2026—2027学年苏科版九年级数学上册期中模拟考试培优卷

2026年九年级数学上学期期中模拟考试培优卷苏科版2026—2027学年九年级数学上册 （测试范围：第1章到第3章，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c=0 B．x2-xy+y2=0 C．x2-1=0 D． 2．一元二次方程的根的情况是（ ） A．方程没有实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一个实数根 3．已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，那么的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 5． 如图，点 A，B， C，D在⊙O上，， ∠ACB=35°，则∠DBC等于(　　) A．60° B．55° C．45° D．35° 6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝（　　） A．50° B．25° C．40° D．65° 7．如图，反比例函数 的图象与过点(-1，0)的直线AB相交于A、B两点.已知点A 的坐标为(1，3)，点 C为x轴上任意一点.如果S△ABC=9，那么点 C的坐标为(　　) A．(-3，0) B．(5，0) C．(-3，0)或(5，0) D．(3，0)或(-5，0) 8．如图所示，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分，两点，则矩形的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．一元二次方程的两个根为，则的值为（　　） A．2 B．6 C．8 D．14 10．如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（　　） A． B． C． D．3 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为　 　. 12．已知x=2是关于x的一元二次方程的一个根，则m=　 　. 13．若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是　 　． 14．已知两点在双曲线上，且，则m的取值范围是　 　． 15．如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=12，则的长为　 　 . 16．如图， △ABC的边AC与⊙O相交于C， D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为点B.如果∠A= 38°，那么∠C等于　 　. 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 18．如图，反比例函数与一次函数y=-x+3的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C. （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标. 19．如图， ⊙O是 的外接圆，AB 是⊙O的直径， 的平分线交⊙O于点 D，过点 D作BC的平行线交AC的延长线于点 E. （1）求证： DE是⊙O 的切线； （2）若 求⊙O的半径. 20．如图， AB是⊙O的直径， AB=10， C为⊙O上一点， P为⊙O外一点，连接OP， PC， OP∥AC，且∠OBP=90°. （1）求证： PC与⊙O 相切； （2）若∠OPB=30°， 求扇形OBC的面积. 21．为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子.已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元.在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元. （1）求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元? （2）在(1)的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克.市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10 千克.超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元(不考虑其他因素)，要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值. 22．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求的值． 23．直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、． （1）求的值及直线的解析式； （2）若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，面积为4时，求点坐标； （3）如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围． 24．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC． （1）求证：∠ACF=∠ADB； （2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长； （3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 参考答案 1．【答案】C 【解析】【解答】解：选项A：当a=0时退化为一次方程，不满足"一定是一元二次方程"； 选项B：含x、y两个未知数，是二元次方程，不符合； 选项C：只含x一个未知数，最高次数2且是整式方程，符合定义； 选项D：含分式，是分式方程，不符合整式方程要求； 故答案为：C. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴一元二次方程没有实数根． 故选：A． 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得，，，， ∵， ∴． 故答案为：D 4．【答案】C 【解析】【解答】解：在每一支图像上，y都随x的增大而增大， ， . 故答案为：C. 5．【答案】D 6．【答案】C 【解析】【解答】连接OC， ∵∠A=25°， ∴∠DOC=2∠A=50°， 又∵∠OCD=90°， ∴∠D=40°． 故选C． 7．【答案】D 【解析】【解答】∵AB过点（-1，0）， ∴设直线AB表达式为：y=m(x+1)， 将 (1，3) 代入，解得m=， ∴AB：y=(x+1)， 由(1，3)在反比例函数图象上，得k=3， 联立，解得x=1或-2， ∴B(-2，)， 设C(c，0)， ∴ ∴c=3或-5， ∴C坐标为 (3，0)或(-5，0) . 故答案为：D. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴矩形的面积为． 故选：D． 9．【答案】D 【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个根为，∴， ， 故答案为：D． 10．【答案】A 【解析】【解答】解：如图所示，过点E作轴于H，连接， ∵原点为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， 又∵点E也在双曲线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选：A． 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．【答案】1 【解析】【解答】解∶将代入原方程得∶， 解得 ． 故答案为：1. 13．【答案】 【解析】【解答】解：正比例函数 和反比例函数（）的图象都关于原点对称， ∴它们的交点也关于原点对称， ∵其中一个交点的坐标为， ∴另一个交点为． 故答案为：． 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵两点在双曲线上，且， ∴， 解得， 故答案为：． 15．【答案】10π 【解析】【解答】解：弧AB的长为 故答案为：10π. 16．【答案】26° 【解析】【解答】解：∵AB与⊙O相切，切点为点B， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO=90°， ∴∠AOB=90°-∠A=90°-38°=52°， ∠C=∠AOB=26° 故答案为：26°. 17．【答案】（1）， （2）， 18．【答案】（1）解：把点代入，得， ∴ 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C， ∴， 设， ∴， ∴， ∴或， ∴P的坐标为或． 19．【答案】（1）证明：连接， ∵是的外接圆，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线 （2）解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设的半径为，则：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为 20．【答案】（1）证明：连接OC， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA， ∵OP∥AC， ∴∠COP=∠OCA， ∠BOP=∠A， ∴∠COP=∠BOP， 在△COP和△BOP中， ∴△COP≌△BOP(SAS)， ∴∠OCP=∠OBP=90°， ∴OC⊥PC， 又∵点C为⊙O上一点， ∴PC与⊙O相切； （2）解：∵AB=10， ∴OB=5， ∵∠OPB=30°， ∠OBP=90°， ∴∠POB=60°， 由(1)知： ∠COP=∠BOP， ∴∠BOC=120°， ∴扇形OBC的面积为 21．【答案】（1）解：设黄金梨每千克的进价为x元，李子每千克的进价为y元， 由题意，得 解得 答：黄金梨和李子每千克的进价分别是 10元和 8 元； （2）解：由(1)可知，黄金梨原来每千克的售价为 10+4=14(元/千克)， 李子原来每千克的售价为8+2=10(元/千克)， 售价提高a元后，黄金梨和李子每千克的售价分别是(14+a)元/千克和(10+a)元/千克， 每千克的利润分别是(4+a)元/千克和(2+a)元/千克， 由题意，得((4+a)(100-10a)+(2+a)(140-10a)=960， 整理得 解得a1=2，a2=7， 经检验，当a=2或7时，两种水果的销售量均大于0，符合题意， 答：a的值为2 或7 22．【答案】（1）解：原方程总有两个不相等的实数根，中，，， ∴， ∴， ∴无论取何值，原方程的判别式恒大于零， ∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）解：中，，，且是原方程的两根，， ∴，， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， 整理得，， 解方程得，，， ∴的值或． 23．【答案】（1）解：点在反比例函数， 将点的坐标代入，得， ， 反比例函数为， 又在反比例函数， ，即， 点，在直线上 ，解得， 直线的解析式为； （2）解：情况一：直线与反比例函数的图象交于点、，在点上方的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示： 设， 面积为4， ，则，解得； 情况二：直线与反比例函数的图象交于点、，在点右侧的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示： 设， 面积为4， ，则，解得； 综上所述，或； （3）解：依据题意，直线平行于直线， 上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；在这两者之间的与封闭图形有交点，、关于点对称，即有为的中点，如图所示： 由题意，则， 当与反比例函数有且只有一个交点时，有两个相等的实数根， ，解得或（由图可知，负数舍去）， 此时，与轴的交点， ， ， 由直线的对称性可知，， 此时．与轴的交点， ． 24.【答案】（1）证明：连接AB，∵OP⊥BC，∴BO=CO，∴AB=AC，又∵AC=AD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，又∵∠ABD=∠ACF，∴∠ACF=∠ADB． （2）解：过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连接AF，则AN=m，∴∠ANB=∠AMC=90°，在△ABN和△ACM中，∴Rt△ABN≌Rt△ACM（AAS）∴BN=CM，AN=AM，又∵∠ANF=∠AMF=90°，在Rt△AFN和Rt△AFM中，∴Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），∴NF=MF，∴BF+CF=BN+NF+CM﹣MF，=BN+CM=2BN=n，∴BN=，∴在Rt△ABN中，AB2=BN2+AN2=m2+=m2+，在Rt△ACD中，CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+，∴CD=． （3）解：的值不发生变化，过点D作DH⊥AO于H，过点D作DQ⊥BC于Q，∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°，∴∠OAC=∠ADH，在△DHA和△AOC中，∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），∴DH=AO，AH=OC，又∵BO=OC，∴HO=AH+AO=OB+DH，而DH=OQ，HO=DQ，∴DQ=OB+OQ=BQ，∴∠DBQ=45°，又∵DH∥BC，∴∠HDE=45°，∴△DHE为等腰直角三角形，∴=，∴=．​ 学科网（北京）股份有限公司 $