精品解析：河南洛阳理工学院附属高级中学2026-2027学年高一上学期摸底测试数学试卷

洛阳理工附中2029届高一年级摸底测试 数学 说明：本试卷满分150分，考试时间：120分钟，答案必须答在答题卡指定的区域，答在其它地方无效． 一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分．） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得正确的选项. 【详解】， 故选：D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】将全称量词改为存在量词，变量取值范围保持不变，否定结论，因此原命题的否定为 3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是 A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解出不等式，因为是不等式成立的一个充分不必要条件，所以满足是不等式的真子集即可． 【详解】因为，所以或，需要是不等式成立的一个充分不必要条件，则需要满足是的真子集的只有A,所以选择A 【点睛】本题主要考查了解不等式以及命题之间的关系，属于基础题． 4. 当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. {m|m<6} B. {m|m≤6} C. {m|m≥6} D. {m|m>6} 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为在上m<x＋恒成立，应用基本不等式求右式的最小值，即可知m的取值范围. 【详解】当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，即不等式m<x＋恒成立 ∴在上m<(x＋)min， 当x>0时，x＋≥2＝6，当且仅当x＝3时等号成立， ∴(x＋)min＝6，即m<6. 故选：A 5. 已知集合，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中的元素进行求解. 【详解】因为， 又且，则， 故选：D 6. 学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有（ ） A. 5名 B. 4名 C. 3名 D. 2名 【答案】B 【解析】 【分析】画出韦恩图，根据题意列出方程，求出三个小组都参加的人数，即可得解. 【详解】设三个小组都参加的人数为，只参加音乐科学的人数为，只参加音乐体育的人数为，只参加体育科学的人数为，作出韦恩图，如图， 由题意，， 即， 因为有12名学生只参加了2个兴趣小组，所以， 代入解得，即三个兴趣小组都参加的有5人， 所以参加兴趣小组的一共有人， 所以不参加所有兴趣小组的有人. 故选：B 7. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集求出、和的关系，代入不等式中，化简求出不等式的解集． 【详解】解：不等式的解集为， 方程的实数根为和2，且； ， 解得，； 则不等式变为， 即， 解得：， 所求不等式的解集为． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，属于基础题． 8. 对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称其为“取整函数”．已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例得到充分性不成立，由，得到，故必要性成立，得到答案. 【详解】A选项，充分性，，不妨令，满足， 但此时，，充分性不成立， 必要性，画出的图象，如下： 因为，所以，故，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B 二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得部分分，错选得0分，每题6分，共18分．） 9. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知可得，．然后根据不等式的性质，即可判断各项. 【详解】由已知可得，所以．又因为，所以． 对于A，因为，，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以，故B错误； 对于C，因为，，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，所以，故D错误. 故选：AC． 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例排除AC，利用作差法判断BD，从而得解. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为， 所以， 即，则，故B正确； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，， 则，即，则，故D正确. 故选：BD. 11. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若命题：某班所有男生都爱踢足球，则：某班至少有一个女生爱踢足球 B. “和都是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“一次函数“的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据命题的否定概念，可得答案； 对于B，根据无理数的定义，利用取特殊值的方法，可得答案； 对于C，根据必要不充分的条件的定义，可得答案； 对于D，根据一次函数的性质，可得答案. 【详解】对于A，若命题：某班所有男生都爱踢足球，则：某班至少有一个男生不爱踢足球，故A错误； 对于B，当时，即满足和都是无理数，则，即为有理数； 当时，即满足为无理数，则为有理数，为无理数. 可得“和都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，由，可得，则“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，由，即，当时，，当时，， 则直线过，由，则一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴； 若一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴，且直线过，则可得，解得. 综上，“”是“一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的充分必要条件，故D错误. 故选：ABD. 三、填空题（每题5分，共15分．） 12. 请写出的一个必要条件：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据必要条件的定义，寻找可由推导成立的命题即可. 【详解】因为必要条件的定义：对于两个命题，若，则称是的必要条件. 若，取，由不等式的传递性可知，当时必有， 即成立，因此是的一个必要条件. 其余满足“可推导其成立”的命题均符合要求，如、等. 13. 已知集合，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解． 【详解】解：集合奇数， 偶数， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 14. 已知实数x，y满足，且．则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，且，构造，再利用“1”的代换，转化为，利用基本不等式求解. 【详解】因为，且， 所以， ，当且仅当，即取等号. 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） 或. （2） . 【解析】 【分析】（1）先代入求出集合，再计算与的交集，最后求交集在实数集上的补集； （2）根据必要不充分条件推出是的真子集，分为空集和非空集两种情况列不等式求解参数范围. 【小问1详解】 当时，集合，， 故，所以或. 【小问2详解】 若是的必要不充分条件，则 ，分两种情况讨论： ① 当时，满足 ， 此时区间左端点大于等于右端点： ，解得； ② 当时，需同时满足： ， 解得， 当时，，满足 ， 综上，，则实数的取值范围是. 16. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值． 【答案】（1）8 （2）4 【解析】 【分析】（1）使用“1”的妙用和基本不等式求解； （2）分离参数后，将问题转化为恒成立，消元求解. 【小问1详解】 由题可知， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为8； 【小问2详解】 由，，，得， 将代入得， 所以要使恒成立， 则，即的最大值为4. 17. （1）已知，求证：； （2）已知，求的取值范围； （3）已知，求的取值范围． 【答案】（1）因为，所以,则． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质可证明该不等式. （2）先求出的范围，从而可求的取值范围. （3）根据可求的取值范围． 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 所以，所以. （3）已知， 因为，所以 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 19. 已知n元有限集，若，则称集合A为“n元和谐集”. （1）若集合是“二元和谐集”，求m的值； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】（1） （2）证明如下： 集合是“二元和谐集”，设， 则，可以看成一元二次方程的两正根， 则，解得（舍）或， 即，所以中至少有一个大于2. （3）存在，1个，理由如下： 设正整数集为“三元和谐集”，则， 不妨设，则，解得， 因为，，故只有，满足要求， 所以，得， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 【解析】 【分析】（1）根据n元和谐集的定义，令，求解即可. （2）通过构造一元二次方程利用判别式法证明即可. （3）设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，即可. 【小问1详解】 （1）若集合是“二元和谐集”，则， 解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳理工附中2029届高一年级摸底测试 数学 说明：本试卷满分150分，考试时间：120分钟，答案必须答在答题卡指定的区域，答在其它地方无效． 一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分．） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是 A. B. C. 或 D. 4. 当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. {m|m<6} B. {m|m≤6} C. {m|m≥6} D. {m|m>6} 5. 已知集合，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有（ ） A. 5名 B. 4名 C. 3名 D. 2名 7. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称其为“取整函数”．已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得部分分，错选得0分，每题6分，共18分．） 9. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若命题：某班所有男生都爱踢足球，则：某班至少有一个女生爱踢足球 B. “和都是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“一次函数“的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的既不充分也不必要条件 三、填空题（每题5分，共15分．） 12. 请写出的一个必要条件：______． 13. 已知集合，，则________. 14. 已知实数x，y满足，且．则的最小值为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值． 17. （1）已知，求证：； （2）已知，求的取值范围； （3）已知，求的取值范围． 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 19. 已知n元有限集，若，则称集合A为“n元和谐集”. （1）若集合是“二元和谐集”，求m的值； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $