湖南长沙市部分校2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题

2026年下学期高三10月质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B B A C D 题号 9 10 11 答案 BC ACD BCD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.【答案】B 【解析】因为A={x∈N|-1<x<3}={0,1,2},B={0,1,3},所以AUB={0,1,2,3},故选B. 2.【答案】C 【解析】因为a>b,c<0,由不等式的性质可得：当a=1,b=0,c=一1时，A选项错误；a十c>b十c,B选 项错误：ac>c,C选项正确：只<名，D选项错误，故选C 3.【答案】D 【解析】因为{an}是等比数列，所以a2·a8=a,故a2a5a8=a=64.故选D. 4.【答案】B 【解析已知函数(x)2的定义域为R,所以f(-x）2气2-，又因为函数 2x十1 2r+1 f(x)是偶函数，所以f(x)=f(一x),解得a=2,故B正确.故选B. 5.【答案】B 【解析】根据题意可得T=元→w=1,即f()=tan(tg),当r∈（一否，君则x十9∈ (-吾+9，晋+小由-受<<受，则-要≤-吾十<晋，且-吾<吾十g<经，又函数/（红）在 (一否，)上单调递增，所以 ,可得一骨<<号，故9的最小值为一于故选B 6.【答案】A 【解析】因为y=f(x十1)的图象关于点（一1,0）对称，所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数 f(x)为奇函数，所以f(x)=一f(-x),因为对Vx∈R,都有f(x)=f(2-x)成立，所以f(x十2) f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=一f(x+2)=f(.x),所以函数f(x)的周期为4，因为当0≤x≤1 时，f(.x)=3,所以f(1og3162)=f(1og3162-4)=f(log32)=312=2.故选A. 7.【答案C 【解析)sin50十sin70°)[sin(60°-10)+sin60+10)=2cOs18=多故选C. 1+c0s20° 1+2c0s210°-1 8.【答案】D 4 【解析】设a=b=x,(a,b>=0,则由2b-a=2可得，5.x-4xcos0=4,即x=-4os9所以 4sin 0 4sin 0 a☒b=xsin韦-4cos月设y韦-4c0sg则4sin9=5y-4ycos9,即4sinf+4ycos9=5y,所以根据 【高三数学参考答案第1页（共6页）】 T 辅助角公式，25y<华+16y,所以<专，即a⑧b的最大值为专故选D, 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】BC 【解祈】由十2>1，得一2<<-1.由必要不充分条件的定义知，需使一2<x<-1表示的范围是选项 范围的真子集，由选项知，{x一2<x<一1}是{xx≥一2}的真子集，也是{xx<一1}的真子集，故 选BC. 10.【答案】ACD 【解析】由f(x)=“。2,令∫(x)>0,可得函数f()的减区间为(a,十∞)，增区间为(-∞a),可得 fx)x=a)=己=1，可得a=0,A正确：由函数f(x)的诚区间为0，十oo,嘴区间为(-0,0)，可 得当m<n时fm)>fm),B错误由1og:号<log是<0，可得f(1og:号)Kf(log)C正 确：当-1长<1时，)-1-)=1+(x+1(x-1)=(x+1D(e+x-1)=(x十1D[e7 (-x)一1)]≥0（利用不等式e≥x十1），D正确.故选ACD. 11.【答案】BCD 【解析】由f(x)-g(x-4)=5,用x+4代入x得f(x十4)-g(x)=5,又f(2-x)+g(x)=3,两式相 加得f(x十4)+f(2-x)=8,由f(x十2)是偶函数，得f(2十x)=f(2-x),代入上式得f(x十4)+ f(2+x)=8,用x十2代入x得f(x+6)+f(4+x)=8,由此得到f(x)=f(x+4),又因为f(4十x) =f(一x),所以f(x)=f(一x),f(x)为偶函数，A选项错误； 由f(x)-g(x-4)=5,用x+2代人x得f(x十2)一g(x一2)=5，又f(2-x)十g(x)=3,两式相减 得g(x)十g(x一2)=-2，所以g(x一2)十g(x一4)=-2，因此g(x)=g(x一4)，即4是g(x)的一个 周期，B选项正确； 由f(2)十g(0)=3可得g(0)=1,所以g(4)=g(0)=1,由f(2)-g(-2)=5可得g(-2)=-3,所 以g(2)=g(一2)=-3，由f(1)+g(1)=3,f(1)-g(-3)=5,可得g(1)=g(-3)=-1,由f(3)十 8-)=3/3》-g-1)=5,可得g(-1D=-1,所以含g)=6×(-1-3-1+1D+(-1-3) 一28，C选项正确； 因为奇数的平方除4的余数为1，所以f(12+22+…+2025)=(1013)=f(1)=4,D选项正确.故 选BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】8 【解折✉+=(2x+D+g-1=(2,十号)加2x+D+]-1-(6+z+2少) -1≥ 5+2λ√2x+1 y .42+D-1=8,当且仅当x=1,y=6时取“=”，故2x十y的最小值为8. y 13.【答案】2 【解析】如图所示，延长AE,DC交于点P,:AC-=入AE+uAD,E是BC中点， 0 “A它=2A户，∴AC=XA它+AD=之A户+rAD,P,C,D三点共线. 2 μ=1，∴.λ+2μ=2. 【高三数学参考答案第2页（共6页）】 14.【答案】5 【解析】设函数g(x)-ln(√x十1十x),定义域为R, 又因为g(-x)+g(x)=ln(√/x2+1-x)+ln(√x2十1+x)=ln[(√x2+1-x)(√x2+1+x)]= ln1=0, 所以函数g(x)为奇函数： 又因为g(x)= 公1中行+刂)斤>0，所以而数在R上单调送指。 又因为f(x)=ln[√(x一1)+1十(x一1)]，以函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象向右平移1 个单位得到的，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，即f(x)十f(2一x)=0,且在R上也单 调递增. 因为数列{an}为等差数列，且f(a1)十f(a2)十f(a3)+f(a)+f(a)=0, 所以必有a1十as=a2十a4=2a3=2.下面用反证法证明. 假设a1十a5=a2十a4=2a3≠2， 当a1十a5=a2十a4=2a3>2时，则f(a3)>f(1)=0;由a1+a>2,则有a1>2-a5,所以f(a)>f(2 -a5)=-f(a),即f(a1)+f(as)>0;同理f(a2)+f(a4)>0,即有f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4) +f(a5)>0,与已知矛盾； 当a1+a5=a2十a4=2a3<2时，则f(a3)<f(1)=0;由a1+a5<2,则有a1<2-a5,所以f(a1)<f(2 一a5)=-f(a5),即f(a1)+f(a5)<0;同理f(a2)+f(aa)<0,即有f(a1)+f(a2)十f(a)+f(a4) +f(as)<0,与已知矛盾. 所以必有a1十a5=a2十a4=2a3=2,所以a1十a2十a3十a4十a5=5a3=5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.【答案】(1)一2(2)当a≥0时，单调递增区间为R,无单调递减区间；当a<0时，单调递增区间为 (ln(一a),十o∞)，单调递减区间为(-∞，ln(-a)) 【解析】(1)因为f(x)=e十a.x十2，… …3分 所以f(x)=e+a,所以f'(0)=1+a, 因为曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为3，可知切线的斜率k=tan3亚=-1， ……………………5分 所以1十a=一1，解得a=-2;… 6分 (2)f'(x)=十a,7分 当a≥0时，f(x)>0,单调递增区间为R,无单调递减区间；…9分 当a<0时，f(x)=0,则x=ln(-a),当x∈(-∞，ln(-a))时，f(x)<0,…10分 x∈(n(一a),+0∞)时，f'(x)>0,………11分 所以单调递增区间为(ln(一a),十∞)，单调递减区间为（一∞，ln(一a),…12分 综上所述，当a≥0时，单调递增区间为R,无单调递减区间；当a<0时，单调递增区间为(ln(一a), 十∞)，单调递减区间为（一∞，ln(一a)).……………13分 16.【答案11)3=45(21,2 10 【解析】(1)由题意知f(x)=5cosx十sinx=2sin(x+号)： ……………………………………2分 令fa)=2sim(e+)=号，所以sm(a+号)=寻 ………3分 又a∈(-，)所以a+∈(0，) …………………………………………………4分 【高三数学参考答案第3页（共6页）】 T 所以os(e+号）=√1-sim(e+智）=专 …5分 2 10 7分 (2)将函数f(x)的图象向右平移石个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的 2倍（纵坐标不变），得到g(x)=2sim(2x+晋) 10分 当xE[0]时，+吾∈[吾]： 12分 所以sim(分x+晋）e[21],2sin(分x+晋)∈[1,2]， 14分 即g(x)的值域为[1,2]. 15分 17.【答案】(1)f(x)在R上是增函数，证明详见解析(2)存在a=1,使得函数f(x)为奇函数(3)2√2-3 【解析】(1)f(x)在R上是增函数，……1分 证明：对￥<∈R)-)=(e2是）-(a2是 2 22(2-22) 29十121+1(21+10(29+1)… 2分 因为x<x2,所以21一2<0，所以f(x)-f(x2)<0,即f(x1)<f(2), 所以f(x)在R上是增函数；……………4分 2 2·2x 2 (2)f(-)=a2+=a-1十2，f)=a+2千' 5分 若f(x)为奇函数，则f(一x)=一f(x),……… 6分 即器=-42异侧a-32牛。 1+2xa=1, ………7分 验证)-1多(-名号-一).满足奇函数定义：… 8分 故存在a=1,使得函数f(x)为奇函数；…9分 (3)因为)=1异由不等式a≥兰得≤2泽 2+1' ……………10分 令2+1=[，5]（因为x∈[-2.2]），放w≤-1-2，D-4+2-3 …12分 令g)=1+号-3则g0)=1-是g)=0时1=士E,当∈[vE]时g)<0,当2,51 时，g'(t)>0,所以g(t)mm=9(W2)=2√2-3.… …14分 因此，当不等式f(x)≥号在x∈[-2,2]上恒成立时，wm=2厄-3. ……………15分 18【答秦1D证明见解析a,=9+1（2)0T。一3-号。 1 【解析】(1)当n=1时，2S1=2a1=3a1十2-6，解得a1=4;… …………1分 当n≥2时，由2Sn=3an+2n-6,得2Sm-1=3am-1+2(n-1)-6,所以2an=3am-3an-1十2，所以am= 30-12,… …3分 所以4，-1=3(a,1-1),又a-1=4-1=3,所以a,-1=3,所以{a,-1)是首项为3，公比为3的等比 a-1-1 数列，…5分 【高三数学参考答案第4页（共6页）】 工 所以4n-1=3·3”1=3”,所以an=3”十1；… 6分 20曲鬼=a2-±号=-1r(中-） …8分 anan+l 所以T,=6+6+么+6+“+61+6=-(h+3中)+（十中） (十)十（中十）…-（中十3中）+(+广+)= 1 ……………11分 ②当n为偶数时， 因为工=一}十是单调递减的，所以-←T.<-是 …13分 当n为奇数时， =(3+（十）十+（中十）+()= 1 11 3+1十1-43m+1十1' 又。=一是单遥的.因为>0，所以一≤T,<一子…15分 要使存在n∈N,使得入≥T,只需入≥(T,)m,即≥20： 故入的取值范围是一0，十∞ …17分 19.【答案】(1)(0，e2)(2)详见解析(3)详见解析 【解析】(1)f(x)=(x十+a)lnx,定义域：(0，+oo), 若函数f(x)=(x十a)lnx有两个极值点， 则有(x)=1nx十十=0在(0，十o∞)上有两个不相等变号根，…1分 令g(x)=f(x)=1nx++a=lnx+1+&,x>0,则g'(x)=二4， 当a≤0时，g'(x)≥0在(0，+o)上恒成立， 所以函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，所以f'(x)=0至多有一个实根，不符合题意；…2分 当a>0时， 令g'(x)=0,得x=a,当0<x<a时，g'(x)<0;当x>a时，g'(x)>0, 所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,十o∞)上单调递增，x=a时，f'(x)取最小值，且最小值为 l1na十2，又因为当x→0时，f(x)→十∞，当x→十∞时，f(x)>十∞，…3分 所以若f(x)=lnx十十0=0在(0，十o)上有两个不相等变号根，只需lna十2<0，即a<e.… …………………………………………………………………………4分 综上，当0<a<e2时，函数f(x)有两个极值点；…5分 (2)因为x1,2是函数f(x)的两个极值点，则有：n十1十&=0①，ln2十1十4=0②， a(x1-x2) ⑩②得：n-h-4=a1即n …6分 x2 x1 T1X2 要证2十子>务即证西十2,2无)。…7分 2a a 【高三数学参考答案第5页（共6页）】 2 即证，+2x>2·《,即证1+2>- 3(x1-x2) a In x-ln x2 因为0<x1<x2,即证：lnx1-lnx2< 3(x1-x2） x1+2x2 8分 1一1 即证：ln<3·一，令t=,且0<<1， 十2 C2 即证nt3(t20t）,… t+2 9分 令0=m-3行号0<<1. 则'()三}3十2)二t二卫=54因为0<1，所以(-5t+4)m>125X1+4=0 (t+2)2 所以h(t)>0,………10分 所以h(t)在(0,1)上单调递增，又因为0<t<1,所以h(t)<h(1)=0, 即n3》在01时成业，所以+之成这： 11分 (3)由(2)知，当0<<1时，l1n<312 t+2 n 取nN时，有n3.女) -3 n123n+2…13分 n+1 所以有h名<号，n号<专，n至h子2：…14分 n-3 则有1n+h号+1n+中n<号++子2 -3 ……15分 即n合×号×是x…X升)K-(信+g+片+中十2 ,…16分 17分 3 【高三数学参考答案第6页（共6页）】 T 2026年下学期高三10月质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．若，，则下列不等式正确的是 A． B． C． D． 3．已知是等比数列，若，则 A．4 B．16 C．24 D．64 4．已知函数是偶函数，则实数 A．1 B．2 C．0 D． 5．已知函数相邻零点间的距离为，且函数在上单调递增，则的最小值为 A． B． C． D． 6．已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则 A．2 B．0 C．1 D．3 7．的值为 A．1 B． C． D．2 8．已知向量，满足，定义，若，则的最大值为 A．2 B．4 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．“”的一个必要不充分条件是 A． B． C． D． 10．已知函数的最大值为1，则 A． B．当时， C． D．当时， 11．已知函数，的定义域均为，且，．若是偶函数，，则 A．是奇函数 B．4是的一个周期 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，，且，则的最小值为________． 13．在平行四边形中，是中点，，则________． 14．已知函数，数列为公差不为0的等差数列，若，则________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的倾斜角为，求的值； （2）求函数的单调区间． 16．（本小题满分15分） 已知函数． （1）若，且，求的值； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 17．（本小题满分15分） 对于函数． （1）判断函数的单调性并用定义证明； （2）是否存在实数使函数为奇函数？ （3）在（2）的条件下，函数为奇函数，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 18．（本小题满分17分） 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数有两个极值点，，且． （1）求实数a的取值范围； （2）证明：； （3）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $