2026-2027学年人教版九年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年人教版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第25章反比例函数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．已知一元二次方程，下列说法错误的是（     ） A．二次项系数是2 B．一次项系数是 C．是它的一个根 D．常数项是 2．若点，，都在二次函数的图象上，则（     ）． A． B． C． D． 3．关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 4．对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 5．如图，将抛物线沿轴向上平移得到一条新抛物线，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线扫过的面积为56(图中的阴影部分)，则新抛物线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 6．已知二次函数 （m为常数）在自变量x满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为6，则m的值为 （    ） A．0或 B．0或6 C．2或 D．2或6 7．如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（     ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要 B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 8．如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 10．已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，且，则的值为（    ） A． B． C． D．或 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．定义新运算：，例如：，，若，则x的值为________． 12．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_________ ． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，x的取值范围是____________． 14．抛物线交轴于点、．下列结论：①；②；③当时，无论取何值都有；④若时，抛物线交轴于点，且是等腰三角形，或；⑤抛物线交轴于正半轴，抛物线上的两点、且，，则；则其中正确的是______． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．则不等式的解集是_____． 16．如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（8分）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 m … (1)二次函数图象的开口方向___________，m的值___________，顶点坐标___________； (2)点在函数图象上，___________（填）； (3)求二次函数的解析式． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求m的值． (2)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 (3)已知是方程的两个根，在（1）的条件下，求的值． 20．（9分）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． (1)借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ (2)若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 21．（9分）在力（单位：）的作用下，若物体会在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足，当为定值时，与之间的函数关系如图所示． (1)当力为时，求所做的功； (2)写出关于的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 22．（10分）如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 23．（10分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点为反比例函数图象上一动点，连接，以，为邻边构造平行四边形． (1)求的值； (2)如图，过点作轴于点，若的边经过点时，求点坐标； (3)如图，当点在点左侧时，若的面积为，求点坐标． 24．（11分）如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线，点是直线上一点，其横坐标为，连接． (1)点的坐标___________，点的坐标___________，点C的坐标___________． (2)当点落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标； (3)以为邻边构造， ①当抛物线的对称轴将的面积分为两部分时，直接写出的值； ②当内的抛物线所对应的函数值随增大而增大时，直接写出的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第25章反比例函数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．已知一元二次方程，下列说法错误的是（     ） A．二次项系数是2 B．一次项系数是 C．是它的一个根 D．常数项是 【答案】B 【分析】把原方程化为一般式可判断A、B、D，再把代入原方程，看左右两边是否相等可判断C． 【详解】解：将方程化为一般形式为． ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为， 将代入原方程，左边，右边，左边右边， ∴是方程的根， ∴四个选项中，只有B选项说法错误，符合题意． 2．若点，，都在二次函数的图象上，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的横坐标代入二次函数解析式，求出对应纵坐标后比较大小． 【详解】解：将各点横坐标代入，得，，， ∵， ∴． 3．关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】先确定反比例函数的比例系数k，再结合其定义、性质及图象上点的坐标特征逐一判断． 【详解】解：∵， ∴该函数是反比例函数，其中，故A正确，不符合题意； ∴函数图象位于第二、四象限，且当时，随的增大而增大，故B、D正确，不符合题意； 将代入，得，故C错误，符合题意． 4．对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 【答案】B 【分析】将各条件转化为与的关系，代入判别式判断符号，不能直接推导的举反例排除． 【详解】解：一元二次方程（）有实数根的条件是， ① 若，则，代入得， ∴方程有实数根，①符合要求； ② 若，取，，，满足，此时，方程无实数根，②不符合要求； ③ 若，则，代入得， ∵， ∴， 又， ∴，方程有实数根，③符合要求； 综上，正确条件为①③． 5．如图，将抛物线沿轴向上平移得到一条新抛物线，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线扫过的面积为56(图中的阴影部分)，则新抛物线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】曲线扫过的面积，则，即可求解． 【详解】解：曲线扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移8个单位，则，即． 6．已知二次函数 （m为常数）在自变量x满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为6，则m的值为 （    ） A．0或 B．0或6 C．2或 D．2或6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质（顶点式、x的范围内的最值），解题的关键是根据对称轴与自变量x的范围的位置关系分情况讨论． 由二次函数开口向上，对称轴为，顶点纵坐标为2（最小值），但题目中最小值为6，故对称轴不在这个范围内；分（时取最小值）和（时取最小值）两种情况，代入函数求并验证． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为，顶点纵坐标为2． ∵时，的最小值为， ∴不在这个范围内． ①当时，时取最小值，代入得， 即， 解得或（舍去）． ②当时，时取最小值，代入得， 即， 解得（舍去）或． 综上，或6， 故选：B． 7．如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（     ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要 B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 【答案】B 【分析】分别求出喷雾阶段函数解析式为，喷雾结束后函数解析式为，再结合反比例函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； 设喷雾结束后函数解析式为， 由题意得， 解得， 此阶段函数解析式为； A、在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意； B、每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是，故此选项符合题意； C、喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项不符合题意； D、在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意． 8．如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式可得：，根据平行四边形的性质可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点 在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， ，， ， 点在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， 则，， , ， 四边形是平行四边形， ， ． 9．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求出，，得到，证明是等腰直角三角形，则，得到，进一步求出． 【详解】解：当时，，则， 由图象可知，， 故， 当时，， 解得， ∴， 则， ∵抛物线关于轴对称， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 10．已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，且，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先由判别式得出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数关系得到，代入解方程即可求解． 【详解】解：已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，， ，即与同号，则： 当时，，解得，则解集为； 当时，，解得，则解集为； 综上所述，的解集为或， 已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，则当时，， ， ，， ， ，即，解得，， 或， 舍去，取， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数与轴的交点，涉及交点格式个数与判别式的关系、一元二次方程根与系数关系等知识，理解函数与方程的关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．定义新运算：，例如：，，若，则x的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程、解一元一次方程，理解新运算，分类讨论是解答的关键．分和两种情况列方程求解即可． 【详解】解：由题意，分两种情况： 当时，，则； 解得（舍去），， 当时，，解得； 综上，x的值为或． 故答案为：或． 12．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_________ ． 【答案】 【分析】利用对称性找出抛物线与轴的另一个坐标，再根据图象作答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的其中一个交点为 ∴根据对称性，抛物线与轴的另一个坐标为， ∴由题意可得：时，的取值范围为： ． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】首先利用点的坐标求出反比例函数解析式，进而求出点的横坐标，然后观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的的取值范围． 【详解】解： 反比例函数 的图象经过点 ， ， 反比例函数的解析式为， 点 在反比例函数的图象上， ， ， 点的坐标为， 当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， 由图象可知， 的取值范围是或． 14．抛物线交轴于点、．下列结论：①；②；③当时，无论取何值都有；④若时，抛物线交轴于点，且是等腰三角形，或；⑤抛物线交轴于正半轴，抛物线上的两点、且，，则；则其中正确的是______． 【答案】①③⑤ 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与轴交于点、，可知二次函数的对称轴为直线，即，可得与的关系，可判断①；根据对称轴公式，将点代入可得、的关系，即可判断②；函数开口向下，时取得最大值，可判断③；由图象知时，当时，两种情况利用勾股定理即可求得的值，可以判断④；根据抛物线图象上点的坐标特征即可判断⑤． 【详解】解：①二次函数与轴交于点、． 二次函数的对称轴为，即， ．故①正确； ②二次函数与轴交于点、． ，， 又． ， ．故②错误； ③， 抛物线开口向下． 时，二次函数有最大值． ． 即．故③正确； ④由图象可得，． 当时，则，解得， 当时，则，解得 故是等腰三角形时，或，故④错误； ⑤∵抛物线交轴于点、，交y轴于正半轴， ∴开口向下， ∵，， ∴点E在点F左侧，EF中点横坐标为， 则EF中点在对称轴右侧， ∴点，比，更接近对称轴， ，故⑤正确； 故答案为①③⑤． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．则不等式的解集是_____． 【答案】或 【分析】求出点、的坐标分别为，解得，整理得，令，求出函数图象交点的横坐标为和，根据图象求出不等式的解集． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图象上，且横坐标分别为， ∴，， ∴点、的坐标分别为， ∵点、在一次函数的图象上， ∴ 解得， ∴不等式变为， 整理得， 令， 联立得到，解得或， ∴两函数图象的交点的横坐标为和， 如图， ∴不等式的解集是或． 16．如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______． 【答案】 【分析】观察图①、图②、图③中数字的个数变化，发现每秒增加的的个数构成公差为的等差数列，从而得出秒后数字之和的通项公式，列方程求解即可． 【详解】解：观察图形可知： 图①（秒）中数字的个数为，数字之和为； 图②（秒）中数字的个数为，数字之和为； 图③（秒）中数字的个数为，数字之和为； 由此发现，每过秒，增加的数字的个数比上一秒多个， 第秒增加个，第秒增加个，，第秒增加个， 则秒后数字的总个数为： ， 根据题意，得：， 整理得：， 即：， 解得：(舍去)， ∵数字不断增加， ． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）先移项，再利用直接开平方法解一元二次方程即可； （4）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 配方得，， 解得，即或， ，． （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （3）解：， 移项得，， 系数化为得，， 直接开平方得，， ∴，． （4）解：， ， ， ， 或， ∴，． 18．（8分）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 m … (1)二次函数图象的开口方向___________，m的值___________，顶点坐标___________； (2)点在函数图象上，___________（填）； (3)求二次函数的解析式． 【答案】(1)向上；5； (2) (3) 【分析】（1）由表格可见，函数的对称轴为，再根据抛物线的对称性求出m；然后根据在对称轴右侧，y随x的增大而增大，求出开口方向即可； （2）根据抛物线的对称性可得点在函数图象上，然后根据二次函数的性质解答即可； （3）设抛物线的顶点式为，根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由表格得：当和时，函数值，相等， ∴函数的对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等，即， ∵当时，， ∴顶点坐标为， 由表格得：当时，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向上； （2）解：∵函数的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵点在函数图象上， ∴点在函数图象上， ∵点在函数图象上，且， ∴； （3）解：设抛物线的顶点式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求m的值． (2)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 (3)已知是方程的两个根，在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)证明：， 无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． (3) 【分析】（1）把代入方程即可解答； （2）计算根的判别式，即可解答； （3）根据根与系数的关系可得，即可解答． 【详解】（1）解：方程有一个根为， ， 解得； （2）略 （3）解：根据根与系数的关系可得，， ∴， 当时，原式． 20．（9分）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． (1)借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ (2)若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)每件应降价10元． (2)当每件降价1元时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设每件降价元．根据“每件利润×销售量=总利润”列一元二次方程求解，结合尽快减少库存的要求选取降价更多的解． （2）设每件降价元，线上和线下的日利润总和为元分别表示线上、线下的日利润，求和得到总利润关于降价金额的二次函数，利用二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：设每件降价元． ∵线下每件利润为元，日销量为件， ∵总利润为1800元， ∴， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存，需日销量尽可能大， ∴， 答：每件应降价10元． （2）解：设每件降价元，线上和线下的日利润总和为元． ∵线下每件利润为元，日销量为件； 线上每件利润为元，日销量为100件， ∴， ， ． ∵且， ∴ ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为3310元． 答：当每件降价1元时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为3310元． 21．（9分）在力（单位：）的作用下，若物体会在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足，当为定值时，与之间的函数关系如图所示． (1)当力为时，求所做的功； (2)写出关于的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 【答案】(1) (2) (3)力大于 【分析】（1）观察函数图象及即可求解； （2）由函数图象过点，即可求出函数关系式； （3）求出当位移为时的力，根据反比例函数的性质即可求出力的取值范围． 【详解】（1）解：由函数图象知，函数图象过点， 即当力为时，位移为， 则所做的功； （2）解：由函数图象知，函数图象过点，， ∴； （3）解：当时，代入，得， 解得， 对于函数，当比例系数为正时，在第一象限内，函数值随自变量的增大而减小， 则当时，， 答：在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，力大于． 22．（10分）如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解； （3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， ∵在直线上， ∴， 解得； （2）解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，， ∴A、B关于原点对称， ∴， 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴，， 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、， 当时，； 当时，； ∴，， ∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴， ∴． 23．（10分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点为反比例函数图象上一动点，连接，以，为邻边构造平行四边形． (1)求的值； (2)如图，过点作轴于点，若的边经过点时，求点坐标； (3)如图，当点在点左侧时，若的面积为，求点坐标． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）由题意求得a的值，从而得点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数式中即可求解； （2）由题意得点B的坐标，求出直线的解析式，再与反比例函数解析式联立即可求解； （3）连接交于点D，分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为C、B，设，利用平行四边形的性质及面积关系即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴点在正比例函数的图象上， ∴， 即， 把代入中，得， 解得； 即k的值为4； （2）解：∵轴于点，且， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴直线的解析式的一次项系数为1， 设直线的解析式为，把代入得， 解得， 即直线的解析式为， 由（1）知反比例函数解析式为， 联立得，消去y，得， 解得（舍去）， 把代入，得， 则， 即点P的坐标为； （3）解：如图，连接交于点D，分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为C、B，设，其中，， 则，消去m，得， 即①， ∵， ∴， 即， 整理得② 把②代入①，整理得， 解得， 而由得，， 当时，，此时； 当时，，不符合题意，舍去， 即点P的坐标为． 24．（11分）如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线，点是直线上一点，其横坐标为，连接． (1)点的坐标___________，点的坐标___________，点C的坐标___________． (2)当点落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标； (3)以为邻边构造， ①当抛物线的对称轴将的面积分为两部分时，直接写出的值； ②当内的抛物线所对应的函数值随增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①或；②或 【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点的坐标，令则可求得、的坐标； （2）由、的坐标可求得直线的解析式为，根据抛物线对称轴为，可求得点坐标． （3）①对称轴是竖直线，把平行四边形截出的小三角形以上的截段为竖直底、（）到的水平距离为高，面积比即小三角形=整个平行四边形的，避免求交点坐标后用复杂面积公式． ②先确定夹住图形的两条平行线与之间的抛物线只有两段左段（递增）与右段（递减）．问题即“递减弧不得进入平行四边形”，用两个临界位置（M与B重合、N落在抛物线上）卡出范围，与分类讨论． 【详解】（1）解：对于，令，则， ∴， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点， 设的解析式为，过点和， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当点落在抛物线的对称轴上时，即时，代入得， ∴点． （3）①解：∵点是直线上一点，其横坐标为， ∴， ∴直线解析式为， ∵，， ∴以为邻边构造， ∴． ∴， 当（需，否则图形最右端不到），如图：直线与（即直线）交于，与交于． ∴竖直底， M到直线的水平距离， ∴， 当抛物线的对称轴将的面积分为两部分时，即： ， 解得：，（，不合题意舍去） 当（需），平行四边形的最右端是，如图： 直线解析式为，直线解析式为， 直线与交于，与交于． 竖直底， N到直线的水平距离， ∴， 当抛物线的对称轴将的面积分为1：7两部分时，即： ， 解得：，（，不合题意舍去） ∴综上所述：或． ②抛物线在时y随x增大而增大． 夹住平行四边形上下两边的两条平行线是和直线，抛物线夹在这两线之间的部分只有两段： 当时， 临界一（右端）：M与B重合，．当时，B右侧那段"递减"的弧进入平行四边形，不合要求；所以必须． 临界二（左端）：恰好落在抛物线上．把代入抛物线：，即， 解得：，（不合题意）． ∴． 当时：N在第四象限、M在第二象限，左侧递增弧始终在平行四边形内，在抛物线内部， ∴m的取值范围：． 综上所述：的取值范围或． 【点睛】1．待定系数法求解析式时，含参点要先代点再定形，注意系数分子分母的符号． 2．竖直（水平）线段作底、水平（竖直）距离作高，是处理“直线截图形面积比”的最优建式方式． 3．含参动点问题：面积类按参数正负分类；单调性类抓“临界位置”定边界，最后回扣端点开闭是否使图形退化． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $