专题07 解直角三角形的应用7大题型（期中专项训练）九年级数学上学期新教材青岛版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07解直角三角形的应用 题型图谱导航总览 题型1.仰角俯角问题 题型2.坡度坡角问题 题型3.方向角（方位角）问题 提升进阶突破 题型4.测量高度问题 题型5.测量距离问题 题型6.含双直角三角形模型问题 题型7.方案类测量应用题 题型精练·靶向突破 提升进阶突破 题型1仰角俯角问题 【模型】视线、水平线、物体高线构成直角三角形，多为双t△叠加。 【步骤】找准仰/俯角，设未知数，用三角函数列方程求解。 【易错】误把仰角俯角当成与竖直方向夹角。 1.图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图， 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 摄像头A的仰角、俯角均为l5°，高度OA为165cm.某人笔直站在离摄像头水平距离100cm的点B处，他 的身高为hcm,头部高度为l8cm,若此人要能被摄像头识别，则h的取值范围为（参考数据： sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27)() 仰角15 摄像头A -水平线 俯角15 777777 图1 图2 A.163≤h≤192 B.138≤h≤184 C.156≤h≤192 D.156≤h≤217 2.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B,C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升IOOm到达A处，在A处观察B地的俯角为 30°，则B,C两地之间的距离为() 30 1003 A.100v3m B.50v3m C.50v2m 一m D.3 3.如图，小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为60°，楼底点D处的俯角为30°.若两座楼 AB与CD相距60米，则大楼CD的高度为 米（结果保留根号）· 口口 口 0 60° A30 B←60米D 4.如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和45°，如果这时气球的高度CD为100 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为米（结果保留根号）， 30c 45药 5.崇觉寺铁塔，俗称济宁铁塔，坐落于济宁市博物馆老馆院内（古崇觉寺旧址）·始建于北宋崇宁四年， 八角九层，是国内现存保存完整的宋代铁塔，为全国重点文物保护单位，历经近千年风雨巍然屹立，展现 了我国古代工匠精湛的治铸技艺.某校项目学习小组的同学在了解该塔之后，想利用所学知识测量塔高， 下面是他们的测量方案及报告： 课题 测量崇觉寺铁塔高度 测量工 卷尺和测角仪等 具 如图，崇觉寺铁塔的高度为EF,小明利用上述工具测量EF的高度，(1) 在点A处用测角仪测得铁塔顶端的仰角为35°；(2)向前走12m站在C处： (3)在点C处用测角仪测得铁塔顶端的仰角为48°.已知小明的眼睛到水平 地面的距离为1.4m。 测量说 E 明 B 测量过 图中点A,C,F在同一水平直线上，点A,B,C,D,E,F均在同一 程 平面内，AB⊥AF于点A,CD⊥AF于点C. 参考数 sin35°≈0.57，cos35°≈0.81，tan35°≈0.70，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67 据 tan48°≈1.12 问题解 求崇觉寺铁塔的高度EF. 决 3/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点A处竖直上升60米后飞行至点B处，然后沿水平方向向左 飞行至点C处，在点C处测得大剧院最高点D和点A的俯角分别为37°和45°，AE=71米. 【数据应用】点A,B,C,D,E在同一竖直平面内，且点A和点E在同一水平线上，DE⊥AE.请根 据上述数据，解决下列问题.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 37yV45° D 77777777777777777777为 图1 图2 (1)线段BC的长为. 米 (2)计算大剧院的高度(DE), 题型2坡度坡角问题 【模型】坡面、铅垂线、水平底线组成直角三角形，坡度-铅直高：水平宽。 【步骤】由坡度转化边长比，结合勾股定理或三角函数求线段。 【易错混淆坡度（比值）与坡角（角度）概念。 1.如图，水坝的横截面为四边形4BCD,D8C,高DE=5加，迎水坡面4B的坡度 i=1:V3 ,高 ,则迎水 坡面AB的长为() AD 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.10m 10v√3m 5v3m B C.5m D s(m t(s 2.如图，一人乘雪橇沿坡度为 :V3 的斜坡笔直滑下，滑下的距离0)与时间6)之间的关系为=8+21 若滑到坡底的时间为5$，则此人下降的高度为) A.5m B.8m C.9m D.18m 3.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为=1：2.若某物体由传送带从地面A处经过0米传送到B处， 则该物体被抬高了」 米 B 1:2 4.如图，无障碍坡道AB的坡度为1：4，小丽在C处乘坐直升电梯竖直升高了6m到达点B处.若小丽从 A点沿这条坡道步行，则需前进」 m到达点B处. B 2 5.如图，大坝横截面是梯形，迎水坡4D的坡度为4：3，背水坡BC的坡角的正切为5，已知迎水坡 AD=100m,坝顶宽CD=30m,求大坝的高度和坝底AB的长. D C 6。如图。某居民楼B后有一座小山CD,其按度：11：v5,山技上点E处有一凉亭，测得小山坡新C 点与居民楼水平距离BC=25m,与凉亭距离CE=20m,某人在点E处用自制的测角仪测得居民楼A点的 仰角为45°，求居民楼AB的高.（结果保留根号） 5/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·D C 水平面 题型3方向角（方位角)问题 【模型】以南北基准线构造直角三角形，常出现多个方位形成双t△。 【步骤】画出南北方向基准线，标出方位角，转化为三角形内角。 【易错】方位角基准是南北线，容易按水平线直接取角。 1.如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A,北偏东35的方向上有一棵大树B,已知凉亭A在大树 B的正西方向，若BC=100米，则A、B两点相距()米. 北 4535 100(cos35+sin35) 100(cos35°-sin35) 100 100 100 100 sin35°cos35 D sin35 cos35 2.如图所示，在距离铁轨200m的B处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在A处时， 恰好位于B处的北偏东60°方向上，10s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这列动车 的平均车速是(). 6/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 北 B 西 平东 A.20+msB.20(3-m1s C.20m/s D.30m/s 3.如图，某渔船在A港观测到灯塔C在它的北偏东22°方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至B港时， 观测到灯塔C在它的东北方向上，则灯塔C与B港之间的距离为 海里.（结果精确到0.1海 √2≈1.41sin22°≈0.37cos22°≈0.93tan22°≈0.40 里，参考数据： 北 4.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段 距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长） 是 海里 北 B 十一东 160° 5.某城市快递公司设有中转站A,以及三个配送点B,C,D.如图，A,B,C,D在同一平面内 已知配送点B位于中转站A的北偏西60°方向6km处，配送点C位于中转站A的正北方向，且位于配送点 B北偏东30°方向，配送点D位于中转站A的正东方向，经测量，中转站A与配送点D点的距离为l6km. 7/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 西 →东 南 309 B 60 A D (1)求配送点C到配送点D的距离： (2)快递员甲从中转站A出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点D出发到中转站A取快递.已知快递员 甲和快递员乙的速度之比是：2，当两快递员的直线距离恰好为 5km 时，求快递员甲离中转站的距离. 6.如图是某景区的平面示意图，景点C位于景点A的正南方向km处，景点B位于景点A的南偏西60°方 向，且与景点A的距离AB=4km. 北 60 →东 (1)求BC的长度（结果保留根号）： (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效 通信半径是6km,智能巡检机器人从景点A出发，沿道路A→C→B→A的方向匀速行驶一周进行巡检， 巡检过程中能与设置在景点B的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度.（结 果保留小数点后一位，参考数据： √2≈1.41V5≈1.735≈2.24V6≈2.45、 题型4测量高度问题 8/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】水平地面上，观测点与被测物体构成直角三角形。 【步骤】确定观测距离，利用三角函数求竖直高度，勿忘加上观测者高度。 【易错】漏掉测角仪（人）自身高度，直接算出的高度当作总高。 1.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某数学兴趣 小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐 塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N,测得潮汐塔底端B的俯角为45（点M, N,A,B在同一平面内)，则潮汐塔AB的高度为结果精确到1m,参考数据：sin22°≈0.37， cos22°≈0.93，tan22°≈0.40) N 22°45° 777777777777777777777777777777 A.41m B.42m C.43m D.77m 2.下表是小颖填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 E B 相关数据 BE=1.8m,CD=2m,∠a=20°，∠B=60° 根据以上信息，可求出孔子像AE的高度约为()（结果精确到0.lm,参考数据：tan20°≈0.36， tan60≈1.73) 9/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2.8m B.3.0m c.3.2m D.3.4m 3.某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度.如图 2是其测量示意图，五边形ABDEC关于直线EF对称，EF与AB,CD分别相交于点F,G.测得 AB=3m,CD=5m,∠ABD=135°，∠BDE=92°，则文化长廊的最高点离地面的高度EF约为() (结果保留一位小数，参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07) D 图1 图2 A.4.2m B.4.0m c.3.7m D.3.6m 4.合肥骆岗中央公园是世界上最大的城市公园，位于合肥原骆岗机场，总面积5.3平方公里，其中景观绿 地面积约7.83平方公里，第十四届中国国际园博会就选在这里，为此市政府对高速公路进行全方位升级. 如图，这是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=5米，AB=10米， ∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 米.（结果保留根号） 多雾路段 谨慎驾驶 D 30°7 ⊙ 5.回雁峰坐落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首.王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”， 峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测 角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE=10m,∠BDG=30°，∠BFG=60°.己知测角仪DA的高度为1.5m, BC 则大雁雕塑 的高度约为 m 0.1m.参考数据： V3≈1.732 (结果精确 10/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 30° F 60° G E 6.如图1，华夏古槐王位于甘肃省平凉市崇信县锦屏镇关河村，是国内体型最大、树龄最长的古槐树，古 槐王有八大主枝，又称八卦槐.它不仅被载入《甘肃古树奇观》和《全国百株人文古树名录》，还被誉为 “活的文物”和“华夏民族活的历史见证”，成为连接历史与现代的文化符号.为了解华夏古槐王的现存 高度，某校兴趣小组开展了“测量华夏古槐王”的综合实践活动.如图2是他们测量华夏古槐王AB的示 意图，点A为最高点，C,B,D是地面同一条直线上的三个点（点C,D都在保护栏外），通过测量，地 面上C,D两点的距离为45.2m,∠ACB=42°，∠ADB=58°，求华夏古槐王的高度AB.(结果精确到lm」 参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60) 图1 图2 题型5测量距离问题 【模型】借助观测点构建直角三角形，间接求不可直接量取的水平距离。 【步骤】选定观测点，找到直角，建立边角关系列式计算。 【易错】分不清所求线段是斜边还是直角边，三角函数选用错误。 1.如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB,BC可分别绕点A,B转动，测量知 11/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=8cm,AB=16cm AB,BC ∠BAE=60°，∠ABC=50° AE ,当 转动到 时，点C到的距离是()（结果保 留小数点后一位，参考数据，s如70094，V51,7乃) 图1 图2 A.13.8cm B.7.5cm C.6.1cm D.6.3cm 2.数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树A沿着垂直于AB的方向走到E,再从E沿着垂直于AE的方向走到F,C为AE上一点，其中3位同学 分别测得三组数据：(1)AC=15米，∠ACB=60°；(2)EF=6米、DE=2米、AD=10米：(3) CD=12米，∠ACB=60°，∠ADB=45°其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有() A.0组 B.一组 C.二组 D.三组 3.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离，他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前行走200来到点D处，测得∠BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为 V3≈1.73 120米，则A、B两点的距离是米.（参考数据： 结果保留整数) 12/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D F 4.如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB,BC可分别绕点A,B转动，测量知BC=5cm, AB=20cm.当AB,BC转动到∠BAE=30°，∠ABC=97°时，点C到AE的距离为 cm (参考数据：sin53°=4 ) E 图1 图2 5.我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综 合实践小组开展矩盘应用的探究活动. 【模型制作】 综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1.四边形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，AB为 左矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC和DC组成矩尺盘，以点A为圆心，AB为半径的标有均匀刻度的 弧组成角度盘 左矩 右矩 角度盘 70 6 矩尺盘 铅垂线 重物●G B 图1 图2 图3 图4 图5 13/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【操作发现】 使用矩盘测量时，需要将左矩AB或右矩AD与视线PF重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、 矩尺盘的交点的刻度为读数， (1如图2，左矩AB与视线PF重合，角度盘读数为31°（∠DAE=3I°），矩尺盘读数为6(DE=6),可 知仰角P=D4E:3p,m☑P=t ZDAE=%合06如图3，石矩D与视线PF重合，角度盘读数 ΓAD10 为29°（∠DAE=29°），矩尺盘读数为5.5(DE=5.5),则仰角∠P=_ tan∠P≈ (结果 精确到0.1). 【应用探究】 (2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端E到地面的距离(EB的长度)，如图5，某同学站在 城门楼一侧A处，用矩盘的左矩与视线ME重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB前进，穿过城门BD到 达城门楼另一侧C处，在C处将矩盘右矩与视线E重合，角度盘读数为45°.已知AC=20m,该同学眼 睛到地面的高度是l1.6m,求城门楼的顶端E到地面的距离（结果精确到0，lm). 题型6含双直角三角形模型问题 【模型】共一条公共直角边，两个直角三角形左右/上下拼接。 【步骤】以公共边为等量，分别在两个三角形表示边长，联立方程。 【易错】公共边找错，两个三角形边角条件混用。 1. 如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第 二次是当阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？() 123-12 A. B.12V3+12 C.12 D.12-4V3 14/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电.如图，长为2米的光伏板AB斜靠在竖直于 地面的支架BC上，倾斜角为α，为提高发电效率，将底端A沿CA方向移动到点A',顶端B向下滑动到 点B',此时倾斜角为P,则顶端下降的垂直高度BB为() B B (2sinB-2sina) A 米 (2sina-2sinB）米 C.(2cosB-2cosa) D.(2cosa-2cos) 3.斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁.如图是一座斜拉桥的部分示意图，其中拉索 AB与水平桥面BC的夹角∠ABC=45°，拉索DE与水平桥面BC的夹角∠DEC=65°，两条拉索顶端之间 的距离AD=4m,底端之间的距离BE=20m,则桥塔AC的长为 (结果精确到0.lm, 参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) A 拉索 桥塔 拉索 B 水平桥面 E 4.某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测.如图， 在河岸两边分别标记A,B两点，使得AB与河岸垂直，且点A,B与台底C在同一条直线上，己知台高 CD=15米，∠ADC=70°，∠BDC=30°，求河宽AB(结果保留小数点后-一位)· (参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34.tan70°≈2.75,3≈1.73 15/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.新情境消防云梯某种型号的消防车（如图1）车尾处的云梯长度伸缩范围为5~45米，最大张角为70°. 在一次出警任务中，由于消防车前方有障碍物，车头只能停在楼前20米的B处（如图2），已知车长 AB=5米，车高AM=2.7米.起初火势较小，当云梯与水平线夹角∠EAB为45°时，正好到达起火楼层E 点.小明家所在楼层比起火楼层高15米，由于火势没有完全控制，消防车及时向前挪动，沿MP方向前进 10米，车头停在楼前的D处，并将云梯与水平线夹角调至最大，即∠FCD=70°.请你通过计算说明此时 云梯能否到达小明家所在楼层（图2中所有点均在同一竖直平面内，EP⊥MP.参考数据：sin70°≈0.94， cos70°≈0.34，tan70°≈2.75). A BC D M 图1 图2 题型7方案类测量应用题 【模型】根据给定测量数据，自主构造直角三角形求解。 【步骤】读懂测量方案，提取数据，画出几何图形再计算。 【易错】看不懂实验测量方案，图形构建错误。 16/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.项目式学习 某考古队在一考古现场发现一件易碎文物，需探测其到土层表面的距离（避免挖掘损坏文物），可利用一 种新型方法探测.某探测小组制定方案，通过探测仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出文物到土 层表面的距离，方案如下： 课题 探测文物到土层表面的距离 方法 侧方射线探测法 D E B M 示意图 如图，文物在A处，在土层表面选点B，探测射线避开文物 周边脆弱区域，射线与土层表面MW的夹角为∠DBN;再在 说明 距离B处9m的C处探测，射线与土层表面MN的夹角为 ∠ECN 测量数据 ∠DBN=35°.∠ECN=22°， BC=9m 请你根据上表中的测量数据回答以下问题： (1)∠BCA= °，∠ABM= (2)计算文物所在地A处到土层表面的距离。（结果精确到1m)· (参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40 2.金属探测器的工作原理是利用电磁感应，通过设备发射的交变磁场，使地下金属物产生感应电流，进 而产生反向磁场被探测器接收，以此精准定位地下金属物的位置.如图1，某人用金属探测仪探测到地下 有一金属物，某探测小组制定方案，通过探测仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出金属物到地面 的距离，方案如下： 课题 检测金属物到地面的距离 17/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 工具 金属探测仪等 D B 示意图 图2 图1 如图2，在地面P吧上选择B处探测金属物A,探测射线与地面P№的 说明 夹角为∠DBP,再在地面PQ上距B处4.5m的C处探测金属物A,探 测射线与地面QP的夹角为∠ECP. 测量数据 ∠DBP=35°，∠ECP=22°，BC=4.5m sin35°≈0.57.cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37， 参考数据 cos22°≈0.93，tan22°≈0.40 任务解决： (1)∠BCA= ,LAB0=,—: (2)计算金属物A到地面的距离.（结果精确到0.1m) 3.如图是镇远楼俗称鼓楼，又名靖远楼，位于张掖市中心，是河西走廊现存最大的鼓楼.于明正德二年 (1507年)建在一座砖包的高台上，楼为三层木构塔型，飞檐翘角，雕梁画栋，结构精巧，造型雄伟壮观. 楼上四面悬有匾额：东为“金城春雨”，西为“玉关晓月”，南为“祁连晴雪”，北为“居延古牧”，完 全是中华民族的传统建筑.某数学兴趣小组将测量镇远楼的高度作为一次实践活动，同学们制定了测量方 案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 18/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 课题 测量镇远楼的高度 如图，镇远楼AC及底座BC 在同一条直线上且垂直于地 面，在地面上选取点D,测 测量示意图 得∠BDC和∠BDA的度数及 B,D两点之间的距离，点 A,B,C,D均在同一竖 直平面内，且AB⊥BD ∠BDC的度数 ∠BDA的度数 BD的长度 测量数据 42° 71.6° 10m 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出镇远楼AC的高度（结果保留整数）·参考数据： sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01 4.项目学习项目背景：如图1，“天幕”是一种常见的露营设备，由支撑杆、天幕布和拉绳组成.某校课 外活动小组为了探究天幕的稳定性与拉绳长度、支撑杆高度之间的关系，开展项目式学习，形成如下活动 报告， 项 目 天幕帐篷中的数学 主 题 天 天幕布AD=AE=2米，支撑杆AF可伸缩，且AF⊥BC于点F;两根长度相同的 19/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 幕 拉绳DB和EC分别固定于地面上点B和点C处，点A,D,B共线，点A,E,C共 概 线； 地面固定点B与点C之间的距离BC=6米，∠BAC=120° 述 测 量 皮尺：测量水平距离. 工 具 方 支撑杆由AF伸长至OF(点F位置不变，点A升高到点O)；固定点B,C分别 案 移动至点M,N,BM=CW=1米，且点B,M,F,N,C在同一条直线上；在这个过 说 程中，拉绳长度保持不变， 明 示 意 图 B B M F 图1 图2 图3 √2≈1.41，V3≈1.73 请你根据以上信息，完成下列任务：( 结果精确到0.1米) (1)求拉绳DB的长度： (2)求支撑杆伸长后的高度OF 20/20专题07 解直角三角形的应用 提升·进阶突破 题型1. 仰角俯角问题 题型2. 坡度坡角问题 题型3. 方向角（方位角）问题 题型4. 测量高度问题 题型5. 测量距离问题 题型6. 含双直角三角形模型问题 题型7. 方案类测量应用题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提升·进阶突破 题型1 仰角俯角问题 【模型】视线、水平线、物体高线构成直角三角形，多为双 Rt△叠加。 【步骤】找准仰 / 俯角，设未知数，用三角函数列方程求解。 【易错】误把仰角俯角当成与竖直方向夹角。 1．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，他的身高为，头部高度为，若此人要能被摄像头识别，则的取值范围为（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，延长交于点，则四边形为矩形，从而可得，，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴，即他的身高不能超过， ∵头部高度为， ∴他的身高不能低于， ∴h的取值范围为． 2．如图，某地修建高速公路，要从地向地修一座隧道（，在同一水平面上），为了测量，两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从地出发，垂直上升到达处，在处观察地的俯角为，则，两地之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题可知，， ． 3．如图，小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为，楼底点D处的俯角为．若两座楼与相距60米，则大楼的高度为_________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形即可得的长． 【详解】解：由题意得：，，，，，米， ∴，，， ∴， 在中，（米）， 在中，（米）． 4．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，， 在中，米， 在中，米， ∴米， ∴建筑物A、B之间的距离为米． 5．崇觉寺铁塔，俗称济宁铁塔，坐落于济宁市博物馆老馆院内（古崇觉寺旧址）．始建于北宋崇宁四年，八角九层，是国内现存保存完整的宋代铁塔，为全国重点文物保护单位，历经近千年风雨巍然屹立，展现了我国古代工匠精湛的冶铸技艺．某校项目学习小组的同学在了解该塔之后，想利用所学知识测量塔高，下面是他们的测量方案及报告： 课题 测量崇觉寺铁塔高度 测量工具 卷尺和测角仪等 测量说明 如图，崇觉寺铁塔的高度为，小明利用上述工具测量的高度，（1）在点A处用测角仪测得铁塔顶端的仰角为；（2）向前走站在处；（3）在点C处用测角仪测得铁塔顶端的仰角为．已知小明的眼睛到水平地面的距离为． 测量过程 图中点，，在同一水平直线上，点，，，，，均在同一平面内，于点A，于点C． 参考数据 ，，，，，． 问题解决 求崇觉寺铁塔的高度． 【答案】 【分析】塔顶 到水平视线 所在直线的距离 ；在 与 中分别用 、 表示 、，由   建立方程求出 ，再加 即得塔高． 【详解】解：延长 交 于点 ，则 ， ∵ 小明的眼睛到水平地面的距离为 ， ∴ ， ∴ ． 在 中，， ∴ ， 在 中，， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 崇觉寺铁塔的高度 约为 ． 6．【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米； (2)计算大剧院的高度（）． 【答案】(1)60 (2)51.75米 【分析】（1）在中解直角三角形即可； （2）延长，交于点F，则，可得四边形为矩形，因此米，米，米，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得米，，， ∴（米）， 即线段的长为60米． （2）解：如图，延长，交于点F，则． 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴米． ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）． 即大剧院的高度为米． 题型2 坡度坡角问题 【模型】坡面、铅垂线、水平底线组成直角三角形，坡度 = 铅直高：水平宽。 【步骤】由坡度转化边长比，结合勾股定理或三角函数求线段。 【易错 混淆坡度（比值）与坡角（角度）概念。 1．如图，水坝的横截面为四边形，，高，迎水坡面的坡度，则迎水坡面的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作，先用三角函数求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：过点A作，垂足为F，如下图所示， 由题意可知， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 迎水坡面的坡度， ， 即， ， 在中，，，，由勾股定理得： ． 2．如图，一人乘雪橇沿坡度为的斜坡笔直滑下，滑下的距离)与时间)之间的关系为，若滑到坡底的时间为，则此人下降的高度为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵滑下的距离)与时间)之间的关系为，滑到坡底的时间为， ∴， 设坡角为， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴此人下降的高度， 故选：C． 3．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 【答案】 【分析】构造，设米，由坡度的定义可得米，使用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】解：如图，设米， ∵坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴， 解得（负根，舍去）， ∴物体被抬高了米． 4．如图，无障碍坡道的坡度为，小丽在处乘坐直升电梯竖直升高了到达点处．若小丽从点沿这条坡道步行，则需前进_________到达点处． 【答案】 【分析】先根据坡度定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴． 5．如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡度为，背水坡的坡角的正切为，已知迎水坡，坝顶宽，求大坝的高度和坝底的长． 【答案】大坝高度为米，米 【分析】分别过两点作，垂足分别为，利用勾股定理和三角函数解答即可． 【详解】解：分别过两点作，垂足分别为，则的长就是大坝的高度． 迎水坡的坡度为， ， 设， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：， （米），（米）， 大坝高度为米． 大坝横截面是梯形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， （米），（米）， 在直角三角形中，，， ， （米）， ∴（米）． 6．如图，某居民楼后有一座小山，其坡度：，山坡上点处有一凉亭，测得小山坡脚点与居民楼水平距离，与凉亭距离，某人在点处用自制的测角仪测得居民楼点的仰角为，求居民楼的高．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作于点，根据三角函数得出，过点作，于点，根据三角函数得出，，，进而解答即可． 【详解】解：过点作于点，过点作，于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 依题意得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 答：居民楼的高为． 题型3方向角（方位角）问题 【模型】以南北基准线构造直角三角形，常出现多个方位形成双 Rt△。 【步骤】画出南北方向基准线，标出方位角，转化为三角形内角。 【易错】方位角基准是南北线，容易按水平线直接取角。 1．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线交于，是直角三角形和直角三角形的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长． 【详解】解：过点作的垂线交于， 点在点的正东方向， ，， 在中，米， （米），（米）， 在中，， 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键． 2．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 3．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】 28.2 【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向， ． 海里，海里． 在中，，海里． ， ． 即． 解得． （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 4．如图，港口A在观测站O的正东方向，海里，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）是______海里． 【答案】 【分析】作，再根据题意可知,，然后根据直角三角形的性质得海里，接下来根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：过点A作，于点D， 根据题意可知, ∴， ∴． 在中，海里， ∴海里． 在中，， ∴， ∴海里， 根据勾股定理，得海里． 5．某城市快递公司设有中转站，以及三个配送点，，．如图，，，，在同一平面内．已知配送点位于中转站的北偏西方向处，配送点位于中转站的正北方向，且位于配送点北偏东方向，配送点位于中转站的正东方向，经测量，中转站与配送点点的距离为． (1)求配送点到配送点的距离； (2)快递员甲从中转站出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点出发到中转站取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好为时，求快递员甲离中转站的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，分别在含的和中，求得和，得到的长，最终在中利用勾股定理求得的长度即为配送点到配送点的距离； （2）设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为时，根据快递员甲和快递员乙的速度之比为，得到路程之比为，即，设快递员甲离中转站的距离，则，，在中，利用勾股定理列方程求解，进而求得快递员甲离中转站的距离． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， AI 由题意得：，，，，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 答：配送点到配送点的距离为． （2）解：如图所示，设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为时，两快递员直线距离为， 快递员甲和快递员乙的速度之比为， 相同时间内快递员甲和快递员乙的路程之比为，即． 设快递员甲离中转站的距离，则， ， 在中，， ，化简得， 解得：，． 当时，符合题意，当时，，不合题意，舍去； 答：当两快递员直线距离为时，快递员甲离中转站的距离为． 6．如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作构造直角三角形，由南偏西得到，利用含直角三角形的性质求出，再用勾股定理算出垂线段，接着算出，最后在中再次使用勾股定理求出； （2）以基站B为圆心、为通信半径，分别在行进路线上找出和这个圆相交的有效路段：全程在范围内，上截取，在上利用勾股算出交点E到A的距离，把三段有效路程相加，再根据“速度总路程时间”计算速度． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ， ， ，， ； （2）解：如图，设， ， ， 该智能巡检机器人的行驶速度为． 题型4 测量高度问题 【模型】水平地面上，观测点与被测物体构成直角三角形。 【步骤】确定观测距离，利用三角函数求竖直高度，勿忘加上观测者高度。 【易错】漏掉测角仪（人）自身高度，直接算出的高度当作总高。 1．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某 数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点,测得潮汐塔底端的俯角为(点，，，在同一平面内)，则潮汐塔的高度为(    )(结果精确到，参考数据：,,) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，延长交于点，根据等腰直角三角形的性质可知，根据的长度即可求出，利用的正切求出的长度，利用即可求出潮汐塔的高度． 【详解】解：延长交于点， 则有， 无人机在距水平地面， ， ， 是等腰直角三角形， ， 无人机从点沿水平方向飞行到达点， ， ， 在中，，， ， ， ． 故选：C． 2．下表是小颖填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图    相关数据 ，，， 根据以上信息，可求出孔子像的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出和的长，根据即可得到答案. 【详解】解：∵，，，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：B 3．某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图）的最高点到地面的高度．如图是其测量示意图，五边形关于直线对称，与，分别相交于点，．测得，，，，则文化长廊的最高点离地面的高度约为（    ）（结果保留一位小数，参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，过点作于点，证明四边形为矩形，得出，，求出，得到，求出，再解直角三角形得出的长，再由计算即可得出答案熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 由题意，得，， ∵垂直平分，垂足为，垂直平分，与交于点，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 4．合肥骆岗中央公园是世界上最大的城市公园，位于合肥原骆岗机场，总面积平方公里，其中景观绿地面积约平方公里，第十四届中国国际园博会就选在这里，为此市政府对高速公路进行全方位升级．如图，这是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高为__________米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】设米，根据米， ，，得到 ,继而得到米，继而得到米，计算米，结合，根据计算即可，本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，熟练掌握解直角三角形的基本方法是解题的关键． 【详解】设米， ∵米， ，， ∴, ∴米， ∴米， ∵米， ， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 5．回雁峰坐落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪的高度为，则大雁雕塑的高度约为_________．（结果精确到．参考数据：） 【答案】10.2 【分析】先根据三角形外角求得，再根据三角形的等角对等边得出BF=DF=AE=10m，再解直角三角形求得BG即可求解． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， 即． ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的判定和解直角三角形的解题方法是解答的关键． 6．如图1，华夏古槐王位于甘肃省平凉市崇信县锦屏镇关河村，是国内体型最大、树龄最长的古槐树，古槐王有八大主枝，又称八卦槐．它不仅被载入《甘肃古树奇观》和《全国百株人文古树名录》，还被誉为“活的文物”和“华夏民族活的历史见证”，成为连接历史与现代的文化符号．为了解华夏古槐王的现存高度，某校兴趣小组开展了“测量华夏古槐王”的综合实践活动．如图2是他们测量华夏古槐王的示意图，点A为最高点，C，B，D是地面同一条直线上的三个点（点C，D都在保护栏外），通过测量，地面上C，D两点的距离为，，，求华夏古槐王的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】华夏古槐王的高度约为26米 【分析】先分别利用三角函数表示出，再根据构建方程求解． 【详解】解：根据题意，， 则在直角三角形和直角三角形中， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， 答：华夏古槐王的高度约为26米． 题型5 测量距离问题 【模型】借助观测点构建直角三角形，间接求不可直接量取的水平距离。 【步骤】选定观测点，找到直角，建立边角关系列式计算。 【易错】分不清所求线段是斜边还是直角边，三角函数选用错误。 1．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，B转动，测量知．当转动到时，点C到的距离是（    ）（结果保留小数点后一位，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，从而解决问题． 【详解】如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D， 在Rt△ABM中， ∵∠BAE=60°，AB=16， ∴（cm）， ∠ABM=90°-60°=30°， 在Rt△BCD中， ∵∠DBC=∠ABC-∠ABM=50°-30°=20°， ∴∠BCD=90°-20°=70°， 又∵BC=8， ∴BD=sin70°×8≈0.94×8=7.52（cm）， ∴CN=DM=BM-BD=8-7.52≈6.3（cm）， 即点C到AE的距离约为6.3cm， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 2．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于的方向走到E，再从E沿着垂直于的方向走到F，C为上一点，其中3位同学分别测得三组数据：（1）米，；（2）米、米、米；（3）米，，其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（     ） A．0组 B．一组 C．二组 D．三组 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形和相似三角形的应用，解本题的关键是将实际问题转化为相似三角形和解直角三角的问题来解决．根据解直角三角形和相似三角形的知识别对三种情况分别进行解答即可． 【详解】解：第（1）组，在中，米，，, ∴（米）， 故满足题意； 第（2）组，∵， ∴， ∴， ∵米、米、米 ∴， 解得米， 故（2）符合题意； 第（3）组，设米， 在中，， 在中，， ∴， 解得 即米， 故（3）符合题意， 综上可知，能根据所测数据求得A、B两树距离的有三组， 故选：D． 3．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离，他沿着与直线平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得，再向前行走200来到点D处，测得．若直线与之间的距离为120米，则A、B两点的距离是______米．（参考数据：，结果保留整数）    【答案】 【分析】作于点M，作于点N，解直角三角形和直角三角形，求出的长，利于，进行求解即可． 【详解】解：如图，作于点M，作于点N，    由题意可得，， ∴， ， ∴米． 即A、B两点的距离是米． 故答案为： 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是构造直角三角形． 4．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知，．当AB，BC转动到，时，点C到AE的距离为_____________cm．（参考数据：） 【答案】6 【分析】过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，从而可得四边形MNCD是矩形，进而可得DM=CN，先在RtABM中，利用锐角三角函数的定义求出BM的长，并且可以求出∠ABM=60°，从而求出∠CBD=37°，进而求出∠BCD=53°，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D， ∴∠AMB=∠BME=∠CNM=∠CDM=∠CDB=90°， ∴四边形MNCD是矩形， ∴DM=CN， 在RtABM中，∠BAE=30°，AB=20cm， ∴∠ABM=90°-∠BAE=30°， BM=AB•sin30°=20×=10（cm）， ∵∠ABC=97°， ∴∠CBD=∠ABC-∠ABM=37°， ∴∠BCD=90°-∠CBD=53°， 在Rt△BCD中，BC=5cm， ∴BD=BC•sin53°=5×=4（cm）， ∴DM=BM-BD=10-4=6（cm）， ∴CN=DM= 6cm， ∴点C到AE的距离为6cm． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动． 【模型制作】 综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘． 【操作发现】 使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数． (1)如图2，左矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为6（），可知仰角，．如图3，右矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为（），则仰角________，________（结果精确到）． 【应用探究】 (2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端到地面的距离（的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为．已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离（结果精确到）． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得出，根据，结合正切定义，求出结果即可； （2）设，则，则中，根据，得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：，， ∵， ∴， ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：，，，，，，， ∴， ∴中，， 即， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴中，， 即， 解得：， ∴， 答：城门楼的顶端到地面的距离约为． 题型6含双直角三角形模型问题 【模型】共一条公共直角边，两个直角三角形左右 / 上下拼接。 【步骤】以公共边为等量，分别在两个三角形表示边长，联立方程。 【易错】公共边找错，两个三角形边角条件混用。 1．如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？（     ） A． B． C．12 D． 【答案】A 【分析】如图，由题意可得米，解直角三角形求出米，米，由即可解答． 【详解】解：如图， 由题意可得米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米，即第二次观察到的影子比第一次的长米． 2．某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意可知，在和 中，分别利用正弦函数求出和的长，最后根据 即可求解． 【详解】解：由题意可知，光伏板长度不变，即米，且． 在 中，， ， ． 在中， ， ∵， ． ∴米． 3．斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁．如图是一座斜拉桥的部分示意图，其中拉索与水平桥面的夹角，拉索与水平桥面的夹角，两条拉索顶端之间的距离，底端之间的距离，则桥塔的长为________________（结果精确到，参考数据，，） 【答案】/米 【分析】根据，则为等腰直角三角形，可得，设，表示出，再由的正切值求解即可． 【详解】解：∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， 则桥塔的长为． 4．某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记，两点，使得与河岸垂直，且点，与台底在同一条直线上，已知台高米，，，求河宽（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 【答案】河宽为32.6米． 【分析】由锐角的正切定义求出和的长，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴（米）． ∵， ∴（米）． ∴（米）． 答：河宽为32.6米． 5．新情境消防云梯某种型号的消防车（如图1）车尾处的云梯长度伸缩范围为5~45米，最大张角为70°．在一次出警任务中，由于消防车前方有障碍物，车头只能停在楼前20米的B处（如图2），已知车长米，车高米．起初火势较小，当云梯与水平线夹角为时，正好到达起火楼层E点．小明家所在楼层比起火楼层高15米，由于火势没有完全控制，消防车及时向前挪动，沿方向前进10米，车头停在楼前的D处，并将云梯与水平线夹角调至最大，即．请你通过计算说明此时云梯能否到达小明家所在楼层（图2中所有点均在同一竖直平面内，．参考数据：，，）． 【答案】云梯能够到达小明家所在楼层． 【分析】根据解三角形将的长度求出来，比较与米和与米的大小，从而确定云梯是否能够到达小明家所在楼层． 【详解】解：延长交于点G，如图， 由题意，得， 在中，， ， 由题意，得， ， 在中，， （米）， （米）， ，， ∴云梯能够到达小明家所在楼层． 题型7 方案类测量应用题 【模型】根据给定测量数据，自主构造直角三角形求解。 【步骤】读懂测量方案，提取数据，画出几何图形再计算。 【易错】看不懂实验测量方案，图形构建错误。 1．项目式学习 某考古队在一考古现场发现一件易碎文物，需探测其到土层表面的距离（避免挖掘损坏文物），可利用一种新型方法探测．某探测小组制定方案，通过探测仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出文物到土层表面的距离，方案如下： 课题 探测文物到土层表面的距离 方法 侧方射线探测法 示意图 说明 如图，文物在A处，在土层表面选点B，探测射线避开文物周边脆弱区域，射线与土层表面的夹角为；再在距离B处的C处探测，射线与土层表面的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据回答以下问题： (1)__________，__________； (2)计算文物所在地A处到土层表面的距离．（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1)22；35 (2) 【分析】（1）根据对顶角相等可进行求解； （2）过点A作于点F，然后根据三角函数可得，，进而问题可求解． 【详解】（1）解：根据对顶角相等可知：，； （2）解：过点A作于点F，则， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ， ∴； 答：文物所在地A处到土层表面的距离约为． 2．金属探测器的工作原理是利用电磁感应，通过设备发射的交变磁场，使地下金属物产生感应电流，进而产生反向磁场被探测器接收，以此精准定位地下金属物的位置．如图1，某人用金属探测仪探测到地下有一金属物，某探测小组制定方案，通过探测仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出金属物到地面的距离，方案如下： 课题 检测金属物到地面的距离 工具 金属探测仪等 示意图       说明 如图2，在地面上选择B处探测金属物A，探测射线与地面的夹角为，再在地面上距B处的C处探测金属物A，探测射线与地面的夹角为． 测量数据 ，，． 参考数据 ，，，，， 任务解决： (1)________°，________°； (2)计算金属物A到地面的距离．（结果精确到） 【答案】(1)22，35； (2) 【分析】（1）根据对顶角的性质求解即可； （2）过点A作，垂足为，在中，得到，在中，得到，根据，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：过点A作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，． ∵， ∴ ∴． 答：金属物A到地面的距离为． 3．如图是镇远楼俗称鼓楼，又名靖远楼，位于张掖市中心，是河西走廊现存最大的鼓楼．于明正德二年（年）建在一座砖包的高台上，楼为三层木构塔型，飞檐翘角，雕梁画栋，结构精巧，造型雄伟壮观．楼上四面悬有匾额：东为“金城春雨”，西为“玉关晓月”，南为“祁连晴雪”，北为“居延古牧”，完全是中华民族的传统建筑．某数学兴趣小组将测量镇远楼的高度作为一次实践活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量镇远楼的高度 测量示意图 如图，镇远楼及底座在同一条直线上且垂直于地面，在地面上选取点，测得和的度数及，两点之间的距离，点，，，均在同一竖直平面内，且 测量数据 的度数 的度数 的长度 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出镇远楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，，，，， 【答案】镇远楼的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的数据和锐角三角函数可以计算出、的长，从而可以计算出的长． 【详解】解：，，，， ，， ， 答：镇远楼的高度为． 4．项目学习项目背景：如图1，“天幕”是一种常见的露营设备，由支撑杆、天幕布和拉绳组成．某校课外活动小组为了探究天幕的稳定性与拉绳长度、支撑杆高度之间的关系，开展项目式学习，形成如下活动报告． 项目主题 天幕帐篷中的数学 天幕概述 天幕布米，支撑杆可伸缩，且于点；两根长度相同的拉绳和分别固定于地面上点和点处，点共线，点共线；地面固定点与点之间的距离米，． 测量工具 皮尺：测量水平距离． 方案说明 支撑杆由伸长至（点位置不变，点升高到点）；固定点分别移动至点，米，且点在同一条直线上；在这个过程中，拉绳长度保持不变． 示意图 请你根据以上信息，完成下列任务：（，结果精确到0.1米） (1)求拉绳的长度； (2)求支撑杆伸长后的高度． 【答案】(1)拉绳的长度为米 (2)支撑杆伸长后的高度为米. 【分析】（1）根据三线合一，解直角三角形，求出的长，进而求出的长即可； （2）利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，，即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； 答：拉绳的长度为米； （2）解：由（1）和题意，可知，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴； 答：支撑杆伸长后的高度为米. $