专题01 数轴13大题型60题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版

专题01数轴 基础·固本强基 题型1判断数轴画法是否规范（考查数轴三要素） 题型2有理数在数轴上的表示（重点） 题型3在数轴上标出给定有理数对应的点（重点） 题型4利用数轴直接比较有理数大小（重点） 提升·进阶突破 题型5数轴上点单次平移，求平移后对应的数（重点） 题型6求数轴上两点之间的距离（难点） 题型7折叠数轴后求值问题（难点） 题型8数轴上整点覆盖问题（重点） 题型9根据数轴上点的位置判断数的正负、简单大小关系 拔高·压轴破难 题型10点多次往返平移，求终点表示的数（难点） 题型11结合数轴理解绝对值的几何意义 题型12数轴上的规律探索问题选填（重难点） 题型13数轴上的规律探索问题解答题压轴（难点） 基础·固本强基 题型1判断数轴画法是否规范（考查数轴三要素）（共5小题） 【模型】对照数轴三要素判定模型→原点、正方向、单位长度三者缺一不可 【步骤】①检查是否有原点；②检查是否标注正方向（向右箭头）；③检查单位长度是否统一；④三项全部满足才是规范数轴 【易错】单位长度前后长短不一致、没有箭头、原点漏画都属于错误数轴 1．（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·河南周口·期中）四位同学画的数轴如下，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·山东德州·期中）下列各图中，表示的数轴正确的是（） A． B． C． D． 4．（26-27七年级上·陕西宝鸡·期中）下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27七年级上·甘肃张掖·期中）下列选项中表示数轴不正确的是（     ） A．B．C． D． 题型2有理数在数轴上的表示（共5小题） 【模型】有理数找点定位模型→先定符号，再按单位长度数格 【步骤】①判断数正负，确定在原点左侧还是右侧；②从原点出发，按单位长度数出对应格数；③在位置描点，标注数字 【易错】负分数找点方向搞反，负数从原点向左数，不是向右 6．（26-27七年级上·四川德阳·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，转次后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．（26-27七年级上·重庆沙坪坝·期中）某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度．点对齐刻度．点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 8．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）在数轴上点表示，将点向右移动个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 9．（26-27七年级上·广东汕头·期中）如图，数轴上点表示的数互为相反数（点在点的左边），且两点间的距离为，则点表示的数是（     ）． A． B．4 C．8 D．－8 10．（26-27七年级上·福建厦门·期中）数轴上对应点A、B、C、D的位置如图所示，则这四个点中表示的数的绝对值最小的点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型3在数轴上标出给定有理数对应的点（共5小题） 【模型】有理数描点标注模型 【步骤】①分清正数、负数、0；②分数先确定在两个整数之间；③描实心点，在点上方写对应数字 【易错】空心点、实心点混淆；标注数字写在线上，规范要求写在点上方 11．（26-27七年级上·江西赣州·期中）在图中将数轴补充完整，并将下列各数在数轴上表示出来： ，，1，， 12．（26-27七年级上·安徽阜阳·期中）琪琪用刻度尺按如图所示的方式画一数轴（刻度尺上为数轴上的个单位长度），数轴上的点，，恰好分别与刻度尺上的刻度值“”“”和“”对应． (1)若点表示的数为，则点表示的数应为_____，点表示的数应为_____； (2)若点与表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)若点，表示的数互为相反数，试求数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 13．（26-27七年级上·安徽阜阳·期中）解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数以及它们的相反数． ，0，2，，． 14．（26-27七年级上·辽宁锦州·期中）有以下各数： (1)将上面各数分别填入对应的集合中： 分数集合（                       …） 非负整数集合（                         …） (2)将这几个数表示在数轴上 15．（26-27七年级上·云南·期中）如图，点、在数轴上，点表示，点表示2． (1)点表示的数是_____，点表示的数是_____； (2)在数轴上表示出点和点； (3)写出数轴上与点的距离为4个单位长度的点所表示的数． 题型4利用数轴直接比较有理数大小（共4小题） 【模型】数轴右大左小模型 【步骤】①在数轴上找到两个数对应的点；②观察位置，右边的数大于左边的数；③写出大小关系 【易错】搞反方向，误以为左边数更大 16．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”连接起来． ，，，0，， 17．（26-27七年级上·甘肃定西·期中）解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，0，5，，，3，． 18．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）在数轴上画出表示数，，3，，的点，把这组数从小到大用“”号连接起来． 19．（26-27七年级上·江西萍乡·期中）把下列各数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“<”连接起来． ，0，，，，． 提升·进阶突破 题型5数轴上点单次平移，求平移后对应的数（共4小题） 【模型】数轴平移加减模型：右加左减 【步骤】①确定起点表示的数；②向右平移用加法，向左平移用减法；③列式计算结果 【易错】平移方向和运算搞反，向左平移错用加号 20．（25-26七年级下·山东滨州·期中）在数轴上，点A向右平移4个单位长度后，所得对应的点B表示的数是3，则点A表示的数为___________． 21．（25-26七年级上·四川成都·期中）点A在数轴上表示的数是，从A点出发先向右平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度到达点B，则点B表示的数是_____． 22．（26-27七年级上·吉林·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)求两点间的距离； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． ①当时，求点表示的数； ②求点相遇的时间及相遇点表示的数； ③当点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值． 23．（26-27七年级上·广西崇左·期中）已知M、N在数轴上，M对应的数是，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点： (1)直接写出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，求点P所对应的数； (3)如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？ 题型6求数轴上两点之间的距离（共5小题） 【模型】数轴两点距离模型：距离=右侧数−左侧数（或者两数之差的绝对值） 【步骤】①分清两点谁在左、谁在右；②用右边的数减去左边的数；③结果为距离（距离一定是非负数） 【易错】直接用左边减右边，得到负数；忘记距离不能为负 24．（26-27七年级上·陕西咸阳·期中）已知数轴上点表示的数互为相反数，且点在点的左侧．若点间的距离为2，则点表示的数为（     ） A． B．2 C． D．1 25．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 26．（20-21七年级上·陕西汉中·期末）在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 27．（25-26六年级上·山东东营·期末）如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是时，点表示的数是（  ） A． B． C． D． 28．（26-27七年级上·全国·单元复习）在数轴上，有两点表示的两个数互为相反数，且这两个点之间的距离是8，则这两个点表示的数分别是________． 题型7折叠数轴后求值问题（共5小题） 【模型】数轴折叠对称模型：折叠后重合两点到折点距离相等 【步骤】①先求折点（中点）：中点=（重合两点的数相加）÷2；②利用中点距离相等，列等式求未知点；③检验两点到中点距离是否相同 【易错】不会求折叠中点；分不清谁和谁是一组重合点 29．（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，表示的点和表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合．    A． B．6 C．3 D． 30．（23-24七年级上·江西上饶·期末）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 31．（26-27七年级上·四川成都·期中）在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数________．      32．（24-25六年级上·上海·期末）在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为__________． 33．（26-27七年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知四个有理数在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为． （1）如果m互为相反数，在四个有理数中，绝对值最小的一个是___． （2）如果M与Q之间的距离等于2，沿某点将数轴向左折叠，使点N落在点Q处，点N，Q之间的距离为6，且点N表示的数是2，则点M表示的数是___． 题型8数轴上整点覆盖问题（共5小题） 【模型】线段覆盖整点计数模型 【步骤】①分两种情况：线段端点落在整点上/端点不在整点；②端点在整点：整点个数=长度+1；端点不在整点：整点个数=线段长度的整数部分 【易错】不分类讨论，直接统一用长度+1，漏情况 34．（26-27七年级上·全国·周测）如图，数轴的一部分被墨迹遮住了，则被遮住的整数有（     ） A．10个 B．13个 C．15个 D．17个 35．（26-27七年级上·山东枣庄·期中）如图小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 36．（26-27七年级上·河南驻马店·期中）如图，王林在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的整数不包括（     ） A． B． C．0 D．1 37．（26-27七年级上·四川宜宾·期中）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据：则被淹没的整数点有（     ）个． A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据如图的数值，判断墨迹盖住的整数个数为（   ） A． B． C． D． 题型9根据数轴上点的位置判断数的正负、简单大小关系（共5小题） 【模型】数轴位置符号判断模型 【步骤】①原点右侧的数为正数，原点左侧为负数；②越靠右数值越大；③对比多个点，写出大小顺序 【易错】靠近原点的负数，误认为数值更小（如-1比-2大） 39．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个有理数中，绝对值最小的一个是（     ） A． B． C． D． 40．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，点表示的有理数是，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 41．（26-27七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础．已知，，且，你可以通过数轴大致描述它们在数轴上的位置，从而比较大小．试比较，，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 42．（26-27七年级上·重庆渝北·期中）在数轴上表示、两数的点如下图所示，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 43．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知有理数，（均不等于），若，，，则，在数轴上对应的位置可能是（     ） A． B． C． D． 题型10点多次往返平移，求终点表示的数（共5小题） 【模型】多次平移累加模型：依次按右加左减运算 【步骤】①记下起始数；②每一次平移，向右加、向左减，依次列式；③合并计算，得到终点数字 【易错】多次移动时符号混乱，来回移动容易加减写错 44．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． (1)，，； (2)在点，之间是否存在一点，使得点到的距离是点到的距离的2倍，若存在，求点在数轴上对应的数，若不存在，请说明理由； (3)点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向左运动，点先以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点到达原点后，立即以原速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求在运动过程中，的最大值． 45．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 46．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 47．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）如图，已知数轴上有A、B、C三点，点O为原点，点A、B在原点的右侧，点C在原点的左侧，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足，． (1)_______，_______，_______（直接写出答案）； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t（）；当t为何值时，点P、Q刚好相距10个单位长度? (3)在（2）的条件下，若点M从点A以每秒6个单位长度的速度向左与P、Q同时运动，当点M与点P或点Q相遇时，则立即改变运动方向，以原来的速度向相反方向运动，当P、Q相遇时，三个点均停止运动，求点M运动的总路程． 48．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 题型11结合数轴理解绝对值的几何意义（距离含义）（共4小题） 【模型】绝对值几何距离模型：代表数轴上数与两点间距离 【步骤】①把绝对值式子翻译成两点距离；②在数轴找到对应两点；③根据距离含义求解或者判断范围a理解成a本身 【易错】忘记|是到原点的距离；分不清 49．（26-27七年级上·山东德州·期中）阅读材料：我们知道的几何意义是数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示数轴上数与数的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上、的对应点之间的距离． 【例1】已知，求的值． 解：因为数轴上与原点的距离为的点对应的数为和，所以的值为或． 【例2】已知，求的值． 解：因为数轴上与表示的点距离为的点对应的数为和，所以的值为或． 仿照上述解法，求下列各式中的值． (1)； (2)． (3)【拓展】的最小值为______． 50．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）综合与实践： 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．．例如：数轴上表示．与的两点间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示3和8两点之间的距离是_________；数轴上表示2和的两点之间的距离是_________； 【独立思考】 (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_________； (3)试用数轴探究：当时m的值为_________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： (4)利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【规律应用】 (5)工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使各工作台的工作人员取配件（只取一次）所走的路程最短？此时最短路程是多少米？ 51．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）【阅读】在数轴上，若点表示数，点表示数，则点与点之间的距离为． 例如：两点表示的数分别为，，那么． (1)若，则的值为_________． (2)当_________时，． (3)在数轴上，点表示数，点表示数．我们定义： 当时，点叫点的1倍伴随点， 当时，点叫点的2倍伴随点， … 当时，点叫点的倍伴随点． 试探究下列问题： 若点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，是否存在这样的点和点，使得点恰与点重合，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 52．（26-27七年级上·山东青岛·期中）综合探究 探索材料1（填空）： (1)数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为______；数轴上表示数3和-1的两点距离为______；则的意义可理解为数轴上表示数6和______这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和______这两点的距离； 探索材料2（填空）： (2)①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： (3)①的最小值是______； ②的最小值是______． 题型12数轴上的规律探索问题选填（共4小题） 【模型】数轴点循环排布规律模型 【步骤】①写出前几个点对应的数字；②找出循环周期；③用序号÷周期，看余数确定对应点；④得到答案 【易错】找错循环周期；余数为0的时候对应周期最后一个，判断出错 53．（26-27七年级上·辽宁锦州·期中）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（     ） A． B． C． D． 54．（2026七年级上·江苏·专题练习）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（） A．1011 B． C．505 D． 55．（26-27八年级上·河北衡水·期中）正六边形在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是（     ） A．C B．B C．D D．E 56．（26-27七年级上·辽宁大连·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0，1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转．翻转1次，点所对应的数为2，若翻转2026次，数轴上数2026所对应的点是_______． 题型13数轴上的规律探索问题解答题压轴（共3小题） 【模型】数轴递推规律探究模型 【步骤】①计算前3~4组数据，写出点对应的数；②归纳通项规律；③代入序号求值；④验证规律是否成立 【易错】归纳规律时符号出错；正负交替的规律难以总结 57．（26-27七年级上·山西太原·期中）综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且，则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 (1)如图1，若点表示的数是，点表示的数是6，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________． 【深入探究】 (2)如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 (3)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，，点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 58．（25-26七年级上·广西南宁·期中）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 59．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 1/41 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01数轴 基础·固本强基 题型1判断数轴画法是否规范（考查数轴三要素） 题型2有理数在数轴上的表示（重点） 题型3在数轴上标出给定有理数对应的点（重点） 题型4利用数轴直接比较有理数大小（重点） 提升·进阶突破 题型5数轴上点单次平移，求平移后对应的数（重点） 题型6求数轴上两点之间的距离（难点） 题型7折叠数轴后求值问题（难点） 题型8数轴上整点覆盖问题（重点） 题型9根据数轴上点的位置判断数的正负、简单大小关系 拔高·压轴破难 题型10点多次往返平移，求终点表示的数（难点） 题型11结合数轴理解绝对值的几何意义 题型12数轴上的规律探索问题选填（重难点） 题型13数轴上的规律探索问题解答题压轴（难点） 基础·固本强基 题型1判断数轴画法是否规范（考查数轴三要素）（共5小题） 【模型】对照数轴三要素判定模型→原点、正方向、单位长度三者缺一不可 【步骤】①检查是否有原点；②检查是否标注正方向（向右箭头）；③检查单位长度是否统一；④三项全部满足才是规范数轴 【易错】单位长度前后长短不一致、没有箭头、原点漏画都属于错误数轴 1．（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度逐一进行判断． 【详解】解：数轴需具备原点、正方向、单位长度三个要素，且数值从左到右依次增大． A项：数字排列顺序错误，应位于左侧，故A错误； B项：与之间距离大于与之间距离，单位长度不统一，故B错误； C项：具备原点、正方向、单位长度，且数值排列正确，故C正确； D项：图形中缺少原点，故D错误． 2．（26-27七年级上·河南周口·期中）四位同学画的数轴如下，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）逐一判断各选项． 【详解】解：A、数轴具备原点、正方向、单位长度，且数字排列顺序正确，故A正确． B、数轴上右边的数总比左边的大，、、位置颠倒，故B错误． C、数轴缺少正方向，故C错误． D、数轴的单位长度不统一，故D错误． 3．（26-27七年级上·山东德州·期中）下列各图中，表示的数轴正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向和单位长度，进行判断，即可作答． 【详解】解：A．缺少正方向，原选项不符合题意； B．单位长度不相同，原选项不符合题意； C．没有原点，原选项不符合题意； D．符合数轴的定义和三要素，原选项符合题意． 4．（26-27七年级上·陕西宝鸡·期中）下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：数轴需具备原点、正方向和单位长度三要素， 项，到与到的距离不相等，单位长度不统一，故错误； 项，直线右端无箭头，缺少正方向，故错误； 项，具备原点、正方向、单位长度，且刻度均匀，故正确； 项，原点左侧数字标注顺序错误，应位于的左侧，故错误． 5．（26-27七年级上·甘肃张掖·期中）下列选项中表示数轴不正确的是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】数轴的定义要求必须同时具备三个要素：原点、正方向、统一的单位长度，据此逐项判断即可. 【详解】解：选项A：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴； 选项B：没有标出原点，不符合要求，错误； 选项C：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴； 选项D：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴． 题型2有理数在数轴上的表示（共5小题） 【模型】有理数找点定位模型→先定符号，再按单位长度数格 【步骤】①判断数正负，确定在原点左侧还是右侧；②从原点出发，按单位长度数出对应格数；③在位置描点，标注数字 【易错】负分数找点方向搞反，负数从原点向左数，不是向右 6．（26-27七年级上·四川德阳·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，转次后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】通过列举前几次翻转后数轴上的数与正方形顶点的对应关系，发现每次翻转为一个循环周期，根据除以的余数确定对应的点． 【详解】解：由题意可知，正方形的边长为初始位置：点对应，点对应， 翻转次后：点对应，点对应， 翻转次后：点对应，点对应， 翻转次后：点对应，点对应， 翻转次后：点对应，点对应 数轴上的数与正方形顶点的对应关系每个数为一个循环周期，对应顺序为 数对应的点与数对应的点相同，即为点． 7．（26-27七年级上·重庆沙坪坝·期中）某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度．点对齐刻度．点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】先算出数轴上、两点的距离与刻度尺上、对应的长度，得到数轴上个单位对应刻度尺的长度，再根据刻度尺上的长度，求出数轴上的单位长度，最后结合点对应的数求出点对应的数． 【详解】解：∵点对应数，点对应数， ∴数轴上 ∵刻度尺上对齐，对齐， ∴刻度尺上 ∴数轴上个单位长度对应刻度尺 ∵刻度尺上， ∴数轴上 ∴ 8．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）在数轴上点表示，将点向右移动个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在数轴上点表示，将点向右移动个单位长度得到点， ∴点表示的数为． 9．（26-27七年级上·广东汕头·期中）如图，数轴上点表示的数互为相反数（点在点的左边），且两点间的距离为，则点表示的数是（     ）． A． B．4 C．8 D．－8 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两个数，在数轴上对应的点到原点（数字）的距离相等，并且分别在原点的左右两侧，即可得到答案． 【详解】解：∵点表示的数互为相反数，互为相反数的两点到原点的距离相等，相距， ∴两点到原点的距离均为， ∵点在点的左边， ∴点表示，点表示． 10．（26-27七年级上·福建厦门·期中）数轴上对应点A、B、C、D的位置如图所示，则这四个点中表示的数的绝对值最小的点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据绝对值的几何意义，数轴上离原点最近的点表示的数的绝对值最小求解即可． 【详解】解：观察数轴，点B离原点最近，则这四个点中表示的数的绝对值最小的点是点B． 题型3在数轴上标出给定有理数对应的点（共5小题） 【模型】有理数描点标注模型 【步骤】①分清正数、负数、0；②分数先确定在两个整数之间；③描实心点，在点上方写对应数字 【易错】空心点、实心点混淆；标注数字写在线上，规范要求写在点上方 11．（26-27七年级上·江西赣州·期中）在图中将数轴补充完整，并将下列各数在数轴上表示出来： ，，1，， 【答案】解：如图所示， 【详解】解：，，图略． 12．（26-27七年级上·安徽阜阳·期中）琪琪用刻度尺按如图所示的方式画一数轴（刻度尺上为数轴上的个单位长度），数轴上的点，，恰好分别与刻度尺上的刻度值“”“”和“”对应． (1)若点表示的数为，则点表示的数应为_____，点表示的数应为_____； (2)若点与表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)若点，表示的数互为相反数，试求数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】根据两点间的距离公式求出答案即可； 根据题意得到点表示的数为，然后通过点在点左侧个单位，列算式即可得到答案； 点，表示的数互为相反数，且点之间的距离为，从而求出数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 【详解】（1）解：若点表示的数为，则点表示的数应为，点表示的数应为， 故答案为：，； （2）解：因为点与表示的数互为相反数，且点之间的距离为， 所以点表示的数为， ∴点表示的数为； （3）解：因为点，表示的数互为相反数，且点之间的距离为， 所以数轴的原点对应刻度尺上的刻度值为． 13．（26-27七年级上·安徽阜阳·期中）解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数以及它们的相反数． ，0，2，，． 【答案】(1)点A表示，点D表示，点C表示，点B表示 (2)用数轴上的点表示各数如图： 【详解】（1）解：点A表示，点D表示，点C表示，点B表示． （2）解：的相反数是，0的相反数是，2的相反数是，的相反数是，的相反数是． 画图略 14．（26-27七年级上·辽宁锦州·期中）有以下各数： (1)将上面各数分别填入对应的集合中： 分数集合（                       …） 非负整数集合（                         …） (2)将这几个数表示在数轴上 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先化简，，，再根据有理数的分类逐个判断即可； （2）将所给各数表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：，，， ∴分数集合（…） 非负整数集合（…）； （2）略 15．（26-27七年级上·云南·期中）如图，点、在数轴上，点表示，点表示2． (1)点表示的数是_____，点表示的数是_____； (2)在数轴上表示出点和点； (3)写出数轴上与点的距离为4个单位长度的点所表示的数． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先确定数轴的单位长度，再根据点A、B在数轴上的位置，直接读取对应的数值即可． （2）先明确3.5和2在数轴上的位置区间，因为要表示正数，所以在0的右侧对应刻度处标记出点C和点D． （3）因为与点A距离为4个单位长度的点可能在A的左侧，也可能在A的右侧，所以分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知点表示的数是，点表示的数是； （2）解：点D表示2，对应数轴上标有“2”的刻度位置；点C表示3.5，位于刻度3和4的正中间，在对应位置标注两个点并写上对应字母． （3）解：由数轴知，在点的左侧且与点的距离为4个单位长度的点所对应的数为，在点的右侧且与点的距离为4个单位长度的点所对应的数为， 故数轴上与点的距离为4个单位长度的点所表示的数为或． 题型4利用数轴直接比较有理数大小（共4小题） 【模型】数轴右大左小模型 【步骤】①在数轴上找到两个数对应的点；②观察位置，右边的数大于左边的数；③写出大小关系 【易错】搞反方向，误以为左边数更大 16．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”连接起来． ，，，0，， 【答案】 【分析】先将，进行化简，在数轴上表示即可，按从左到右的顺序用“”连接． 【详解】解：，， 在数轴上表示略， 用“”连接略． 17．（26-27七年级上·甘肃定西·期中）解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，0，5，，，3，． 【答案】(1)点表示，点表示，点表示，点表示 (2)数轴表示如下： 从小到大排列结果为， 【分析】（1）根据四个点在数轴上的位置求解； （2）首先在数轴上表示，然后根据数轴左边的数小于右边的数求解． 【详解】（1）略 （2）略 18．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）在数轴上画出表示数，，3，，的点，把这组数从小到大用“”号连接起来． 【答案】解：数轴如下： 从小到大排序为：． 【分析】先对题目中的数进行化简，，，再在数轴上标出各数，利用数轴上左边的数小于右边的数比较大小． 【详解】略 19．（26-27七年级上·江西萍乡·期中）把下列各数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“<”连接起来． ，0，，，，． 