湖北省天门中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

《天门中学高二年级9月考试数学试卷 》参考答案 题号 2 3 8 9 10 11 答案 B C B B A A D D BC AB ACD 12.(x+4)+y=813. 34 5 14.(1,-4) （-0,-1] 8D【详解】由a/B可得， 13-”号=所以n=4-2m,因为0为钝角，所以a.6<0,且a,6不共线， 所以 (2m-3x1+-1k()1K0,即>2m-3,且m≠4-2m.当m=1时，有n>-1且n≠2，所以可 n≠4-2m 取1,3,4,5,6：当l=2时，有n>1且n≠0，n可取2,3,4,5,6：当m=3时，有n>3且n≠-2，n 可取4,5,6：当=4时，有n>5且n≠-4，n可取6；当m=5或m=6时，n>2m-3>6,此时无解 综上所述，满足条件的，n有14种可能.又先后抛掷两次，得到的样本点共36种，所以0为钝角的概率 ”站8 11.ACD【详解】解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则 A(4,0,0),B(4,2,0),E(2,0,0),F(2,2,2),H(2,2,0),4(4,0,2),D(0,0,2),设P(a,0,b)(0≤a≤4,0≤b≤2)， [a-4=-2x-2y 则BP=(a-4,-2,b),BE=（2,-2,0),BF=←2,0,2)，因为BP=xBE+yBF(x,y∈R),所以{-2=-2x b=2y x=1 「0≤2-b≤4 得a=2-2y,所以a=2-b,则0s6s2，得0≤b≤2， b=2y DP=(a0,b-2）)=(a0,-d,PE=(2-a0,-0(2-a,0,a-),当a=2时，PE=0,则DP∥PE，当a≠2 时，则A-”。元，测PP阳，综上，P/P,所以A,E三点共线，即点P的轨迹即为线段4， 对于A,AH=(-2,2,-2),BP=(a-4,-2,b),则AH.BP=-2a+8-4-2b=-2(2-aH4-2b=0,所以 AH⊥BP,故A正确： 对于B,AP=√(a-4+b=V2b+b+4≥2，即AP的最小值是2，故B错误； 对于CBn=2万，则Sr×2x25=25为定值，由点P的轨迹即为线段0，且 1 ED=(-2,0,2),BF=（-2,0,2)=ED,所以BF∥ED,又BFC平面ABF,EDC平面ABF,所以ED‖平 面ABF,所以点P到平面ABF的距离为定值，即三棱锥P-ABF的高为定值，所以三棱锥P-ABF的体积 是定值，故C正确： 对于D,设BF的中点为M,则在Rt△BB,F中，Rt△BBF外接圆的圆心即为点M,则三棱锥P-BBF的 答案第1页（共4页） 外接球的球心在过点M且垂直于平面BBF的直线上，设球心为O,O(3,,1),则OP=OB,即 V1+b+m+1-b=+(m-2+i,所以m=2-6 ,则0B2=1+(m-2)2+1=1b4+b+3,因为 2 0<b≤2，所以OB2∈[3,11]，即三棱锥P-BB,F的外接球的半径R∈「V3,1,所 以三棱锥P-BBF的外接球表面积的取值范围是[12兀，44π，故D正确.故选：ACD. D B 15.(1)3x-y±6=0；(2)4x-3y=0或x+2y-11=0. 1--1M 【详解】(1)设直线方程为y=3x+b,令x=0,得y=b,令y=0,得x=-1b, -6,解得b=6,:直线方程为y-x士6，即3-壮6=0 (2)①当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y=,又直线过点(3,4)，：4=3k,解得k=4 3 直线方程为)y=3,即4-3)=0：②当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为之+片=1， 4 a b 34-1, a=11, 由题意可得āb解得，11：直线方程为x+2y-11=0；综上，所求直线方程为4x-3y=0或 a=2b, b= 21 x+2y-11=0· 16.3.022 21 B A(2,0,2),E(2,1,0),AE=(0,1,-2,B2,5,0,C(0,5,),BC(-2,0,2, 设直线AE与直线BC1所成角为a,则 AE.BC 4 10 .BC V5×2W25 i.AE=y-2z=0 (2)由题意C(0,5,0),EC=(-2,4,0),设平面AEC的法向量为n=(xy,),则 ,令2=1， i.EC=-2x+4y=0 n.BE8 8V21 可得n=(4,2,1),又BE=(0,-4,0),所以B到平面AEC的距离为 21211 17.(1)32.25,31.67或95 00若： 、8 6 【详解】(1)设这些人的平均年龄为x,则 x=22.5×0.05+27.5×0.35+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.1=32.25(岁). 因为0.05+0.35+0.3=0.7>0.5,0.05+0.35=0.4<0.5，所以中位数在第三组，设中位数为a, 则0.05+0.35+(a-30)×0.06=0.5,解得a= 95 3 答案第2页（共4页） (2)由题意得，第四组应抽取4人，记为A,B,C,甲，第五组抽取2人，记为D,乙， 对应的样本空间为：2={(A,B),（A,C),(A,甲)，(A,乙)，（A,D),(B,C),(B,甲)，(B,乙)， (B,D),(C,甲)，(C,乙)，(C,D),(甲，乙)，（甲，D),（乙，D》,共15个样本点，设事件M为 “甲、乙两人只有一人被选上”，则M={A,甲)，(A,乙)，(B,甲)，(B,乙)，(C,甲)，(C,乙)， （甲，D,(乙，D,共有8个样本点，所以PM=n☑-8 n(2)15 (设第四组、第五组的宜传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，S, 飞二37，无二4B,$=子，=1，设第四组和第五组所有宜传使者的年龄平均数为，方差为 则：.板。25-39，子-{[s+:-到门2+6低-]}名，因此，第四组和第五组所有宣传使 55 6 6(1 龄方差为。据此，可估计年龄在3545岁的所有人的年龄方差 6 18.(1)以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 、M 则A(0,0,0),B(0,2,0),D1,0,0),S(0,0,2),M(0,1,1).则AM=-0,1,1), D SD.n=0m「x-2z=0 而=0，-2)，c0=(-2,0).设平面SCD的法向量是a=.,则CDi=0即 -2y0令：=1， 则x=2,y=-1.于是n=(2,-1,1).n.AM=0-1x1+1×1=0,.AM1n.又：AMt平面SCD,.AM∥ 平面SCD. (2)(2)设平面CDM的法向量为=(，y,).则CD=(-1,-2,0),DM=(-1,1,1) mCD=0即 2·DM=01 -5++与=0据此可得平面CDM的一个法向量牙=亿，-1，)，设二面角S-CD-M的平面角大小为9，易 -￥-24=0 知：则cos日=n4、4 刀贡，即m9=-o0-m8=.锐=面角9-cD-M的正切值为5 21 4 4 6闭存在满足恩藏的点N,且的值为}，理由如下：假设存在满足题意的点N,且：D=C(0≤AS1), 设点N的坐标为N(x,,z),据此可得：(xl,y,=)=21,2,0),由对应坐标相等可得N(2+1,22,0),故 答案第3页（共4页） MN=（+1,21-1,-1),由于平面SAB的一个法向量AD=(1,0,0),由题意可得： 不.AD 2+1 2√26 MN AD V(2+1)2+(2-1)2+1 解得：？据此可符存在满足题意的点N,且D DC 的值为号 19.(1)①(x-4)+(y-8)=20:②a≤-44-10W5(2)4x-3y+6=0 （1)i)依题意有x-3)+(- 1 2 化简得(x-4)2+(y-8)=20.点M的轨迹方程为 Vx+y (x-4)+(y-8)=20 (ii)设直线m:3x+4y+a=0,n:3x+4y-12=0,点M到平行直线m,n的距离之和为 T-Bx+4y+4,3x+4y-1若3x+4y+a+12-3x-4为定值，则T为定值.而点M轨迹是圆心为(4,8， 5 半径为25的圆，则该圆在两平行直线mn之间.又圆心(4,8)到直线n的距离为B×4+4×8-12_32>25. 5 5 圆心(4,8到直线m的距离为Bx4+4x8+4≥25.4+d≥10N5:a≥-44+105或a≤-4-10W5. 5 直线m的纵截距为子直线m在园的上方，结合图象有？之4+105.4≤4-105.则a的取值 4 范围为(-0，-4-10W5]。 或解：依题意，点M轨迹是圆心为(4,8)，半径为25的圆，令3x+4=:,则有Bx4+4x8-≤5， .44-10W5≤=≤44+10W5,若5+d+12-为定值，即+d+:-12为定值，.二+a≤0恒成立， ∴.a≤(-2)mix,即a≤44-10V5. (2)设1的直线方程为y=k(x-3)+6,则1与☑的交点为A(0,6-3k),1与l2的交点为 B3(6-346-3动 4-3k,4-3k ,又A,B纵坐标均为正数， 6-3k>0 “十乙=2-90+面EV-+(E-0)=r。1×(y-9)×=0.·立>y·0-9· 4-3k 4-3次24-3 w-0-到-小42，当且收当1-2.-时学号立数08面银短小所，立 线1：2x-3y+12=0. 答案第4页（共4页）天门中学高二年级9月考试数学试卷 一、单选题 1.已知直线经过点A(2,-8),B(5,1),则直线的斜率为() A.3 B.3 c 2.方程x2+y2+4x-2y+51=0表示圆的充要条件是() A子m<l B.>1 c.加<或m>1 D.n 3.已知点A(3,-1,1)关于z轴的对称点为点B,则AB=() A.2 B.2√10 C.10 D.6 4.在空间直角坐标系中,己知A(1,0,1),B(1,1,-1),C(2,2,-1),则点B到直线AC的距离为() A.3 B.1 C.√阝 D.√2 5.已知事件A,B相互独立,P(4)=2P( ),P4U8)-岩则P( )=() A月 B.3 C. n 6.直线x cosa+V3y+2=0(a∈R)的倾斜角0范围是() B[后 D. 8 7.已知三棱柱ABC-A,B,C中所有的棱长均为1,∠AAB=∠AAC=60 .若M为棱AC的中点,则BM= () A号 B.V3 c. D.5 2 2 2 8.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6),先后抛掷两次,将得到的点 数分别记为%,n,若向量a=(2m-3,n-1,1),乃=(1,-1,-1,则a与的夹角为钝角的概率是() A. B.3 5 36 c.2 D.Z 18 二、多选题 9.已知直线:-y+2=0,直线2:x-y+2=0,则() 试卷第1页(共4页) A.直线恒过点(0,-2) B.当a=0时,两直线的交点为(-2,2) C.若l⊥l2,则a=0 D.若1%,则a=1或a=-1 10.下列说法正确的是() A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本,则个体 m被抽到的概率是0.1 B.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23 C.已知一组数据1,2,,6,7的平均数为4,则这组数据的方差是5 D.若样本数据1,,.,o的标准差为8,则数据2x-1,2x2-1,.,2xo-1的标准差为32 11.如图,在长方体ABCD-ABCD中,AD=2AB=2AA1=4,E,F,H分别是棱AD,B,C1,BC的中点, 点P在侧面AADD内,且BP=xBE+yBF(x,y∈R),则() 2 C B E A.AH⊥BP B.AP的最小值是√互 C.三棱锥P-ABF的体积是定值 D.三棱锥P-BB,F的外接球表面积的取值范围是[12L,44 三、填空题 12.已知点A(-6,-2)、B(-6,2)、C(-2,2),则 ABC外接圆的方程是 13.已知三棱锥P-4BC的体积为6,M是空间中一点,PM=-1PA+二PE+二PC,则三棱锥A-MBC 15 15 15 的体积是 14已知直线4方程为(2-列+(+4y+2(2+号)-0,则4过定点2的坐标为一;已知P的坐标为 (,)且满足方程+=1,则直线PQ的斜率取值范围是」 3 四、解答题 15.求符合下列条件的直线方程. 试卷第2页(共4页) (1)斜率为3,且与两坐标轴围成的面积为6: (2)直线过点(3,4),且横截距为纵截距的两倍. 16.如图,在长方体ABCD-ABC1D中,AB=5,AD=A4=2,点E在AB上,且AE=1 D B (1)求直线AE与BC1所成角的余弦值: (2)求点B到平面AEC的距离: 17.某市为了了解学生对“十五五规划的认知程度,举办了一次“十五五规划知识竞赛,比赛按年龄将参 赛人员分成5组,其中第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组: [40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有10人. 频率组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0202530354045年龄/岁 (I)根据频率分布直方图,估计这些人的平均年龄和中位数: (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人,担任本市的宣传使者. (①)若有甲(年龄38),乙(年龄40)两人已确定入选宣传使者,现计划从第四组和第五组被抽到的宜传使者中, 再随机抽取2名作为组长,求甲、乙两人只有一人被选上的概率: 位若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和),第五组宜传使者的年龄的平均数与方差分别 试卷第3页(共4页) 为43和1,据此估计3545岁所有人的年龄的方差, 附:设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m、、;、2、s巧,记两组数据总体的样 本平均数为,期总体样本方差矿-区-可门产+气-门 18.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC, SA=AB=BC=2,AD=1.M是棱SB的中点. S 、M B D (1)求证:AM//面SCD: (2)求锐二面角S-CD-M的正切值: (3)在线段DC上是否存在一点N使得Mw与平面MB所成角的正弦值为226若存在,请求出X的值, 13 DC 若不存在,请说明理由。 19.(1)设点M(x,y)且满足 -片Pa. ①求点M的轨迹方程; ②若3x+4y+d+12-3.x-4y为定值,求实数a的取值范围. (2)设直线:x=0,2:4x-3y=0,过点P斜率为k,的直线1与4,分别交于点A,B(A,B纵坐标 均为正数),O为坐标原点, 求 AOB面积最小值时,直线l的方程. 试卷第4页(共4页)