山东师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月阶段性诊断考试数学试题

山东师大附中2024级高三10月阶段性诊断考试 数学答题卡 姓名： 贴条形码区 座号： 考生号： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘 贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题， 意事 不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5.正确填涂 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][CI[D] 4[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2[A][B][CI[D] 5[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 3[A][B][CI[D] 6[A][B][C][D] 二、选择题（每小题6分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13. 14 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 16.(15分) ■ ■■ 17.(15分) ▣ 18.(17分) ▣ ■ 19.(17分) ■ 机密★启用前 山东师大附中2024级高三10月阶段性诊断考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知随机变量，，若，则 A． B． C． D． 4．有4辆车计划停放在5个并排的车位上，其中货车甲的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且要求乙车与货车甲相邻停放，则停放方法有 A．8种 B．12种 C．16种 D．10种 5．一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中无放回地取出2个球，在第一次取到红球的条件下，第二次抽到黄球的概率是 A． B． C． D． 6．已知函数，则函数的零点个数为 A．5 B．4 C．3 D．2 7．已知函数，若在上存在最小值，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，且，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组正实数样本数据，满足，则 A．，则样本数据的第60百分位数为 B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 D．将组中的每个数据变为原来的3倍，则所得的新样本数据的方差变为原数据方差的3倍 10．下列说法正确的是 A．若，，则一定有 B．若，，且，则的最小值为0 C．若，，，则的最小值为4 D．若关于的不等式的解集是，则 11．已知函数，则下列结论正确的是 A．当时，则有两个实数根 B．若只有一个实数根，则 C．若方程有两个不同的实根，，则 D．若方程有两个不同的实根，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数是_______（用数字作答）． 13．已知，，若，则的最小值为_______． 14．设函数的定义域为，是偶函数，且是奇函数，当时，，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示．若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占80%． （1）求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； （2）根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关． 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（本题满分15分） 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市的A区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x表示在其他区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和． x/个 2 3 4 5 6 y/百万元 2.5 3 4 4.5 6 （1）该公司已经过初步判断，可用经验回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）假设该公司在A区获得的总年利润z（单位：百万元）与x，y之间的关系为，请结合（1）中的经验回归方程，估算该公司在A区开设多少个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大？ 参考公式：，． 17．（本题满分15分） 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 18．（本题满分17分） 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为． （1）若， （i）求随机变量的分布列和数学期望； （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小； （2）若，求当取得最大值时的值，并说明理由． 19．（本题满分17分） 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东师大附中2024级高三10月阶段性诊断考试答案 数学 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B B C D A 二、选择题 题号 9 10 11 答案 BC ABC AD 三、填空题 12．20 13．2 14． 四、解答题 15．解：（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为1，组距为10， 因此：，解得：， 下四分位数即第25百分位数，计算累计频率 频率0.05，累计0.05；频率0.05，累计0.1； 频率0.1，累计0.2；频率0.2，累计0.4． ，因此第25百分位数在区间内， 计算得：下四分位数 （2）零假设：认真完成作业与成绩无关 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 40 10 成绩不优秀 60 90 ，因为， 依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关，该判断出错概率不超过0.001． 16．解：（1）由表中数据和参考数据得， ，， ， ，所以， 所以．所以经验回归方程为． （2）由题意可知，总年利润z的预测值与x之间的关系为， 设该区平均每个分店的年利润为t，则 当且仅当，即时，取到最大值， 所以估计该公司在A区开设4个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大． 17．解：（1），，， ，，所以切线方程为，即． （2）定义域为，．令，得，．当时， x 0 + 单调递减 单调递增 所以，在上单调递减，在上单调递增． 当时， x a + 0 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 当时，恒成立但不恒为零，在上单调递增． 当时， + 0 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 18．解：（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， 可取0，1，2，3，4，，，，，，， ，，， ，， 服从超几何分布，的分布列为： 0 1 2 3 4 ，，，所以； （ii）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则，，， 故，由（i）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 19．解：（1）由，得．令，． 0 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为，无极大值． （2）因为在上恒成立，所以， 即， 因为，所以在上恒成立． 设，则，令，得， 0 单调递减 极小值 单调递增 因为有唯一极值，且是极小值，所以此极小值即最小值，所以，所以． （3）证明：由（2）得在上恒成立，令，则． 所以， 即，因为，所以， 即，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $