精品解析：河北省成安县第二中学2026-2027学年九年级第一次学情评估数学试卷（北师大版）

☆河北省2026—2027学年九年级第一次学情评估 数学试卷（北师大） 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分：卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5x+3=0 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、∵ 含两个未知数，∴ A不符合一元二次方程要求． B、∵ 是只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，∴ B符合要求． C、∵分母含未知数，∴ C不符合一元二次方程要求． D、∵未知数最高次数为1，∴ D不符合一元二次方程要求． 2. 如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意得，， ∵四边形是菱形， ∴． 3. 如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 4. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质求出的长，进而得到的长，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴，， ∴ ∴ ∴菱形的面积为． 5. 若，则的值是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将视为整体换元，转化为一元二次方程求解，结合的非负性筛选结果． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ ， ∴ ，即． 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数不为与根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 7. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 8. 如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由“菱形对角线互相垂直且互相平分”得点是的中点，根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”得，在中，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点，， ∴，，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ ． 9. 如图，点为正方形的中心，，分别为边，的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（ ） A. 沿直线翻折 B. 沿直线翻折 C. 向右平移2个单位 D. 绕点逆时针旋转 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明，连接，交于点O，连接，，得到，，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，分别为边，的中点， ∴， ∴， ∵点为正方形的中心， ∴连接，交于点O，连接，，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点O是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，， ∴绕点O逆时针旋转得到． 10. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（ ） A. 5 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 11. 小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是2和6．则此方程正确的解为（ ） A. B. ， C. ， D. 此方程无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小明在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和5； ， 又∵小红写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2和6． ， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、 ，故该选项符合题意； D、由C分析可知，故该选项不符合题意； 故选：C． 12. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，则纸条的宽度是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点A作于点F，证明四边形是菱形；设的交点为O，利用勾股定理，菱形的面积解答即可． 【详解】解：∵两张等宽度的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴． 过点A作于点E，过点A作于点F， ∴， ∵在和中 ∵， ∴， ∴． ∴四边形是菱形； ∴， 设的交点为O， ∵， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， 故纸条的宽度是． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 注意事项： 1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题有4个小题，每空3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 关于的一元二次方程必有一根为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 或， 则该方程必有一根为． 14. 如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，先利用菱形的性质和勾股定理，求得，接着利用菱形的面积，即可算得答案． 【详解】解：连接交于，如图所示： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， ∵， ∴菱形的面积， 即， 解得：． 15. 如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得，由等边对等角知，最后利用三角形内角和定理得． 【详解】解：在正方形中，，， ， 又， ， 在中，， ． 16. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设两根满足倍数关系，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根，进而计算的值，再验证判别式符合有两个实数根的条件． 【详解】解：∵方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍， ∴设方程的两个根分别为和， 对于一元二次方程，由根与系数的关系可知，两根之和为，两根之积为， ，解得， 方程的两个根为和， ， 验证得此时判别式，方程有两个实数根，符合题意． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）提取公因式，用因式分解法求解方程； （2）提取公因式，用因式分解法求解方程． 【小问1详解】 解：   提取公因式得  可得或  解得：， 【小问2详解】 解：  提取公因式得  可得或  解得，． 18. 嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解： ……………第一步 或 ……………第二步 ， …………………第三步 （1）嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） （2）请用正确的方法解方程． 【答案】（1）一；因式分解法 （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴或， 解得：，． 【解析】 【分析】（1）对照第一步展开后的二次三项式与原方程左边不一致，即可判断出错误发生在第一步；根据 “化为两个一次因式乘积等于零” 的形式即可确定所用方法为因式分解法； （2）将原方程转化为，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵，与原方程左边不相等， ∴嘉嘉的解法从第一步开始出现错误； 又∵嘉嘉将原方程转化为“两个一次因式的乘积等于零” 的形式， ∴嘉嘉所用方法为因式分解法； 【小问2详解】 略． 19. 如图，在菱形中，对角线与相交于点． （1）求和的长； （2）求菱形的面积． 