精品解析：辽宁辽阳市第十二中学2026-2027学年八年级上学期10月数学学段衔接暨规范答题训练

八年级学段衔接暨规范答题训练 数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义选择即可. 【详解】、是最简二次根式，故本选项正确； 、不是最简二次根式，故本选项错误； 、不是最简二次根式，故本选项错误； 、不是最简二次根式，故本选项错误. 故选. 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，利用二次根式的加减乘除法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选：D． 3. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵ ∴设 ， 为直角三角形，故此选项不合题意； C、，即， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵， ∴设，，， ∵ ∴， 解得：， 则， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 已知，那么下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据小数点的运动规律，被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位． 【详解】解：被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位， ∴A、B错误； ，D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根以及小数点的移动规律，理解被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位是关键． 5. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（ ） A. 3和4之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在5和6之间． 故选：B． 6. 如图，数轴上点A对应的数是1，点C对应的数是3，BC⊥AC，垂足为C，且BC=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB的长，则AD=AB，就可以求出点D表示的数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴点D表示的数是． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，用数轴表示实数，解题的关键是掌握用数轴上的点表示实数． 7. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的时，输出的y等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，无理数，根据流程图依次计算即可． 【详解】解：输入的时，取算术平方根为，是有理数，继续计算； 取的算术平方根为，是有理数，继续计算； 取的算术平方根为，是无理数，输出； 故选：D． 8. 九章算术是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据宽为尺，则高为尺，对角线为尺，由勾股定理即可列式求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：宽为尺，则高为尺，门的对角线长尺， ∴由勾股定理可得，， 故选：A ． 9. 如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、8，则正方形D的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形D的面积为，首先根据长方形E的长是宽的2倍，得出长方形E的长的平方是长方形E的宽的平方的4倍，长方形E的宽的平方为，然后结合图形，利用勾股定理得到关于x的一元一次方程，解这个方程求出x的值，即可求解． 【详解】解：设正方形D的面积为， ∵长方形E的长是宽的2倍， ∴长方形E的长的平方是长方形E的宽的平方的4倍， ∵正方形A、B、C、D的面积依次为5、23、8、x， ∴根据图形得：， 解得：， ∴正方形D的面积为1， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解答本题的关键是掌握利用勾股定理求线段长的思路与方法． 10. 如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（ ）秒． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理．如图，过点作于，点、在上，且，利用三角函数的定义求出，利用勾股定理求出、的长，即可得出的长，根据时间=距离÷速度即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，点、在上，且， 由题意可知：，， ∴， ∵火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响， ∴当火车行驶在、之间时，会受到噪音的影响， ∴， 同理可得：， ∴， ∵火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶，， ∴点处受噪音影响的时间为． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求算术平方根，再求平方根． 【详解】解：， 故9的平方根为． 12. 已知：，则x的值______． 【答案】 【解析】 【分析】两个根号里的式子都要非负，联立不等式组，取公共解． 【详解】解：二次根式有意义的条件 由，得 由，得 同时满足两个条件的． 13. 的整数部分为a，的小数部分为b，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值，先估算出，从而得出，再估算出，从而得出，代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵的整数部分为a， ∴， ∵， ∴，即， ∵的小数部分为b， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． 当是直角三角形时，的长为__________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题)，等腰三角形的性质，勾股定理；分两种情况：当时，当；然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以及折叠的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：当时，如图 ， 设， ，， ， ， 由折叠性质得：， ， ， 在中，， ， 解得：， ； 当，如图 过点C作，垂足为H， ， ，， ， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 是一个外角，， ， ， ， ， ， ， 综上所述的长为1或 故答案为：1或． 三、解答题，本题共8小题，共75分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟记二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算求解即可得到答案； （2）先算零指数幂、化简二次根式、负整指数幂、化简绝对值进而计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ，， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，无理数的估算． （1）由立方根的定义可求得a的值，由算术平方根的定义可求得b的值，根据无理数的估算可确定c的值； （2）把a、b、c的值代入代数式中求得代数式的值，即可求得其平方根； 【小问1详解】 解：∵的立方根是， ∴， 解得，， ∵的算术平方根是3， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的整数部分为6， 即， 因此，，，； 【小问2详解】 解：当，，时， ， ∴． 19. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． （1）试说明：； （2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】（1） 证明：∵， 又∵ ∴， ∴是直角三角形，且． （2）7200元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且即可； （2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，后求出阴影部分的面积，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过A作于点E， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴种植花卉共需花费元， 答：此块空地全部种植花卉共需花费7200元． 20. 综合与实践． 【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究． 【实践素材】实验支架、细绳、小球、卷尺． 【实践操作】步骤一：如图1，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，让小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置； 步骤二：先用发声物体靠近小球，使小球从摆到位置； 步骤三：再次用发声物体靠近小球，让小球摆到位置，使得． 【实验记录】如图2，在笔记本上记录点和点的位置（图中的，，，在同一平面上），并过点作于点，过点作于点，测得，． 【实践探索】 （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂线性质得到，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得到结论； （2）根据勾股定理求出的长，由（1）可知，利用求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 由（1）得， ∴． 21. 阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上，向右平移直角使点B和E重合（图1），这时，，问题就变成“点 B 在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值是_____． （2）根据上述信息，求代数式的最小值． （3）已知正数满足，结合上述问题的方法，求的值． 【答案】（1）41 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图2，根据题意得：，， ， ∴的最小值是41； 【小问2详解】 解：如图，，， 设，则，    ∴， ∴的最小值是； 【小问3详解】 解：构造于，如图所示：    设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 22. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出________； （2）化简； （3）若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， 即， ， ， ， ． 23. 【知识背景】 勾股定理的内容是：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．在中，，则三边的数量关系满足 ； 【提出问题】 某学生在学习了勾股定理之后提出：锐角三角形有没有类似于勾股定理的结论．首先定义一个新的概念：如图1，锐角中，M是的中点，N是线段上的点，设，若，，则称k为勾股比． 【解决问题】 （1）如图2，若，，，当勾股比时，求与的数量关系． （2）如图3，在锐角中，M是的中点，N是线段上的点，过点B、C作的垂线，垂足分别为P、Q， ①求证：； ②若，时，用勾股比k的代数式填空：（ ）． 【答案】【知识背景】； 【解决问题】（1） （2）①证明：∵， ∴； ∵M是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴； ②； 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理的内容并正确运用是解题的关键． 【知识背景】由勾股定理即可得：； 【解决问题】 （1）由等腰三角形的性质得，设，得，，；在中，，则得，即可求得与的关系； （2）①证明，即可求解； ②由勾股比设，得，，；在与中，分别由勾股定理得，，两式相加，再利用勾股定理即可求得与的关系． 【详解】解：【知识背景】由勾股定理得：； 故答案为：； 【解决问题】 （1）解：∵是的中点， ∴； 设，由，得， ∴； ∵， ∴，； 在中，， ∴， 即， ∴； （2）①略 ②解：由勾股比设，得， ∴； ∵是的中点，， ∴； 在中，由勾股定理得：①， 与中，由勾股定理得：②， ∵， ∴， 得，； 在中，由勾股定理得：， ∴ ； ∵， ∴， ∴ 即． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级学段衔接暨规范答题训练 数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是 A. B. C. D. 4. 已知，那么下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（ ） A. 3和4之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间 6. 如图，数轴上点A对应的数是1，点C对应的数是3，BC⊥AC，垂足为C，且BC=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A. B. C. D. 7. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的时，输出的y等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 九章算术是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、8，则正方形D的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6 10. 如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（ ）秒． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是______． 12. 已知：，则x的值______． 13. 的整数部分为a，的小数部分为b，那么________． 14. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ___________． 15. 如图，在中，，点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． 当是直角三角形时，的长为__________． 三、解答题，本题共8小题，共75分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 计算 （1） （2） 18. 已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 19. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． （1）试说明：； （2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 20. 综合与实践． 【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究． 【实践素材】实验支架、细绳、小球、卷尺． 【实践操作】步骤一：如图1，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，让小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置； 步骤二：先用发声物体靠近小球，使小球从摆到位置； 步骤三：再次用发声物体靠近小球，让小球摆到位置，使得． 【实验记录】如图2，在笔记本上记录点和点的位置（图中的，，，在同一平面上），并过点作于点，过点作于点，测得，． 【实践探索】 （1）求证：； （2）求的长． 21. 阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上，向右平移直角使点B和E重合（图1），这时，，问题就变成“点 B 在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值是_____． （2）根据上述信息，求代数式的最小值． （3）已知正数满足，结合上述问题的方法，求的值． 22. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出________； （2）化简； （3）若，请按照小明的方法求出的值． 23. 【知识背景】 勾股定理的内容是：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．在中，，则三边的数量关系满足 ； 【提出问题】 某学生在学习了勾股定理之后提出：锐角三角形有没有类似于勾股定理的结论．首先定义一个新的概念：如图1，锐角中，M是的中点，N是线段上的点，设，若，，则称k为勾股比． 【解决问题】 （1）如图2，若，，，当勾股比时，求与的数量关系． （2）如图3，在锐角中，M是的中点，N是线段上的点，过点B、C作的垂线，垂足分别为P、Q， ①求证：； ②若，时，用勾股比k的代数式填空：（ ）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $