河南洛阳市第一高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

洛阳一高2026级高一数学月考（2026.10) 考试时间：120分钟满分：150分 班级 姓名 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1.集合U=1,2,3,4,5,6,S={1,4,5},T={2,3,4},则S(CT)=() A.{1,4,5,6}B.1,5} c.{4 D.{1,2,3,4,5} 2.命题p:x>2,x2-1≥0，则p是() A.3x>2,x2-1<0 B.3x≤2，x2-1<0 C.3x≤2，x2-1>0 D.x≤2，x2-1≤0 3.下列结论正确的是() A.当x<2时，x+1 3之4 B.当x>0时，VE+4≥4 C.当x≥2时，x+2的最小值是25 D.当a>0时，a+1 的最小值为1 a+1 4.已知a,b为实数，则“a<b<0”是“ab<a2”的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知命题p:x∈[1,2]，x2-a≥0，命题q:3x∈R,x2+2+4=0。若命题p和命题q都是 真命题，则实数α的取值范围是() A.a≤-2或a=1 B.a≤-2或1≤a≤2 C.a≥1 D.a≥2 6.已知正实数x,y满足上+9=1时，有x+y≥m-6m恒成立，则m的最大值为() x y A.-8 B.-2 C.2 D.8 7.己知二次函数y=2+bx+c的图象如图所示，下列结论：① abc<0;②a+2b+4c≤0；③方程2+bx+c-4=0有两个相 等的实数根；④方程a(x-1)+b(x-1)+c=0的两根是x1=-2, x2=2。其中正确结论有()个。 A.1 B.2 C.3 D.4 洛阳一高2026级高一数学月考1页（共3页） 8.若a>0,b>0,c>0且b+c-1,则3b+a+4的最小值为() bc a+2 A.18V2 B.24 C.25 D.48V2 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知a,b,c,d∈R,则下列命题正确的是() A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若bc-ad>0,bd>0,则a+b<c+d b d C.若a<b<0,则Ba a b D若a>,日若则a>0,60 10.设全集U={x|x<10,x∈N),集合A,B三U。若A⌒B={3},An(CB)={1,5,7}, (CA)n(CB)={9},则() A.A=1,3,5,7} B.B={2,4,6,8} C.B的真子集个数为32 D.9(AUB) 11.己知实数x,y满足x2+4y2-2xy=1,则() Aws时 C.x+2y≥-2 D.x2+42≥3 23 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） l2.已知集合A={L,ab},B={a,a2,b},且A=B,则a的值为 13.不等式(x2-3x-4)(9-x2)<0的解集为 14.若关于x的不等式x2+(m+2)x+2<0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分， 共77分) 15.己知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-+a-1=0},C={x|x+2=0}。 (1)若A⌒C=C,求实数m的取值范围： (2)命题p:“x∈B,都有x∈A”,若命题p为真命题，求实数a的值。 16.己知全集U=R,集合A={xx2-4x+3≤0}，B={x|x-3<1}, C={x|2a≤x≤a+2},其中a∈R。 洛阳一高2026级高一数学月考2页（共3页） (1)求AUB,AOB: (2)若BUC=B,求a的取值范围。 17.已知关于x的不等式x2-2x+6k<0(k≠0)。 (1)若不等式的解集是x≠，求k的值： (2)若不等式的解集是R,求k的取值范围； (3)若不等式的解集是②，求k的取值范围。 8.1)求不等式父2≤1的解集， (2)解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0(a∈R) 19.己知函数y=2+br+c。 (1)关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x-1<x<3}, 求关于x的不等式bx2-a(c-2)x-3a2≥0的解集： (2)已知a>0,b>0,当x=2时，y=2ab+c, 正实数a,b,使不等式tP+3-口名>0有解，求t的 ②求地+160的最小值。 b-2a-1 洛阳一高2026级高一数学月考3页（共3页） 洛阳一高2026级高一数学月考（2026.10） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级____________ 姓名____________ 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．集合 ，，，则 （ ） A． B． C． D． 2．命题 ：，，则 是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．下列结论正确的是（ ） A．当 时， B．当 时， C．当 时， 的最小值是 D．当 时， 的最小值为 4．已知 ， 为实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知命题 ：，，命题 ：，。若命题 和命题 都是真命题，则实数 的取值范围是（ ） A． 或 B． 或 C． D． 6．已知正实数 ， 满足 时，有 恒成立，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程 有两个相等的实数根；④方程 的两根是 ，。其中正确结论有（ ）个。 A． B． C． D． 8．若 ，， 且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知 ，，，，则下列命题正确的是（ ） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，则 D．若 ，，则 ， 10．设全集 ，集合 ，。若 ，， ，则（ ） A． B． C． 的真子集个数为 D． 11．已知实数 ， 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知集合 ，，且 ，则 的值为______． 13．不等式 的解集为______． 14．若关于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是______． 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分） 15．已知集合 ，，。 （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）命题 ：“，都有 ”，若命题 为真命题，求实数 的值。 16．已知全集 ，集合 ，， ，其中 。 （1）求 ，； （2）若 ，求 的取值范围。 17．已知关于 的不等式 （）。 （1）若不等式的解集是 ，求 的值； （2）若不等式的解集是 ，求 的取值范围； （3）若不等式的解集是 ，求 的取值范围。 18．（1）求不等式 的解集； （2）解关于 的不等式 （） 19．已知函数 。 （1）关于 的不等式 的解集为 ， 求关于 的不等式 的解集； （2）已知 ，，当 时，， ①若存在正实数 ，，使不等式 有解，求 的取值范围； ②求 的最小值。 洛阳一高2026级高一数学月考 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $洛阳一高2026级高一数学月考（2026.10) 参考答案与解析 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1.集合U={1,2,3,4,5,6,S=1,4,5},T={2,3,4},则Sn(CT)=() A.{L,4,5,6}B.{1,5} c.{4 D.1,2,3,4,5} 【答案】B 【分析】先由补集的定义求出C,T,再与S求交集。 【解答】因为U=红，2,3,4,5,6}，T={2,3,4},所以CT=1,5,6。又S=红，4,5}，所以 SO(CuT)={L,5}。故选B。 2.命题p:x>2,x2-1≥0，则p是() A.3x>2,x2-1<0 B.3x≤2，x2-1<0 C.3x≤2，x2-1>0 D.x≤2，x2-1≤0 【答案】A 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：改量词，否结论。 【解答】将“x>2”改为“x>2”,将“x2-1≥0”否定为“x2-1<0”,得一p:r>2,x2-1<0。故选 A。 3.下列结论正确的是() 4:当x<2时，x+,24 B.当x>0时，+4≥4 C.当x≥2时，x+2的最小值是22 D.当a>0时，a+1 的最小值为1 a+1 【答案】B 【分析】逐项利用基本不等式，注意等号成立的条件以及变量的取值范围。 【解答】A项，令t=x-2<0,则x+1 +2=1+2+因为t<0,所以1+-2，从而+，1 2s0, 不可能大于等于4，A错误。 B项，因为x>0,所以+4≥24=4，当且仅当VR=2,即x=4时取等号，B正确。 C项，22时，x+2在2+∞上单调递增，最小值为2计号3，不是22.C错。 D项，a+a十1a+十≥2-11，但等号成立需a0,与a>0矛盾，因此没有最小值1，D 错误。故选B。 4.已知a,b为实数，则“a<b<0”是“ab<a2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 洛阳一高2026级高一数学月考参考答案1页（共9页） C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先把“ab<a等价变形，再分别判断充分性和必要性。 【解答】ab<a台a-ab<0台a(a-b)>0。若a<b<0,则a<0,a-b<0,所以a(a-b)>0,即 ab<a,充分性成立。 反之，取a=1,b=0,此时ab=0<2=1,但a<b<0不成立，必要性不成立。因此是充分不必要条 件，选A。 5.己知命题p:x∈[1,2]，x2-a≥0，命题q:3x∈R,x2+2a+4=0。若命题p和命题q都是 真命题，则实数α的取值范围是() A.a≤-2或a=1 B.a≤-2或1≤a≤2 C.a21 D.a22 【答案】D 【分析】先分别求出p、q为真时α的范围，再利用p为真得到p为假。 【解答】若p为真，则对任意x∈[1,2]，a≤x2恒成立，所以a≤1。因此p为真时，a>1。 若q为真，则方程x2+2m+4=0有实根，所以△=4a-16≥0，解得a≤-2或a≥2。 p与q都为真，需同时满足a>1且(a≤-2或a≥2)，所以a≥2。故选D。 6.已知正实数x,y满足1+9=1时，有x+y≥m-6恒成立，则m的最大值为() x v A.-8 B.-2 C.2 D.8 【答案】D 【分析】先用“1”的代换求x+y的最小值，再解关于m的一元二次不等式。 【解答】因为上+9=1，所以 +=6+9-10+士=≥10+26-16， 当且仅当上-9x,即y=3x时取等号；结合上+9=1得x=4,y=12,故最小值为16。 x V x V 由x+y≥m2-6m恒成立，得16≥m2-6,即m2-6-16≤0，(m-8)(m+2)≤0，解得-2≤1m≤8。 所以m的最大值为8，选D。 7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc<0;②a+2b+4c≤0；③方程 2+br+c-4=0有两个相等的实数根；④方程a(x-1)+b(x-1)+c=0的两根是X=-2,x3=2。 其中正确结论有()个。 洛阳一高2026级高一数学月考参考答案2页（共9页） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】由图象确定开口方向、零点和顶点，求出α，b,c,再逐条判断。 【解答】图象开口向下，所以a<0;与x轴交于(-1,0)，(3,0)，可设y=a(x+1)(x-3)。顶点横坐标 为1，纵坐标为4，所以-4a=4,a=-1。 于是y=-（x+1)(x-3)=-x2+2x+3,故b=2,c=3。 ①abc=(-1)×2×3=-6<0,正确： ②a+2b+4c=-1+4+12=15≤0，错误； ③方程2+br+c-4=0即-(x-1)=0,有两个相等的实根x=1,正确： ④令t=x-1,方程化为-t2+2t+3=0,解得t=-1或t=3,所以x=0或x=4,不是-2和2，错 误。 正确的有①③，共2个，选B。 8.若a>0,b>0,c>0且b+c=1,则3ab+4+4 的最小值为() bc a+2 A.182 B.24 C.25 D.48√2 【答案】B 【分析】先对b,c变形使用基本不等式，再对α使用基本不等式：注意两次等号能同时成立。 【解答】由b+c=1,b,c>0,得bc=b(1-b),且 (362+1)-6b(1-b)=9b2-6b+1=(3b-1)20, 所以欢为≥6，当且仅当-？c号时取等号。 bc b(1-b) 3 F是原式26at计2·令=a+2>2,则 6a+54 a+2 +54-12≥2324-12=24， =65+ 2 当且仅当6w=4,即53，a=1时取等号。此时6=c号 -3,等号可同时成立，故最小值为24， 选B。 洛阳一高2026级高一数学月考参考答案3页（共9页） 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知a,b,c,d∈R,则下列命题正确的是（) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若bc-ad>0,bd>0,则a+bc+d C.若a<b<0,则a a b D.若a>6,日行则a0,b0 【答案】BCD 【分析】逐项利用不等式的基本性质判断，注意不等式两边同乘或同除以一个数时符号的影响。 【解答】A项，取a=1,b=-2,c=-1,d=-3,满足a>b,c>d,但ac=-1,bd=6,ac>bd 不成立，A错误。 B项，由c-as0得c>ad,又bd0,两边同除以d,得台名所以名+1分1，即 b 行安，R宿 C项，a<b<0时，a<0,B>0,所议<0：而g0,放久<分，c确。 D项，上1b-0>0。因为a>b,所以b-4<0,从而b<0,即4b异号；又a>b,所以a>0, a b ab b<0,D正确。故选BCD。 10.设全集U={x|x<10,x∈N},集合A,B三U。若AOB=3},A∩(CB)=1,5,7}, (CA)n(CB)={9},则() A.A={1,3,5,7} B.B={2,4,6,8 C.B的真子集个数为32 D.9(AUB) 【答案】AD 【分析】先把全集具体写出来，利用交集、补集把A、B确定，再逐项判断。 【解答】U=1,2,3,4,5,6,7,8,9}。由A⌒B={3},A⌒(CB)={1,5,7},得 A=(A∩B)(A∩(CB)=红，3,5,7}，A正确。 又(GA)n(GB)=C(AUB)={9,所以AUB={1,2,3,4,5,6,7,8。 结合A={红，3,5,7}，得B={2,3,4,6,8,B选项漏了3，错误。 B有5个元素，其真子集个数为2-1=31，C错误。9EAUB,D正确。故选AD。 11.己知实数x,y满足x2+4y2-2y=1,则() A.w 1 3 洛阳一高2026级高一数学月考参考答案4页（共9页） C.x+2y≥-2 D.+4w号 【答案】ACD 【分析】用基本不等式、判别式以及配凑法判断；注意各选项的等号条件。 【解答】A项，若y>0,由x2+4y2≥4xy,得 1=t+4W-2y≥2，所以w≤行：若w≤0，则≤分显然成立。A正确。 B项，把等式看作关于x的二次方程x2-2x+4y2-1=0,由4=4y2-4(4y2-1)≥0，得1-3y2≥0， 即以9，不是B错误 C项，令t=x+2y,则x=t-2y,代入得12y2-6y+t2-1=0。由关于y的方程有实根， △，=36t2-48(t-1)≥0，即t≤4，所以-2≤t≤2，故x+2y≥-2，C正确。 D项，设u=+4,则1-1-2w。由4≤4，得2≤分所以-2w≤行 从面1=1-2w<兰同u号：当x=2y时可取等号.D正将。放旅A0D 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知集合A=红，ab},B={a,2,ab},且A=B,则a的值为 【答案】-1 【分析】由A=B得1∈B,按1在B中的来源分类讨论，并用集合元素的互异性排除增解。 【解答】因为A=B,所以1∈B。由B={a,a,ab},得a=1或a2=1或ab=1。 由集合元素的互异性，a≠1。 若a2=1,则a=-1。此时A={1,-1,b},B={-1,1,-b},由A=B得b=-b,即b=0,符合题意。 若ab=1,则B={a,a2,},由A=B得b=ad,于是ab==1,得a=1,与a≠1矛盾。 综上，a=-1。 13.不等式(x2-3x-4)(9-x2)<0的解集为 【答案】(（-∞，-3)U(-1,3)U(4,+∞) 【分析】先因式分解，再转化为四个一次因式乘积的符号问题，用数轴标根法写出解集。 【解答】原不等式可化为 (x-4)(x+1)(3-x)3+x)<0, 即-(x-4)(x+1)(x-3)(x+3)<0,所以 (x+3)(x+1)(x-3)(x-4)>0。 相应方程的根为-3，-1,3,4。由数轴标根法，符号为正的区间为(（-0，-3)，（1,3)，(4，+∞)， 洛阳一高2026级高一数学月考参考答案5页（共9页） 故解集为(（-m,-3)U(-1,3)(4,+∞）。 14.若关于x的不等式x2+(m+2)x+2<0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是 【答案】[-1,0)U(4,5] 【分析】因式分解得两根一2与-，按两根大小讨论，数出开区间内恰有的两个整数。 【解答】原不等式即(x+2)(x+m)<0,两根为-2和-。 当m=2时，不等式为(x+2)2<0,解集为空集，不合题意。 当m>2时，-m<-2,解集为(-m,-2)。要使其中恰有两个整数，这两个整数只能是-4，-3，故 -5≤-<-4，解得4<m≤5。 当m<2时，->-2，解集为(-2，-m)。要使其中恰有两个整数，这两个整数只能是-1,0，故 0<-m≤1，解得-1≤m<0。 综上，m的取值范围为「-1,0)(4,5]。 四、解答题（共5小题，共77分） 15.己知集合A={x|x2-3x+2=0},B={xx2-+a-1=0},C={x|x+2=0}。 (1)若A⌒C=C,求实数m的取值范围： (2)命题p:“x∈B,都有x∈A”,若命题p为真命题，求实数a的值。 【答案】(1){-2，-1,0}：(2)2或3 【分析】先化简A、B,再对C中m是否为0分类讨论：命题为真即B三A。 【解答】A={xx2-3x+2=0}=1,2}, B={x|x2-+a-1=0}={x|(x-1)(x-a+1)=0}=1,a-1}。 (1)A⌒C=C等价于C≤A。 当m=0时，C=②≤A,符合： 当m≠0时，C=-2},由2-1或-2=2，得m=-2或m=1。 J 所以m的取值集合为{-2，-1,03}。 (2)命题p为真，即x∈B,x∈A,亦即B二A。 因为1∈A,所以只需a-1∈{1,2}，解得a=2或a=3。 当a=2时，B={sA;当a=3时，B=1,2}二A,均符合。故a=2或a=3。 16.已知全集U=R,集合A={x|x2-4x+3≤0}，B={x|x-3<1}, C={x|2a≤x≤a+2},其中a∈R。 (1)求AUB,AOB: (2)若BUC=B,求a的取值范围。 【答案】(1)AUB=1,4),A∩B=(2,3]:(2)(1,2)U(2,+w) 洛阳一高2026级高一数学月考参考答案6页（共9页） 【分析】先解二次不等式和绝对值不等式，再根据C三B讨论C是否为空集。 【解答】由x2-4x+3≤0得1≤x≤3，所以A=1,3]；由k-3<1得2<x<4,所以B=(2,4)。 (1)AUB=[1,4),A∩B=(2,3]。 (2)BUC=B等价于CsB。 当2a>a+2,即a>2时，C=⑦∈B,符合： 当2a≤a+2,即a≤2时，C=[2a,a+2。要使Cs(2,4),需 2a>2且a+2<4,即a>1且a<2,所以1<a<2。 综上，a的取值范围为(1,2)U(2,+o)。 17.己知关于x的不等式2-2x+6k<0（k≠0)。 1、 (1)若不等式的解集是xx≠，求k的值： (2)若不等式的解集是R,求k的取值范围： (3)若不等式的解集是⑦，求k的取值范围。 【分析】二次不等式的解集由开口方向和判别式共同决定：解集为“除一个数外全体”需开口向下且△=0： 解集为R需开口向下且△<0：解集为空集需开口向上且△≤0。 【解答】因为k≠0，所以原不等式是二次不等式，且△=(-2)-4%-6k=4-242。 (1)解集为{xx≠)，说明抛物线开口向下且与x轴只有一个交点，故k<0且△=0。 由4-24-0得k=±6，结合k<0,得k=-6。 6 6 (2)解集为R,需k<0且△<0，即k<0且k2> 6:所以<-6 3)解集为②，需>0且4≤0，即k>0且≥所以k2V6 6 18.(1)求不等式2x+ ≤1的解集： X-2 (2)解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0（a∈R）。 【容案】1)32：2)当a<0时，解集为（合2当a=0时，解失为←m2:当0a<1时， 解集为（←m,2)2切：当a=1时，解集为x≠2y:当a>1时，解集为，引(2+n) a a 【分析】(1)移项、通分，转化为一次因式符号问题；(2)因式分解后，按α的符号以及两根2与 2的大小分类讨论。 洛阳一高2026级高一数学月考参考答案7页（共9页） 【解答】(1)2x+1≤1台2x+1-(《-2≤0台+3≤0。 x-2 x-2 x-2 所以-3≤x<2,解集为[-3,2）。 (2)当a=0时，原不等式为-2x+4>0,解集为(m,2)。 当a0时，m-2a++4=a4-2到-0. 若a<0,则子0<2，不等式等价于-2-引0，解类为（后 若0<a<1,则2<名解集为(2[后m 若a=1,则(x-2)>0,解集为{xx≠2。 若a>1,则子2，解案为〔引(+. 19.已知函数y=2+bx+c。 (1)关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x-1<x<3}, 求关于x的不等式bx2-a(c-2)x-3a≥0的解集： (2)已知a>0,b>0,当x=2时，y=2b+c, b ①若存在正实数a,b,使不等式tP+3t-a-2>0有解，求t的取值范围； 2 ②求4地，+16a的最小值。 b-2a-1 【答案】(1)当0<a号时，解集为 经：当a时，解宋为当a心时，解为 (2)①(-m,-4)U1,+∞)：②36 【分析】(1)由不等式解集确定α>0及方程的两根，再用因式分解解新不等式：(2)由x=2时的函 数值关系导出(a-1)(b-2)=2,再用基本不等式。 【解答】(1)因为a2+bx+c<0的解集为{x-1<x<3},所以a>0,且-1,3是方程 ax2+br+c=0的两根。 于是ar2+bx+c=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3),所以b=-2a,c=-3a。 代入得bx2-a(c-2)x-3a=-2a2-a(-3a-2)x-3a2≥0. 两边同除以a>0,得-2x2+(3a+2)x-3a≥0，即 2x2-(3a+2)x+3a≤0，亦即(2x-3a)(x-1)≤0。 两根为1和30。 2 洛阳一高2026级高一数学月考参考答案8页（共9页） 当0<a<名时，9<1，解集为 3 2 1: 当a=时，两根相等，解集为： 当a号时，兰1，解珠为] (2)当x=2时，y=4a+2b+c。由y=2ab+c,得4a+2b=2ab,即2a+b=ab,所以 b(a-)=2a,b=2a。 a-1 因为a>0,b>0,所以a-1>0,即a>1,且b=2+ a-19 0a号ata1a1+。1g122224 a-1 当且仅当a-1=1,即a=2,b=4时取等号。 要使P+31-a-b>0有解，只需2+3>4，即r+36-4>0,(t+4)t-1)>0, 2 解得t<-4或t>1,所以t的取值范围为(-m,-4)(1,+∞)。 ②令u=4-1>0,y=b-2>0。由b=2+2得v=2,即m=2。 a-1 4b+160_4(v+2）+16u+1-4+8+16+16=20+8+16 b-2 a-1 v 又8=4u,16=8r,所以原式=20+41+8≥20+232n=20+2N64=36。 1 当且仅当4u=8,即u=2y,结合=2得v=1,u=2,此时a=3,b=3,等号成立。故最小值为 36。 洛阳一高2026级高一数学月考参考答案9页（共9页） 洛阳一高2026级高一数学月考（2026.10） 参考答案与解析 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．集合 ，，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由补集的定义求出 ，再与 求交集。 【解答】因为 ，，所以 。又 ，所以 。故选 B。 2．命题 ：，，则 是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：改量词，否结论。 【解答】将“”改为“”，将“”否定为“”，得 ：，。故选 A。 3．下列结论正确的是（ ） A．当 时， B．当 时， C．当 时， 的最小值是 D．当 时， 的最小值为 【答案】B 【分析】逐项利用基本不等式，注意等号成立的条件以及变量的取值范围。 【解答】A 项，令 ，则 。因为 ，所以 ，从而 ，不可能大于等于 ，A 错误。 B 项，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，B 正确。 C 项， 时， 在 上单调递增，最小值为 ，不是 ，C 错误。 D 项，，但等号成立需 ，与 矛盾，因此没有最小值 ，D 错误。故选 B。 4．已知 ， 为实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先把“”等价变形，再分别判断充分性和必要性。 【解答】。若 ，则 ，，所以 ，即 ，充分性成立。 反之，取 ，，此时 ，但 不成立，必要性不成立。因此是充分不必要条件，选 A。 5．已知命题 ：，，命题 ：，。若命题 和命题 都是真命题，则实数 的取值范围是（ ） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出 、 为真时 的范围，再利用 为真得到 为假。 【解答】若 为真，则对任意 ， 恒成立，所以 。因此 为真时，。 若 为真，则方程 有实根，所以 ，解得 或 。 与 都为真，需同时满足 且 或 ，所以 。故选 D。 6．已知正实数 ， 满足 时，有 恒成立，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用“”的代换求 的最小值，再解关于 的一元二次不等式。 【解答】因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号；结合 得 ，，故最小值为 。 由 恒成立，得 ，即 ，，解得 。所以 的最大值为 ，选 D。 7．已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程 有两个相等的实数根；④方程 的两根是 ，。其中正确结论有（ ）个。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象确定开口方向、零点和顶点，求出 ，再逐条判断。 【解答】图象开口向下，所以 ；与 轴交于 ，，可设 。顶点横坐标为 ，纵坐标为 ，所以 ，。 于是 ，故 ，。 ① ，正确； ② ，错误； ③ 方程 即 ，有两个相等的实根 ，正确； ④ 令 ，方程化为 ，解得 或 ，所以 或 ，不是 和 ，错误。 正确的有①③，共 个，选 B。 8．若 ，， 且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对 变形使用基本不等式，再对 使用基本不等式；注意两次等号能同时成立。 【解答】由 ，，得 ，且 ， 所以 ，当且仅当 ， 时取等号。 于是原式 。令 ，则 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号。此时 ，，等号可同时成立，故最小值为 ，选 B。 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知 ，，，，则下列命题正确的是（ ） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，则 D．若 ，，则 ， 【答案】BCD 【分析】逐项利用不等式的基本性质判断，注意不等式两边同乘或同除以一个数时符号的影响。 【解答】A 项，取 ，，，，满足 ，，但 ，， 不成立，A 错误。 B 项，由 得 。又 ，两边同除以 ，得 ，所以 ，即 ，B 正确。 C 项， 时，，，所以 ；而 ，故 ，C 正确。 D 项，。因为 ，所以 ，从而 ，即 异号；又 ，所以 ，，D 正确。故选 BCD。 10．设全集 ，集合 ，。若 ，， ，则（ ） A． B． C． 的真子集个数为 D． 【答案】AD 【分析】先把全集具体写出来，利用交集、补集把 、 确定，再逐项判断。 【解答】。由 ，，得 ，A 正确。 又 ，所以 。 结合 ，得 ，B 选项漏了 ，错误。 有 个元素，其真子集个数为 ，C 错误。，D 正确。故选 AD。 11．已知实数 ， 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】用基本不等式、判别式以及配凑法判断；注意各选项的等号条件。 【解答】A 项，若 ，由 ，得 ，所以 ；若 ，则 显然成立。A 正确。 B 项，把等式看作关于 的二次方程 ，由 ，得 ，即 ，不是 ，B 错误。 C 项，令 ，则 ，代入得 。由关于 的方程有实根， ，即 ，所以 ，故 ，C 正确。 D 项，设 ，则 。由 ，得 ，所以 ， 从而 ，即 ；当 时可取等号。D 正确。故选 ACD。 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知集合 ，，且 ，则 的值为______． 【答案】 【分析】由 得 ，按 在 中的来源分类讨论，并用集合元素的互异性排除增解。 【解答】因为 ，所以 。由 ，得 或 或 。 由集合元素的互异性，。 若 ，则 。此时 ，，由 得 ，即 ，符合题意。 若 ，则 ，由 得 ，于是 ，得 ，与 矛盾。 综上，。 13．不等式 的解集为______． 