2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级上学期期中自编模拟数学试题（山东泰安适用）

初四数学期中自编模拟试卷 （2026年10月21日） 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α＝30°，探测器飞行的高度AC＝60m，则探测器到目标B的距离AB约为（其中1.732，计算结果精确到0.1）（　　） A．207.8m B．207.9m C．208.8m D．208.9m 2．如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 3．二次函数的部分图象如图所示，当x＞0时，y的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　） A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm 5．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB，A（﹣4，3），则点G坐标为（　　） A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4） 6．已知压力F（单位：N）一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）之间的函数关系式为p．当S＝0.3m2时，p＝1800Pa，则压强p关于受力面积S的函数图象正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知抛物线y＝x2﹣2nx经过点A（3，a），B（5，b）．若a＜b，且ab＜0，则n的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y（k≠0）上有A，B两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，H为OB的中点，S△AHO＝6，则k的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16 9．在二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中，x与y的部分对应值如表所示． x ﹣2 4 y 0 给出下列结论：①abc＜0；②（a+c）2＜b2；③若bm1bm2，且m1≠m2，则m1+m2＝2；④若点，均在二次函数图象上，则y1＞y2．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当a≤x≤a+2时，y的最小值为t，则下列t与a的函数关系图象正确的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共40分） 11．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高ycm与小孔到物体的距离xcm成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为20cm时，光屏上的像高为9cm．若要使像高为6cm，则小孔到物体的距离为_______ cm． 12．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2+4x+4的图象经过点（m，y1）和（m+1，y2），若m＞0，则y1_____ y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD，AB＝26，则点B到AD的距离为 _______ ． 14．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 ________ cm（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正半轴上的点P作x轴的平行线，分别交函数y（x＞0）和y（x＜0）的图象于点A，B．过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接AC交y轴于点Q，则的值为__________________ ． 16．如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象为抛物线C，直线y＝a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a＝_____ ． 三．解答题（共8小题，共86分） 17．（6分）汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗．小桐到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记作ABCDE（如图）．已知BC＝ED＝100cm，CD＝80cm，∠BCD＝∠EDC＝90°，∠ABC＝120°，∠AED＝105°，求画幅ABCDE的面积（精确到1cm2）． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.4，1.7） 18．（8分）一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面3尺，第二次露出水平面4尺，已知两次与水平面的夹角分别是53°与62°，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离．（sin53°，sin62°） 19．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 4 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 5 … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是________ （填序号）； ①a＞0； ②b2﹣4ac＞0； ③当x＝1时，y有最小值为﹣4； ④当x＞0时，y的值随x值的增大而增大． （3）若将该二次函数的图象沿y轴向下平移6个单位长度，交x轴于A，B两点，求AB的长． 20．（12分）生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸x（单位：英寸）和像素密度y（单位：PPI）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点（x，y），发现像素密度y和屏幕尺寸x之间近似存在一个函数关系． （1）判断：y是关于x的________ 函数（填“一次”或“反比例”）； （2）求这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 21．（12分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于40元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于55元，经市场调查发现，平均每天销售量y（箱）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量y（箱）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系式；并写出x的取值范围； （2）求平均每天的销售利润w（元）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数yx与反比例函数y（k≠0）的图象交于A（﹣2，m），B两点，x轴上的点C的坐标为（﹣5，0）． （1）求点A，B的坐标以及反比例函数y（k≠0）的表达式． （2）点D在x轴上，当四边形ACBD为平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 23．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx经过点（1，﹣1），（﹣1，3）． （1）求该抛物线的解析式． （2）将（1）中的抛物线向下平移3个单位长度得到新抛物线（如图2），与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． ①求△ABC的面积； ②过点B作射线BE交抛物线于点E，当∠DBE＝45°时，求点E的坐标． 24．（12分）二次函数y＝x2+bx+c图象过点A（3，0），B（0，﹣3）． （1）求该二次函数的解析式； （2）如图1，点C在y轴左侧的二次函数图象上，且S△ABC＝6，求点C的坐标； （3）如图2，把二次函数y1＝x2+bx+c（x≤3）的图象绕点A（3，0）旋转180°得到函数y2的图象，由这两个函数y1，y2图象组成新函数y3的图象． ①请在图2中画出函数y2的草图； ②若2﹣t≤x≤2+t，讨论当t变化时函数y3的最大值．（直接写出结果） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α＝30°，探测器飞行的高度AC＝60m，则探测器到目标B的距离AB约为（其中1.732，计算结果精确到0.1）（　　） A．207.8m B．207.9m C．208.8m D．208.9m 【分析】在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝α＝30°，AC＝60m， ∴AB＝2AC＝120207.8（m）， ∴探测器到目标B的距离AB约为207.8m， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 2．如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AD，得到∠ADB＝90°，由勾股定理求出AD＝2，AB，即可求出sinB． 【解答】解：连接AD，则∠ADB＝90°， ∵AD2，AB， ∴sinB， 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，关键是由勾股定理求出AD，AB的长． 3．二次函数的部分图象如图所示，当x＞0时，y的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先观察二次函数的图象，抛物线开口向上，当x＞0时，函数在y轴右侧单调递增，x＝0时 y＝3，所以x＞0时y＞3． 【解答】解：二次函数yx2+2x+3，a0，开口向上， x2， 当x＞0时，y随x增大而增大， 当x＝0，y＝3，因此x＞0时，y＞3， 选项里只有4满足y＞3， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象与增减性．熟练掌握二次函数对称轴和增减性判断是解题的关键． 4．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　） A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm 【分析】将解析数化为顶点式，即可得到这条鱼此次射出的水流的最大高度． 【解答】解：∵y＝﹣0.1x2+6x＝﹣0.1（x﹣30）2+90， ∴当x＝30时，y取得最大值90， 即这条鱼此次射出的水流的最大高度是90cm， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，会将函数解析式化为顶点式． 5．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB，A（﹣4，3），则点G坐标为（　　） A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4） 【分析】过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到，根据点A的坐标，结合tan∠ABO的值，求出BK＝8，AK＝6，平移求出E点坐标，进而得到平移规则，再求出G点坐标即可． 【解答】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则∠AHO＝∠BKA＝90°＝∠BAO， ∴∠BAK＝∠AOH＝90°﹣∠HAO， ∴△AHO∽△BKA， ∴， ∴∠A＝90°，ta，A（﹣4，3）， ∴OH＝3，AH＝4，， ∴， ∴BK＝8，AK＝6， ∵将△ABO平移， ∴OF＝BK＝8，OE＝AK＝6， ∴E（6，0）， ∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E， ∴将点O（0，0）先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G， ∴G（10，﹣3）； 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换一平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 6．已知压力F（单位：N）一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）之间的函数关系式为p．当S＝0.3m2时，p＝1800Pa，则压强p关于受力面积S的函数图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知压强p关于受力面积S的函数为反比例函数，然后用待定系数法求解析式结合选项判断即可． 【解答】解：已知压力F（单位：N）一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）之间的函数关系式为p， ∴压强p关于受力面积S的函数为反比例函数，图象为双曲线，故A，B不符合题意； 当S＝0.3m2时，p＝1800Pa，即1800， 故F＝540， 当S＝0.6时，p＝900，故C符合题意； 当S＝0.5时，p＝1080，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地理解题意是解题的关键． 7．已知抛物线y＝x2﹣2nx经过点A（3，a），B（5，b）．若a＜b，且ab＜0，则n的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据抛物线y＝x2﹣2nx经过点A（3，a），B（5，b），可以得到a＝9﹣6n，b＝25﹣10n，然后根据a＜b，且ab＜0，可以得到a＜0，b＞0，从而可以得到关于n的不等式组，求出该不等式组的解集，最后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2nx经过点A（3，a），B（5，b）， ∴a＝9﹣6n，b＝25﹣10n， ∵a＜b，且ab＜0， ∴a＜0，b＞0， ∴， 解得n， ∴n可以为2，n不可以取0，1，3， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y（k≠0）上有A，B两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，H为OB的中点，S△AHO＝6，则k的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16 【分析】设点B的坐标为（x，y），由H为OB中点得OB＝2OH，由BD⊥x轴及AC⊥x轴，可得AC∥BD，可证△OHC∽△OBD，先求相似比，即得面积比，根据反比例函数k的几何意义可知，可得，再结合及S△AHO＝S△AOC﹣S△HOC建立方程求解即可． 【解答】解：设B（x，y），其中x＜0，y＞0，则xy＝k， 由条件可知OB＝2OH， ∵BD⊥x轴，AC⊥x轴， ∴AC∥BD， 由图可知点H在线段AC上， ∴△OHC∽△OBD， 相似比为， ∴， 由条件可知， ∴， ∵点A在双曲线上，AC⊥x轴， ∴， ∵S△AHO＝S△AOC﹣S△HOC， ∴， ∴， ∴|k|＝16， ∵双曲线位于第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣16． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 9．在二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中，x与y的部分对应值如表所示． x ﹣2 4 y 0 给出下列结论：①abc＜0；②（a+c）2＜b2；③若bm1bm2，且m1≠m2，则m1+m2＝2；④若点，均在二次函数图象上，则y1＞y2．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】先根据表格中函数值相等的两点求出二次函数对称轴，再求出a、b、c，结合系数符号、代数式运算、等式变形、点到对称轴的距离，逐一判断四个结论对错． 【解答】解：由题意，x＝﹣2和 x＝4时，y值相等，都是， ， 1， b＝﹣2a， 已知，y＝0， 代入y＝ax2+bx+c， ， ． 将b＝﹣2a代入上式，， ∴． 函数解析式为． 将x＝﹣2，代入解析式， ， ∴， ， ∴， ． ∴，，． ①∵a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，①正确． ②， ， ， ∵（a+c）2＜b2，②正确． ③， ， （m1﹣m2）[a（m1+m2）+b]＝0， ∵m1≠m2a（m1+m2）+b＝0， ∴， ∵b＝﹣2a， ∴m1+m2＝2，③正确； ④对称轴直线x＝1，开口向下， 点离对称轴越远，函数值越小， ∴， ， ∴点离对称轴更远， ∴y1＜y2，④错误． 综上，①②③正确． 故选：A． 【点评】题目考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 10．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当a≤x≤a+2时，y的最小值为t，则下列t与a的函数关系图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的性质和分类讨论的方，可以发现t随a的变化如何变化，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴该函数的对称轴为直线x＝1，最小值为2， 当a＞1，a≤x≤a+2时，t随a的增大而增大，故选项B和D不符合题意； 当﹣1≤a≤1，a≤x≤a+2时，t的值恒为2， 当a＜﹣1，a≤x≤a+2时，t随a的增大而减小，故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二．填空题（共6小题） 11．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高ycm与小孔到物体的距离xcm成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为20cm时，光屏上的像高为9cm．若要使像高为6cm，则小孔到物体的距离为　30　 cm． 【分析】先设出反比例函数表达式，利用已知条件求出比例系数，再代入目标像高计算对应小孔到物体的距离即可． 【解答】解：∵像高ycm与小孔到物体的距离xcm成反比例函数关系， ∴设y与x的反比例函数解析式为， ∵当小孔到物体的距离为20cm时，光屏上的像高为9cm， ∴， 解得k＝180， ∴反比例函数解析式为， ∴当y＝6时，， 解得x＝30， 即小孔到物体的距离为30cm． 故答案为：30． 【点评】本题考查的是反比例函数的应用，根据题意得出关于x、y的函数关系式是解题的关键． 12．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2+4x+4的图象经过点（m，y1）和（m+1，y2），若m＞0，则y1　＜　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合m＞0判断两点横坐标的位置，即可比较y1与y2的大小． 【解答】解：对函数解析式配方得y＝x2+4x+4＝（x+2）2， ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2， ∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大， ∵m＞0， ∴m+1＞m＞0＞﹣2， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD，AB＝26，则点B到AD的距离为 　10　 ． 【分析】过点D作DH⊥AB于点H．可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k，证明DH＝CD＝5k，利用面积法求解． 【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H． ∵∠C＝90°，cos∠CAD， ∴可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k， ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DH＝DC＝5k， 设点B到AD的距离为h，则有13k×h26×5k， 解得h＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查解直角三角形，角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 14．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 　2.7　 cm（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 【分析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E，根据等腰直角三角形的性质可得CE＝2，再通过解直角三角形可求得OE的长，进而可求解． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E， 在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°， ∴CE＝BD＝2cm， 在△OCE中，∠COE＝37°，∠CEO＝90°， ∴tan37°， ∴OE＝2.7cm， 即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是2.7cm． 故答案为：2.7． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正半轴上的点P作x轴的平行线，分别交函数y（x＞0）和y（x＜0）的图象于点A，B．过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接AC交y轴于点Q，则的值为　　 ． 【分析】依据题意，由点A在函数y（x＞0）的图象上，则可设A（m，）（m＞0），则AP＝m，又AB∥x轴，B在y（x＜0）的图象上，则B（m，），则OCm，由AB∥OC，从而△APQ∽△COQ，可得，从而可以得解． 【解答】解：由题意，∵点A在函数y（x＞0）的图象上， ∴可设A（m，）（m＞0），则AP＝m， ∵AB∥x轴，B在y（x＜0）的图象上， ∴B（m，），则OCm， ∵AB∥OC， ∴△APQ∽△COQ． ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 16．如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象为抛物线C，直线y＝a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a＝　5　 ． 【分析】先求出抛物线顶点的坐标，据此表示出BN的长，再分别求出点A和点B的坐标，据此表示出AB的长，最后根据四边形ABNM为正方形建立方程进行求解即可． 【解答】解：由题知， 因为y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1， 所以抛物线的顶点坐标为（m，1）． 因为点B在直线y＝a上且BN⊥l， 所以BN＝a﹣1． 由x2﹣2mx+m2+1＝a得， x， 所以AB． 因为四边形ABNM为正方形， 所以AB＝BN， 则， 解得a＝1（舍去）或a＝5， 所以a的值为5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗．小桐到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记作ABCDE（如图）．已知BC＝ED＝100cm，CD＝80cm，∠BCD＝∠EDC＝90°，∠ABC＝120°，∠AED＝105°，求画幅ABCDE的面积（精确到1cm2）． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.4，1.7） 【分析】连接BE，作AM⊥BE于点M，判断出四边形BCDE是矩形，可得S五边形ABCDE＝S矩形BCDE+S△ABE，求出AM的长即可求得画幅ABCDE的面积． 【解答】解：连接BE，作AM⊥BE于点M，则∠AMB＝∠AME＝90°， ∵∠BCD＝∠EDC＝90°， ∴∠BCD+∠EDC＝180°， ∴BC∥ED， ∵BC＝ED， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵∠EDC＝90°， ∴四边形BCDE是矩形， ∴BE＝CD＝80cm，∠CBE＝∠BED＝90°， ∵∠ABC＝120°，∠AED＝105°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝30°，∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝15°， 设AM长xcm， ∴BMx≈1.7x（cm），ME3.7x（cm）， ∵BM+ME＝BE， ∴1.7x+3.7x＝80， 解得：x≈14.8， ∴AM≈14.8（cm）， ∵S五边形ABCDE＝S矩形BCDE+S△ABE， ∴S五边形ABCDE＝100×8080×14.8＝8000+592≈8592（cm2）， 答：画幅ABCDE的面积约为8592cm2． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所给图形整理成规则图形的和是解决本题的关键． 18．一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面3尺，第二次露出水平面4尺，已知两次与水平面的夹角分别是53°与62°，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离．（sin53°，sin62°） 【分析】如图，过B作BP∥AE，过D作DH⊥BP于H交AE于M，过E作EG⊥BP于G，交AE于N，得到四边形MHGN是矩形，根据矩形的性质得到MH＝NG，∠EBG＝∠CEN＝53°，∠DAM＝∠DBH＝62°，设BD＝BC＝x尺，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：如图，过B作BP∥AE，过D作DH⊥BP于H交AE于M，过C作CG⊥BP于G，交AE于N， 则四边形MHGN是矩形， ∴MH＝NG，∠EBG＝∠CEN＝53°，∠DAM＝∠DBH＝62°， 设BD＝BC＝x尺， 在Rt△DAM中，DM＝AD•sin∠DAM＝4×sin62°≈4（尺）， 在Rt△DBH中，DH＝BD•sin∠DBH＝x×sin62°x（尺）， 在Rt△CEN中，CN＝CE•sin∠CEN＝3×sin53°≈3（尺）， 在Rt△CBG中，CG＝BC•sin∠CBG＝x×sin53°x（尺）， ∴xx， ∴x＝13， ∴x8， 答：竹竿的长度为13尺，水底固定处到水平面的距离为8尺． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 4 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 5 … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是　①②③　 （填序号）； ①a＞0； ②b2﹣4ac＞0； ③当x＝1时，y有最小值为﹣4； ④当x＞0时，y的值随x值的增大而增大． （3）若将该二次函数的图象沿y轴向下平移6个单位长度，交x轴于A，B两点，求AB的长． 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令y＝0，求出其与x轴的两个交点坐标，即可求解AB． 【解答】解：（1）如图，二次函数图象即为所求： （2）由函数图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，①正确； 抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，②正确； 由图象可得，当x＝1时，y有最小值为﹣4，③正确； 由图象可得，当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③； （3）根据函数图象可得，顶点坐标为（1，﹣4），故设表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 将点（0，﹣3）代入得，a﹣4＝﹣3，解得a＝1， ∴抛物线表达式为y＝（x﹣1）2﹣4， ∴沿y轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为y＝（x﹣1）2﹣4﹣6，即为y＝（x﹣1）2﹣10， 令y＝0，则（x﹣1）2﹣10＝0， 解得，， ∴抛物线y＝（x﹣1）2﹣10与x轴的交点为， ∴． 【点评】本题主要考查了二次函数图象，平移的性质，抛物线与x轴的交点等，掌握其相关知识点是解题的关键． 20．生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸x（单位：英寸）和像素密度y（单位：PPI）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点（x，y），发现像素密度y和屏幕尺寸x之间近似存在一个函数关系． （1）判断：y是关于x的　反比例　 函数（填“一次”或“反比例”）； （2）求这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 【分析】（1）根据图象得像素密度y和屏幕尺寸x之间近似存在反比例函数关系； （2）利用待定系数法求解即可； （3）把x＝50代入求解即可． 【解答】解：（1）根据图象得像素密度y和屏幕尺寸x之间近似存在反比例函数关系； 故答案为：反比例； （2）设反比例函数解析式为， 将x＝55时，y＝40代入得： ， 解得k＝2200， ∴这个函数的解析式为； （3）把x＝50代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为44PPI． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于40元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于55元，经市场调查发现，平均每天销售量y（箱）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量y（箱）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系式；并写出x的取值范围； （2）求平均每天的销售利润w（元）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）构建二次函数，利用二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）设y＝kx+b，则有， 解得， ∴y＝﹣3x+240（40≤x≤55）； （2）w＝（﹣3x+240）×（x﹣40）＝﹣3（x﹣60）2+1200， ∵对称轴是直线x＝60，40≤x≤55）， ∴x＝55时，y的值最大，最大值＝1125（元）． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识解决问题学会构建二次函数解决实际问题． 22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数yx与反比例函数y（k≠0）的图象交于A（﹣2，m），B两点，x轴上的点C的坐标为（﹣5，0）． （1）求点A，B的坐标以及反比例函数y（k≠0）的表达式． （2）点D在x轴上，当四边形ACBD为平行四边形时，点D的坐标为　（5，0）　 ． 【分析】（1）将点A的坐标代入即可求得m的值及点A的坐标，进而求得反比例函数的表达式，根据正比例函数与反比例函数图象的对称性即可求得点B的坐标． （2）由平行四边形的性质可知，对角线AB与CD互相平分，则对角线AB与CD的中点重合，根据中点坐标公式即可求得点D的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，m）在正比例函数的图象上， ∴， ∴A（﹣2，﹣3）． ∵点A（﹣2，﹣3）在反比例函数的图象上， ∴k＝（﹣2）×（﹣3）＝6， ∴反比例函数的表达式为． ∵A，B为正比例函数与反比例函数的图象的交点， ∴B（2，3）． （2）∵四边形ACBD为平行四边形， ∴对角线AB与CD互相平分，即对角线AB与CD的中点重合． 设点D的坐标为（x，0）． ∵AB的中点为O（0，0）， ∴CD的中点也为（0，0）． ∵C（﹣5，0）， ∴， 解得x＝5， ∴D（5，0）． 故答案为：（5，0）． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了函数图象上点的坐标特征、函数交点问题、平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23．如图1，抛物线y＝ax2+bx经过点（1，﹣1），（﹣1，3）． （1）求该抛物线的解析式． （2）将（1）中的抛物线向下平移3个单位长度得到新抛物线（如图2），与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． ①求△ABC的面积； ②过点B作射线BE交抛物线于点E，当∠DBE＝45°时，求点E的坐标． 【分析】（1）将点（1，﹣1），（﹣1，3）代入抛物线解析式中，即可得出答案； （2）①如图2，先确定出新抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，进而得出A（﹣1，0），B（3，0），再求出点C坐标，即可得出答案； ②如图3，当点E在对称轴左侧时，设BE交y轴于点F，连接BC，CD，BD，先确定出∠OBF＝∠CBD，再判断出△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，进而求出OF＝1，进而求出经过点B（3，0），F（0，﹣1）的直线的解析式是，联立抛物线解析式即可求出答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点（1，﹣1），（﹣1，3）， ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x； （2）①如图2， 由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x， 由平移知，新抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∴， 即△ABC的面积为6； ②如图3，当点E在对称轴左侧时，设BE交y轴于点F，连接BC，CD，BD， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠OBF+∠CBE＝45°， ∵∠DBE＝∠CBD+∠CBE＝45°， ∴∠OBF＝∠CBD， ∵抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3， ∴D（1，﹣4）， ∴BD2＝（3﹣1）2+（0+4）2＝20， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴BC2＝（0﹣3）2+（﹣3﹣0）2＝18，CD2＝（1﹣0）2+（﹣4+3）2＝2， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°， ∴， ∵OB＝3， ∴OF＝1， ∴F（0，﹣1）， ∴经过点B（3，0），F（0，﹣1）的直线的解析式是， 联立 解得或（为点B的纵横坐标）， ∴点E的坐标是， 当点E在对称轴右侧时，显然不存在使得∠DBE＝45°的点E， 综上，点E的坐标是． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，求出OF是解本题的关键． 24．二次函数y＝x2+bx+c图象过点A（3，0），B（0，﹣3）． （1）求该二次函数的解析式； （2）如图1，点C在y轴左侧的二次函数图象上，且S△ABC＝6，求点C的坐标； （3）如图2，把二次函数y1＝x2+bx+c（x≤3）的图象绕点A（3，0）旋转180°得到函数y2的图象，由这两个函数y1，y2图象组成新函数y3的图象． ①请在图2中画出函数y2的草图； ②若2﹣t≤x≤2+t，讨论当t变化时函数y3的最大值．（直接写出结果） 【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）连接AB，过点C作y轴平行线交AB延长线于点D，先求出直线AB的解析式，设C（x，x2﹣2x﹣3）（x＜0），则D（x，x﹣3），利用铅锤法列出△ABC的面积公式，通过解一元二次方程求出x的值，从而得出点C的坐标； （3）①根据题意将二次函数y1绕点A逆时针旋转180°即可画出对应图象； ②先将二次函数y1的一般式化为顶点式，再根据旋转后的y2求得其解析式，进而得出y3的解析式，此时根据数形结合及抛物线的对称性、增减性质分别展开讨论，从而求得最终结果． 【解答】解：（1）由题意知，将A（3，0），B（0，﹣3）分别代入y＝x2+bx+c， 得， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3． （2）如图，连接AB，过点C作y轴平行线交AB延长线于点D， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 将A（3，0），B（0，﹣3）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣3， 由题意知，设C（x，x2﹣2x﹣3）（x＜0），则D（x，x﹣3）， ∴， ∵x＜0， ∴CD＝x2﹣3x， ∵S△ABC＝6， ∴， ∴x2﹣3x﹣4＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝4（舍去）， ∴C（﹣1，0）． （3）①如图所示； ； ②将转化为顶点式为， ∵二次函数y1的图象绕点A（3，0）旋转180°得到函数y2的图象， ∴， ∴， ∵2﹣t≤x≤2+t， ∴2+t＞2﹣t，即t＞0， 此时分情况讨论： （Ⅰ）如图，当3＜2+t＜5，即1＜t＜3时： 由图象可知，y3在x＝2+t处取得最大值， ∴； （Ⅱ）如图，当2+t≤3，且t＞0，即0＜t≤1时： 由图象可知，y3在x＝2+t处取得最大值， ∴； （Ⅲ）令[（2﹣t）﹣1]2﹣4＝4， 解得：，（舍去）， ∴， 此时， 如图，当，即时： 由图象可知，y3在x＝5处取得最大值， ∴； （Ⅳ）如图，当，即时： 由图象可知，y3在x＝2﹣t处取得最大值， ∴， 综上所述，当0＜t≤1时，函数y3的最大值为t2+2t﹣3； 当1＜t＜3时，函数y3的最大值为﹣t2+6t﹣5； 当时，函数y3的最大值为4； 当时，函数y3的最大值为t2﹣2t﹣3，讨论完毕． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，旋转的性质，中心对称图形，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/21 17:44:15；用户：禹颜明；邮箱：ta6950@xyh.com；学号：22395136 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $