精品解析：广东中山市第一中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试卷

2026-2027学年广东省中山市第一中学9月数学月考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（    ） A. B. C. D. 2. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 一正三棱锥侧面三角形的顶角为，则该三棱锥的侧面积与底面积之比为（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 5. 设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ） A. B. C. D. 6. 坐标平面上的点也可表示为，其中，为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与重合的旋转角．将点绕原点逆时针旋转后得到点，这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则满足条件的的个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 8. 研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（ ） 附：样本相关系数 A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别为12，8 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. ，且 D. 随机事件、，若，且，则、为互斥事件 10. 生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，，为三条边长，则 D. 若，，为三条边长，则 11. 已知函数和（），下列说法正确的是（ ） A. 若，则有极值 B. 若，则和的图象有两个不同的交点 C. D. 若有两个不同的零点，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 13. 围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩.它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共种.则数字是______位数，它的个位数字是______.（参考数据：） 14. 双曲线C：，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，，，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数、、、（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． （1）用表示“”这一事件，求事件的概率； （2）设复数的实部为，求的分布列及数学期望． 16. 在锐角三角形中，角的对边分别为，已知. （1）比较与的大小； （2）求的取值范围； （3）若，且，求的内切圆半径. 17. 已知函数，. （1）求曲线的平行于直线的切线方程； （2）讨论的单调性. 18. 椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积； （3）若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标． 19. 同余理论是大学数学教材《初等数论》中的重要内容．同余的定义为：设a，b，m为正整数，其中，若存在正整数k，使得，则称a同余于b模m，记作．例如：，可记为． （1）证明：数列中的每一项都是同余方程的解； （2）已知同余方程． （ⅰ）求同余方程所有的正整数解： （ⅱ）将上述同余方程所有的正整数解按从小到大的顺序排列构成数列，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年广东省中山市第一中学9月数学月考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合关系，求出，由此可求. 【详解】因为， 又，，所以， 又， 所以， 故选：D. 2. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件作图，可得为等边三角形，为等腰三角形，为直角三角形，即，，再根据投影向量的概念求解即可. 【详解】如图，由，可得为的中点， 又因为为的外接圆圆心，所以， 又因为，所以， 所以为等边三角形，即， 为等腰三角形，即， 为直角三角形，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：D. 3. 一正三棱锥侧面三角形的顶角为，则该三棱锥的侧面积与底面积之比为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由正三棱锥侧面三角形的顶角为，可知侧面三角形为等腰直角三角形，进而可得到侧棱长与底面边长的关系，进一步可得答案. 【详解】由正三棱锥知：所有侧棱长相等且底面为等边三角形. 由侧面三角形顶角为，可得侧面三角形为等腰直角三角形， 设侧棱长为，底面边长为，在侧面三角形中，可得， 侧面积为，底面积为， 所以. 故选：A 4. 定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到及，从而得到函数的一个周期为，再根据求解即可. 【详解】因为函数满足， 所以，即①. 又因为为奇函数，所以， 即②. 由①②知，所以， 即， 所以函数的一个周期为，所以， 因为时，，所以， 所以. 故选：A. 5. 设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设，，由，直接计算即可. 【详解】设，，.则，，所以. 故选：B. 6. 坐标平面上的点也可表示为，其中，为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与重合的旋转角．将点绕原点逆时针旋转后得到点，这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关点法可求得曲线为椭圆，由椭圆离心率求法可得结果. 【详解】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为， 则，， ， 整理可得：，即曲线的方程为：， ，，，曲线的离心率. 故选：B. 7. 已知，且，则满足条件的的个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：利用正弦和差公式化简得到，从而得到或，结合，求出满足条件的的个数； 解法二：利用和差化积公式得到，从而得到，从而得到或，结合，求出满足条件的的个数. 【详解】解法一： ， 故或． 当时，，即， 因为，所以，，，，； 当时，因为，所以，． 所以符合题意的共有7个； 解法二：由和差化积公式得到， 所以， 因为，所以或， 当时，，即， 因为，所以，，，，； 当时，因为，所以，． 所以符合题意的共有7个； 故选：C 8. 研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（ ） 附：样本相关系数 A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，，，，与的夹角为，与的夹角为，再由相关系数可知，则与夹角的余弦值的最大值为，利用余弦差角公式求值即可. 【详解】设，，， ，，， 由样本相关系数公式可知，， 设与的夹角为，与的夹角为，则有， 易知均为锐角且， 与夹角的余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， ， 故的样本相关系数的最大值为. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别为12，8 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. ，且 D. 随机事件、，若，且，则、为互斥事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出新数据的极差、方差判断A；求出第70百分位数判断B；利用平均数及求和公式计算判断C；利用概率的性质，结合互斥事件的意义判断D. 【详解】对于A，不妨令，则，， 因此新数据组的极差为，方差为，A正确； 对于B，所给数据由小到大排列为：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由，得第70百分位数为，B错误； 对于C，， ，C正确； 对于D，， 则， 而，因此，即、为互斥事件，D正确. 故选：ACD 10. 生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，，为三条边长，则 D. 若，，为三条边长，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据糖水不等式逐项判断即可. 【详解】A.由糖水不等式得：，时，，故A错误. B.，故B正确. C.，故C正确. D.，，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数和（），下列说法正确的是（ ） A. 若，则有极值 B. 若，则和的图象有两个不同的交点 C. D. 若有两个不同的零点，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对求导，判断的单调性，即可判断选项A；当时，令，解得，则此时和的图象只有一个交点，即可判断选项B；构造，根据其单调性即可判断选项C；根据有两个不同的零点，，则，，从而得， ， 利用分析法即可证明选项D. 【详解】，定义域为，， 令 ，则，因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以有极值，所以A正确； 当时，，令，即，解得，此时和的图象只有一个交点，所以B错误； 令，则，则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，，所以C错误； 若有两个不同的零点，，则，， 两式相减得，所以，两式相加可得， 要证，即证，即证，也就是证，即证， 假设，令，，则， 令，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以， 所以时，所以在上单调递增，所以，即，所以成立，所以D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，利用圆心到原点的距离加减半径可得答案. 【详解】设，由得， 可得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，即. 故答案为：. 13. 围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩.它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共种.则数字是______位数，它的个位数字是______.（参考数据：） 【答案】 ①. 173 ②. 3 【解析】 【分析】通过对数运算得到，即可解决第一空，根据的个位数以4为周期循环往复，即可完成第二空. 【详解】因为， 所以， 因为，则， 所以为位数， 由，其个位数分别为以为周期循环往复， 因为， 故的个位数与的个位数相同，即的个位数为. 故答案为：； 14. 双曲线C：，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，，，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由中点弦的结论可得，，又，可得，即可得到双曲线的离心率. 【详解】在中，取中点，由P为的重心，则P在上， 设，则， 则有， 两式作差得，， 可得， 则 则，即， 同理可得，， 又，所以，又， 可得， 所以，进而． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数、、、（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． （1）用表示“”这一事件，求事件的概率； （2）设复数的实部为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）求出基本事件的总数，以及事件所包含的基本事件，结合古典概型的概率公式可求得的值； （2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、，利用列举法可求出随机变量在不同取值下的概率，即可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 所有的基本事件个数有（个）， 包含的基本事件有、、、共个，所以． 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值为、、， 所包含的基本事件有：、、、，共个， 所包含的基本事件有：、、、、、、、，共个， 所包含的基本事件有：、、、，共个， 所以，，，， 的分布列为 所以． 16. 在锐角三角形中，角的对边分别为，已知. （1）比较与的大小； （2）求的取值范围； （3）若，且，求的内切圆半径. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用反证法来进行推理即可得到结论； （2）利用等腰三角形三线合一，转化为直角三角形中余弦函数的边角关系，即可求解； （3）利用等腰三角形中角的关系去求解关于的三次方程，再用等面积法求内切圆半径即可. 【小问1详解】 由，可得：, , 假设，在锐角三角形中，结合余弦函数在上单调递减， 可知，则， 此时可得，这与假设相矛盾，即假设不成立； 又假设，在锐角三角形中，结合余弦函数在上单调递减， 可知，则， 此时可得，这与假设相矛盾，即假设也不成立； 综上可得： 【小问2详解】 由（1）得，，即在等腰三角形中，取底边的中点为， 则，则， 因为在锐角三角形中，，所以，则； 【小问3详解】 在等腰三角形中，因为， 所以， 再由 ， 则 可解得：，， 因为，，所以，则， 又由，，可得， 所以高，根据等面积法可知： . 17. 已知函数，. （1）求曲线的平行于直线的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）在上单调递增，在上单调递减 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点，即可得切线方程； （2）借助导数分析函数的单调性，结合函数的单调性和正余弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由已知得， 直线的斜率为1，令，得， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 而，所以方程有唯一解，此时， 故曲线的平行于直线的切线只有一条， 即在点处的切线； 【小问2详解】 ， 而，因此的正负与的正负一致， 由知，当时，，所以单调递增， 所以等价于， 等价于， 由函数和知，当时，， 即， 当时，，即， 故在上单调递增，在上单调递减. 18. 椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积； （3）若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用题设条件列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）由条件推得为矩形，设，利用椭圆的定义得，再由勾股定理得，联立求出，从而可求的平行四边形的面积； （3）设，则，依题意求出的方程，联立求得点的坐标，由点Q在椭圆E上，解方程即可求得点P坐标. 【小问1详解】 由题意，当P点在长轴端点时，取，则 ①， 当P点在短轴端点时，取，则 ②， 由②得，故代入①，可得，， 故椭圆E的标准方程为. 【小问2详解】 如图1，若四边形为平行四边形，又，则，即为矩形， 设，则，又，则， 于是，故平行四边形的面积为. 【小问3详解】 如图2，设，则，且， 因且，故，则； 因，则因，故，则. 由联立解得：， 因点Q在椭圆E上，则得，将代入化简得：， 解得，，即点P坐标为. 19. 同余理论是大学数学教材《初等数论》中的重要内容．同余的定义为：设a，b，m为正整数，其中，若存在正整数k，使得，则称a同余于b模m，记作．例如：，可记为． （1）证明：数列中的每一项都是同余方程的解； （2）已知同余方程． （ⅰ）求同余方程所有的正整数解： （ⅱ）将上述同余方程所有的正整数解按从小到大的顺序排列构成数列，求数列的前n项和． 【答案】（1） 由， 得， 故数列中的每一项都是同余方程的解． （2）（i）或；（ii）（或） 【解析】 【分析】（1）先验证是3的倍数，则除以3余1，即同余于1模3； （2）（i）正整数集 ， 分别验证时，是否为3的倍数，即可求出同余方程所有的正整数解； （ii）首先写出数列的通项公式，再分奇偶项分别求和即可得到数列的前n项和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）正整数集 ， 当时，由，知不是3的倍数， 故不是同余方程的解； 当时， 由，知， 故是同余方程的解； 当时，由，知， 故是同余方程的解． 由上知，同余方程的所有正整数解为或． （ii）由上知，该同余方程所有的正整数解按从小到大的顺序排列为， 即奇偶项均为公差为3的等差数列，由可得， 当n为偶数时， ， 当n为奇数时，， 故（或）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $