精品解析：甘肃省清水县第三中学2024-2025学年九年级上学期第二阶段检测数学试卷

清水三中2024-2025学年度第一学期第二阶段检测 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 瓜熟蒂落 C. 守株待兔 D. 旭日东升 3. 图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A. 点P B. 点O C. 点M D. 点N 4. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 6. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 7. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段和的端点都在网格线的交点上．若与相交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 10. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算的结果为________． 12. 是锐角，且，则________． 13. 为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 85 落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.085 试估计“点落入圆形区域内”的概率____(精确到0.01) ． 14. 如图，若，且，，．则______． 15. 在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的人是_____人． 16. 如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）． 三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知，求的值． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在平面直角坐标系中，，，网格中每个小正方形的边长均为1． （1）按要求作图：以原点O为位似中心，画出，使与的相似比为，且与在原点异侧； （2）直接写出点，的坐标． 21. 如图是某仓库货物传送带的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，仓库计划改造传送带与地面的夹角，使其中原来的减小为，已知原来传送到长为5米． （1）求新传送带的长度． （2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距多远？ 22. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 四、解答题（本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看． （1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是_________； （2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由（用树状图或列表法）． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 25. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 26. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 27. 【问题初探】 （1）数学活动课上，小明通过拼摆直尺和三角尺，发现了一些图形之间的特殊关系． ①如图1，将含角的三角尺的直角顶点O放在直尺边上，过斜边端点A，C向直尺的边缘作垂线，垂足分别为B，D，小明发现无论怎样调整三角尺的角度，与始终相等，并且线段，． ②如图2，换成含角的三角尺时，小明发现与还始终相等，而线段与，与不再相等，但，都等于．请求出的值． 【类比分析】 （2）王老师发现小明在学习时善于观察，只乐于思考.便想进一步考查小明是否能将探索的方法与发现的结论迁移到解决新的问题中去，于是提出以下问题： 如图3，在正方形中，点E为边上一点，连接，将沿翻折，点A落在点F处，延长交于点G，连接，过点G作，交的延长线于点M，过点M作的垂线，垂足为N． ①求的度数； ②求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在正方形中，，点E为的中点，连接，将沿翻折，点A落在点F处，直线交于点P，点Q在射线上，连接，，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清水三中2024-2025学年度第一学期第二阶段检测 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：在中，，， 所以，则， 故选：B． 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 瓜熟蒂落 C. 守株待兔 D. 旭日东升 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、水中捞月是不可能事件； B、瓜熟蒂落是必然事件； C、守株待兔是随机事件； D、旭日东升是必然事件； 故选：A． 3. 图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A. 点P B. 点O C. 点M D. 点N 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上． 解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上， 因为点P在直线MN上， 所以点P为位似中心． 故选A． 考点：位似变换． 4. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，熟练掌握比例式和等积式的互化是解题的关键．根据比例式和等积式的互化，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； B、由，得，与已知相符，故此选项比例式成立，符合题意； C、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； D、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意． 故选：B． 5. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 6. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解题的关键．要使代数式有意义，需满足分子中的根式有意义且分母不为零，即且，即可得到答案． 【详解】解：要使代数式有意义， 则且， 解得：且． 故选：D． 7. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据两角分别相等的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，逐项进行判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵，， ∴，故A选项能判定，不符合题意； B、∵，， ∴，故B选项能判定，不符合题意； C、由，不能判定， 因为两边成比例且夹角相等的两个三角形才能判定相似，故C选项不能判定，符合题意； D、∵，， ∴，故D选项能判定，不符合题意； 故选：C． 8. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案． 【详解】解：设袋子中红球有x个， 根据题意，得： 解得 答：袋子中红球有5个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段和的端点都在网格线的交点上．若与相交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求正切值，平行四边形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．取格点F，连接、，根据网格的特点可推出四边形为平行四边形，从而得到，然后根据勾股定理的逆定理可得，即可求得． 【详解】解：取格点F，连接、，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ，，， ， ， ． 故选：B． 10. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可知，得到，根据相似三角形的性质得到，即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ 解得：． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算的结果为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理． 【详解】解： 故答案为：1 【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 12. 是锐角，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数和勾股定理，解题的关键是掌握根据已知三角函数值确定直角三角形的三边．根据题意画出图形，设，则，然后由勾股定理求得得，再利用三角函数的正切即可求解． 【详解】解：如图，，， 则， 设，则， ， ， 故答案为：． 13. 为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 85 落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.085 试估计“点落入圆形区域内”的概率____(精确到0.01) ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“点落入圆形区域内”的频率逐渐稳定到附近， 所以估计“点落入圆形区域内”的概率为， 故答案为：． 14. 如图，若，且，，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 根据，先计算，然后即可求解． 【详解】解：∵，， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的人是_____人． 【答案】10 【解析】 【分析】设参加这次聚会的人是x人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设参加这次聚会的人是x人， 依题意得45， ∴x2﹣x﹣90＝0， ∴x＝10或x＝﹣9(负值舍去)． 答：参加这次聚会的人是10人． 故答案为：10 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 16. 如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长交l于点H，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键． 【详解】解：延长交l于点H，连接，如图所示： 在中，， ， 即， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】． 18. 已知，求的值． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，通过“设法”表示出、、是解题的关键．设，那么，，，然后代入求解即可． 【详解】解：设 那么，，， 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，根据分式的运算法则化简原式是解题的关键．先运算括号内的分式减法，再把除法转化成乘法，利用平方差公式运算，然后约分化简，最后将x的值代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 20. 在平面直角坐标系中，，，网格中每个小正方形的边长均为1． （1）按要求作图：以原点O为位似中心，画出，使与的相似比为，且与在原点异侧； （2）直接写出点，的坐标． 【答案】（1） 解：如图：即为所求； ． （2）， 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质确定对应点，然后顺次连接即可解答； （2）直接根据（1）的作图写出点，的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图是某仓库货物传送带的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，仓库计划改造传送带与地面的夹角，使其中原来的减小为，已知原来传送到长为5米． （1）求新传送带的长度． （2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距多远？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）过点A作交延长线于D，先解得到米，再解可得米； （2）先解得到米，再解可得米，据此可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作交延长线于D， 在中，米， ∴米， 在中，， ∴米； 【小问2详解】 在中，米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴新旧货物传送带着地点B、C之间相距米． 22. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ，即， 在和中，， ； （2）9． 【解析】 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】证明：（1）略 （2）由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 四、解答题（本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看． （1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是_________； （2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由（用树状图或列表法）． 【答案】（1）；（2）游戏是公平 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）用列表法表示出有等可能的结果数和配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是， 故答案为：； （2）这个游戏公平，理由如下： 用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种， ， ， 因此游戏是公平． 【点睛】本题考查游戏公平性，列表法或树状图法求随机事件的发生的概率，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的前提． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1） ∵， ∴， ∵，而， ∴， ∴方程总有两个不等的实数根； （2）m的值为，方程的另一个根是6 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，将代入原方程求出m的值是解题的关键． （1）将方程转化为一般式，然后得出根的判别式，得出判别式为非负数得出答案； （2）将代入方程求出m的值，然后根据解方程的方法得出另一个根. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵方程的一个根是1，代入原方程， ∴， 解得：， ∴原方程为：， 解得：． 即m的值为，方程的另一个根是6． 25. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】（1）2s或4s；（2）当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【解析】 【分析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，依据△PCQ的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值． （2）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可． 【详解】（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2． 由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm， 则（6﹣x）•2x＝8， 整理得x2﹣6x+8＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2． （2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝6﹣t，QC＝2t． 当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝， 解得：t＝． 当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝， 解得：t＝． 综上所述，当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．关键在于读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程求解． 26. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 【答案】（1）7米；3米 （2）18平方米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 27. 【问题初探】 （1）数学活动课上，小明通过拼摆直尺和三角尺，发现了一些图形之间的特殊关系． ①如图1，将含角的三角尺的直角顶点O放在直尺边上，过斜边端点A，C向直尺的边缘作垂线，垂足分别为B，D，小明发现无论怎样调整三角尺的角度，与始终相等，并且线段，． ②如图2，换成含角的三角尺时，小明发现与还始终相等，而线段与，与不再相等，但，都等于．请求出的值． 【类比分析】 （2）王老师发现小明在学习时善于观察，只乐于思考.便想进一步考查小明是否能将探索的方法与发现的结论迁移到解决新的问题中去，于是提出以下问题： 如图3，在正方形中，点E为边上一点，连接，将沿翻折，点A落在点F处，延长交于点G，连接，过点G作，交的延长线于点M，过点M作的垂线，垂足为N． ①求的度数； ②求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在正方形中，，点E为的中点，连接，将沿翻折，点A落在点F处，直线交于点P，点Q在射线上，连接，，若，求线段的长． 【答案】（1）② （2）①； ②证明，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 由①可知， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）②通过，再证明，从而得到，算出； （2）①先证明，由题意可知，从而得到，，通过，可得到；②通过，，可知为等腰直角三角形，再证明，结合，即可得出结论； （3））连接，先证明，再证明，推出，接着证明，，得到，再证明，结合勾股定理，求得，最后通过求得答案． 【详解】解：（1）②，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）①四边形是正方形， ，， 将沿翻折，点A落在点F处， ， ，，， 延长交于点G， ， ，，， ， ， ， ， ， ； ②略 （3）连接，如图所示： 在正方形中，，点E为的中点， ，，， 将沿翻折，点A落在点F处， ，，，， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， （舍去负值）． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $