3.5利用导数研究恒(能)成立问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

第3章 §3.5　利用导数研究恒(能)成立问题

题型一　分离参数求参数范围

例1　已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2＋ax(a∈R)．

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

 

教师备选

已知函数f(x)＝－(m＋1)x＋mln x＋m，f′(x)为函数f(x)的导函数．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范围．

 

跟踪训练1　已知函数f(x)＝xln x(x>0)．

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤成立，求实数m的最小值．

 

题型二　等价转化求参数范围

例2　已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)．

(1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值；

(2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．

 

教师备选

已知函数f(x)＝－ax2＋ln x(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性﹔

(2)若存在x∈(1，＋∞)，f(x)>－a，求a的取值范围．

 

跟踪训练2　已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x.

(1)当a>2时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若存在x∈[1，＋∞)，使f(x)<a成立，求实数a的取值范围．

 

题型三　双变量的恒(能)成立问题

例3　设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.

(1)如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．

教师备选

已知函数f(x)＝(x∈R)，a为正实数．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若∀x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)－f(x2)|<1恒成立，求实数a的取值范围．

 

跟踪训练3　设f(x)＝xex，g(x)＝x2＋x.

(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；

(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求实数m的取值范围．

课时精练

1．已知函数f(x)＝x(mex－1)．

(1)当m＝1时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；

(2)当x>0时，f(x)≥x2－2x，求实数m的取值范围．

2．设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x(a∈R).

(1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．

3．已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋sin x，g(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且g(x)＝ax＋－2(a>0)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若对于∀x1∈[－1,1]，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围．

4．已知函数f(x)＝eax－x.

(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为1，求f(x)的单调区间；

(2)若不等式f(x)≥eaxln x－ax2对x∈(0，e]恒成立，求a的取值范围．

第3章 §3.5　利用导数研究恒(能)成立问题（教师版）

题型一　分离参数求参数范围

例1　已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2＋ax(a∈R)．

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

解　(1)当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex，

f(0)＝(0－2)e0＝－2，

f′(x)＝(x－1)ex，k＝f′(0)＝(0－1)e0＝－1，

所以切线方程为y＋2＝－(x－0)，

即x＋y＋2＝0.

(2)方法一　当x≥2时，f(x)≥0恒成立，等价于当x≥2时，(x－2)ex－ax2＋ax≥0恒成立．

即a≤(x－2)ex在[2，＋∞)上恒成立.

当x＝2时，0·a≤0，所以a∈R.

当x>2时，x2－x>0，

所以a≤＝恒成立．

设g(x)＝，则g′(x)＝，

因为x>2，所以g′(x)>0，

所以g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增．

所以g(x)>g(2)＝e2，所以a≤e2.

综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]．

方法二　f′(x)＝(x－1)(ex－a)，

①当a≤0时，因为x≥2，

所以x－1>0，ex－a>0，所以f′(x)>0，

则f(x)在[2，＋∞)上单调递增，

f(x)≥f(2)＝0成立．

②当0<a≤e2时，f′(x)≥0，

所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，

所以f(x)≥f(2)＝0成立．

③当a>e2时，在区间(2，ln a)上，f′(x)<0；