重庆市第一中学校2026-2027学年高一上学期10月定时练习数学试题

秘密★启用前【考试时间：2026年10月22日8:00-10:00】 2026年高2029届高一上期定时练习 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．本卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．已知命题：存在一个正数，使，则下列选项正确的是 A．命题的否定为：“，都有” B．命题的否定为：“，都有” C．命题的否定为：“，使” D．命题的否定为：“，使” 3．已知函数，若，则实数的值是 A． B．或1 C． D．或1 4．已知和，则是的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 6．已知，则的最大值为 A． B． C． D． 7．已知，，若中至多有一个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知，，，，则的最小值为 A．18 B．14 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列不等式恒成立的是 A． B． C． D． 10．已知，则下列选项正确的是 A．若不等式对任意的恒成立，则或 B．若关于的不等式的解集为空集，则 C．若使得不等式成立，则或 D．若，不等式恒成立，则 11．设集合为非空实数集，集合，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是 A．当时，集合的积集 B．若，集合的积集 C．若是由5个正实数构成的集合，集合的积集中元素个数最少为7个 D．存在4个正实数构成的集合，使集合的积集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，则实数为________． 13．若函数的定义域为，则实数的取值范围是________． 14．已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（本小题13分） 设为全集，集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16．（本小题15分） 已知关于的不等式的解集为． （1）若，求关于的不等式的解集； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．（本小题15分） 已知函数满足，． （1）求的解析式； （2）若对任意实数，恒成立，且存在实数使得，求实数的取值范围． 18．（本小题17分） 若关于的一元二次方程（）的两个根为，，则可得，． 其证明过程如下：因为一元二次方程的两个根为，，所以二次三项式可以因式分解为，由于，从而等式恒成立．该等式两边的对应项系数应相等．因此，． （1）已知一元三次方程（）的根为，，，用，，分别表示与和，并给出推理过程； （2）已知三次函数，有三个互不相等的根，，． ①若，，，且满足，，求实数的值； ②若，，且，求的最大值． 19．（本小题17分） 设不小于6的正整数可以表示成个正整数，，…，（）之和，（），用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．记，为的最大值． （1）用列举法表示集合，并求出； （2）有下列3个命题： 命题①：若存在（），则此时； 命题②：若存在（），则此时可以成立； 命题③：若存在（），则此时． （ⅰ）写出上面3个命题中真命题的编号，并证明这些真命题； （ⅱ）求． 学科网（北京）股份有限公司 $秘密★启用前【考试时间：2026年10月22日8：00一10：00】 2026年高2029届高一上期定时练习 数学试题答案 一、选择题： 1-8:DBBC ADAD 7.解：因为A= 所以A∩B中最多有两个整数， 先求解A∩B中有两个整数1,2， x2-(3a-2)x+2u2-5a-3≤0→(x-(2a+1)(x-(a-3)≤0 2a+1≤1 a-3≥2 aep或 20-122 「a-3≤1 所以当ae(0》,o时4机8啡至多有-个整数 8解：因为x>0,y>0,z>1,x+2y=3,所以+6y=+2(c+2少_+4y +2≥2 区4y+2=6, y xv y x Vy x 当且仅当=4少 3 3 ,x= y x 2少=时等号成立， 4 原式26c+:子】6-+636-小子+6-4516 2-1 当且仅当6(c-1)=2 ),三=1+Y3时等号成立，故选：D 3 二、多项选择题： 9-11:AD BCD AC 11.解：对于A,因为A={1,2,3,4,故集合B中所有可能的元素有1×2,1×3,1×4,2×3,2×4,3×4，即 2,3,4,6,8,12,.B={2,3,4,6,8,12},故A正确： 对于B,因为A=[-1,3]故B=[-3,9),故B错误： 对于C,因为aa2<a1a3<a1a4<aa<a2a5<a3a5<a4a5, 所以B中元素个数大于等于7个， 答案第1页（共6页） 如设A={2,2,2,24,2},B={2,24,2,2,2,2,2}, 此时B中元素个数等于7个，所以积集B中元素个数的最小值为7，故C正确： 对于D,假设存在4个正实数构成的集合A={a,b,C,d,使其积集B={2,4,5,8,10,16, 不妨设0<a<b<c<d,则集合A的积集B={ab,ac,ad,bc,bd,cd, 则必有ab=2,cd=16,其4个正实数的乘积abcd=32, 又ad=5,bc=8或ad=8,bc=5,其4个正实数的乘积abcd=40,矛盾： 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A, 使其生成集B={2,4,5,8,10,16,故D错误.故选：AC 三、填空题： 12:313:0,4)14:6 14解：设f(x)=-3,g(y)=x2+bx-9,又a>0,所以f()在(0，+o)单调递增，当0<x<3时，f(x)<0: 当>3时，f(x)>0,由g(x)图象开口向上，g(0)=-9. 可知方程g(x)=0有一正根一负根，即函数g(x)在(0，+o)有且仅有一个零点，且为异号零点： 由题意知f(x)g(x)20,则当0<x<3时，g()s0; 当x3时，g()20,所以2是方程2+bx-9=0的根.则 9+36-9=0,即b=3a-3,且a>0,所以 a 6+53a-3+5-3a-3223a-6,当且仅当3a- 3、 3 aa a a=1 即 时，等号成立，则b+6的最小值是6， b=0 a 四、解答题： 15.（本小题13分) 解(1)x-1<4可解B={-3<x<5},… …2分 当a=2时，代入得A={3≤x≤5}… …4分 得CA={Nx<3或x>5},所以(CR4)nB={(-3<x<3: :。……。…………………6 (2)由(A)UB=R可得AcB,分两种情况讨论： …8分 ①当A=☑时，满足A三B,此时a+1>2a+1,解得a<0: …10分 答案第2页（共6页） a+1≤2a+1 ②当A≠☑时，需满足 ☑十1>-3，解得0≤1<2，…12分 2a+1<5 综上，a<2,所以实数a的取值范围为{da<2}.… …13分 16.(本小题15分) 解：(1)由题意，-1和2是方程(a-1)x2-2br-2=0的两根，且a-1>0, -1+2=2b 「a=2 所以 a-1 → 1,…2分 -1x2=2 a-1 b=2 cx2-(am+b)x+bm≥0→2x2- 2r+≥0=4r2-(4m+1x+m(4r-D6-m）≥0 1,1 2+ 当> ，解集为 4 当= ,不等式化为(4x-1)≥0，解集为R: 4 当m< …8分 2x+2 (2)已知不等式： 1 ≥m-x,x∈[0,3] 2x+2≥m-x,x∈[0,3]台m 2x+2 2x+2 1 +x台ms +x x+2 ,x∈[0,3].…10分 x+ 1 「2 min 令0)=2r+2+x4x+4 x+1 xF2x+i+x,令1=2x411e儿7] 2 02+2+3++4. …13分 222 最小值在1=2取得，02=7所以ms …15分 2 17.(本小题15分) (1)f(2x-1)=4x2-4x,令2x-1=1→2x=t+1,f0=t-1→fx)=x2-1…5分 (2)x∈R,f(x)≥g(x),即x2-1≥ax+b→x2-a-(1+b)≥0，x∈R. 判别式A≤0，A,=d+41+b)≤0→b≤-12-1. …8分 3x∈R,f(2x-1)≤g(x),即4x2-4x≤ax+b→4x2-(a+4x-b≤0 答案第3页（共6页） 存在x使之小于等于0，等价于判别式4,20，△，=(a+4)2+160≥0三b≥-a+4) …11分 16 :-@+4)sbs-Ia-1-@t4)s-Id-1-(@+4)24d+l6. 16 4 16 4 解得：0≤a≤分" 。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。 …15分 18.(本小题17分) 解：(1)设ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)有三个不相等的实数根x1,x2,x3 则ax23+bx2+cx+d=0(a≠0)可分解因式为a(x-x)儿x-x2)x-x3)=0…2分 ax-a(x+x2+x3)x+a(xx2+xx3+xx3)x-axx2x3=0 所以ar3-a(x+x+x)x2+a(x+xx3+xx3)x-ax2x=ax+bx2+cx+d恒成立， 所以等式两边对应系数相等，所以有十名十名=。十十5飞=二55=一日…4分 a a （2)由(1)可知，x1+x3十x3=-b,XX3+Xx3+xx3=C,Xxx3=-d…5分 易知xx+x+x=23→(x1+1)x+1)=24,① 96 X3= …② X1+x3 x1,x2,x3∈Z+…③ x=1x1=3 则x=11或x=5(每组数据中x,x,取值可以对调)→b=-20…9分 x=8x3=12 由(1)可知x1+x3+3=2→x1+x3=2-x3,xx2+xx3+xx3=-4→xx3=-4-x3(2-x3)=x32-2x3-4 d=-x3=-3g-2x3-4）=-x写+2x32+4x… …11分 则5 令x3-1=t …13分 答案第4页（共6页） 因为X<<X3,则(x3-x)x3-x)>0→x3-(x1+x2)x3+xx2>0 ④23x,+2)>0⊙5>2或无<-号 又因为x1+x3+x3=2,x<x3<X3,所以x3>2… …15分 5-d 9 …16分 尚且叙当12即x3时等号成立，时x一5价满足<出<8 2 所以 G+书-)45的最大值为-25 5-d9 …17分 4 19.(本小题17分) 解(1)26={1,1,1,11,1)，（11,1,1,2)(1,1,13)，(1,1,2,2)(1,2,3)，(1,1,4)，(2,2,2)，(1,5)，(2,4)，(3,3}…3分 (T6x=9… …4分 (2)(i)上述命题中真命题的编号为①③… …6分 证明①若存在正整数i,使得4=1，不妨设4=1，此时 S=1+a+4.+4-1+4=a+4.+a-1+(a+1) T,=1×4×a3×an-1×an<a,44-1(a+1 所以：此时T≠（亿）x……9分 证明③若存在4，≥6(1≤i≤)，则 S=41+43+..+4+..+an=41+4+..+2+(4-2)+..+a 不妨设a,=4+k(k≥2)=2+2+k<2(2+k)=2(a,-2) 则T,=a4a2.4.a.<41×42.×2×(g-2)×..×a 所以：此时T.≠(T)ax… …12分 (i)固定数组的项数，若其中两个数相差至少2，把较小的数增加1、较大的数减少1，则各项之和不变，而乘 积增大.反复调整可知：固定n时，乘积最大当且仅当各项之差不超过1. 由③可以加强证明，若要T,=(亿x,则a≤4(i=1,2,k): …13分 若存在不大于k的正整数i,使得4>4，令4=4+(jeN),因为4+j=2+(2+j)<2(2+), 所以Ta=44(4+j)a-1a。<442(2+j)a-14, 答案第5页（共6页） 4,4,,4中2与4不同时出现.事实上，若2与4同时出现，设 4=43==4=2,4+1=4+2=…=4=3,4+1=4+2=…=4。=4, 则4+4+H1=2+4=6=3+3,因为441=2×4<3×3，所以将a,4H都换成3得到的T更大， 所以4,42，，4.中2与4不同时出现： 4,4,,4中最多有一个4.事实上，4+4=3+3+2，而4×4<3×3×2， 所以4，☑，，4，中最多有一个4：…14分 4,4,,4中最多有两个2，因为，2+2+2=6=3+3，而2×2×2<3×3，所以4，a2,,4中最多有两个2：所以当 T029=(T09ax时，4=4，==ak1=3,4k=4,或a=4=2,4=a4==a4=3, 或4=2,4=4==4=3（舍），而2029=2+2+3+3++3 675个 ,…15分 所以亿m=35×4,009中相应的元素为4=2,2.33或4=833.017分 675个 675个 答案第6页（共6页）