【答案】 【详解】解：； 略 提升·进阶突破 题型5数轴上点单次平移，求平移后对应的数（共4小题） 【模型】数轴平移加减模型：右加左减 【步骤】①确定起点表示的数；②向右平移用加法，向左平移用减法；③列式计算结果 【易错】平移方向和运算搞反，向左平移错用加号 20．（25-26七年级下·山东滨州·期中）在数轴上，点A向右平移4个单位长度后，所得对应的点B表示的数是3，则点A表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据数轴的特点，数轴从左到右表示的数越来越大，数轴平移的特点是左减右加，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 点A所表示的数向右平移4个单位长度后，得到的点B所表示的数是3， ∴点A表示的数是：． 21．（25-26七年级上·四川成都·期中）点A在数轴上表示的数是，从A点出发先向右平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度到达点B，则点B表示的数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上点的平移规律，熟练掌握“向右平移对应数加，向左平移对应数减”是解题的关键． 根据数轴上点的平移规律“向右平移数加，向左平移数减”，先对起始点进行向右平移操作，再进行向左平移操作，计算最终点表示的数． 【详解】解：∵点表示的数是，向右平移个单位长度， ∴平移后表示的数为， 又∵再向左平移个单位长度， ∴最终点表示的数为， 故答案为：． 22．（26-27七年级上·吉林·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)求两点间的距离； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． ①当时，求点表示的数； ②求点相遇的时间及相遇点表示的数； ③当点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值． 【答案】(1) (2)①；②秒，相遇点为；③或 【分析】（1）由数轴上两点之间距离的表示方法求解即可； （2）①由题意表示出点表示的数，代入计算即可；②由相向而行的行程问题公式列式求解即可得到点相遇的时间，再由相遇时间计算点（或点）运动距离即可得出相遇点表示的数；③根据题意，分两种情况，由行程问题的公式列式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， ； （2）解：①设运动时间为秒， 由题意可得，点表示的数为；点表示的数为， 当时，；， 则点表示的数分别为； ②由题意可知，点相向而行，则相遇时所花时间为（秒）； 方法一：若以点来计算，相遇点在点右侧，相遇时点运动了个单位长度，则相遇点表示的数为； 方法二：若以点来计算，相遇点在点左侧，相遇时点运动了个单位长度，则相遇点表示的数为； ③根据题意，两点相距个单位长度有两种情况： 相遇前，两点合走个单位长度，用时（秒）； 相遇后，两点合走个单位长度，用时（秒）； 综上所述，运动时间的值为或． 23．（26-27七年级上·广西崇左·期中）已知M、N在数轴上，M对应的数是，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点： (1)直接写出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，求点P所对应的数； (3)如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？ 【答案】(1)1 (2)或 (3)点P对应，点Q对应或点P对应，点Q对应 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）分两种情况：①点P在点M的左边；②点P在点N的右边；进行讨论即可求解； （3）分两种情况：①点P在点Q的左边；②点P在点Q的右边；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵点M对应的数是，点N在M右边4个单位， ∴， （2）， ①点P在点M的左边：， ②点P在点N的右边：． 故点P所对应的数是或． （3）解：①点P在点Q的左边： =12÷1 （秒）， 点P对应的数是，点Q对应的数是； ②点P在点Q的右边： =16÷1 （秒）； 点P对应的数是，点Q对应的数是． 题型6求数轴上两点之间的距离（共5小题） 【模型】数轴两点距离模型：距离=右侧数−左侧数（或者两数之差的绝对值） 【步骤】①分清两点谁在左、谁在右；②用右边的数减去左边的数；③结果为距离（距离一定是非负数） 【易错】直接用左边减右边，得到负数；忘记距离不能为负 24．（26-27七年级上·陕西咸阳·期中）已知数轴上点表示的数互为相反数，且点在点的左侧．若点间的距离为2，则点表示的数为（     ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据相反数定义，数轴上两点间距离公式，进行求解即可． 【详解】解：∵点，表示的数互为相反数， ∴，两点分别在原点两侧，且到原点的距离相等， ∵，两点间的距离为2， ∴点到原点的距离为， ∵点在点左侧， ∴点在原点左侧，表示的数为． 25．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴知，点在点的左边， ∴点表示的数是． 26．（20-21七年级上·陕西汉中·期末）在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设点表示的数为，根据在点右侧，分在、之间和在右侧两种情况，利用数轴上两点间距离的性质列方程求解即可. 【详解】解：设点表示的数为， ∵点在点右侧， ∴， ①当点在、之间，即时， 由数轴上点的位置关系可得，，， ∵， ∴该情况不符合题意； ②当点在点右侧，即时， 可得，， ∴， 解得，符合题意； 综上，点表示的数为. 27．（25-26六年级上·山东东营·期末）如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是时，点表示的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点的坐标特征及相反数的定义，关键是理解“位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数”． 【详解】解：∵点和点在数轴上分别位于原点两侧，且， ∴点表示的数与点表示的数互为相反数． 又∵点表示的数是，的相反数是， ∴点表示的数是； 故选：D． 28．（26-27七年级上·全国·单元复习）在数轴上，有两点表示的两个数互为相反数，且这两个点之间的距离是8，则这两个点表示的数分别是________． 【答案】4， 【分析】互为相反数的两点关于原点对称，两点间的距离等于两个数绝对值的和，已知距离为8，计算即可得到结果． 【详解】解：∵两个数互为相反数，对应点在数轴上， ∴这两个点到原点的距离相等， ∵这两个点之间的距离是， ∴每个点到原点的距离为， ∴这两个点表示的数分别是和． 题型7折叠数轴后求值问题（共5小题） 【模型】数轴折叠对称模型：折叠后重合两点到折点距离相等 【步骤】①先求折点（中点）：中点=（重合两点的数相加）÷2；②利用中点距离相等，列等式求未知点；③检验两点到中点距离是否相同 【易错】不会求折叠中点；分不清谁和谁是一组重合点 29．（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，表示的点和表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合．    A． B．6 C．3 D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件确定对称点，然后再求出结论即可． 【详解】解：∵表示的点与表示的点重合， ∴折痕处所表示的数为：， ∴表示的点与数表示的点重合． 故选：C． 【点睛】本题主要考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键． 30．（23-24七年级上·江西上饶·期末）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，图1中的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点C表示的数． 【详解】解：图1：， 图2：，   ， 点C表示的数是：， 故选：C． 31．（26-27七年级上·四川成都·期中）在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数________．      【答案】或或 【分析】先根据比例算出三条线段的长度分别为、、，再采取三种排列顺序依次找出三条线段，又因为是折叠剪开，所以找出中间那一段的中点就是折痕处所对应的点． 【详解】解：设三条线段的长度分别为、、， 由题意得，解得， 所以三条线段的长度分别为、、， ∵原线段范围：数轴从到，折叠后剪一刀，得到三段线段， ∴三段线段排列顺序有种情况：①，，；②，，；③，，； 设折痕处对应的点为，根据折叠性质，折痕点必为其中一条线段的中点． 情况①：三段线段依次为，，， 起点为，第一段为：，第二段为：，第三段为： ∴折痕是中间线段的中点：． 情况②：三段线段依次为，，； 起点为，第一段为：，第二段为：，第三段为： ∴折痕是中间线段的中点：． 情况③：三段线段依次为，，； 起点为，第一段为：，第二段为：，第三段为： ∴折痕是中间线段的中点：． 综上可得，折痕处对应的点可能表示的数为或或． 32．（24-25六年级上·上海·期末）在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的有理数，先根据A，B点表示的数求出线段长，再分两种情况讨论：并根据折叠后的长求出的长，进而确定点C表示的有理数． 【详解】解：∵点A，B点表示的数分别是， ∴． 当折叠后点A在点B的右边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是； 当折叠后点A在点B的左边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是． 所以点C表示的数是或． 故答案为：或． 33．（26-27七年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知四个有理数在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为． （1）如果m互为相反数，在四个有理数中，绝对值最小的一个是___． （2）如果M与Q之间的距离等于2，沿某点将数轴向左折叠，使点N落在点Q处，点N，Q之间的距离为6，且点N表示的数是2，则点M表示的数是___． 【答案】 【分析】（1）根据题意m与p互为相反数，且中点为坐标原点，即可找出绝对值最小的数； （2）根据题意可得点Q表示的数，则可得点M表示的数． 【详解】解：依题意得 （1）与p互为相反数， ，且． ∴绝对值最小的是点Q表示的数q． （2）点N，Q之间的距离为6，且点N表示的数是2， 点Q表示的数是． 点M与Q之间的距离等于2， 点M表示的数是． 题型8数轴上整点覆盖问题（共5小题） 【模型】线段覆盖整点计数模型 【步骤】①分两种情况：线段端点落在整点上/端点不在整点；②端点在整点：整点个数=长度+1；端点不在整点：整点个数=线段长度的整数部分 【易错】不分类讨论，直接统一用长度+1，漏情况 34．（26-27七年级上·全国·周测）如图，数轴的一部分被墨迹遮住了，则被遮住的整数有（     ） A．10个 B．13个 C．15个 D．17个 【答案】B 【详解】解：由题意得，被遮住的整数为，，，，，，7，8，9，10，11，12，13， 所以被遮住的整数有13个． 35．（26-27七年级上·山东枣庄·期中）如图小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据数轴上的点表示的数的规律可知：在和之间的整数有和，所以墨迹盖住的整数有个． 【详解】解：在和之间的整数有和， 墨迹盖住的整数有个． 36．（26-27七年级上·河南驻马店·期中）如图，王林在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的整数不包括（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，墨迹盖住的整数有， 故墨迹盖住的整数不包括． 37．（26-27七年级上·四川宜宾·期中）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据：则被淹没的整数点有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上两点间的整数个数计算方法，分别求出两处墨水覆盖范围内的整数个数，再求和即可． 【详解】解：左侧墨水淹没的范围在，之间， 则该范围的整数有个， 右侧墨水淹没的范围在，之间， 该范围的整数有个， 故被淹没的整数点有个． 38．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据如图的数值，判断墨迹盖住的整数个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了数轴，理解整数的概念，能够结合数轴得到被覆盖的范围，进一步根据整数这一条件求解是解答本题的关键．结合数轴，知道墨迹盖住的范围有两部分，即大于小于，大于小于，写出其中的整数即可． 【详解】解：结合数轴得，第一部分盖住的整数有：，，，，， 第二部分盖住的整数有：，，，， 两部分一共盖住个整数， 故选：D． 题型9根据数轴上点的位置判断数的正负、简单大小关系（共5小题） 【模型】数轴位置符号判断模型 【步骤】①原点右侧的数为正数，原点左侧为负数；②越靠右数值越大；③对比多个点，写出大小顺序 【易错】靠近原点的负数，误认为数值更小（如-1比-2大） 39．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个有理数中，绝对值最小的一个是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据确定原点位置，结合数轴上点的位置关系判断绝对值大小． 【详解】解：， 与互为相反数，原点在线段的中点处， ， 由图可知， 点在点左侧，则， 点在点与点之间， 点到原点的距离小于点到原点的距离，即， 最小． 40．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，点表示的有理数是，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在数轴上的位置，结合数轴上的数左边比右边的大，进行比较即可． 【详解】解：由图可知：， 所以， ∴． 故选A． 41．（26-27七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础．已知，，且，你可以通过数轴大致描述它们在数轴上的位置，从而比较大小．试比较，，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助数轴，根据题意在数轴上分别表示出，，，，根据在数轴上的数，右边的数总比左边的大，通过数轴可以直观的比较它们的大小． 【详解】∵，，且， ∴在数轴上分别表示出，，，，如图： 通过观察数轴可得：． 42．（26-27七年级上·重庆渝北·期中）在数轴上表示、两数的点如下图所示，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用相反数的几何意义在数轴上找到表示和的点，再根据数轴上的点从左往右的顺序就是所表示的数从小到大的顺序比较大小即可． 【详解】解：表示和的点在数轴上的位置如图所示： ∴． 43．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知有理数，（均不等于），若，，，则，在数轴上对应的位置可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，且有理数，均不等于， ∴m是正数，n是负数， ∵， ∴m到原点的距离大于n到原点的距离， 四个选项中只有B选项符合． 题型10点多次往返平移，求终点表示的数（共5小题） 【模型】多次平移累加模型：依次按右加左减运算 【步骤】①记下起始数；②每一次平移，向右加、向左减，依次列式；③合并计算，得到终点数字 【易错】多次移动时符号混乱，来回移动容易加减写错 44．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． (1)，，； (2)在点，之间是否存在一点，使得点到的距离是点到的距离的2倍，若存在，求点在数轴上对应的数，若不存在，请说明理由； (3)点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向左运动，点先以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点到达原点后，立即以原速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求在运动过程中，的最大值． 【答案】(1)，，6 (2)存在，点在数轴上对应的数为 (3)20 【分析】（1）利用多项式的定义，即可求出，，的值； （2）存在，设点在数轴上对应的数是，根据点到的距离是点到的距离的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设运动时间为秒，分为及两种情况考虑．当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，利用数轴上两点间的距离的定义，可得出，，将其代入中，可得出，结合，可得出；当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，利用数轴上两点间的距离的定义，可得出，，将其代入中，可得出，综上，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是， ∴，，． 故答案为：，，6； （2）解：存在，理由如下： 设点在数轴上对应的数是， 根据题意得：， 解得：． ∴存在，点在数轴上对应的数为； （3）解：点C到原点的时间为秒， 设运动时间为秒， 当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴； 当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴， 综上所述，在运动过程中，的最大值为20． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，多项式的系数的概念以及列代数式，解题的关键是用代数式表示出点的位置以及线段长． 45．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 46．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 47．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）如图，已知数轴上有A、B、C三点，点O为原点，点A、B在原点的右侧，点C在原点的左侧，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足，． (1)_______，_______，_______（直接写出答案）； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t（）；当t为何值时，点P、Q刚好相距10个单位长度? (3)在（2）的条件下，若点M从点A以每秒6个单位长度的速度向左与P、Q同时运动，当点M与点P或点Q相遇时，则立即改变运动方向，以原来的速度向相反方向运动，当P、Q相遇时，三个点均停止运动，求点M运动的总路程． 【答案】(1)5，8， (2)9或19秒 (3)84 【分析】（1）根据绝对值和平方数的非负性可以得解； （2）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，则，即可求解； （3）当P、Q相遇时，，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵，点C在原点的左侧， ∴． （2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， ∵点P、Q相距10个单位长度， ∴， 解得，， ∴当t为9或19秒时，点P、Q刚好相距10个单位长度． （3）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， ∴当P、Q相遇时，， 解得， ∴点M运动的总路程为． 48．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 题型11结合数轴理解绝对值的几何意义（距离含义）（共4小题） 【模型】绝对值几何距离模型：代表数轴上数与两点间距离 【步骤】①把绝对值式子翻译成两点距离；②在数轴找到对应两点；③根据距离含义求解或者判断范围a理解成a本身 【易错】忘记|是到原点的距离；分不清 49．（26-27七年级上·山东德州·期中）阅读材料：我们知道的几何意义是数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示数轴上数与数的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上、的对应点之间的距离． 【例1】已知，求的值． 解：因为数轴上与原点的距离为的点对应的数为和，所以的值为或． 【例2】已知，求的值． 解：因为数轴上与表示的点距离为的点对应的数为和，所以的值为或． 仿照上述解法，求下列各式中的值． (1)； (2)． (3)【拓展】的最小值为______． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（）根据绝对值的几何意义，找出数轴上到原点距离为的点对应的数即可； （）将转化为，再找出数轴上与表示的点距离为的点对应的数即可； （）利用绝对值的几何意义，将式子转化为点到两点的距离之和，结合数轴求出最小值即可． 【详解】（1）解：∵数轴上与原点的距离为的点对应的数为和， ∴的值为或； （2）解：， ∵数轴上与表示的点距离为的点对应的数为和， ∴的值为或； （3）解：∵表示数轴上数对应的点与数对应的点之间的距离，表示数轴上数对应的点与数对应的点之间的距离， ∴表示数轴上数的对应点到数、数的对应点的距离之和， 当数的对应点在数与数的对应点之间（含端点）时，距离之和最小，最小值为， ∴的最小值为． 50．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）综合与实践： 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．．例如：数轴上表示．与的两点间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示3和8两点之间的距离是_________；数轴上表示2和的两点之间的距离是_________； 【独立思考】 (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_________； (3)试用数轴探究：当时m的值为_________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： (4)利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【规律应用】 (5)工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使各工作台的工作人员取配件（只取一次）所走的路程最短？此时最短路程是多少米？ 【答案】(1)5，3 (2) (3)或4 (4)的最小值为3，x可取的整数值为2，3，4，5 (5)配件箱放在中间的工作台E上所走的路程最短，最短路程是40米 【分析】（1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据绝对值的几何意义用代数式表示即可； （3）根据绝对值的几何意义分两种情况讨论求解即可； （4）根据绝对值的几何意义得到表示x到2的距离和x到5的距离之和，然后分情况讨论求解即可； （5）同上利用绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示3和8的两点之间的距离是；数轴上表示2和的两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为； （3）解：表示m到1的距离等于3， 由数轴得，当m在1左边时，；当m在1右边时，； （4）解：表示x到2的距离和x到5的距离之和， 由数轴可得，当时，x到2的距离和x到5的距离之和大于2和5之间的距离3， 当时，x到2的距离和x到5的距离之和等于2和5之间的距离3， 当时，x到2的距离和x到5的距离之和大于2和5之间的距离3， ∴的最小值为3， 此时x可取的整数值为2，3，4，5； （5）解：设9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I分别为数轴上的点， 根据题意得，当配件箱放在中间的工作台E上时，能使工作台上的工作人员取配件（只取一次）所走的路程最短 ∴最短路程为（米）． 51．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）【阅读】在数轴上，若点表示数，点表示数，则点与点之间的距离为． 例如：两点表示的数分别为，，那么． (1)若，则的值为_________． (2)当_________时，． (3)在数轴上，点表示数，点表示数．我们定义： 当时，点叫点的1倍伴随点， 当时，点叫点的2倍伴随点， … 当时，点叫点的倍伴随点． 试探究下列问题： 若点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，是否存在这样的点和点，使得点恰与点重合，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）由题中定义直接求解即可； （2）由题中定义列式计算即可； （3）令点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是，由倍伴随点的定义及两点之间距离定义得出的值，按照表示的值，即可求出线段的长． 【详解】（1）解：由可知，数轴上表示的点与表示的点的距离为， ； （2）解：是指数轴上表示的点与表示的点的距离为， 数轴上与距离个单位长度的数是或； （3）解：令点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是， 点是点的1倍伴随点， ，则由两点之间距离定义可知或； 点是点的2倍伴随点， ，则由两点之间距离定义可知或； 若点恰与点重合，即，则由上述的值可分四种情况： 当、时，则， ，即线段的长为； 当、时，则， ，即线段的长为； 当、时，则， ，即线段的长为； 当、时，则， ，即线段的长为； 综上所述，存在这样的点和点，线段的长为或． 52．（26-27七年级上·山东青岛·期中）综合探究 探索材料1（填空）： (1)数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为______；数轴上表示数3和-1的两点距离为______；则的意义可理解为数轴上表示数6和______这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和______这两点的距离； 探索材料2（填空）： (2)①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： (3)①的最小值是______； ②的最小值是______． 【答案】(1)3，4，， (2)①点A和点B之间 ②点B处 (3)①7 ②8 【分析】（1）根据两点之间的距离逐个解答； （2）根据（1）的理解解答即可； （3）①原式表示x到的距离与x到4的距离之和，解答即可； ②原式表示x到的距离与x到与x到2的距离之和，可知x在处可得最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点距离为，数轴上表示数3和的两点距离为，则的意义可理解为数轴上表示6和这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； （2）解：①供应点P设在A左侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 供应点P设在B右侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 供应点P设在A与B之间时，P到A的距离与P到B的距离之和最小值为； ②供应点P设在B处时，P到A，B，C的距离之和最小为； （3）解：①表示x到的距离与x到4的距离之和， ∴最小值为； 表示x到的距离与x到与x到2的距离之和， ∴的最小值是． 题型12数轴上的规律探索问题选填（共4小题） 【模型】数轴点循环排布规律模型 【步骤】①写出前几个点对应的数字；②找出循环周期；③用序号÷周期，看余数确定对应点；④得到答案 【易错】找错循环周期；余数为0的时候对应周期最后一个，判断出错 53．（26-27七年级上·辽宁锦州·期中）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算数轴上两点间距离，根据圆周长确定循环周期，利用余数判断重合数字． 【详解】解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ∵圆的周长为， ∴每滚动个单位长度为一个循环周期， ∵， ∴圆滚动了周后，又向右滚动了个单位长度， ∵初始时数字与重合，向右滚动个单位对应，滚动个单位对应，滚动个单位对应， ∴数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是． 54．（2026七年级上·江苏·专题练习）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（） A．1011 B． C．505 D． 【答案】A 【详解】先得到前四次蚂蚁到达的位置，依此类推得到一般性规律，即可得到结果． 【分析】解：蚂蚁第一次到达的位置为1， 蚂蚁第二次到达的位置为， 蚂蚁第三次到达的位置为2， 蚂蚁第四次到达的位置为， …… 依此类推，第次到达n，第次到达，（其中n为正整数）， ∵ 故第2021次到达1011． 55．（26-27八年级上·河北衡水·期中）正六边形在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是（     ） A．C B．B C．D D．E 【答案】A 【分析】根据点从1开始，每翻转6次一个循环，利用，根据余数的情况进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是. 56．（26-27七年级上·辽宁大连·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0，1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转．翻转1次，点所对应的数为2，若翻转2026次，数轴上数2026所对应的点是_______． 【答案】 【分析】正方形在数轴上翻转，每4次为一个循环周期，数轴上的整数与正方形顶点的对应关系随之循环，计算2026除以4的余数即可确定对应顶点. 【详解】解：由题意可知，正方形的边长为1，初始位置点对应0，点对应1.翻转1次，点对应2；翻转2次，点对应3；翻转3次，点对应4；翻转4次，点对应5， 每4次翻转为一个循环周期，数轴上的数对应的顶点由除以4的余数决定， ， 数2026对应的点与数2对应的点相同， 数2对应的点是， 数2026对应的点是. 题型13数轴上的规律探索问题解答题压轴（共3小题） 【模型】数轴递推规律探究模型 【步骤】①计算前3~4组数据，写出点对应的数；②归纳通项规律；③代入序号求值；④验证规律是否成立 【易错】归纳规律时符号出错；正负交替的规律难以总结 57．（26-27七年级上·山西太原·期中）综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且，则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 (1)如图1，若点表示的数是，点表示的数是6，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________． 【深入探究】 (2)如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 (3)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，，点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)2，10，12 (2)不变；10 (3) 【分析】（1）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （2）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （3）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． 【详解】（1）解：点表示的数是，点与点表示的数互为相反数， 表示的数是． 表示的数是6，， ， ， ，（舍去，与重合） 表示的数是． ． （2）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是，， ， ， ， ，（舍去，与重合） ． 不管怎么变化，为固定值，且是10． （3）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是， ， ， ，（舍去，与重合） ． 58．（25-26七年级上·广西南宁·期中）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2024次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 59．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中，点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 1/41 学科网（北京）股份有限公司 $