【答案】（1）6， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质及等边三角形的判定可得是等边三角形，即可得出，再根据勾股定理求出，进而得出； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：菱形的面积． 20. 如图，在四边形中，，．对角线、相交于点，有下列条件：①，②．     （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）选①： 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是矩形； 选②： 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形． （2）12 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据所选情况证明四边形是矩形； （2）根据勾股定理求出的长，进而求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ，， ， 矩形的面积为：． 21. 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为． （1）求线段长； （2）连接，并求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设线段长为，利用折叠性质得到，在中，根据勾股定理列方程求解的长度； （2）连接，先在中用勾股定理算出的长，再由折叠性质，得到的长． 【小问1详解】 解：设，则， 由翻折的性质可知：， 为中点， ， 在中，由勾股定理可知：，， 解得：，即； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由（1）得， ， 在中，， 由翻折的性质可知． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】（1）不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； （2）或0 （3）或 【解析】 【分析】（1）解方程，根据题意即可判断； （2）解方程，根据题意列方程即可解答； （3）设方程的根为，根据根与系数的关系得到关于的方程，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； 【小问3详解】 解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 23. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【小问1详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； 【小问2详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； 【小问3详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 24. 如图1，在矩形中，点是对角线上一点，连接． （1）若上有另一点（不与点，重合），当时： ①证明：； ②若，，且，求的长． （2）如图2，若，，点为中点，作点关于直线的对称点，当直线时，直接写出的长． 【答案】（1）①四边形是矩形， ， ， 在与中， ， ； ② （2）的长是3或9 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质证出，，再根据三角形的全等判定即可；②连接交于点O，过点B作于点G，由矩形的性质和勾股定理求出，由三角形的面积公式求出，再求出是等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出答案； （2）情况1，先求出的长，再根据对称性，直角三角形的性质求出，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出的长，最后再求出，即可得答案；情况2，由情况1和勾股定理求出的长，由对称性求出，由直角三角形和勾股定理求出的长，即可得答案． 【小问1详解】 解：①略； ②连接交于点O，过点B作于点G，如下图所示： 四边形是矩形，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 由三角形的面积公式得：，即 ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ； 【小问2详解】 如下图，情况1，当点P在的下方时， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 为的中点， ， ， 由对称性可知：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ； 如下图，情况2，当点P在的上方时， 由以上题意可知：， ， 在中，由勾股定理得：， 由对称性可知：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ， 综上所述，的长是3或9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ ☆河北省2026—2027学年九年级第一次学情评估 数学试卷（北师大） 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分：卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5x+3=0 2. 如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 4. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 48 5. 若，则的值是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 7. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点为正方形的中心，，分别为边，的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（ ） A. 沿直线翻折 B. 沿直线翻折 C. 向右平移2个单位 D. 绕点逆时针旋转 10. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（ ） A. 5 B. 0 C. D. 11. 小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是2和6．则此方程正确的解为（ ） A. B. ， C. ， D. 此方程无解 12. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，则纸条的宽度是（ ） A. B. 5 C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 注意事项： 1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题有4个小题，每空3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 关于的一元二次方程必有一根为__________． 14. 如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为________． 15. 如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，则的度数是________． 16. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则______． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解： ……………第一步 或 ……………第二步 ， …………………第三步 （1）嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） （2）请用正确的方法解方程． 19. 如图，在菱形中，对角线与相交于点． （1）求和的长； （2）求菱形的面积． 20. 如图，在四边形中，，．对角线、相交于点，有下列条件：①，②．     （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 21. 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为． （1）求线段长； （2）连接，并求的长． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 23. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 24. 如图1，在矩形中，点是对角线上一点，连接． （1）若上有另一点（不与点，重合），当时： ①证明：； ②若，，且，求的长． （2）如图2，若，，点为中点，作点关于直线的对称点，当直线时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $