第10讲 导数运算、切线与单调性 专项训练（6大题型32题）-2027届高三数学一轮复习

高中数学·题型专项训练系列 第10讲 导数运算、切线与单调性 专项训练（6大题型32题） （原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　导数概念与变化率 基础 第1—4题 4 题型二　导数的运算 基础 第5—9题 5 题型三　切线方程与由切线求参 重点 第10—15题 6 题型四　过点切线、公切线与切线应用 难点 第16—23题 8 题型五　含参单调性讨论 重点 第24—28题 5 题型六　由单调性求参、比较大小与解不等式 难点 第29—32题 4 题型通关 · 靶向提分 题型一　导数概念与变化率（共4小题） 【知识积累】 平均变化率：函数 在区间 上的平均变化率为 ；在 上为 （）。 瞬时变化率：当 时， 的极限就是 在 处的瞬时变化率，即 。 导数定义： 是函数值增量与自变量增量之比的极限；分子中两个函数值对应的自变量之差必须与分母一致，出现 、 时先配凑系数。 实际意义：位移对时间的导数是瞬时速度；面积、体积、长度等对时间的导数是相应的变化率。变化率问题先写函数关系，再求导或取极限。 易错：把 直接当作 ，漏乘 ；平均变化率与瞬时变化率混用；忽略 。 【典例1】 1．（单选题） （2026·江苏苏州·模拟预测） 火箭发射后的高度（单位：）为，则火箭在时的瞬时速度为（     ） A． B． C． D． 【典例2】 2．（单选题） （26-27高三上·湖北孝感·开学考试） 定义在上的函数，若，则（    ） A．-1 B．1 C．2026 D．-2026 【变式1】 3．（填空题） （26-27高三上·广东揭阳·开学考试） 竖直高为的楼上有一盏聚光灯，且该聚光灯为唯一光源，高为的人在零时刻从楼底以的速度水平直线远离楼底，则该人影子长度的变化率为______． 【变式2】 4．（填空题） （26-27高三上·上海浦东新·阶段检测） 设 ，则 ______. 题型二　导数的运算（共5小题） 【知识积累】 基本初等函数：；；（，）；；（，，）；（）。 三角函数：，。 四则运算：；；（）。 复合函数：若 ，则 ；先对外层求导，再乘内层导数，不能漏乘。 易错： 不是 ； 不是 ；商的导数分子顺序写反；把 当作变量求导。 【典例1】 5．（单选题） （26-27高三上·广东清远·阶段检测） 下列导数的运算中错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】 6．（单选题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式1】 7．（单选题） （2026·江苏镇江·模拟预测） 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】 8．（多选题） （26-27高三上·黑龙江·阶段检测） 下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】 9．（填空题） （26-27高三上·上海浦东新·阶段检测） 已知函数，则_________. 题型三　切线方程与由切线求参（共6小题） 【知识积累】 在某点处的切线：设切点为 ，切线斜率 ，切线方程为 。 由切线求参：切点既在曲线上又在切线上，联立 与 ；含 时逐项比较系数。 切线平行与垂直：平行则斜率相等；垂直则两条切线斜率之积为 （斜率都存在时）。先由斜率求切点，再写方程。 含 、 的切线题：先把 、 当作未知数，用“切点在曲线上、切线过切点”两个条件列方程，解出后再回代。 易错：把切点横坐标代错；忘记切点在曲线上；斜率不存在（竖直切线）时漏讨论；求出参数不回代检验。 【典例1】 10．（解答题） （26-27高三上·上海浦东新·阶段检测） 已知，. (1)当时，判断函数的奇偶性； (2)若函数在处的切线方程为，求的值. 【典例2】 11．（解答题） （26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试） 已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【变式1】 12．（解答题） （24-25高三上·湖南·阶段检测） 已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式2】 13．（单选题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 函数的图象在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【变式3】 14．（单选题） （26-27高三上·广东惠州·阶段检测） 若直线是曲线的一条切线，则实数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4】 15．（填空题） （26-27高三上·河北邢台·阶段检测） 已知函数.若曲线在处的切线方程为，则________. 题型四　过点切线、公切线与切线应用（共8小题） 【知识积累】 过某点的切线：设切点 ，切线为 ；把已知点代入求 。过点不一定在曲线上，不能直接把该点当切点。 切线条数：关于 的方程有几个不同实根，就有几条切线；用因式分解、判别式或函数图象判断根的个数。 公切线：设 分别在 处与两条曲线相切，联立 、、、。 切线与其他曲线：把切线写成一般式，用圆心到直线的距离等于半径、平行线间距离或联立判别式处理。 易错：设切点时漏写定义域；公切线只解出一组解就下结论；把“相切”误当成“只有一个公共点”；距离问题忘记取绝对值。 【典例1】 16．（解答题） （25-26高三上·江西·期中） 已知函数，且的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)过原点作曲线的两条切线，切点分别为. ①求切线的方程； ②求的面积. 【典例2】 17．（解答题） （25-26高三上·云南昆明·阶段检测） 已知函数的图象记为曲线C. (1)若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程； (2)若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值. 【变式1】 18．（解答题） （26-27高三上·河北雄安·阶段检测） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且曲线的切线经过点，求的斜率． 【变式2】 19．（解答题） （26-27高三上·河南驻马店·开学考试） 已知函数，其中. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【变式3】 20．（单选题） （26-27高三上·全国·一轮复习） 最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】 21．（单选题） （26-27高三上·上海宝山·阶段检测） 若实数、、、满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式5】 22．（多选题） （2026·辽宁沈阳·二模） 已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C．曲线的切线的倾斜角取值范围是 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 【变式6】 23．（填空题） （25-26高三下·陕西西安·阶段检测） 已知曲线与圆有公共点，则实数的取值范围是______． 题型五　含参单调性讨论（共5小题） 【知识积累】 单调性判定：在区间 上，若 ，则 在 上单调递增；若 ，则单调递减；若 恒成立，则 为常数。 求单调区间：先求定义域，再解 、；单调区间必须是定义域的子区间，多个区间之间不能用并集连接。 含参讨论：把 因式分解，按导数为零的根是否在定义域内、根的大小关系分类；分类标准写在前面，逐类给出区间。 一次型与二次型： 只需讨论 的符号； 要讨论 、、 及两根大小。 易错：忘记定义域（如 要求 ）；分类遗漏 ；把单调递增区间写成并集；端点开闭写错。 【典例1】 24．（解答题） （26-27高三上·山东淄博·阶段检测） 已知函数，. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设，讨论的单调性. 【典例2】 25．（解答题） （26-27高三上·北京昌平·阶段检测） 已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式1】 26．（单选题） （26-27高三上·山东临沂·阶段检测） 已知函数与具有相同的单调递减区间，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式2】 27．（单选题） （26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测） 函数在上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】 28．（填空题） （26-27高三上·福建厦门·阶段检测） 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为_____． 题型六　由单调性求参、比较大小与解不等式（共4小题） 【知识积累】 由单调性求参：若 在区间 上单调递增，则 在 上恒成立；反之，若 且 只在孤立点成立，则 在 上单调递增。单调递减同理。 分离参数：把 整理成 或 ，再求 在区间上的最值；分离时先确定除式符号。 比较大小：把待比较的数写成同一个函数在不同点的函数值，构造辅助函数 ，用 判断单调性；常用 、、 等。 解函数不等式：先化成 ，再用单调性去 ；偶函数用 ，奇函数用 ，最后与定义域取交集。 易错：由 求参时漏掉端点等号；比较大小只代特殊值；解不等式忘记定义域；奇偶性转化时符号出错。 