2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第19章实数一元二次方程 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．如图，在菱形中，，边长为，则对角线的长为（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形 5．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C．D． 6．如图，在四边形中，对角线于点O，E，F，G，H分别为四边的中点，连接，若，，则四边形的面积为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 7．若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知多项式，多项式，其中，，均为正整数，下列说法： ①若，且关于的方程有无数个解，则； ②若，则存在实数使得； ③若，，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．如图是的网格，其中每个小正方形的边长均为1．与是一对位似三角形，且点B和点是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（    ） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 10．如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论：；是等腰直角三角形；；若点是的中点，则；⑤当时，，其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，为直角斜边上的中线，过作，交于．若，，则_________． 12．如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点，若菱形的边长为4，面积为24，则的值为___________． 13．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到，且自己不能抢自己发的红包．若此次抢红包活动所有红包均被抢完，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有_____人． 14．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是________． 15．如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，，则的坐标为________． 16．如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则__________；若，，则__________． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)；（配方法） (3)；（公式法） (4)；（因式分解法） 18．（8分）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，对角线AC的长是16，求四边形的面积． 19．（8分）如图，将的边延长至点，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的；②画出将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是位似图形，请直接写出位似中心的坐标为_________． 21．（9分）如图，直线，且分别交于A、B、C，交于D、E、F，已知，，． (1)求的长； (2)若与交于点O，且，，求的长． 22．（10分）如图，在矩形中，，动点分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在时刻，使得四边形为正方形？若存在求；不存在说明理由． 23．（10分）阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： 直接应用： (1)方程的解为_______________________； 间接应用： (2)已知实数m，n满足：，求的值． 拓展应用： (3)已知实数m，n满足：，且，求的值． 24．（11分）在中，，在直线上有一点D，连接，绕点D逆时针转动得到，连接，其中 (1)如图1，与交于点Q，平分，若，求的度数（用的代数式表示）； (2)如图2，点G为中点，点F为中点，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点F为中点，，当最小时，在直线上有一点M，沿翻折至，当面积最大时，请直接写出的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围：第19章实数~第21章一元二次方程 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，边长为6，则对角线BD的长为() D 人60 A.65 B.6 C12 D.6V2 【答案】B 【详解】解：四边形ABCD是菱形， .AB=AD=6 ∠A=60°， .△ABD是等边三角形， .BD=AD=6 2.下列方程中，一定是一元二次方程的是() A.2x+1=0 B.+2=1 C.3x2-2x-1=0 D.ax2+bx+c=0 【答案】C 【详解】解：A选项，2x+1=0的最高次数是1，是一元一次方程，A选项错误： B选项。+子-1的分母含有未知数x,不是整式方程、B选项箱武 C选项，3x2-2x-1=0的最高次数是2，是一元二次方程，C选项正确： D选项，未说明a≠0，当a=0时，ar2+bx+c=0不是一元二次方程，D选项错误， 3.下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是() A.a=4,b=5,c=6,d=10 B.a=2,b=3,c=4,d=6 试卷第1页（共3页） C.a=2,b=5,c=25,d=10 D.a=0.8,b=3,c=1,d=10 【答案】B a c 【分析】若四条线段a,b,c,d满足bd,则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证 即可 【详解】解：A、a=4,b=5,c=6,d=10 .a4c63 65,d10-5 4,3 55 ∴这组线段不成比例，故本选项错误， B、a=2,b=3,c=4,d=6. 0=2c-42 b3,d63: a c ..b d' 这组线段成比例，故本选项正确。 Ca=2,b=5,c=25,d=10 %-2=25 c 21515 65=5,d10=5, 255 55, 这组线段不成比例，故本选项错误. D、a=0.8,b=3,c=l,d=10 9-0.8=4c1 b-315,d-10: 41 15*10, 试卷第2页（共3页） ∴，这组线段不成比例，故本选项错误。 4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是() B A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是矩形 C.当AC⊥BD时，它是菱形 D.当∠ABC=90°时，它是矩形 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形的判定方法进行判断即可： 【详解】解：：当AB=BC时，ABCD是菱形： 当AC⊥BD时，ABCD是菱形： 当∠ABC=90°时，口ABCD是矩形： ∴A,C,D正确，B错误， 故选：B 5.如图，已知∠I=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是() B AB AD A.AC=AE B.∠B=LD C.∠C=∠AED D AB BC AD DE 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可. 【详解】解：：∠1=∠2， ∴.∠I+∠BAE=∠2+∠BAE, ∴.∠DAE=∠BAC, AB AD A、:ACAE: 试卷第3页（共3页） AB AC .ADAE· ∴.△ABCOAADE,不符合题意： B、,∠B=∠D ,△ABCPAADE,不符合题意； C、,∠C=∠AED .△ABC∽aADE,不符合题意： AB BC D、:AD=DE,夹角∠B和∠D不一定相等， ∴，不能证明△ABC∽△ADE,符合题意. 6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O,E,F,G,H分别为四边的中 点，连接EF,FG,GH,HE,若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为() A.10 B.12 C.14 D.15 【答案】B 【分析】证明四边形RGH是矩形，由三角形中位线定理得到F-号4C=4, FG=)BD=3,即可求出四边形EFGH的面积 2 【详解】解：：在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O,E,F,G,H分别为四边的 中点， .EF,GH,FG分别是△ABC△ACD,aCBD的中位线， :EFAC,GHIIAC.EF-TAC.GH=TAC.FG=IBD 2 ∴.EF GH,EF=GH, 试卷第4页（共3页） ,.四边形EFGH是平行四边形， .EH FG, :对角线AC⊥BD于点O, ,EF⊥FG, ∴四边形EFGH是矩形， ,AC=8,BD=6, EF-AC=4.FG=IBD=3. 2 ∴，四边形EFGH的面积为4×3=12 7.若关于*的一元二次方程2-2x+3m-1=0的两个实数根为，元，且满足 x2>x+x2-4 则实数m的取值范围是() 5 1 A.m 3 B.m≤ C.m< 3 D.3<m 2 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，列出关于的不等式，即可确 定m的取值范围。 【详解】解：方程有两个实数根， △=(-2)}2-4×2×(3m-1)≥0，x+x=1,x= 3m-1 2 解行0分 …3>x+54 3m-1>1-4, .2 解得m>-5 3 综上，m的取值范围是3m≤ Γ2 8.己知多项式C=x2+2x+m,多项式D=x2++l,其中m,k,I均为正整数，下列 试卷第5页（共3页） 说法： ①若m=1=3,且关于x的方程C=D有无数个解，则k=2; ②若k=1,则存在实数x使得C+D=0; ③若s=2+m,1=2+k+l,且s1-s-1=8,则满足条件的多项式D共有4个 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【分析】①代入m=I=3,将C=D整理为关于x的方程，根据“一元一次方程有无数解的 条件是一次项系数为0且常数项相等”，求出k的值并判断. ②代入k=1,写出C+D的表达式并整理为一元二次方程形式，计算判别式△；结合m,1为 正整数的条件，判断△的符号，从而确定方程是否有实数解 ③对等武1-5-1=8变形为6--)=9，代入=2+m、1=2+k+1得到 (1+m)1+k+)= 9:再根据mk,'为正整数的条件，分析9的正因数分解情况，统计符合 条件的解的组数，进而确定多项式D的个数， 【详解】解：①若m=1=3,且C=D有无数解， 则+2x+3=r++3,整理得2-)x=0. 方程有无数解的条件是系数为0，即2-k=0,得k=2,①正确： ②若k=1,则C C+D=2x2+3x+(m+l) 要存在实数x使C+D=0,需判别式 =32-4×2×(m+)=9-8(m+)≥0 :m,1为正整数，m+l≥2， ,8(m+)216△≤9-16=-7<0，方程无实数解，②错误： ③由1-S-1=8变形得 （s-1)(t-1)=9 其中S=2+m,1=2+k+1 试卷第6页（共3页） (1+m)1+k+l)=9 即V m,k,l均为正整数， ∴.1+m≥2,1+k+1≥1+1+1=3 ,9的正整数因数分解为1×9、3×3、9×1， .只有1+m=3,1+k+1=3,则m=2,k+l=2, ,k,1为正整数，.k=1,1=1: 因此满足条件的多项式D仅1个，故③错误. 综上所述，正确的个数是1个 9.如图是6×9的网格，其中每个小正方形的边长均为1.△ABC与△AB'C'是一对位似三 角形，且点B和点B是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置() A.有2个，一个在网格中，一个在网格外 B.有且只有1个，在网格外 C.有2个，均在网格中 D.没有在网格中的 【答案】C 【详解】解：画出△ABC如图， A 图① 图② 由图可得C选项符合题意， 10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、 AF BD M N EN EF ①△ABM∽ANEM②△AEN 分别交于 ，连接 、,有以下结论： 是 试卷第7页（共3页） 2 等腰直角三角形：③BE+DF=EF:④若点F是DC的中点，则CE=了CB:⑤当 BE√2 AE=AF时，EC 2,其中正确的个数是() M E A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【分析】①由角相等与对顶角证相似：②通过四点共圆导角证明等腰直角三角形：③用 旋转法证明半角模型核心等式BE+DF=EF;④设边长用勾股定理代数求解；⑤用对称 性与特殊角三角函数计算比值， 【详解】四边形ABCD是正方形， ∴.∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°. :∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME, ∴.△AMN∽aBME, AM MN BMME 又：∠AMB=∠EMN, .△ABMNEM ① ,故正确 ∴.∠AEN=∠ABD=45° ∴.∠NAE=∠AEN=45°， △AEN ② 是等腰直角三角形，故正确： 如图1所示， 试卷第8页（共3页） D N M 将 绕点顺时针旋转 得到 H B E 图1 .△AFD 90° △AHIB 则AF=AH,∠DAF=∠BAH,∠ABE=∠ABH=90° ·∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE, :∠ABE=∠ABH=90°， ∴H、B、E三点共线， 在△AEF和△AEH中， AE=AE ∠FAE=∠HAE AF=AH ∴.△AEF≌△AEH(SAS) ∴.EF=EH=BE+BH=BE+DF ③ ,故正确 设正方形的边长为2a,则DF=CF=aAP=V5a DFI‖AB FN DF 1 ANAB2· ∴AN=NE=2AF=25。 a 3 3 AE=4N=2v10 :BE=AF-AB=2a 3 CEC-1a=BC,故④E确 3 试卷第9页（共3页） 在△ABE和△ADF中， AB=AD ∠ABE=∠ADF=90° AE=AF .△ABE≌△ADF(HL) :BE=DF, BC=CD ∴.CE=CF, 假设正方形边长为1，设CE=x,则BE=1-x, 如图2，连接AC,交EF于H, A D M B E 图2 AE=AF CE=CF ∴.AC是EF的垂直平分线， ∴.AC⊥EF,OE=OF, 1 RtACEF中， 0C=号E=2 2 2, △EAF中，∠EA0=∠FA0=22.5°=∠BAE=22.5° :.OE=BE. AE=AE, ∴.RIABE≌RIAAOE(HL) .AO=AB=1. .AC=2=40+0C x=2 2 试卷第10页（共3页） x=2-V2 BE1-(2-2). EC 2-√2 2，故⑤正确. 【点睛】本题是正方形半角模型综合题，综合考查旋转全等、四点共圆、相似三角形、勾 股定理与三角函数.正方形内夹45°角（半角模型），优先用旋转构造全等，得到 BE+DF=EF；出现两个45°角共底边，联想四点共圆快速导角：几何多选题要逐条严格 推导，注意看清分式的分子分母：涉及线段比值时，设正方形边长为1简化计算 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11.如图，CD为直角△ABC斜边AB上的中线，过D作ED‖BC,交AC于E.若AE=4 ,CD=5,则BC= 【答案】6 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AB=2CD=10,根据平行线分线 段成比例得AE=EC=4,再根据勾股定理即可求出BC的长. 【详解】解：：CD为直角△ABC斜边AB上的中线， .AB=2CD=10,AD=DB ED‖BC, AE AD EC DB 1， .AE=EC=4. .AC=8, .BC=AB2-AC2 =6 12.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E, PF⊥AB于点F,若菱形ABCD的边长为4，面积为24，则PE+PF的值为 试卷第11页（共3页） D B 【答案】6 【分析】连接B即，通过菱形的周长和面积分别求出边长B、BC和S,最后由面积和 差即可求出PE+PF的值. 【详解】解：连接BP,如图， 四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠D, △ABC≌aCDA(SAS) S.ic =S.cn=c-x24=12 :菱形ABCD的边长为4， .AB=BC=CD=DA=4. SABC SABP+SBPC 。AB:PF+BCPE 1 =5×4×PF+5×4×PE, 2 =5×4(PE+PF). 2 1 即2×4(PE+PF)=12 则PE+PF=6 13.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红 试卷第12页（共3页） 包，并保证群内其他人都能抢到，且自己不能抢自己发的红包.若此次抢红包活动所有红 包均被抢完，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有一人. 【答案】12 【分析】设群内总人数为x,根据抢红包规则得到总收到红包数的表达式，列一元二次方 程求解，舍去不符合实际意义的解即可得到结果 【详解】解：设该群一共有x人， 根据规则，每人发1个红包，且自己不能抢自己发的红包，因此总收到红包数为 (x-1) x(x-1)=132 依题意，得： 整理得x2-x-132=0. x-12)(x+11)=0 因式分解得 x=12x2=-11 解 ,人数为正整数， 心舍去负根5-1 ∴.该群一共有12人 14.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 4m2+5mn 2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若(x-2)(mx+m)=0是倍根方程，则 n2 的值是 【答案】-1 【分析】先求出方程的两个根，根据倍根方程定义得到两种情况，求出m和n的关系，代 入所求分式计算即可. 【详解】解：解方程(x-2m+)=0.得5=2，名-册 m ,方程是倍根方程， 分两种情况讨论： 试卷第13页（共3页） 第一种情况：为，=2x,即m _卫=2×2=4，可得n=4m 4m2+5mn 4m2+5m(-4m）_4m2-20m2--16m2 代入n2得： （-4m)2 16m2 16m2-1 =2× n 第二种情况：名=2x,即 m 可得n=-m, 4m2+5mn 4m+5m(-m）_4m-5m2-t=-l 代入n2得： (-m)2 m2 4m2+5mn 综上， n2 的值为1 15.如图，将矩形纸片ABCD放入直角坐标系中，边BC在x轴上且过原点，连接OD.将 纸片沿OD折叠，使点C恰好落在边AB上点C'处，若AB=5,BC=3,则C'的坐标为 YA D 【答案】 【分析】由矩形的性质可得CD=AB=5,AD=BC=3,∠A=∠B=∠C=90°，由折叠 的性质可得CD=CD=5,∠C=∠OCD=90°，OC=OC,结合勾股定理计算得出 BC=1,设OC=OC=x,则B0=3-x,再结合勾股定理计算即可得出结果。 【详解】解：：四边形ABCD为矩形， .CD=AB=5,AD=BC=3,∠A=∠B=∠C=90°， 由折叠的性质可得CD=CD=5,∠C=∠OCD=90°，OC=OC, :4C'=VCD2-AD2=4 .BC'=AB-AC'=1. 试卷第14页（共3页) 设OC=OC'=x,则B0=BC-OC=3-x, 由勾股定理得BO2+BC2=OC2, :3-+1P=2 解得x= 3 4 B0=3-x= 3, ∴，C的坐标为 16.如图，在oABCD中，点E、F分别在边AB、BC上.AB=3,BC=6,若E、F分别 SADEE 是AB、BC中点，则SAD ;若BE=1,∠BEF=∠DEF=∠DFC,则DE=_ 3 【答案】 8 2+2V5 【分析】①取平行四边形边长的中点，连接对角线，通过两条平行线之间距离处处相等对 三角形作等面积转换，将。DEF拆成三个小三角形，每一个小三角形都占总面积的8，即 可求出面积比；②根据∠BEF=∠DEF=∠DFC,结合平行四边形的性质与外角和定理， 得出△EBF△EFDAFMD,通过导比例，求得BF=FM=V3,再根据Rt△DMN与Rt△DFN ,通过勾股定理即可计算出 DE-2+2W3 【详解】解：如图，取CD中点N,AD中点M,连接AC、BD、MF、EN、FN, 试卷第15页（共3页） M 四边形 为平行四边形， ABCD ..AO=OC,BO=OD .MF∥AB∥CD,AD∥E∥BC, 1 S.40=S.AM0=S.MXO=S.NDO=S.NOF =S.NCF =S.OF=.F= 8 ∴Sr=Sos+S0e+Se=S.Hm+Som+S.mB-=&SmD, 3 S.nr=3 SABCD 8: '∠BEF=LDEF=LDFC,∠EFC+LDFC=LBEF+LEBF, .∠EBF=∠EFD, .BEF△FED, EB EF BF DE, ~四边形ABCD为平行四边形， .AD∥BC, :∠ADF=∠DFC=LBEF ∴.四边形AEFD对角互补， 如图，作四边形AEFD外接圆， C.∠DAF=∠DEF=LADF .ADII BC, .∠BFA=∠FAD, .∠AFB=∠FEB, 试卷第16页（共3页） :∠ABF=∠FBE, △ABFn△FBE, ABBF BF BE F-3 解得 如图，在BC上取点M使得DM=DC,过点D作DN⊥MC, ” C.∠C=∠OMC CN=MN :AB∥CD .∠C+∠B=180° :∠DMC+∠B=180°， .∠DMF=∠B, ∠DFC=∠FEB, ∴△DFMn△FEB, EBEF EB FM FD BE :.FM BF=3 :.DM=3FM=3 BC=6, Mw-6-25-3-5 2 在RtDMN中， DN2+MN2=DM2 试卷第17页（共3页） 解得DN2=6N3-3, 在RIADFN中， DN2+FN2 DF2 解得DF=6+65 .'△EBF∽AEFD∽AFMD, DEDF DF DM, ∴DF2=DE·DM=3DE=6+6N3 DE=2+2V5 解得 3 故答案为：①8：②2+2√3， 【点睛】本题考查了平行四边形性质，一线三等角构造，相似三角形的判定与性质，四点 共圆与圆周角定理，勾股定理的运用等知识点，通过推导角与平行四边形性质运用找到相 似三角形是解题的关键. 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17.(8分)用适当的方法解下列方程. 1)(3x+2)}2=25 (2r-2x+6=0 （配方法) 8)r-5x+3=0 (公式法) ④*5x+4)-(5x+4)=0 (因式分解法) 【答案】(1) x=1,6=3 (2) 无实数根 试卷第18页（共3页） (3) 考5+g 5-13 x2= 2， 2 (4) 4 x=5,为=1 【详解】(1)解：(3x+2}=25 开方得3x+2=±5 当3x+2=5时，3x=3,解得x=1: 当3x+2=5时，3：-7，解得x=了 3: 7 即x=1,=3: (2)x2-2x+6=0 移项得x2-2x=6: 配方得2-2x+1=6+1即(x-少°=-5. 平方不可能为负数，因此方程无实数根： 3)x2-5x+3=0 其中a=1,b=-5,c=3 △=b2-4ac=(-5)2-4×1×3=13>0 x=5t3_5±3 2×1 2 即古-5+ _5-3 2, 2: (4)(5x+4)-(5x+4)=0 试卷第19页（共3页） 提取公因式得 5x+4)(x-1)=0 则5x+4=0或x-1=0 4 解得=一 5x3=1. 18.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AD相交于点 E,与BC相交于点F,AC中点为O,连接AF,CE. (1)求证：四边形AFCE是菱形： (2)若四边形AFCE的周长是40，对角线AC的长是16，求四边形AFCE的面积， 【答案】(I)证明：：平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD相交于点E, 与BC相交于点F,AC中点为O, .OA=OC,AD‖BC,AE=CE. ∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO ∠AEO=∠CFO ∠EAO=∠FCO AO=CO △AOE≌△COF(AAS) ∴OE=OF .四边形AFCE是平行四边形， ..AE=CE, ∴，四边形AFCE是菱形. (2)96 【分析】(1)根据平行四边形的性质，证明△1OB≌aCOF(M4S) 根据菱形的判定证明 即可： 试卷第20页（共3页） (2)根据菱形的性质，勾股定理，计算即可. 【详解】(1)略： (2)解：，四边形AFCE是菱形，且周长是40，对角线AC的长是16， AF=40 10,0A=AC=8,4C1EF,: 4 21 ∴.OF=VAF2-A02=6 ∴.EF=2OF=12 四边形AFCE的面积为：24C-BF=2×16x12=96 1 2 19.(8分)如图，将口ABCD的边AB延长至点E,使BE=AB,连接DE,EC,BD, 若DE=AD 0 (I)求证：四边形BECD是矩形： (2)若BC=5,AB=3,求口ABCD的面积， 【答案】(I)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AB∥CD,BC=AD, BE=AB, ∴.BE=CD, ,BE∥CD, ∴四边形BECD是平行四边形， .DE=AD. .'DE=BC, ∴，平行四边形BECD是矩形： (2)12 【分析】(I)先根据平行四边形的判定与性质证明四边形BECD为平行四边形，再根据矩 形的判定定理可得结论： 试卷第21页（共3页） (2)根据矩形性质得到BD⊥AB,再由勾股定理求得BD=4,然后利用平行四边形的面 积公式求解即可。 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可知，四边形BECD是矩形， .∠DBE=90°，即BD⊥AB, ·AD=BC=5,AB=3, :BD=VAD2-AB2=N53-32=4 ∴.平行四边形ABCD的面积=AB·BD=3×4=12 20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点坐标分别为 0(0,0)A(2,1) B(1,-2) B (1)0以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△0AB OAB 放大为原来的2倍得到的 ②画出将△OAB △02A,B2 左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的 OAB,△O2A,B2 (2)判断 是不是位似图形，若是位似图形，请直接写出位似中心的坐标为 【答案】(1)① 试卷第22页（共3页) x② (2)是位似图形， (-4,2) 【分析】1)0将O1、0B延长一倍，即可得到4与8，连接即可： ②根据平移的性质描点，然后连线即可： AA BB2 OO (2)作直线 ，,并判断是否交于同一个点即可。 【详解】(1)①略 ②略 AA BB2 OO (2)解：如图，直线 交于同一个点， △OAB,△O2AB2 是位似图形，且交点即为点M, -4,2) ∴.点M的坐标为 l121 21.(9分)如图，直线 ,且分别交于A、B、C,交5于D、B、R已知4B=9 ,AC=15,DF=20」 试卷第23页（共3页） D (I)求DE的长： ②四活与交于点0，且0D=10,E=3,求CF的长 【答案】(1)12 (2)15 AB DE 【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理，得到对应线段比例AC=DF,代入己知数 值即可求出DE: (2)先算出0E、0F 2∥13 △OBE∽△OCF 长度，再由 得到 根据相似三角形对应边成 比例列式，代入BE的长求出CF. 【详解】(1)解：“直线 AB=9 AC=15 DF=20 AB DE AC DF 9 DE 1520 ∴DE=12 (2)解：DE=12,DF=20,OD=10. ..OE=DE-OD=2.OF=DF-OD=10, :直线 ∥g ∴OBEAOCE OE BE OFCF· .BE=3. .23 10CF? ∴CF=15 试卷第24页（共3页） 22.(10分)如图，在矩形ABCD中，AB=15cm,AD=5cm,动点P,0分别从点A,C同 时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D (s) 移动（点P停止移动时，点Q也停止移动)·设移动时间为 PO,OB 连接 D Q←-C (1)当t为何值时，四边形PBCQ的面积为30cm? (2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得∠PB=90°？若存在，求出t的值：若不存 在，请说明理由. (3)是否存在时刻，使得四边形PBCO为正方形？若存在求t;不存在说明理由. 【答案】(1)3 (2)解：不存在一个时刻，使得∠PB=90°， 理由如下：如图，过点作QG1AB于点G,同理可得矩形BCQG,矩形AGQD 0-C 》P GB BG=CO=2tcm,QG=BC=5cm,PB=(15-3t)cm PG=AB-BG-APH15-21-3H15-5B02=Cg2+BC2=(2}'+52 ∠PQB=90 PO2+BO2=PB2 当 时，有 ∴(15-5}+52+(2)2+5=(（15-32 化简得，22-61+5=0， 试卷第25页（共3页） .△=62-4×2×5=-4<0 ∴此方程无实数解， ∴.不存在一个时刻，使得∠P2B=90°」 (3)解：不存在，理由如下： :四边形PBCO为正方形， .'PB=BC=Co=5cm P点运动的时间为05-5列3-9（移 0点运动的时间是5÷2=2.5（秒）， ,P、Q的时间不一样， .不存在该时刻。 【分析】(1)先求出BC=AD=5cm,AP=3tcm,C0=2icm,得到PB=15-3t,再根据 梯形的面积公式进行求解即可： (2)当∠POB=90°t,有Pg2+B0=P 时，有 ,列出方程，由△<0，说明方程无实数解。 进而可得不存在一个时刻，使得∠P2B=90°. (3)根据正方形的性质进行判断即可. 【详解】(I)解：在矩形ABCD中，BC=AD=5cm,AB IICD, ,点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动，移动时间为s, .AP =3tcm,Co=2tcm PB=AB-AP=(15-3t)cm :四边形PBC9的面积为30cm2, acQ+anxc=0. 试卷第26页（共3页） 即)(21+15-30)x5=30 解得1=3， ∴当1=3时，四边形PBC9的面积为30cm2: (2)略 (3)略 23.(10分)阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程(K-13x+36=0,如果我们把×看作一个整体，然后设y=2,则 原方程可化为广-13y+36=0 经过运算，原方程的解为：=2名4=3 .我们把以上 这种解决问题的方法通常叫做换元法. 材料2：已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,显然，n是方程 x2-x-1=0 m+n=1mn=-1 的两个不相等的实数根，由韦达定理可知 根据上述材料，解决以下问题： 直接应用： (1)方程x4-5x2+6=0的解为」 间接应用： ”+m (2)已知实数，满足：m2-5m+2=0,m2-5n+2=0,求m十n的值. 拓展应用： 11 1 3)已知实数m,n满足：+7=7，-n=7且n>0,求+的值. 【答案】4)=5，名=-5.考=3飞=-5 21 (2)2或2 (3)15 【分析】(1)仿照题意利用换元法解方程即可： 试卷第27页（共3页） (2)分两种情况：当m=n时，当实数，n是方程x2-5x+2=0的两个不相等的实数根 时，分别进行求解即可： 1 (3)令m=a，-n=6则g+a-7=0B+h-7=0:根据n>0:得出m*-m即 a≠b,再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解14山解今=，则6 y2-5y+6=0 ÷0-2y-3)=0 片=2为=3 x2=2或3 =5,=5.与=5x=5 (2)解：实数m,n满足：m2-5m+2=0,n2-5n+2=0, ”+m=2 当m=n时，m n 当实数m,n是方程x2-5x+2=0的两个不相等的实数根时， .m+n=5,mn=2. :”+m_n+m_(m+m-2mm52-2x221 m n mn mn 2 2, 21 片只+日的值为2政引， 3)解：令m=0，-n=b:则a2+a-7=02+h-7=0 .n>0 1 m ≠-n即a≠b' ∴.a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根， 试卷第28页（共3页） a+b=-1 ∴.ab=-7, 故m+=d+=(a+b-2ab=15 24.(11分)在△ABC中，AB=AC,在直线BC上有一点D,连接AD,AD绕点D逆时 针转动得到DE,连接AE,其中∠BAC+∠ADE=I80° 图1 图2 图3 (I)如图1，AE与BD交于点Q,AC平分∠EAD,若LCAD=a,求∠EQD的度数（用a 的代数式表示)； (2)如图2，点G为BD中点，点F为AE中点，用等式表示线段FG,CD之间的数量关 系，并证明； (3)如图3，点F为AE中点，∠BAC=135°，当AF最小时，在直线BC上有一点M, S.AFP △ACM沿AM翻折至△APM,当△AFP面积最大时，请直接写出SAcP的值. 【答案】(1)∠EQD=90°-a (2) FG=CD 证明：连接DF,并延长DF至点N,使得NF=FD,连接AN,BN, 试卷第29页（共3页) ,旋转 .AD=DE :点F是AE的中点 DF⊥AE,AF=EF .∠AFN=∠EFD=90°， ∴.△NAF≌ADEF ∠E=∠NAF ∴.AN=DE=AD. .DF⊥AE 、∠NAF=∠DAF 与(1)同理得∠E+∠DAF=∠BAC, 即∠NAD=∠BAC ∴.∠NAD-∠NAC=∠BAC-∠NAC, 故∠BAN=∠CAD, AB=AC ,△BAN≌ACAD、 .BN=CD :点G是BD的中点，NF=FD, :.GF-1BN-1CD 1 2 2 S.smL-1 (3)S.AcP 2 【分析】(1)如图：由旋转可得，AD=DE,∠EAD=∠E,证明∠EAD+∠E=∠BAC, ∠BAD=∠E=2a,可得∠BAC=4a,证明∠B=∠ACB,再进一步可得结论. 试卷第30页（共3页） (2)连接DF,并延长DF至点N,使得F=FD,连接AN,证明△NAF≌aDEF可得 ∠E=∠NAF,证明∠NAF=∠DAF,与(1)同理得∠E+∠DAF=∠BAC,即 ∠NAD=∠BAC,可得∠BAN=∠CAD,证明△BAN≌aCAD,进一步可得结论： (3)如图，连接DF,过A作AK⊥BC于K,连接FK并延长交AB于G,证明 △ACK∽△ADF,再证明△AKF△ACD,可得∠AGK=157.5°-67.5°=90°，可得F在过K 点且垂直于AB的直线上运动，当AF⊥KF时，即F,G重合时，AF最小，此时D,K重 合，如图，结合△ACM沿AM翻折至△APM,当△AFP面积最大时，可得△ADM为等腰 直角三角形，∠BAM=45°-22.5°=22.5°=∠ABC,设AD=DM=x,过C作C1PA于1 ,再进一步求解即可. 【详解】(1)解：由旋转可得， ,AD=DE,∠EAD=∠E, :∠BAC+∠ADE=180°，∠EAD+∠E+∠ADE=180°， ∴.∠EAD+∠E=∠BAC, :AC平分∠EAD,∠CAD=a, .∠EAD=∠E=2a, 即∠BAC=4a. .AB=AC. ∴，∠B=∠ACB :∠B+∠ACB+∠BAC=180°， ÷∠ACB=)180°-∠BAC)=90-2a. .∠E0D=∠ACB+∠CAg=90°-2a+a=90°-a (2)略 (3)解：如图，连接DF,过A作AK⊥BC于K,连接FK并延长交AB于G, 试卷第31页（共3页） D M B AB=AC,∠BAC=135°， AK1BC,∠ABC=∠ACB=22.5°，∠BAK=LCAK=67.5°， :AD=DE,F为AE的中点， .∠AFD=90°=∠AKC,∠ADF=∠EDF=22.5°， .∠ACK=∠ADF=22.5° ∴.△ACK△ADF, AC AK ADAF,∠KAC=∠FAD .∠KAF=∠CAD ∴.△AKFAACD ∴.∠AKF=∠ACD=180°-22.5°=157.5°. ∴.∠AGK=157.5°-67.5°=90°， .F在过K点且垂直于AB的直线上运动， ∴当AF⊥KF时，即F,G重合时，AF最小，此时D,K重合，如图， P B M (KD ,△ACM沿AM翻折至△APM,当△AFP面积最大时， ÷AB⊥AP:AB=AC=AP,∠M4C=∠MMP-90+13s）=I12.5, 试卷第32页（共3页） ∴.∠PMA=∠CMA=180°-112.5°-22.5°=45°， ∴.△ADM为等腰直角三角形，∠BAM=45°-22.5°=22.5°=∠ABC, 设AD=DM=x, :.AM=BM=V2x,AB=BD2+AD2=+(2x+x=(4+22)2, ,∠AFD=∠ADB=90°，∠DAF=∠DAB, .△ADF△ABD, AD AF :.AB AD' .AF=AD2 AB· 过C作CI⊥PA于I, :∠PAC=360°-135°-90°=135°， .∠CAl=180°-135°=45°=∠AC1, -AB 2 2 2 1 S2AF·AP AF AD2 √2x2√2-1 24P.aGiB.2B(4+22)e-2. 2 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的 应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 试卷第33页（共3页）