学易金卷：八年级数学期中模拟卷（山东统考专用，新教材人教版八上第13～15章：三角形+全等三角形+轴对称）

2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D C C C C A A C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．稳定性 12．12 13． 14．10 15． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题8分，17题8分，18题8分，19题8分，20题9分，21题10分，22题12分，23题12分。 16．（8分） 【答案】（1）解：如图，△ABC即为所求． ………………………………………………………………… (3分) （2）解： 即△ABC的面积为4． ………………………………………………………………… (5分) （3）解：设点M的坐标为（m，0），根据题意可得： ， 解得：或， 即点M的坐标为：（-6，0）或（10，0）． ……………………………………………… (8分) 17．（8分） 【答案】(1) 在和中， ∴， ∴． ………………………………………………………………… (3分) （2）∵， 又∵， ∴， 即40米米， ∴40米米． ………………………………………………………………… (5分) （3）如图，延长至E使，连接； 则， 根据（1）（2），∴， ∴， 即． ………………………………………………………………… (8分) 18．（8分） 【答案】（1）解：，， ． ， ， ． ………………………………………… (4分) （2）．理由如下： ，， ． 又， ， ． ………………………………………… (8分) 19．（8分） 【答案】（1）利用点C和C′的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点A′，B′即可； 如图，△A'B'C'为所作； ………………………………………… (2分) （2）AA′与BB′的关系是平行且相等； ……………………………………… (4分) （3）利用网格特点和三角形的中线、高的定义画图即可；如图，BD、CE为所作； ……………………………………… (6分) （4）利用等高模型找到与点D到AB距离相等的点即可． 如图，这样的点M有21个． ……………………………………… (8分) 20．（9分）在学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她先发现了角平分线的另一种作法，后利用三角形全等证明了她的作法． 第一步：构造角平分线． 如图，小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线．在边上截取，过点F作的垂线与的垂线交于点P，作射线，即为的平分线． 第二步：利用三角形全等证明她的作法． 已知：，_____，______． 求证：是的角平分线． 请根据小红的作法补全已知并完成证明． 【答案】 已知：，，， 求证：平分． 证明：，， ， 在和中， ， ， ……………………………………… (5分) ， 平分 故答案为：，， 利用证明三角形全等即可． ……………………………………… (9分) 21．（10分） 【答案】(1)解：如图①，∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ……………………………………… (3分) (2)证明：如图②，∵，，且， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴． ……………………………………… (6分) （3）解：如图③，在AD上截取，连接CL， ∵，∴， 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． ……………………………………… (10分) 22．（12分） 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ……………………………………… (4分) (2)证明: 如图，延长交于点， ∵平分，， 由（）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ……………………………………… (8分) （3）解：延长，交于点G，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵ ， ∴当的面积最大时，最大， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴的最大面积为：， ∴的最大值为：． ……………………………………… (12分) 23．（12分） 【答案】[解决问题] 如图，在平面镜上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边． 故答案为：，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边． ……………………………………… (4分) [知识应用]如图，即为所求， ； ……………………………………… (7分) [知识拓展]∵作图可知关于的对称点分别是， 即垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， ， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． ……………………………………… (12分) 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.51mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 错误填涂1【1[/] 4.保持卡面清洁、不要折叠、不要弄破。 一、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[AlIBIICIID] 6.[A][B][C][DI 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 12. 13 14 15 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(8分) 7 876的43201.2.3.4.5.67.8 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 17.(8分) D E 18.(8分) A B C D 请精在等题致城附等，超辄限现致锋森效！ 19.(8分) -↓- A -- 、 -- B - - -1 20.(9分) 21.(10分) B -D 图① 图② 图③ 【图 (5I) ZE :塔壬嵩易阳海☒头削到狂出毋黉用避‘号海☒酷是阳目酷艺安 必2￥苦号海☒兰的耻狂毋瑞田理‘号W海☒号姐目酷去业单！ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区械的竺室干效！ 0河 草地 B 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~15章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．春节于年月日被列入世界非物质文化遗产名录，这标志着春节不仅是中国的重要传统节日，也是全球文化多样性的重要组成部分．下面春节的相关剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．(改编题)如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 3．(新考法)如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 4．(改编题)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则图中以为公共角的“共角三角形”有（     ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 5．图中直角三角形的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图（1）是某夜市摊主使用的折叠方桌，结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，是边的中线，是边的中线，点F为的中点，连接．若的面积为2，则的面积为（     ） A．16 B．12 C．14 D．8 9．如图，为测量旗杆的高度，李林在地面上选取一点，使得米，并测得；随后，在点处竖立一根高为2米的竹竿，在地面上的点处测得，并用皮尺量得米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，则旗杆的高度为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．下列四个结论：①；②；③；④的面积为．其中正确结论的序号是（     ） A．②③④ B．①③ C．①②③④ D．①②④ 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，小明做了一个长方形框架，为了保证框架不会变形，采取如图加固方案，其依据是三角形具有______________ 12．如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 _______ ． 13．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为 ______ ． 14．如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为________． 15．如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当三角形的面积是，时，的最小值等于__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题8分，17题8分，18题8分，19题8分，20题9分，21题10分，22题12分，23题12分。 16．（8分）已知：A（4，3），B（0，1），C（2，0）． (1)在坐标系中描出各点，画出△ABC； (2)求△ABC的面积； (3)设点M在x轴上，且△BCM与△ABC的面积相等，求点M的坐标． 17．（8分）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线一直向前经过点C走到点E，并使，然后她测量点E到假山D的距离，则的长度就是A、B两点之间的距离． (1)你能说明张倩这样做的根据吗？ (2)如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定的长度范围吗？ (3)在第（2）问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在中，是边的中线，，，求的取值范围． 18．（8分）如图，点B、F、E、C在同一条直线上，．      (1)若，，求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 19．（8分）如图，的方格纸，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点． （1）请画出； （2）连接，则这两条线段的关系是_____________； （3）利用方格纸，在中画出边上的中线以及边上的高； （4）点M为方格纸上的格点（异于点D）．若和全等，则图中这样的格点M共有______个． 20．（9分）在学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她先发现了角平分线的另一种作法，后利用三角形全等证明了她的作法． 第一步：构造角平分线． 如图，小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线．在边上截取，过点F作的垂线与的垂线交于点P，作射线，即为的平分线． 第二步：利用三角形全等证明她的作法． 已知：，_____，______． 求证：是的角平分线． 请根据小红的作法补全已知并完成证明． 21．（10分）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”． (1)请写出“求的长”的过程． (2)探索证明：如图②，点B，C在的边AM、AN上，，点E，F在内部的射线AD上，且．求证：． (3)拓展应用：如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则 ．（图中画出分析思路，直接填写结果） 22．（12分）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3) 如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 23．（12分）综合与实践 【背景材料】 中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离． 【提出问题】如何证明“反射路径最短”？ 如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短． 【解决问题】如图，在平面镜上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ，_____， _____． 在中，， ，即最小． 在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____． 请你完成上面填空． 【知识应用】如图②，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，请分别在和上各找一点，使得牧马人走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）． 【知识拓展】若图②中，，当的周长取最小值时，的大小为_____度． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11 12 13 15 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(8分) 5 …………4 7的432012.2.4.78 …2 3 5 ………6 ……… 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) D 18.(8分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) …--} … - -- 20.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 一D 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 1F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 0河 草地 B 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~15章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．春节于年月日被列入世界非物质文化遗产名录，这标志着春节不仅是中国的重要传统节日，也是全球文化多样性的重要组成部分．下面春节的相关剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键． 根据轴对称图形的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、是轴对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 2．(改编题)如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 3．(新考法)如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定三边中线的交点即可得出答案． 【详解】解：由图可知边、边上的中线交于点G， 即正好与的重心位置重合的白棋是G． 4．(改编题)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则图中以为公共角的“共角三角形”有（     ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【答案】C 【分析】数出以为其中一个内角的三角形的个数即可得出结果. 【详解】解：由图可知，以为其中一个内角的三角形有， 故以为公共角的“共角三角形”有和，和，和，和，和，和共6对. 5．图中直角三角形的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据直角三角形的定义：直角三角形的三个内角中一个角等于90度，即可进行判断． 【详解】解：图中直角三角形有、、、，共4个． 6．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， 又∵c为最长边 ， 故选：C． 7．如图（1）是某夜市摊主使用的折叠方桌，结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 8．如图，在中，是边的中线，是边的中线，点F为的中点，连接．若的面积为2，则的面积为（     ） A．16 B．12 C．14 D．8 【答案】A 【分析】利用三角形的中线性质以及等底同高的三角形的面积相等，逐个求出三角形的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是边的中线， ∴； ∵点F为的中点， ∴； ∵是边的中线， ∴； ∵是边的中线， ∴． 9．如图，为测量旗杆的高度，李林在地面上选取一点，使得米，并测得；随后，在点处竖立一根高为2米的竹竿，在地面上的点处测得，并用皮尺量得米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，则旗杆的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而证明，再利用三角形全等的性质即可求解. 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 10．如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．下列四个结论：①；②；③；④的面积为．其中正确结论的序号是（     ） A．②③④ B．①③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，小明做了一个长方形框架，为了保证框架不会变形，采取如图加固方案，其依据是三角形具有______________ 【答案】稳定性 【分析】观察图形可知，加固方案将四边形框架转化为三角形结构，利用三角形的几何性质解决问题． 【详解】解：长方形框架属于四边形，四边形具有不稳定性，容易变形．加上木条后，框架中构成了三角形．因为三角形具有稳定性，所以框架不会变形．故依据是三角形具有稳定性． 12．如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 _______ ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂线定义，证明是解题的关键．证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，是中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 13．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为 ______ ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义推出，，再由三角形外角的性质可推出，则可证明，可得到规律（n为正整数），据此可得答案． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得， ， ……， 以此类推，可知（n为正整数）， ∴． 14．如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为________． 【答案】10 【分析】此题考查了三角形面积的求解，垂线段最短，解题的关键是得出，确定取最大值时，取最小值，并掌握垂线段最短的性质． 根据，即得到，则的最大值就是的最小值，由垂线段最短可得当时，最小，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，即 化简可得： 解得， 则取最大值时，取最小值， 由垂线段最短可得当时，最小， 由可得， ∴的最大值为． 故答案为：10． 15．如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当三角形的面积是，时，的最小值等于__________． 【答案】 【分析】在上取一点，使，可证，根据全等三角形的性质可知，过点作，根据垂线段最短可得，利用三角形的面积公式求出的值即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，在上取一点，使， 平分， ， 在和中， ， ， ， 过点作，则， 三角形的面积是，， ， ， ， 的最小值是． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题8分，17题8分，18题8分，19题8分，20题9分，21题10分，22题12分，23题12分。 16．（8分）已知：A（4，3），B（0，1），C（2，0）． (1)在坐标系中描出各点，画出△ABC； (2)求△ABC的面积； (3)设点M在x轴上，且△BCM与△ABC的面积相等，求点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)（-6，0）或（10，0） 【分析】（1）根据A（4，3），B（0，1），C（2，0）先进行描点，然后再顺次连接，即可在坐标系中画出△ABC； （2）根据网格利用割补法即可求出△ABC的面积； （3）结合（2）根据△BCM与△ABC的面积相等，即可求点M的坐标． 【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求． （2）解： 即△ABC的面积为4． （3）解：设点M的坐标为（m，0），根据题意可得： ， 解得：或， 即点M的坐标为：（-6，0）或（10，0）． 【点睛】本题主要考查了作图−复杂作图，坐标与图形性质，三角形的面积，解决本题的关键是利用分类讨论思想． 17．（8分） 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线一直向前经过点C走到点E，并使，然后她测量点E到假山D的距离，则的长度就是A、B两点之间的距离． (1)你能说明张倩这样做的根据吗？ (2)如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定的长度范围吗？ (3)在第（2）问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在中，是边的中线，，，求的取值范围． 【答案】(1) 在和中， ∴， ∴． (2)40米米 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）只需要证明即可得到答案； （2）确定的长度范围只需要确定的长度，由三角形三边的关系求解即可得到答案； （3）延长到E使得，连接，根据（1）（2）求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵， 又∵， ∴， 即40米米， ∴40米米． （3）如图，延长至E使，连接； 则， 根据（1）（2），∴， ∴， 即． 18．（8分）如图，点B、F、E、C在同一条直线上，．      (1)若，，求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质以及三角形内角和．熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）利用，，求出，，从而求出，再利用邻补角求出． （2）利用，，得到，又因为求出从而得到． 【详解】（1）解：，， ． ， ， ． （2）．理由如下： ，， ． 又， ， ． 19．（8分）如图，的方格纸，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点． （1）请画出； （2）连接，则这两条线段的关系是_____________； （3）利用方格纸，在中画出边上的中线以及边上的高； （4）点M为方格纸上的格点（异于点D）．若和全等，则图中这样的格点M共有______个． 【答案】（1）见解析；（2）平行且相等；（3）见解析；（4）21 【分析】（1）利用点C和C′的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点A′，B′即可； （2）根据平移的性质进行判断； （3）利用网格特点和三角形的中线、高的定义画图即可； （4）利用等高模型找到与点D到AB距离相等的点即可． 【详解】解：（1）如图，△A'B'C'为所作； （2）AA′与BB′的关系是平行且相等； （3）如图，BD、CE为所作； （4）如图，这样的点M有21个． 【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 20．（9分）在学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她先发现了角平分线的另一种作法，后利用三角形全等证明了她的作法． 第一步：构造角平分线． 如图，小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线．在边上截取，过点F作的垂线与的垂线交于点P，作射线，即为的平分线． 第二步：利用三角形全等证明她的作法． 已知：，_____，______． 求证：是的角平分线． 请根据小红的作法补全已知并完成证明． 【答案】 已知：，，， 求证：平分． 证明：，， ， 在和中， ， ， ， 平分 故答案为：，， 利用证明三角形全等即可． 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．第一步根据题意补全填空即可，第二步先判定，再利用全等三角形性质得出对应角相等即可得证． 【详解】略 21．（10分）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”． (1)请写出“求的长”的过程． (2)探索证明：如图②，点B，C在的边AM、AN上，，点E，F在内部的射线AD上，且．求证：． (3)拓展应用：如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则 ．（图中画出分析思路，直接填写结果） 【答案】(1)解：如图①，∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． (2)证明：如图②，∵，，且， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴． (3) 【分析】（1）根据“角角边”证明，可得，再根据得出答案； （2）根据“角角边”证明即可； （3）先根据“边角边”证明，再设，则，， 并表示出，然后根据可得答案． 【详解】（1）；略 （2）略 （3）解：如图③，在AD上截取，连接CL， ∵，∴， 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 22．（12分）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (2)证明: 如图，延长交于点， ∵平分，， 由（）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)12 【分析】（）由平分，得，再根据，，证出则可得出结论； （）延长交于点，由（）可得，，证明 ，进而可以解决问题； （3）延长，交于点G，证明，得出，，即可得出，根据为的中点，得出，求出，从而得出当的面积最大时，最大，求出的面积的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，交于点G，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵ ， ∴当的面积最大时，最大， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴的最大面积为：， ∴的最大值为：． 23．（12分）综合与实践 【背景材料】 中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离． 【提出问题】如何证明“反射路径最短”？ 如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短． 【解决问题】如图，在平面镜上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ，_____， _____． 在中，， ，即最小． 在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____． 请你完成上面填空． 【知识应用】如图②，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，请分别在和上各找一点，使得牧马人走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）． 【知识拓展】若图②中，，当的周长取最小值时，的大小为_____度． 【答案】[解决问题] ，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； [知识应用] 如图，即为所求， ； [知识拓展] 【分析】本题主要考查轴对称的性质、垂直平分线的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质； [解决问题]根据轴对称的性质，三角形三边关系即可求解； [知识应用] 分别作关于的对称点，连接交分别于点，连接，即可求解； [知识拓展]根据作图可得垂直平分，垂直平分，设，，进而表示出，即可求解． 【详解】[解决问题]解：如图，在平面镜上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边． 故答案为：，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边． [知识应用]略 [知识拓展]∵作图可知关于的对称点分别是， 即垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， ， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~15章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．春节于年月日被列入世界非物质文化遗产名录，这标志着春节不仅是中国的重要传统节日，也是全球文化多样性的重要组成部分．下面春节的相关剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．(改编题)如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 3．(新考法)如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 4．(改编题)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则图中以为公共角的“共角三角形”有（     ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 5．图中直角三角形的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图（1）是某夜市摊主使用的折叠方桌，结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，是边的中线，是边的中线，点F为的中点，连接．若的面积为2，则的面积为（     ） A．16 B．12 C．14 D．8 9．如图，为测量旗杆的高度，李林在地面上选取一点，使得米，并测得；随后，在点处竖立一根高为2米的竹竿，在地面上的点处测得，并用皮尺量得米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，则旗杆的高度为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．下列四个结论：①；②；③；④的面积为．其中正确结论的序号是（     ） A．②③④ B．①③ C．①②③④ D．①②④ 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，小明做了一个长方形框架，为了保证框架不会变形，采取如图加固方案，其依据是三角形具有______________ 12．如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 _______ ． 13．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为 ______ ． 14．如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为________． 15．如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当三角形的面积是，时，的最小值等于__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题8分，17题8分，18题8分，19题8分，20题9分，21题10分，22题12分，23题12分。 16．（8分）已知：A（4，3），B（0，1），C（2，0）． (1)在坐标系中描出各点，画出△ABC； (2)求△ABC的面积； (3)设点M在x轴上，且△BCM与△ABC的面积相等，求点M的坐标． 17．（8分）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线一直向前经过点C走到点E，并使，然后她测量点E到假山D的距离，则的长度就是A、B两点之间的距离． (1)你能说明张倩这样做的根据吗？ (2)如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定的长度范围吗？ (3)在第（2）问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在中，是边的中线，，，求的取值范围． 18．（8分）如图，点B、F、E、C在同一条直线上，．      (1)若，，求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 19．（8分）如图，的方格纸，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点． （1）请画出； （2）连接，则这两条线段的关系是_____________； （3）利用方格纸，在中画出边上的中线以及边上的高； （4）点M为方格纸上的格点（异于点D）．若和全等，则图中这样的格点M共有______个． 20．（9分）在学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她先发现了角平分线的另一种作法，后利用三角形全等证明了她的作法． 第一步：构造角平分线． 如图，小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线．在边上截取，过点F作的垂线与的垂线交于点P，作射线，即为的平分线． 第二步：利用三角形全等证明她的作法． 已知：，_____，______． 求证：是的角平分线． 请根据小红的作法补全已知并完成证明． 21．（10分）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”． (1)请写出“求的长”的过程． (2)探索证明：如图②，点B，C在的边AM、AN上，，点E，F在内部的射线AD上，且．求证：． (3)拓展应用：如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则 ．（图中画出分析思路，直接填写结果） 22．（12分）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3) 如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 23．（12分）综合与实践 【背景材料】 中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离． 【提出问题】如何证明“反射路径最短”？ 如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短． 【解决问题】如图，在平面镜上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ，_____， _____． 在中，， ，即最小． 在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____． 请你完成上面填空． 【知识应用】如图②，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，请分别在和上各找一点，使得牧马人走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）． 【知识拓展】若图②中，，当的周长取最小值时，的大小为_____度． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $