精品解析：山东省青岛第十七中学2026-2027学年第一学期高三年级素养能力测试（一）数学试题

青岛十七中2026-2027学年第一学期高三年级素养能力测试（一） 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出复数，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 已知平面向量，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积运算律求得，进而求出目标值. 【详解】由，得，由，得 则，而，所以. 故选：C 4. 设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性. 【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足， 如图：满足，，但不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 5. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】. 当且仅当，即时取等号. 故选：B 6. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（ ） A. km B. km C. km D. km 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，列出方程，求出参数衰减系数的值，代入原函数，求出结果即可. 【详解】由题意得，即，化简得，解得， 代入得，当时，得， 化简得，两边取对数得，解得. 故选：B. 7. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 8. 已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式变形结果，构造函数，通过构造函数单调性，以及题目已知条件，构造新的不等式，并求出结果即可. 【详解】设，则， 由得，所以， 即在R上单调递减， 由为奇函数，可知，即，则， 不等式等价于，即， 因为在R上单调递减，所以解集为. 故选：A 二、多选题 9. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 数列的前项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，变形得到，故是公比为2的等比数列；C选项，结合A，利用等比数列求通项公式得到C正确；B选项，在C基础上，利用求出通项公式；D选项，先得到为公比为的等比数列，利用求和公式得到答案. 【详解】A选项，， 其中，所以是公比为2的等比数列，A正确； C选项，由A知，，所以，C正确； B选项，当时，， 当时，， 显然满足，故，B错误； D选项，，故， 即为公比为的等比数列，且， 所以的前项和为，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上为增函数 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】由已知，， ∴，则， ∵图象过，∴， ∴，，又，∴， ∴， 显然，∴的图象关于点对称，A正确； 令，得，∴的对称轴为， 令，得，故B错误； 时，令，在上递增，因此C正确； 把的图象向右平移个单位长度，得函数表达式为，它是偶函数，D正确． 故选：ACD． 11. 在棱长为2的正方体中，、为、中点，在正方形内移动（包括边界），满足，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 三棱锥的外接球表面积为 C. 异面直线与所成角的取值范围为 D. 直线上的一点到直线的最短距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，先找到点的轨迹，即可判断；对于B，设中点为，由题意可得,从而得为三棱锥的外接球的球心，求出外接球表面积，即可判断；对于C，当移动到正方形的中心时，可得此时异面直线与所成角为，即可判断；对于D，作出直线与直线的公垂线，求出其长度即可判断. 【详解】对于A，由题意可知点在以为直径的圆与正方形的交线上，即位于正方形内的半圆上， 因为不能与点重合，所以平面无法成立，故A错误； 对于B，设中点为，中点为， 因为为直角三角形，且，，为直角三角形， 所以, 又因为, 所以为三棱锥的外接球的球心， 所以外接球的半径, 所以其表面积为，故B正确； 对于C，因为， 所以异面直线与所成角为, 又因为点在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上， 当移动到正方形的中心时，,, , 则有, 所以是直角三角形， 所以, 则， 此时异面直线与所成角，不在内，故C错误； 对于D，连接，取中点，连接，设， 过作于， 因为为中点，是中点， 所以, 由题意可知平面,平面, 所以, 又,平面， 所以平面， 又平面， 所以, 又因为， 所以是直线和直线的公垂线， 又因为正方体的棱长为2， 所以, 所以, 又, 所以, 因为, 所以，解得，故D正确. 三、填空题 12. 已知，则的值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 13. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和投影向量的计算方法，求解即可. 【详解】因为，所以，又， 所以向量在向量上投影向量为，故所求坐标为. 故答案：. 14. 已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下： 由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知列方程组求出数列的首项和公差，可得通项公式； （2）利用列项相消求数列的前n项和为 【小问1详解】 等差数列公差为d，，且，，，成等比数列， 则有，解得， 所以 【小问2详解】 ，， 所以数列的前n项和. 16. 如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上． （1）求证：平面； （2）已知与平面所成角的大小为，求． 【答案】（1）因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)建系设参，借助平面法向量与线面角公式列式，求解线段长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，所以设，则， 有， 因为与平面所成角的大小为，所以， 所以，则，即. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若点在边上，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一，由正弦定理边化角结合两角和正弦公式以及诱导公式即可得证；法二，去分母利用射影定理可得结论；法三，去分母结合余弦定理可得结论； （2）法一，首先在和中，运用两次余弦定理，得，，结合平方关系、三角形面积公式即可得解.法二，，，可求得，下同法一.法三，利用，两边平方结合余弦定理可求得，下同法一. 【小问1详解】 （法一）因为， 由正弦定理知， 所以3， 所以3， 即， 因为， 所以， 所以，即. （法二）因为， 所以， 所以， 由射影定理得，即. （法三）因为， 所以， 所以， 所以，即. 【小问2详解】 （法一）在中，， 在中，， 所以，所以， 所以，因为， 所以， 所以. （法二）， ， 所以，解之得. 下同法一. （法三）因为， 所以①， ②， 将②代入①得，解之得， 下同法一. 18. 如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面，，二面角的大小为，E为棱的中点． （1）证明：； （2）若点F在棱上，且，求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1）连接，．因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又， 所以是二面角的平面角，即． 因为四边形是菱形， 所以，， 所以是等边三角形，又为的中点， 所以，又， 所以，又，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直、菱形性质找到CD的两条垂线AD和DE，即可锁定CD垂直平面ADE，从而证明CD垂直AE （2）利用第一问线面垂直条件建系，通过求两平面法向量，利用向量夹角公式取绝对值，快速解出平面夹角余弦值 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知平面，，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示． 令，则，，，， ，，，，由，得， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则．，， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得．设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，求出导函数，代入得到斜率为，因而求得切线方程． （2）根据导函数，对讨论不同情况下导函数的符号，得到单调性． （3）分情况讨论，当时，符合题意.当时，由可得.构造函数，借助导数研究单调性，求最值即可. 【小问1详解】 由题意可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，.则. 当时，，此时 . 当时，. 故在上恒成立. 再由可知为偶函数，于是在上恒成立.故在上单调递增. 【小问3详解】 当时，符合题意. 当时，由可得. 令，则. 令，则. 令，则. 令， 当时，，故在上单调递减. 又，则此时.故在上单调递减. 因为，，则存在，使得，于是在上单调递增，在上单调递减.由于，，则当时，，此时.因此在上单调递增. 故当时，. 令，，则. 当时，，则在上单调递增，此时.故当时，. 故在上恒成立. 因此的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛十七中2026-2027学年第一学期高三年级素养能力测试（一） 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知平面向量，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 4. 设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 6. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（ ） A. km B. km C. km D. km 7. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 数列的前项和为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上为增函数 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 11. 在棱长为2的正方体中，、为、中点，在正方形内移动（包括边界），满足，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 三棱锥的外接球表面积为 C. 异面直线与所成角的取值范围为 D. 直线上的一点到直线的最短距离为 三、填空题 12. 已知，则的值为_____________. 13. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为_____________. 14. 已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为_____. 四、解答题 15. 已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求． 16. 如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上． （1）求证：平面； （2）已知与平面所成角的大小为，求． 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若点在边上，且，求的面积. 18. 如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面，，二面角的大小为，E为棱的中点． （1）证明：； （2）若点F在棱上，且，求平面和平面夹角的余弦值． 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $