； 不等式对任意实数恒成立； （2）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是； （3）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是． 【例12】（23-24高一上·江苏淮安·月考）（多选）已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（    ） A．-2 B．0 C．3 D．7 【变式12-1】（23-24高一上·江苏徐州·月考）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24高一上·江苏南通·月考）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式12-3】（23-24高一上·江苏·月考）不等式的解集为，则实数的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 不等式 【清单01】不等式的基本性质 1、比较实数a、b的大小 （1）文字描述：如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么，反过来也对。 （2）符号表示：；； 2、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【清单02】基本不等式 1、基本不等式 （1）给定两个正数，，数称为，的算数平均数；数称为，的几何平均数 （2）如果，是正数，那么，当且仅当时，等号成立. （3）几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 2、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 3、基本不等式的推论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 【清单03】从函数观点看一元二次方程 1、一元二次不等式的相关概念 （1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 （2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） 2、三个“二次”之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【考点题型一】利用不等式的性质判断真假 方法总结：不等式的性质常与比较大小结合考查，常用方法有作差法、作商法、介值比较法 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 【例1】（23-24高一上·江苏淮安·月考）（多选）已知实数，满足，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，，所以，则，故A正确； 对于B，正负无法确定， 取，则满足，但，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，由，得， 又因为， 所以，故D正确.故选：ACD 【变式1-1】（23-24高一上·江苏镇江·月考）（多选）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，因为，所以，所以，故A错误； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，结合，作差可得，所以，即C正确； 对于D，由已知得，由不等式性质可得，可得D错误.故选：BC 【变式1-2】（23-24高一上·江苏南京·月考）（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】BCD 【解析】对A：若，则，故A错误； 对B：由，则，，即，故B正确； 对C：由，则，又，则，故C正确； 对D：由，则，因为，则，故，故D正确.故选：BCD. 【变式1-3】（23-24高一上·江苏·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．， B．，则 C．，则 D．若 R，则+ |2ab| 【答案】ACD 【解析】选项A，，又， ∴，∴，A正确； 选项B，，又，∴，B错； 时，，∴ 所以，C正确； ， 当且仅当时等号成立，D正确．故选：ACD． 【考点题型二】利用不等式的性质证明不等式 方法总结： 1、不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小； 2、证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导． 【例2】（23-24高一上·江苏镇江·月考）（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砥智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】时，若，则有，A选项错误； 若，有，则， 得，B选项正确； 若，有，若，得，所以，C选项错误； 若，则有，由，有，D选项正确.故选：BD 【变式2-1】（23-24高一上·吉林长白·月考）证明不等式： （1）设，求证：； （2）设，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】证明：（1）因为 ， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为， 所以. 【变式2-2】（23-24高一上·河北保定·月考）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【变式2-3】（23-24高一上·广东惠州·月考）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 【答案】(1)；证明见解析；(2)证明见解析； 【解析】（1）由题可得，； 证明：因为，，， 所以，，，从而，即 （2）由三角形三边关系，可得，而函数，为单调递增函数， ， ，， 故， 所以， 【考点题型三】利用不等式的性质求取值范围 方法总结：利用不等式的性质求取值范围的一般思路 （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解． 拓展：已知两个关于线性关系的取值范围，求另一个关于线性关系的取值范围． 根据条件，确定的取值范围，一般采用待定系数法求解，即令，然后通过比较系数建立方程组求得的值． 【例3】（23-24高一上·江苏常州·月考）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 所以， 又，， 则， 所以，故选： 【变式3-1】（23-24高一上·江苏镇江·月考）若实数满足：，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 由，得，而， 因此，所以的取值范围为.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·江苏无锡·月考）设实数满足：，则的最大值是 【答案】22 【解析】由题意不妨设， 则，解得， 所以， 注意到， 所以，， 所以当且仅当即时，取得最大值22， 综上所述：的最大值是22. 【变式3-3】（23-24高一上·江苏常州·月考）（1）已知，，求，取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）因为，由不等式的性质可得，则， 又，故. 又，，故. 综上， （2）令，即， 则，解得. 则，， 所以，即. 综上 【考点题型四】利用基本不等式求最值 方法总结：在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 【例4】（23-24高一上·江苏常州·月考）（多选）设正实数a，b满足，则（    ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D． 【答案】ACD 【解析】A选项，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； B选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，即最大值为，B错误； C选项，， 由B选项得，，故， 故，当且仅当时，等号成立， 有最大值，C正确； D选项，因为，所以，其中， 故， 当时，等号成立，故，D正确.故选：ACD 【变式4-1】（23-24高一上·江苏南通·月考）（多选）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值是4 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于 A：，b均为正数，且满足， ，解得，当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为2，故A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号， ，当时等式不成立，则等号取不到， 则的最小值不是4，故B不正确； 对于C：，b均为正数，且满足， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确； 对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确．故选：ACD. 【变式4-2】（23-24高一上·江苏·月考）（多选）下列四个命题中，所有假命题为（    ） A． B．设，都是正数，若，则的最小值是 C． D．若，则 【答案】AB 【解析】对A：当为负数时时，不成立，故A是假命题； 对B：因为都是正数，所以， 当且仅当即时取等号，所以的最小值是16，故B为假命题； 对C：由题意可知，所以， 当且仅当即时取等号，故C是真命题； 对D：若，则，，所以， 当且仅当即时取等号，故D是真命题.故选：AB. 【变式4-3】（23-24高一上·江苏无锡·月考）（多选）下列结论中，正确的结论有（    ） A．函数的最小值是2 B．如果，，，那么的最大值为3 C．函数的最小值为 D．如果，，且，那么的最小值为2 【答案】BCD 【解析】对A：当时，，所以最小值不是2，故A错误； 对B：由已知可得，解得，所以， 当且仅当时成立，此时的最大值为3，故B正确； 对C：函数，设，， 在上单调递增，所以时，取最大值，故C正确； 对D：, 当且仅当时取得最小值为2，故D正确．故选：BCD． 【变式4-4】（23-24高一上·江苏南通·月考）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【变式4-5】（23-24高一上·江苏盐城·月考）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】5 【解析】因为正实数满足，所以， 而， 所以 ， 当且仅当且，即时取等， 故答案为：5. 【变式4-6】（23-24高一上·江苏南京·月考）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，故. 又， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 【考点题型五】基本不等式恒成立问题 方法总结：不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 【例5】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知， 所以可得； 当且仅当，即时，等号成立； 依题意需满足，所以.故选：D 【变式5-1】（23-24高一上·江苏扬州·月考）设，若恒成立，则的最大值为（    ） A．16 B．2 C．8 D．1 【答案】C 【解析】因为，故， 则， 当且仅当，即时取得等号， 由于恒成立，故， 即的最大值为8，故选：C 【变式5-2】（23-24高一上·江苏连云港·月考）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以，因为恒成立，所以， 即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C 【变式5-】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知，且．若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，得：， （当且仅当，时取等号）， 恒成立，，解得：， 即实数的取值范围为.故选：D. 【考点题型六】利用基本不等式证明不等式 方法总结：利用基本不等式证明不等式 （1）解题思路：从已知不等式和条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需要证明的问题． （2）基本方法：利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的目的；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到． 【例6】（23-24高一上·江苏无锡·月考）证明： (1)若，求证：； (2)若，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：由得， 故， 所以； （2）证明：由题意，故， 故，即. 【变式6-1】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）已知，为正数，证明下列不等式成立： (1) (2)（其中） 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，为正数， 所以，当且仅当时取等号， 所以. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以. 【变式6-2】（22-23高一上·江苏常州·月考）（1）已知，求证： （2）设，，为正数，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】证明：（1）由于，则，， 于是要证， 即证， 即证， 由于，即证，而显然成立， 故 （2）因为，，为正数， 由基本不等式可得，，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， 以上三式相加有， 即，当且仅当时取等号. 【变式6-3】（23-24高一上·广东深圳·月考）（1）已知且，证明：，并指出何时取到等号； （2）已知，证明：，并指出何时取到等号. 【答案】（1）证明见解析，当且仅当时，等号成立 （2）证明见解析，当且仅当时，等号成立； 【解析】（1）； 当且仅当时，等号成立，因此证得 （2）由题得， 设，则； 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 因此证得 【考点题型七】基本不等式的实际应用 方法总结：基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下： （1）先理解题意，设出变量，设变量时一般要把要求最大值或最小值的变量定为因变量； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）根据实际意义写出正确的答案． 【例7】（23-24高一上·江苏南通·月考）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成． (1)现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【答案】(1)长为，宽为；(2)长为，宽为 【解析】（1）设长为，宽为，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 即长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大. （2）设长为，宽为，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 即长为，宽为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 【变式7-1】（23-24高一上·江苏平潮·月考）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 【答案】(1)米；(2)平方米 【解析】（1）设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得， 因为矩形的长比宽至少多米，所以， 所以，解得， 又因为，所以， 所以草坪宽的最大值为米． （2）设整个绿化面积为平方米，由题意可得 ， 当且仅当即时，等号成立， 故整个绿化面积的最小值为平方米． 【变式7-2】（23-24高一上·江苏徐州·月考）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）． (1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为） (2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 【答案】(1)长宽均为；；(2)长为，宽为 【解析】（1）由题意得底面大矩形周长为，且大矩形的长设为，宽设为， 所以，得，所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以底面面积最大为. （2）由题意知走马灯的体积为，高为， 所以底面积为， 框架用料最少等价于底面用料为最小即可， ，当，即取等号， 故当长为、宽为时，用料最少. 【变式7-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为米． (1)记为甲工程队整体报价，求关于的关系式； (2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，问是否存在实数，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出满足的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)存在，当时，乙工程队都能竞标成功 【解析】（1）由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米()，则底面长为米，正面费用为 , 故，. （2）由题意知, ，对任意都成立, 即对任意恒成立， 令 ,则， 则， 而，当且仅当取等号， 故 ， 即存在实数，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功. 【考点题型八】解不含参数的一元二次不等式 方法总结：解一元二次不等式的步骤 1、画标准：通过对不等式的变形，使不等式的右侧为0，是二次项系数为正； 2、判别式：对不等式右侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； 3、求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根； 4、画草图：根据一元二方程根的情况画出对应的二次函数的草图； 5、写解集：根据图象写出不等式的解集． 【例8】（23-24高一上·江苏扬州·月考）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】不等式即，解得， 故不等式的解集是，故选：D 【变式8-1】（23-24高一上·江苏平潮·月考）不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由不等式，则，解得.故选：B. 【变式8-2】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）不等式的解集为 . 【答案】或 【解析】， 解得或， 故答案为：或 【变式8-3】（23-24高一上·江苏无锡·月考）不等式的解集为 ． 【答案】或． 【解析】变形得到，解得或 故答案为：或 【考点题型九】解含参数的一元二次不等式 方法总结：含参数的一元二次不等式讨论依据 1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 【例9】（23-24高一上·江苏徐州·月考）设集合，．若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因为函数图象的对称轴为直线，， 根据对称性可知，要使中恰含有一个整数，则这个整数为3， 所以有且， 即，即， 所以实数的取值范围为.故选：B 【变式9-1】（23-24高一上·江苏徐州·月考）（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于一元二次不等式，则 当时，函数开口向上，与轴的交点为， 故不等式的解集为； 当时，函数开口向下， 若，不等式解集为； 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为，故选：ACD 【变式9-2】（23-24高一上·江苏扬州·月考）关于的不等式的解集中恰有3个整数，写出符合题意的的两个值 ， . 【答案】； 【解析】当时，不等式即，则解集中有无数个整数，不符合题意； 故，则的解集中恰有3个整数， 即的解集中恰有3个整数， 当时，不等式的解集为或， 解集中有无数个整数，不合题意； 则，原不等式即为， 而，故不等式解集为， 不等式的解集中恰有3个整数，又， 故另外1个整数为或， 则或，解得或， 故答案为：， 【变式9-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【解析】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【考点题型十】解分式或高次不等式 方法总结： 1、解分式不等式的实质就是将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式． 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 2、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“奇过偶不过”； （5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 【例10】（23-24高一上·江苏苏州·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即即， ∴，得， ∴不等式的解集为.故选：A. 【变式10-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】不等式，解得.故选：C． 【变式10-2】（23-24高一上·江苏盐城·月考）不等式的解集是 -. 【答案】 【解析】不等式，即，即， 求得，故该不等式的解集是. 故答案为：. 【变式10-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）解下列关于x的不等式： (1) (2) (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1），令，则，原不等式为：， 即，或，即； （2）对于， 当时，，原不等式等价于， 等价于，解得或，即； 当时，，原不等式成立，所以是原不等式的一个解； 综上，原不等式的解集为； （3）对于，变形为，即，与同解， ，即； 【考点题型十一】三个“二次”间对应关系应用 方法总结： 1、在三个“二次”关系中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究； 2、讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题． 【例11】（23-24高一上·江苏苏州·月考）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式11-1】（23-24高一上·江苏扬州·月考）（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】ACD 【解析】由不等式和解集的形式可知，，且方程的实数根为或， 那么，所以， 所以，且，故A、C正确，B错误； 不等式， 即，解得:, 所以不等式的解集为，故D正确.故选：ACD 【变式11-2】（23-24高一上·江苏镇江·月考）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D． 【答案】AD 【解析】对于A项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即，故A项正确； 对于B项，由已知可得，3、4即为的两个解. 由韦达定理可得，，解得， 代入可得. 又，所以，所以解集为，故B项错误； 对于C项，由B知，，，， 代入不等式可得， 化简可得，解得， 所以，不等式的解集为，故C项错误； 对于D项，由已知可得，当时，有，故D项正确.故选：AD. 【变式11-3】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以是的两个根，且 所以，即， 所以变为， 所以，解得， 故答案为：. 【考点题型十二】一元二次不等式恒成立问题 方法总结：一元二次不等式恒成立问题的求解 利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题 （1）未说明不等式为一元二次不等式时，有 不等式对任意实数恒成立； 不等式对任意实数恒成立； （2）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是； （3）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是． 【例12】（23-24高一上·江苏淮安·月考）（多选）已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（    ） A．-2 B．0 C．3 D．7 【答案】BCD 【解析】当时，恒成立，满足要求， 当时，需满足，解得， 故实数的取值范围是，故A错误，BCD正确.故选：BCD 【变式12-1】（23-24高一上·江苏徐州·月考）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以恒成立， 不等式对一切恒成立等价于对一切恒成立. 当时，对一切恒成立， 当时，故，解得，， 综上：.故选：C. 【变式12-2】（23-24高一上·江苏南通·月考）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为.故选：B. 【变式12-3】（23-24高一上·江苏·月考）不等式的解集为，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】当时，恒成立，满足题意； 当时，由题知，解得. 综上，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$