湖北省天门中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

天门中学高二年级10月考试数学试卷 一、单选题 1.已知复数z满足(1+i)z=-2,则z的虚部为() A.-1 B.1 C.-i D.i 2.与椭圆+云=1有公共焦点的椭圆是（） 2516 A.少+=1 B. 1625 3020 c.+- D.+=1 3021 2130 3.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥 P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD,点M在PC上，PM=3MC,若AB=ā，AD=b,AP=c,则DM= () A.3d-16+16 3,1,3 -a-- B.--a+b+c 444 444 5 b+c D.- 5,165 4a+4b-4 4.两圆x2+y2=1与x2+y2+2x-2y+1=0的公共弦长为() A马 B.2 C. D.1 5.直线y=c+2与曲线y=V-x2有两个不同的交点，则实数k的取值范围为() A.「-2，-5u(5,2 B.（-2,-3(3,2 c.（-o,-v5U(3,+o∞) D.（5,5 6.已知三点A(2,2),B(3,1),C(-1,),则过点A的直线1与线段BC有公共点时（公共点包含端点）， 直线的斜率k,和倾斜角的取值范围分别是() 【[ B(m小+.昏到 c匠 D.m.[层经 7.己知向量a,方满足同=l,5=3,且满足2a+6=7,若正实数m,,满足4m+n=a-6,”+ 最小值为() A.5 B.6 C.7 D.8 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，M1平面ABCD,PB与底面ABCD所成的角为子，底面CD为直角 试卷第1页（共4页） 梯形，∠ABC=∠B1D-子AD=2,PA=BC=1,三棱锥P-ACD的外接球为球 O,则平面PBC截球O所得截面圆的面积为() A 11π B. 11π D. 8 4 二、多选题 9.已知椭圆m2+4y2=1的离心率为 2 ,则实数m的值可能为（） A.2 n. C.6 D.8 10.下列判断正确的是() A.若事件A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B) B.数据12,13,14,15,17,19,23,24,27,30的70%分位数是23 C.抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件M=“向上点数1或4”，事件N=“向上点数是奇数”，则 Pw+-号 D.若P(AB)=,P(A)=3P(B)=}则事件A与事件B相互独立 1.如图，在直棱柱48CD-4公CD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠B1D-AM=2,点P为CG 的中点，点Q为侧面DCD内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是() D C B A.平面ABP截四棱柱ABCD-AB,CD所得的截面是五边形 B.BD⊥AP D C.若DQ∥平面ABP,则点2轨迹的长度为2√2 B D.平面ABP与平面ABCD所成角的余弦值为V30 10 三、填空题 12.经过点P(2,3),并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为 13.已知动圆C分别与圆(x+1)+y2=1外切和圆(x-1)+y2=25内切，设动圆C的圆心轨迹为「，过点 (1,0)的直线垂直于x轴交曲线Γ于A,B两点，则弦长AB等于 4,设，乃分别是椭圆E:+」(a>h>0)的左、石焦点，过乃的直线交椭圆E于P、Q两点 且PE⊥PQ,PF=3QF,则椭圆E的离心率为 试卷第2页（共4页） 四、解答题 15.已知圆C经过P(3,0),2(0,-1),R(2,3)三点 (1)求圆C的方程： (2)求过点(-4,1)且与圆C相切的直线方程. 16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且csinB-√3 bcosC=0 (1)求∠C的大小： (2)若c=2,△ABC的面积为√5，求a,b的值. 17.新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文 化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽 取了100名学生的成绩，按照成绩为90,100)，[100,110)，，140,150]分成了6组，制成了如图所示的 频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）. 人频率 组距 0.03 0.01--- 0.005 0 90100110120130140150分数 (1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间 的中点值代表)： (2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于120,140)的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2 人参加这次考试的考情分析会，试求[130,140)这组中至少有1人被抽到的概率. 试卷第3页（共4页） 18.如图，四棱锥E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD,DC∥AB,BC⊥CD, EA⊥ED,且AB=4,BC=CD=EA=ED=2. (I)求证：BD⊥平面ADE; (2)求BE和平面CDE所成角的正弦值； (3)在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE,请说明理由. D 19.如图，圆M:(x-2)+y2=1,点P(-1,)为直线1：x=-1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点 分别为A、B. YA 0 (I)若t=1,求直线AB的方程： (2)求AB的最小值： (3)若两条切线PA,PB与y轴分别交于S、T两点，求ST的最小值. 试卷第4页（共4页） 《天门中学高二年级10月考试数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B A B A A AD AC 题号 11 答案 BCD 12.2x+y-7=0或3x-2y=0 89 14. 2 2 8.如图1，分别取PD的中点为O,AD的中点为O, 则P400.00-PA-分连接c0.o0.C0。 -----≥0 因为底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=元， =2,AD=2,PA=BC=-1, 所以四边形ABCO为正方形，CO=AB=1, C 图1 因为PA⊥平面ABCD,PA/OO,所以OO⊥平面ABCD,CO,C平面ABCD,所以OO⊥CO, 所以C0=V002+C0 1 *1 2 而PA⊥平面ABCD,ADc平面ABCD,则PA⊥AD,所以PD=VPA+AD2=V1+22=√5， 又0为PD的中点，所以oA=0P=00PD=5 2 所心点O到三棱锥P-ACD各个顶点的距离均为，放O为三棱锥P-ACD的外接球球心 如图2，以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别作x,,z轴，建立空间直角坐标系， 因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,则PA⊥AB, 孙 PB与底面ABCD所成的角为牙，则△PMB为等腰直角三角形，AB=PM=I, A. D 则P(0,0,1),B1,0,0), 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),因为BP=(-L,0,),BC=(0,1,0), C 图2 nBP=-x+z=0 所以 BC=y=0 ，可取=0，.因为or-（0-l1》 所以点O到平面PBC的距离d=IOP._2=V2 |il24 设截面圆的伴径为r,则产OPP-d；。号，所以截面圆的面杂为m'92 8 11.对A,取CD,中点M,连接PM,如图，则ABIIPM(都与CD,平行)，所以A,B,P,M四点共面，则 平面ABP截四棱柱ABCD-AB,CD所得的截面是四边形，A错误. 答案第1页（共4页） 对B,连接AC,AC,由题意可得AC⊥BD,CC⊥底面ABCD, BDC底面ABCD,所以CC,⊥BD,而CC,∩AC=C,CC,ACC平面ACCA, D 所以BD⊥平面ACCA,又APc平面ACCA,所以BD⊥AP,B正确. B 对C,设AC与BD交于点O,以O为坐标原点，OA,OB,A4的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立 如图所示的空间直角坐标系， 则A(3,0,2),B(0,1,0),P(-V3,0,1),所以PA=(2V3,0,1),PB=(N3,1,-1), PA.n=23a+c=0, 设平面ABP的法向量为i=(a,b,c),则 PB.n=3a+b-c=0, 不妨取a=-1,则n=-1,3V3,23,易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,), 2530 则cos(m,)= ,C正确. V1+27+1210 对D,连接CD,由A项知A,B,P,M四点共面，DQM平面ABP,又平面ABP∩平面DCCD=PM,所 以DQPM,所以Q的轨迹为线段CD,(不含点D,),CD=2√2，D正确. 14.设1QF2=m(m>0),则PF=3m,1P2=4m,根据椭圆定义，|PF=2a-3m,12F=2a-m, 又因为PF⊥P9,所以在Rt△PE2中，IP℉+|POPHOFP· 即(2a-3m+(4mP=2a-m,解得m=a,则P5上a,PR上a, 则在Rt△PEE中，IPF2+|PE2FE2,即a2+a2=(2c)2, 所以c=C=】故离心率e= a22 2 15.1)(x-)2+(y-12=5 (2)x-2y+6=0或x+2y+2=0. 【详解】(1)因为PQ=（-3,-1),PR=（1,3),所以POPR=0,即P9⊥PR, 所以R为圆C的直径，且C为R0的中点，所以C(1,1),故r=CP=V3-)}+(0-=V5, 故圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=5. (2)若切线的斜率不存在，则x=-4,圆心C(1,1)到该线的距离为5，故直线x=-4不为切线， 设切线方程为y-1=k(x+4),即kx-y+1+4k=0;由题意可知 +线-5，所以-行即太=±分 Vk2+1 所求直线方程为x-2y+6=0或x+2y+2=0, 答案第2页（共4页） 160肾 (2)a=2,b=2 【详解】(1)因为csin B-√3 bcos C=0,由正弦定理得：sin Csin B-√3 sin BcosC=0 因为么房Ce(Q,,所以sinB≠0，所以sinC=3cosC,所以amC=5,所以C-胥 (2)因为c=2,Sc=V5,所以absin C=V3,所以ab=4, 由余弦定理得：2=d+6-2 abeosC,所以2=+h份-2x4×cao心胥所以d+公-8， 因为a,b>0,所以a=b=2, 17.(1)x=0.02,平均分为116.5； 【详解】(1)由频率分布直方图，(0.005+0.03+0.03+x+0.01+0.005)×10=1,x=0.02, 平均分为95×0.05+105×0.3+115×0.3+125×0.2+135×0.1+145×0.05=116.5； (2)由频率分布直方图得出成绩位于[20130)和[130,140)上的人数比为02-2， 0.1 抽取的6人中成绩位于[120,130)上的有4人，编号为1,2,3,4，位于[130,140)上的有2人，编号为4，b, 从这6人中任取2人的基本事件有：12,13,14,1a,1b,23,24,2a,2b,34,3a,3b,4a,4b,ab共15个，其中130,140) 这组中至少有1人被抽到的基本事件有1a,1b,2a,2b,3a,3b,4a,46,b共9个，所以所求概率为P=?=3。 155 18.(1)证明如下：由BC⊥CD,BC=CD=2.可得BD=2√2.由EA⊥ED,且EA=ED=2, 可得AD=2√2.又AB=4.所以BD⊥AD.又平面EAD⊥平面ABCD, 平面ADEO平面ABCD=AD,BDC平面ABCD,所以BD⊥平面ADE, (2)如图建立空间直角坐标系D-x2, 则D(0,0,0),B0,2√2,0)，C(-√2，√2,0)，E(N2,0,V2), BE=(√2，-2√2，V2),DE=(N2,0,V2),DC=(-√2，√2,0). 设n=(x,y,z）)是平面CDE的一个法向量，则i.DE=0,n.DC=0, 即+2=0 令x=1,则n=(1,l,-1) -x+y=0. 设直线BE与平面CDE所成的角为a, 则sina=cos(BE,n BE2-22-2_2 BE方 2W3.√3 3 所以BE和平面CDE所成的角的正弦值 3 (3)存在，理由如下：设CF=2CE,∈[0，.DC=(-√2，√2,0)，CE=(2√2，-√2，√2)，DB=(0,2√2,0) 答案第3页（共4页） DF DC+CF DC+ACE=2(2-1,-+1,). 设m=(x',y',z)是平面BEF一个法向量，则nEB=0,nEF=0, 即'0 '(2-1)x'+(-+l)y'+z'=0. 令-1，则m=（0-22） 若平面Br⊥平面CD6,则元-后=0，即1+22=0，A-0训 所以，在线段CE上存在一点F使得平面BEF⊥平面CDE 19.(0)3x-y-5=0(24v2 3 【详解】(1)因为PA1AM且PB1BM,所以A、B在以PM为直径的圆上，P(-I,I)圆心M(2,O)所以以 PM为直径的圆的方程为(x+1)(x-2)+(y-1)y=0,化简得x2+y2-x-y-2=0,已知圆 M:(x-2)+y2=1,两圆的公共弦所在直线即为直线AB,故两式作差得到直线AB方程为3x-y-5=0. (2)结合(1)结论，对任意参数1，切点弦AB的方程为：（-1-2)(x-2)+1y=1→3x-y-5=0, 凤心M2.0到直线B的跑离d0-。≤分当日仅当1=0时取最大值了 弦长AB=2W1-d2≥2， 固-，我锅的录小值% 3 (3)设过点P(-1,t)的切线斜率为k,则切线方程为y-t=k(x+),即c-y+k+t=0, 由相切关系 2k-0+k+=1,即3k+=2+1,整理得8K2+6k+-1=0, Vk2+1 两条直线对应的斜率k,k,则 3t k+k=一4 2-1 8 切线与y轴交点纵坐标为y=k+t,即S(0,k+),T(0,k2+), 9rP-I-F+8≥2 则57=k-=Vk+k-4kk=162 4 2 当且仅当1=0时等号成立，故S7的最小值为 2 答案第4页（共4页）