【答案】 【分析】先因式分解，再转化为四个一次因式乘积的符号问题，用数轴标根法写出解集。 【解答】原不等式可化为 ， 即 ，所以 。 相应方程的根为 。由数轴标根法，符号为正的区间为 ，，， 故解集为 。 14．若关于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【分析】因式分解得两根 与 ，按两根大小讨论，数出开区间内恰有的两个整数。 【解答】原不等式即 ，两根为 和 。 当 时，不等式为 ，解集为空集，不合题意。 当 时，，解集为 。要使其中恰有两个整数，这两个整数只能是 ，故 ，解得 。 当 时，，解集为 。要使其中恰有两个整数，这两个整数只能是 ，故 ，解得 。 综上， 的取值范围为 。 四、解答题（共5小题，共77分） 15．已知集合 ，，。 （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）命题 ：“，都有 ”，若命题 为真命题，求实数 的值。 【答案】（1）；（2） 或 【分析】先化简 、，再对 中 是否为 分类讨论；命题为真即 。 【解答】， 。 （1） 等价于 。 当 时，，符合； 当 时，，由 或 ，得 或 。 所以 的取值集合为 。 （2）命题 为真，即 ，，亦即 。 因为 ，所以只需 ，解得 或 。 当 时，；当 时，，均符合。故 或 。 16．已知全集 ，集合 ，， ，其中 。 （1）求 ，； （2）若 ，求 的取值范围。 【答案】（1），；（2） 【分析】先解二次不等式和绝对值不等式，再根据 讨论 是否为空集。 【解答】由 得 ，所以 ；由 得 ，所以 。 （1），。 （2） 等价于 。 当 ，即 时，，符合； 当 ，即 时，。要使 ，需 且 ，即 且 ，所以 。 综上， 的取值范围为 。 17．已知关于 的不等式 （）。 （1）若不等式的解集是 ，求 的值； （2）若不等式的解集是 ，求 的取值范围； （3）若不等式的解集是 ，求 的取值范围。 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】二次不等式的解集由开口方向和判别式共同决定：解集为“除一个数外全体”需开口向下且 ；解集为 需开口向下且 ；解集为空集需开口向上且 。 【解答】因为 ，所以原不等式是二次不等式，且 。 （1）解集为 ，说明抛物线开口向下且与 轴只有一个交点，故 且 。 由 得 ，结合 ，得 。 （2）解集为 ，需 且 ，即 且 ，所以 。 （3）解集为 ，需 且 ，即 且 ，所以 。 18．（1）求不等式 的解集； （2）解关于 的不等式 （）。 【答案】（1）；（2）当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 【分析】（1）移项、通分，转化为一次因式符号问题；（2）因式分解后，按 的符号以及两根 与 的大小分类讨论。 【解答】（1）。 所以 ，解集为 。 （2）当 时，原不等式为 ，解集为 。 当 时，。 若 ，则 ，不等式等价于 ，解集为 。 若 ，则 ，解集为 。 若 ，则 ，解集为 。 若 ，则 ，解集为 。 19．已知函数 。 （1）关于 的不等式 的解集为 ， 求关于 的不等式 的解集； （2）已知 ，，当 时，， ①若存在正实数 ，，使不等式 有解，求 的取值范围； ②求 的最小值。 【答案】（1）当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；（2）①；② 【分析】（1）由不等式解集确定 及方程的两根，再用因式分解解新不等式；（2）由 时的函数值关系导出 ，再用基本不等式。 【解答】（1）因为 的解集为 ，所以 ，且 是方程 的两根。 于是 ，所以 ，。 代入得 。 两边同除以 ，得 ，即 ，亦即 。 两根为 和 。 当 时，，解集为 ； 当 时，两根相等，解集为 ； 当 时，，解集为 。 （2）当 时，。由 ，得 ，即 ，所以 ，。 因为 ，，所以 ，即 ，且 。 ① ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号。 要使 有解，只需 ，即 ，， 解得 或 ，所以 的取值范围为 。 ② 令 ，。由 得 ，即 。 。 又 ，，所以原式 。 当且仅当 ，即 ，结合 得 ，，此时 ，，等号成立。故最小值为 。 洛阳一高2026级高一数学月考参考答案 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $