精品解析：广东中山市华侨中学2026-2027学年高三上学期第二次模拟数学试题

中山市华侨中学2027届高三上学期第二次模拟考试数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，且，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列举法表示集合，根据，求得实数的取值集合. 【详解】由题意得． 当时，； 当时，，由，可得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：D. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，则的系数为. 故选：D. 3. 记为等比数列的前项和，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以“”是“”的充要条件. 4. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用角的终边对称性，得到正弦余弦值之间的关系，再用两角差的余弦值计算即可. 【详解】角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称. 则，，且，， 故. 故选：B 5. 数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的图象，由偶函数定义排除BD；确定函数在的单调性判断AC. 【详解】函数的定义域为R， 对于BD，，， 函数是偶函数，其图象关于轴对称，而给定图象关于轴不对称，BD不是； 对于AC，令，函数在上单调递增， 函数分别是增函数和减函数， 因此在上分别单调递增、单调递减， 选项A符合给定图象，选项C不符合给定图象，A可能是，C不是. 6. 在边长为1的小正方形组成的网格中，如图所示，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，，，再利用余弦定理求出，最后利用同角三角函数基本关系计算可得. 【详解】依题意，，， 由余弦定理，即， 解得，显然为锐角，所以， 所以. 故选：A 7. 已知实数使得对任意恒成立，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数单调性将原不等式转化为二次函数恒成立问题，推导得到与的不等关系，再化简目标表达式结合基本不等式求解最小值. 【详解】因为对任意恒成立， 所以，即对任意恒成立. 所以，则，且. 所以，当且仅当即时等号成立. 所以当时，取得最小值. 8. 已知面积为1，边上的中线为，边上的中线为，且，则边的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，由三角形面积公式得到，再由余弦定理得到，令，得到，再利用正弦函数的性质，即可求解. 【详解】设，易知为的重心， 又，结合重心性质可得：， 同时， 设，， 则， 则， 所以， 由余弦定理可得：， 令，整理得到， 又，其中，得到， 也即，当且仅当时取得等号，又，则， 所以， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对得部分分 9. 设为虚数，为复平面的原点，且，在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的乘法及复数的相关概念，结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】设虚数， 则， 所以， ，故A错误，B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确. 10. 已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（ ） A. 存在公差为1的等差数列，使得 B. 存在公比为2的等比数列，使得 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用公式法计算A，B选项，根据数列的性质推导C，D选项. 【详解】对于A，设数列的首项为，则 ，解得 ， 即当等差数列的首项为138，公差为1时， ，正确； 对于B，设首项为 ，则 ，正确； 对于C，欲使得尽可能地大，不妨令 ，则有 ， 又 ，即 ， ， 即 ，正确； 对于D， ， ，即 ， 比如， ， 则 ，D错误； 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：数列中与整数有关的不等式或方程问题，注意利用整数的性质来处理. 11. 已知，用表示，，中的中间者，记为（即当时，），若，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象为轴对称图形 B. 当时， C. 若与的图象有两个交点，则 D. 当的定义域为时，的值域为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合题意，作出函数的图象，结合图象进行各个选项判断即可． 【详解】在同一个坐标系中作出的图象. 结合题意得，函数的图象如图所示： 则的图象关于轴对称，故A项正确； 由，得，得， 得， 由对称性，知，而， 对于B项，当时，，则B项正确； 对于C项，若与的图象有两个交点，则或，故C项错误； 对于D项，当的定义域为时，的值域为，得最大的定义域为，最小的定义域为：，得，故D项正确． 故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】，故. 13. 已知平面向量，，若，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由向量平行得到方程，求出，由余弦二倍角公式和齐次化处理，求出答案 【详解】由题意得，故，， 故 . 14. 现有长为的铁丝，要截成小段，每小段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，那么的最大值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用"任意三段不能构成三角形"的约束转化为斐波那契递推序列，通过计算前 项之和与总长度 比较，确定最大段数. 【详解】设截成的 小段按长度从小到大排列为 ，每段不小于 . 任意三段不能拼成三角形的充要条件是：对于任意 ，均有 . 为使 最大，各段应取满足条件的最小长度，即从最短段开始依次取 ，， 并令后续每段等于前两段之和（斐波那契递推），得到序列 . 前 项之和为 ，剩余 可并入末段， 得 ，总和为 ，且任意三段均不满足三角形条件，故可以为， 当时，斐波那契数列前 项之和大于 ，超出总长度，故 不可行， 综上所述，的最大值为. 四、解答题：本题共6小题，共73分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的面积为6，且. （1）若，求； （2）若，且，为锐角，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式计算即得； （2）由题意作出图形，由面积公式求出，由余弦定理依次求出和，进而求出，最后在中利用正弦定理即可求得的值. 【小问1详解】 由题意，， 将与代入解得； 【小问2详解】 因，结合图形可知点在线段的反向延长线上，且， 由可得，则， 因为锐角，则， 在中，由余弦定理，， 则，又由余弦定理，， 在中，由余弦定理，， 则，在中，由正弦定理，， 则有. 16. 已知公比的等比数列，其前n项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以，即， 因为数列为等比数列，所以， 因为，所以的通项公式为； 【小问2详解】 设， 由（1）知，， 则， 两式作差得 ， 故. 17. 已知函数．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求的单调递减区间和对称中心； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1）单调递减区间；对称中心是， （2） 【解析】 【分析】（1）先用两角和与差的正弦公式，将函数表达式展开，其次利用余弦二倍角公式及辅助角公式进行化简，平移得到函数的表达式，最后根据正弦函数的性质求出的单调递减区间和对称中心即可； （2）先根据正弦函数的性质求出在区间的值域，再令，利用二次函数的性质，求出函数的值域即可. 【小问1详解】 由题意 ， 所以． 令，所以，所以的单调递减区间． 令，所以，，所以的对称中心是，； 【小问2详解】 当时，， 所以，当，即时，取最大值， 当，即时，取最小值，所以． 令，则函数，， 由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最大值为，最小值为，所以函数． 18. 已知函数的图像如图所示，点、、为的图像与x轴的交点，点、分别为的最高点和最低点，点为函数图像上一点 （1）求参数与的值 （2）若，求向量与向量夹角的余弦值 （3）若点为函数图像上的动点，当点在、之间运动时，恒成立，求的取值范围 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由函数过点，，根据函数图像的伸缩平移对比得与最小正周期的关系，进而得到，再把点代入即可求出的值； （2）先求出的坐标，利用向量夹角的坐标运算求解即可； （3）由点在、之间运动可得，根据向量的运算得，解即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由图可知，函数过点，， 又函数是由进行伸缩平移得到， 所以点，分别对应图像上的点，， 设的最小正周期为，的最小正周期为，则， 故，又，， 所以，因此，； 【小问2详解】 因为，所以，故，，，， 因为，，所以， 所以向量与向量夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由题知为中点，，， 又点在、之间运动，所以， 因为， 恒成立， 故，解得，所以的取值范围为． 19. 设函数，. （1）若对，都有恒成立，求实数的取值范围； （2）对于函数和数列，，若，，则称为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”. （i）若为函数的“源数列”，证明：对任意正整数，均有； （ii）若为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问：在数列中是否存在连续三项构成等差数列？请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明：由题意知，，故， 构造函数， 则， 当时，均单调递增，所以函数在上单调递增， 而，则在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 即， 当时， ， 综上所述， 恒成立，即； （ii）不存在，在数列中不存在连续三项构成等差数列.理由如下： ，则，， 设，即，可得， 因为在上单调递增， 对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又是递增数列，故. 假设数列中存在连续三项构成等差数列，则， 故， 整理得，该方程无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等差数列. 【解析】 【分析】（1）将已知不等式分离参数，转化成a大于等于一个函数，求出这个函数的最大值即可； （2）（i）将求出，再构造一个函数，求出这个函数在的n的取值范围的最小值是否大于等于0；（ii）将求出，并假设存在连续三项构成等差数列，看是否能求出具体值. 【小问1详解】 对，都有恒成立， 即，， 所以，， 所以，. 令，，即，， 令，，则. 当时，，单调递增， 所以当时，， 所以当时，，单调递增， 所以当时，. 所以， 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市华侨中学2027届高三上学期第二次模拟考试数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，且，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. C. 20 D. 3. 记为等比数列的前项和，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 在边长为1的小正方形组成的网格中，如图所示，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知实数使得对任意恒成立，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知面积为1，边上的中线为，边上的中线为，且，则边的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对得部分分 9. 设为虚数，为复平面的原点，且，在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（ ） A. 存在公差为1的等差数列，使得 B. 存在公比为2的等比数列，使得 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，用表示，，中的中间者，记为（即当时，），若，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象为轴对称图形 B. 当时， C. 若与的图象有两个交点，则 D. 当的定义域为时，的值域为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_______． 13. 已知平面向量，，若，则_______． 14. 现有长为的铁丝，要截成小段，每小段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，那么的最大值为____________ 四、解答题：本题共6小题，共73分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的面积为6，且. （1）若，求； （2）若，且，为锐角，求. 16. 已知公比的等比数列，其前n项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）求. 17. 已知函数．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求的单调递减区间和对称中心； （2）求函数在上的值域． 18. 已知函数的图像如图所示，点、、为的图像与x轴的交点，点、分别为的最高点和最低点，点为函数图像上一点 （1）求参数与的值 （2）若，求向量与向量夹角的余弦值 （3）若点为函数图像上的动点，当点在、之间运动时，恒成立，求的取值范围 19. 设函数，. （1）若对，都有恒成立，求实数的取值范围； （2）对于函数和数列，，若，，则称为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”. （i）若为函数的“源数列”，证明：对任意正整数，均有； （ii）若为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问：在数列中是否存在连续三项构成等差数列？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $