重庆市第八中学校2024-2025学年高一上学期1月月考（期末模拟）数学试题

重庆八中高一上一月期末模拟考试数学试题 一、单选题(共8小题) 1.存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 2.方程的根为，方程的根为，则（ ） A. B. C. D. 3.已知定义在R上的函数f(x)＝x2＋2ax＋3在(－∞，1]上单调递减，当x∈[a＋1,1]时，f(x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为(　　) A. B. 1 C. D. 2 4.已知x>0，y>0，x＋2y＝3，则的最小值为(　　) A. 2＋1 B. 3－2 C. －1 D. ＋1 5.已知函数，对，使得成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为( ) A. 2π B. C. D. 7.已知函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在区间[a，b]，使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称函数f(x)为“成功函数”．若函数f(x)＝logc(cx＋t)(c>0，且c≠1)是“成功函数”，则实数t的取值范围为(　　) A. (0，＋∞) B. C. D. 8.已知平面上的线段l及点P，任取l上的一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作，若曲线C是边长为4的等边三角形，则点集所表示的图形面积为( ) A. B. C. D. 二、多选题(共3小题) 9.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的跟随区间，则 B. 函数不存在跟随区间 C. 若函数存在跟随区间，则 D. 二次函数存在“3倍跟随区间” 10.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是( ) A. 的图象关于直线对称 B. C. 当时，的值域是 D. 当时， 11.如图所示为函数的图像，则其解析式可能为( ) A. B. C. D. 三、填空题(共3小题) 12.在三角形 ABC 中，已知，则的最大值为___________. 13.已知定义在R上的函数，则 . 14.已知函数，则不等式成立的的取值范围是________． 四、解答题(共5小题) 15.对于函数，若实数满足，则称是的不动点；若实数满足，则称是的稳定点.若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和，即，，那么 (1)若，分别求的所有不动点和稳定点； (2)若，且，求的范围. 16.已知函数(常数)． (1)求的定义域； (2)判断函数的单调性； (3)当满足什么关系时，在上恒取正值？ 17.已知幂函数的图像关于轴对称，且． (1)求的值； (2)已知(且)在区间上是严格增函数，求实数的取值范围． 18.已知，，对任意的实数，求证： (1)； (2)． 19.中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x＜6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表(部分). (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数f(x)的最大值． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆八中高一上一月期末模拟考试数学试题 一、单选题(共8小题) 1.【答案】D 【解析】A：当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设； B：当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设； C：令，当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设； D：令，此时，即，符合题设． 故选：D. 2.【答案】C 【解析】令，方程化为，即，它的根为函数与直线交点的恒坐标，方程化为，即，它的根是函数与直线交点的恒坐标，作函数和的图象，作直线，易知和是反函数，它们的图象关于直线对称，而直线与垂直，∴关于直线对称，由，得，即而直线与的交点为，∴．． 故选：C． 3.【答案】B 【解析】∵函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，且对称轴为直线x＝－a， ∴－a≥1，即a≤－1，∴f(x)在[a＋1,1]上的最大值为f(a＋1)＝3a2＋4a＋4，最小值为f(1)＝2a＋4， ∴g(a)＝3a2＋2a＝32－， ∴g(a)在(－∞，－1]上单调递减， ∴g(a)的最小值为g(－1)＝1. 4.【答案】A 【解析】x＋2y＝3，可得x＝3－2y，x>0， 即3－2y>0，可得0<y<. 令＝m，则m>0，可得m＝， 即－2my2＋3my＝4y2－9y＋9， ∴(4＋2m)y2－(9＋3m)y＋9＝0， ∵m≠－2，且方程有解，则判别式Δ≥0， 即(9＋3m)2－36(4＋2m)≥0， 可得m2－2m－7≥0， ∴m≥2＋1或m≤1－2(舍去)．故选A. 5.【答案】B 【解析】当时，记和的值域分别为集合A，B. 当时，，当时，， 所以，函数的值域为. 因为对，使得成立， 所以，. 当时，，满足题意； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得. 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 6.【答案】D 【解析】设第i()次滚动后A 点位置为，结合图形，可知3次或4次滚动后，A点再次达到圆周处， 则第7次或第8次滚动后，A点达到圆周，第11次或第12次滚动后A第一次回到点P的位置，相当于正方形在圆内滚动了三圈. 因为圆O的半径r＝1，正方形的边长a＝1，所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为，正方形在圆周上滚动时，点的位置如图所示， 设第i()次滚动点A的路程为， 则， 又， 所以点A所走过的路程为． 故选：D. 7.【答案】D 【解析】由复合函数的单调性，知函数f(x)＝logc(cx＋t)(c>0，且c≠1)在其定义域内为增函数，且f(x)在[a，b]上的值域为， ∴即 ∴方程f(x)＝必有两个不相等的实数根． 由logc(cx＋t)＝，得cx－＋t＝0. 令m＝， ∴关于m的方程m2－m＋t＝0有两个不相等的正实数根， ∴解得0＜t＜， ∴t的取值范围为. 8.【答案】B 【解析】由题意，点集D所表示的图形如图，是边长为4的正三角形， 其中，，，，， ，， 所以扇形的面积为， ，， ， 所以的面积为， 又， 所以四边形的面积为， 又四边形的面积为， 点集所表示的图形面积为： . 故选：B． 二、多选题(共3小题) 9.【答案】BCD 【解析】对A，若为的跟随区间， 因为在区间为增函数，故其值域为， 根据题意有，解得或，因为故，故A错误； 对B，由题，因为函数在区间与上均为增函数， 故若存在跟随区间则有，即为的两根， 即，无解，故不存在，故B正确； 对C，若函数存在跟随区间，因为为减函数， 故由跟随区间的定义可知，， 即，因为，所以， 易得， 所以，令代入化简可得， 同理也满足， 即在区间上有两根不相等的实数根， 故，解得，故C正确； 对D，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为，当时，易得在区间上单调递增， 此时易得为方程的两根，求解得或， 故存在定义域，使得值域为，故D正确. 故选：BCD. 10.【答案】ABD 【解析】因为，则关于直线对称， 则，因为函数是定义在上的偶函数， 则，则，则B正确， 则 则的图象关于直线对称，故A正确； 对C，因为函数是定义在上的偶函数，则当时，的值域与时值域相同， 当时，，显然其为增函数，则的值域为，即，故C错误； 对D，当时，，则， 当时，，根据的周期为4， 则，故D正确； 故选：ABD. 11.【答案】BC 【解析】由题图可得函数的定义域为，且为偶函数，选项中的函数为奇函数，故选项错误； 对于选项，定义域为，且，是偶函数，当时，，令得函数在上只有一个零点，又，与图像不符，故选项错误； 对于B选项，定义域为，且，是偶函数， 当时，，令得函数在上只有一个零点，当1时，，满足图象，故选项正确； 对于选项，定义域为，且，是偶函数， 当时，，满足图象，故选项正确. 故选:BC. 三、填空题(共3小题) 12.【答案】 【解析】因为， 所以， 即，所以， 所以，又，所以，则， 所以 ， 取为锐角，其中，，因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 13.【答案】 【解析】利用倒序相加法由，得， 所以， 设, , 由，得 即，于是有，解得， 所以. 故答案为：. 14.【答案】 【解析】由得的定义域为， 因为 ， ， 所以，所以的图象关于对称， 记， 当时，由复合函数单调性易知单调递增， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 综上，在上单调递增，图象关于对称， 由图可知，要使，必有， 两边平方整理得，解得， 又，，得或， 所以的解集为. 故答案：. 四、解答题(共5小题) 15.【答案】(1)解　因为，由得，解得， ， 所以的不动点为，； 由，可得，即， 显然、为方程的根， 所以上述四次方程必有因式，可得， 解得， ，，， 所以的稳定点为， ，，. (2)解　因为，所以方程有实根，即有实根， 所以或，解得. 若，则，所以，方程的根即为方程的根， 又由得：，即， 由(1)知，故方程左边含有因式， 所以， 又，所以方程一定有实根且不是的解(#)， ①，此时，矛盾； ②，即， 当方程有实根时， 考虑(#)否定：方程的根也是是方程的解， 则有，代入方程得，故， 将代入方程，得，，所以(#)中. 综上：的取值范围是. 16.【答案】解　(1)由，得， 由，得，故， 即函数的定义域为． (2)由(1)知的定义域为． ∵，∴函数在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是增函数， 又函数在上是增函数， 由复合函数的单调性可知：在上是增函数. (3)由(2)知在上是增函数， ∴在上也是增函数． ∴当时，． ∴只需，即， 即.故当时， 在上恒取正值. 17.【答案】解　(1)由，知，得，又， 所以或， 当时，，图像不关于轴对称，舍； 当时，，图像关于轴对称， 所以的值为1，； (2)，由复合函数的单调性，知 ①时，严格增，且，所以且， 解得， ②时，严格减，且， 所以且，无解， 综上，实数的取值范围是． 18.【答案】证明　(1)因为，，都是正数且，，可得， 所以，也是正数． 又因为， 即得． (2)由于对正数A和，可得， 故，则， 从而， 两端次方得． 19.【答案】解　(1)当0≤x＜6时，由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由题中表格数据可得解得 所以当0≤x＜6时，f(x)＝－x2＋2x. 当x≥6时，f(x)＝， 由题中表格数据可得，f(9)＝＝，解得t＝7， 所以当x≥6时，f(x)＝. 综上，f(x)＝ (2)当0≤x＜6时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－4)2＋4， 所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，为4； 当x≥6时，f(x)＝单调递减， 所以f(x)的最大值为f(6)＝＝3， 因为4＞3，所以函数f(x)的最大值为4. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$