【典例1】 29．（解答题） （26-27高三上·广东梅州·开学考试） 已知函数． (1)求的单调区间； (2)若的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围． 【典例2】 30．（填空题） （26-27高三上·辽宁大连·阶段检测） 定义在上的函数满足：，且对于都有．则关于的不等式解集为_________． 【变式1】 31．（单选题） （26-27高三上·福建泉州·阶段检测） 已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】 32．（填空题） （2026·浙江·模拟预测） 若实数，满足，，则的值为______． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 第10讲 导数运算、切线与单调性 专项训练（6大题型32题） （解析版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　导数概念与变化率 基础 第1—4题 4 题型二　导数的运算 基础 第5—9题 5 题型三　切线方程与由切线求参 重点 第10—15题 6 题型四　过点切线、公切线与切线应用 难点 第16—23题 8 题型五　含参单调性讨论 重点 第24—28题 5 题型六　由单调性求参、比较大小与解不等式 难点 第29—32题 4 题型通关 · 靶向提分 题型一　导数概念与变化率（共4小题） 【知识积累】 平均变化率：函数 在区间 上的平均变化率为 ；在 上为 （）。 瞬时变化率：当 时， 的极限就是 在 处的瞬时变化率，即 。 导数定义： 是函数值增量与自变量增量之比的极限；分子中两个函数值对应的自变量之差必须与分母一致，出现 、 时先配凑系数。 实际意义：位移对时间的导数是瞬时速度；面积、体积、长度等对时间的导数是相应的变化率。变化率问题先写函数关系，再求导或取极限。 易错：把 直接当作 ，漏乘 ；平均变化率与瞬时变化率混用；忽略 。 【典例1】 1．（单选题） （2026·江苏苏州·模拟预测） 火箭发射后的高度（单位：）为，则火箭在时的瞬时速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则火箭在时的瞬时速度为. 【典例2】 2．（单选题） （26-27高三上·湖北孝感·开学考试） 定义在上的函数，若，则（    ） A．-1 B．1 C．2026 D．-2026 【答案】C 【详解】 【变式1】 3．（填空题） （26-27高三上·广东揭阳·开学考试） 竖直高为的楼上有一盏聚光灯，且该聚光灯为唯一光源，高为的人在零时刻从楼底以的速度水平直线远离楼底，则该人影子长度的变化率为______． 【答案】 【分析】根据题意，得到影长与人在某时刻与楼底的水平距离的关系式即可求解. 【详解】设人在某时刻与楼底的水平距离为，影长为， 由相似三角形得，整理得， 因为人每秒远离楼底，所以影长每秒增加， 故影长的变化率为. 【变式2】 4．（填空题） （26-27高三上·上海浦东新·阶段检测） 设 ，则 ______. 【答案】 【分析】根据导数的定义，函数在处的导数等于，求出，将代入得解. 【详解】，，， . 题型二　导数的运算（共5小题） 【知识积累】 基本初等函数：；；（，）；；（，，）；（）。 三角函数：，。 四则运算：；；（）。 复合函数：若 ，则 ；先对外层求导，再乘内层导数，不能漏乘。 易错： 不是 ； 不是 ；商的导数分子顺序写反；把 当作变量求导。 【典例1】 5．（单选题） （26-27高三上·广东清远·阶段检测） 下列导数的运算中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 【典例2】 6．（单选题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，， 则， 解得． 【变式1】 7．（单选题） （2026·江苏镇江·模拟预测） 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以. 【变式2】 8．（多选题） （26-27高三上·黑龙江·阶段检测） 下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误. 【变式3】 9．（填空题） （26-27高三上·上海浦东新·阶段检测） 已知函数，则_________. 【答案】6 【详解】令，则，求导得， 所以. 题型三　切线方程与由切线求参（共6小题） 【知识积累】 在某点处的切线：设切点为 ，切线斜率 ，切线方程为 。 由切线求参：切点既在曲线上又在切线上，联立 与 ；含 时逐项比较系数。 切线平行与垂直：平行则斜率相等；垂直则两条切线斜率之积为 （斜率都存在时）。先由斜率求切点，再写方程。 含 、 的切线题：先把 、 当作未知数，用“切点在曲线上、切线过切点”两个条件列方程，解出后再回代。 易错：把切点横坐标代错；忘记切点在曲线上；斜率不存在（竖直切线）时漏讨论；求出参数不回代检验。 【典例1】 10．（解答题） （26-27高三上·上海浦东新·阶段检测） 已知，. (1)当时，判断函数的奇偶性； (2)若函数在处的切线方程为，求的值. 【答案】(1)是非奇非偶函数 (2) 【分析】（1）根据与的关系，判断函数的奇偶性； （2）导数的几何意义为切点处的导数等于切线的斜率，因此根据切线方程，可求参数m. 【详解】（1）当时，，， 因为且，所以是非奇非偶函数； （2）， ，则① ，将代入切线方程可得：②， 联立①②解得：，. 【典例2】 11．（解答题） （26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试） 已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）应用导数的几何意义及已知平行关系即可求出； （2）求出函数的定义域以及导数，在定义域下，讨论a大于0、等于0、小于0情况下导数的正负，即可得到函数的单调性． 【详解】（1）求导得，因为曲线在点处的切线与直线平行，所以曲线在点处的切线斜率为2. 所以解得. （2）令，解得或，当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，当变化时，，的变化情况如下， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，，当变化时，，的变化情况如下， 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 综上所述： 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【变式1】 12．（解答题） （24-25高三上·湖南·阶段检测） 已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减； 当时， 函数在上单调递减，函数在上单调递增. 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据导数的正负性和函数单调性的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以曲线在处的切线方程为； （2）， 函数的定义域为全体正实数， 当时，当时，，函数在上单调递减； 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时， 函数在上单调递减，函数在上单调递增. 【变式2】 13．（单选题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 函数的图象在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 又， 所以切线方程为，即. 【变式3】 14．（单选题） （26-27高三上·广东惠州·阶段检测） 若直线是曲线的一条切线，则实数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用导数与曲线的切线的关系求解即可. 【详解】对求导，得 ， 设直线与曲线相切于点，那么，则 ，所以实数. 【变式4】 15．（填空题） （26-27高三上·河北邢台·阶段检测） 已知函数.若曲线在处的切线方程为，则________. 【答案】9 【分析】根据导数的几何意义计算求解即可. 【详解】求导可得， 因为曲线在处的切线方程为， 所以，， 所以，. 题型四　过点切线、公切线与切线应用（共8小题） 【知识积累】 过某点的切线：设切点 ，切线为 ；把已知点代入求 。过点不一定在曲线上，不能直接把该点当切点。 切线条数：关于 的方程有几个不同实根，就有几条切线；用因式分解、判别式或函数图象判断根的个数。 公切线：设 分别在 处与两条曲线相切，联立 、、、。 切线与其他曲线：把切线写成一般式，用圆心到直线的距离等于半径、平行线间距离或联立判别式处理。 易错：设切点时漏写定义域；公切线只解出一组解就下结论；把“相切”误当成“只有一个公共点”；距离问题忘记取绝对值。 【典例1】 16．（解答题） （25-26高三上·江西·期中） 已知函数，且的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)过原点作曲线的两条切线，切点分别为. ①求切线的方程； ②求的面积. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将所给点代入函数解析式，解得即得； （2）①先求出时，过原点的曲线的切线方程，再根据是偶函数，由对称性求得另一条切线； ②求得切点坐标，根据形状利用面积公式求解. 【详解】（1）由已知得，即， 所以. 故. （2）①当时，. 不妨设切点. 所以.故切线的方程为. 因为过原点，故，解得. 所以切线的方程为. 又为偶函数，其图象关于轴对称， 故切线的方程为. 所以切线的方程为. ②由①可知，，由对称性可知， 为等腰三角形，其面积为 【典例2】 17．（解答题） （25-26高三上·云南昆明·阶段检测） 已知函数的图象记为曲线C. (1)若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程； (2)若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值. 【答案】(1)或 (2)2 【分析】（1）根据点坐标求得，利用导数求得切线方程. （2）设切点为，求得切线方程并代入点的坐标，利用等差数列的性质以及方程的思想列方程，化简求得的值. 【详解】（1）函数对应图象为曲线，因为点在曲线上， 所以，所以， ， 设切点为，切线方程为:，即， 因为切线过点，所以，即， ， ，所以或， 所以切点为或， 将或代入， 可得切线方程为：或． （2）函数，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 切线过点，则， 依题意方程有三个不同解，且成等差数列， 设三个不同解为，且， ， 则，结合，得，， ，所以， 所以． 【变式1】 18．（解答题） （26-27高三上·河北雄安·阶段检测） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且曲线的切线经过点，求的斜率． 【答案】(1)当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，无增区间； 当时，在，上单调递减，在上单调递增． (2)切线的斜率为或. 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性； （2）先求得，再根据导数的几何意义可求切线方程的一般形式，代入所过的点后可求切点横坐标，从而可得斜率. 【详解】（1）， 令，得或． 当，即时， 若，则， 若，则， 故在上单调递增；在上单调递减. 当，即时，（不恒为零）， 则在上单调递减，无增区间. 当，即时， 若，则， 若，则， 故在上单调递增；在上单调递减. 综上，当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，无增区间； 当时，在，上单调递减，在上单调递增． （2）由，得， 则，则． 设切线与曲线相切于点， 则，， 所以的方程为， 将点的坐标代入，得， 则， 即，解得或． 当时，；当时，． 故的斜率为或． 【变式2】 19．（解答题） （26-27高三上·河南驻马店·开学考试） 已知函数，其中. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)当时，单调递减区间为：，单调递增区间为：；当时，单调递减区间为：，单调递增区间为： 【分析】（1）通过求导，确定切线斜率，即可求解； （2）求导，通过，分析导数符号，即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以，则， 所以函数在点处的切线方程为：，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，因为，所以，令，得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为：，单调递增区间为：； 当时，因为，所以，令，得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为：，单调递增区间为：. 综上，当时，单调递减区间为：，单调递增区间为：； 当时，单调递减区间为：，单调递增区间为：. 【变式3】 20．（单选题） （26-27高三上·全国·一轮复习） 最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将表达式翻译为对应的几何意义，然后识别两个函数之间是反函数的关系，根据反函数的性质可得两曲线点的最短距离等于其中一条曲线上的点到直线最短距离的2倍，最后利用导数的几何意义计算上一点到的最短距离即可求解. 【详解】的几何意义是： 曲线上的任意一点， 与曲线上的任意一点之间的距离的最小值. 与互为反函数，图像关于直线对称， 因此两条曲线上点的最短距离，等于其中一条曲线上的点到直线的最短距离的2倍. 对求导，令导数等于直线的斜率1： ， 代入得对应点为，该点到直线的距离为： . 故两条曲线的最短距离为. 【变式4】 21．（单选题） （26-27高三上·上海宝山·阶段检测） 若实数、、、满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设易得，，设，直线，而，进而转化问题为求函数与直线图象上两点与之间的距离最小值，进而结合导数的几何意义及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为实数、、、满足， 所以，，即，， 设，直线， 则为函数图象上一点，为直线上一点， 由， 而表示点与点之间的距离， 设与直线平行的直线与函数相切于点，其中， 由，得， 则，解得，则，即切点为， 而点到直线的距离为， 所以的最小值为， 则的最小值为， 即的最小值为. 【变式5】 22．（多选题） （2026·辽宁沈阳·二模） 已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C．曲线的切线的倾斜角取值范围是 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ABD 【分析】对于选项A，先求处的导数值即切线斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为的性质进行判断；对于选项B，先令等于直线的斜率，求出切点，再计算切点到直线的距离；对于选项C，先分析的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质确定倾斜角的范围；对于选项D，设切点坐标，写出切线方程，将点代入得到关于切点横坐标的方程，转化为该方程有三个不同实根的问题，通过研究对应函数的单调性与极值来确定的范围 【详解】对A，处切线斜率，直线的斜率为，两斜率乘积 ，故两直线垂直，A正确 对B，点到直线的最小距离，出现在曲线切线与平行时，即切线斜率等于， 令，得，整理为，函数在上单调递增，仅有解，对应切点为 切点到的距离为：​，即最小距离为​，B正确 对C，设切线倾斜角为，则 令​，求导得​，时，单调递减； 时，单调递增， 所以在处取最小值，故 而​，因此倾斜角范围不是，C错误 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 【变式6】 23．（填空题） （25-26高三下·陕西西安·阶段检测） 已知曲线与圆有公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可得当曲线与动圆在同一点有公切线时，的取值达到最大，设出切点，代入计算可得，进而可解. 【详解】对曲线求导可得， 由题意可得圆的圆心在上运动， 当曲线与动圆在同一点有公切线时，的取值达到最大， 设此时切点为，则且， 解得，所以， 即，解得，， 所以，所以实数的取值范围是． 题型五　含参单调性讨论（共5小题） 【知识积累】 单调性判定：在区间 上，若 ，则 在 上单调递增；若 ，则单调递减；若 恒成立，则 为常数。 求单调区间：先求定义域，再解 、；单调区间必须是定义域的子区间，多个区间之间不能用并集连接。 含参讨论：把 因式分解，按导数为零的根是否在定义域内、根的大小关系分类；分类标准写在前面，逐类给出区间。 一次型与二次型： 只需讨论 的符号； 要讨论 、、 及两根大小。 易错：忘记定义域（如 要求 ）；分类遗漏 ；把单调递增区间写成并集；端点开闭写错。 【典例1】 24．（解答题） （26-27高三上·山东淄博·阶段检测） 已知函数，. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设，讨论的单调性. 【答案】(1) (2) 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】(1)利用导数的几何意义求切线斜率，结合切点坐标写出切线方程；(2) 先求的导函数，分类讨论参数的取值判断导函数符号，进而确定的单调性. 【详解】（1）当时，， ，故切点为， ， 故切线斜率， 由点斜式得切线方程，整理得； （2）由题设得，定义域为， ， (i)，对任意，恒成立，故，即，因此在上单调递增； (ii)，令，即，解得， 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增； 综上，时在上单调递增；时在单调递减，在单调递增. 【典例2】 25．（解答题） （26-27高三上·北京昌平·阶段检测） 已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)． (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【分析】（1）由导数的意义可得； （2）分和两种情况，利用导数讨论即可. 【详解】（1）当时，，定义域为． ，即切点为． 对求导得：． 则切线斜率． 所以切线方程为，即． （2）由可知： 当时，定义域为； 当时，定义域为． 对求导得：． 当时，． 因为，所以恒成立，所以在上单调递减． 当时，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 即在上单调递增，在上单调递减． 综上所述： 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【变式1】 26．（单选题） （26-27高三上·山东临沂·阶段检测） 已知函数与具有相同的单调递减区间，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数法求出 的单调递减区间和 的单调递减区间，利用这两个函数具有相同的单调递减区间得到的等式，求出的值. 【详解】函数的定义域为 ， ， 令，即 ，，， 所以的单调递减区间是， 函数的定义域为， 因为恒成立，所以等价于， 已知与有相同的单调递减区间， 则当时，在恒成立，不符合题意，故， 此时，， 即的单调递减区间为 ， 因为两个函数的单调递减区间相同，所以，解得. 【变式2】 27．（单选题） （26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测） 函数在上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数求导，转化单调条件为导数恒成立条件，求解恒非负和恒非正情况，合并取值范围. 【详解】对函数求导得. 函数在 区间上单调，说明导函数在上恒非负或恒非正， 由于对任意实数恒成立，因此的符号由因式决定， 即在上恒非负或恒非正. 若在上恒成立，即在上恒成立， 函数在上单调递增，最小值为，因此. 若在上恒成立，即在上恒成立， 函数在上单调递增，最大值为，因此. 综合两种情况，的取值范围是. 【变式3】 28．（填空题） （26-27高三上·福建厦门·阶段检测） 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为_____． 【答案】 【分析】根据奇偶性求出时函数解析式，求导确定函数的单调递增区间. 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，， ， 所以， ， 令，，， 的单调递增区间为 题型六　由单调性求参、比较大小与解不等式（共4小题） 【知识积累】 由单调性求参：若 在区间 上单调递增，则 在 上恒成立；反之，若 且 只在孤立点成立，则 在 上单调递增。单调递减同理。 分离参数：把 整理成 或 ，再求 在区间上的最值；分离时先确定除式符号。 比较大小：把待比较的数写成同一个函数在不同点的函数值，构造辅助函数 ，用 判断单调性；常用 、、 等。 解函数不等式：先化成 ，再用单调性去 ；偶函数用 ，奇函数用 ，最后与定义域取交集。 易错：由 求参时漏掉端点等号；比较大小只代特殊值；解不等式忘记定义域；奇偶性转化时符号出错。 【典例1】 29．（解答题） （26-27高三上·广东梅州·开学考试） 已知函数． (1)求的单调区间； (2)若的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)若，则无单调区间；若，则单调递增区间为，单调递减区间为；若，则单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）求定义域，求导，分，和两种情况，得到函数单调区间； （2）根据切线倾斜角得到方程，求出，并得到的解析式，根据函数在区间上不是单调函数，得到不等式组，求出答案 【详解】（1）的定义域为， ， 若，则，此时无单调区间； 若，令得，令得， 此时单调递增区间为，单调递减区间为； 若，令得，令得， 此时单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，若，则无单调区间； 若，则单调递增区间为，单调递减区间为； 若，则单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）得， 由题意得，解得， ，， 则， 所以， 因为函数在区间上不是单调函数， 所以存在，使得， 其中，结合开口向上， 必有， 由题意可得，对于任意的，恒成立， 故只需， 其中，， 故，解得. 【典例2】 30．（填空题） （26-27高三上·辽宁大连·阶段检测） 定义在上的函数满足：，且对于都有．则关于的不等式解集为_________． 【答案】 【分析】构造函数，通过已知条件得到的单调性和奇偶性，将所求不等式转化为， 根据的性质进一步转化为，解不等式即可. 【详解】令，根据可得，所以为上的偶函数. 当时，，所以在上单调递增； 又因为为偶函数，所以在上单调递减. 由得，代入不等式得， 整理得.所以，即，整理得，解得. 所以不等式解集为. 【变式1】 31．（单选题） （26-27高三上·福建泉州·阶段检测） 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，研究其单调性，结合题设可得答案. 【详解】构造函数. ，则在上单调递减， 从而时，. 则， 又，则； ，从而在上单调递减， 从而时，. 则，又注意到， 则，综上可得. 【点睛】本题涉及常用不等式：当时，及时，.此外我们还可掌握以下不等式： ，；时，；时，. 【变式2】 32．（填空题） （2026·浙江·模拟预测） 若实数，满足，，则的值为______． 【答案】3 【分析】由，得；构造函数，判断函数的单调性，根据单调函数的零点唯一，得到，即，可求得的值. 【详解】由得，则，即. 设，，则函数在上单调递增. 由，，得，. ，得，即. ，得. ，. . 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $