2026-2027学年山西省太原市山西大学附属中学校高二上学期10月月考模块诊断数学试题含答案

山西大学附中2026-2027学年第一学期高二年级10月模块诊断 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知向量，，且，那么（ ） A．1 B．0 C．2 D．3 2．过点且方向向量为的直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱柱中，与的交点为，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（ ） A． B． C． D． 6．已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 8．《周髀算经》记载了“盖天说”宇宙模型，认为天地呈平行平面状．后世数学家将其抽象为：设底面为平面，天顶为平面．一束光从天顶的点射向地面的点，经地面反射后又回到天顶，其入射光线记为向量．由于地面不平整，反射光线与入射光线向量满足：反射光线的单位水平投影向量与入射光线的单位水平投影向量关于点处的南北方向（即轴方向）对称．若反射光线的模长，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知直线：，直线：，下列结论正确的是（ ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若两个非零向量，的夹角是钝角，则 C．已知，平面的法向量为，则 D．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．在平行六面体中，，，，若，其中，，，则下列结论正确的有（ ） A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则 C．若，则与平面所成的角的正弦值为 D．当时，线段的长度的最小值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分） 12．已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为__________． 13．过点，且与直线：的夹角为的直线方程为__________． 14．已知矩形，，，沿对角线将折起（点在平面外），若，则的取值范围是__________，二面角的余弦值是__________（用表示）． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． （1）用向量，，表示并求线段的长； （2）直线与所成角的余弦值． 16．如图，平面是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17．直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点． （1）若直线与垂直，写出直线的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 18．如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． （1）若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； （2）求与平面所成角的正弦值的范围． 19．已知四面体，，，，，为的三等分点（靠近），为的中点，过点的动平面交射线，，于，，． （1）如图，当时， ①求的长． ②空间中一动点，定义．当四面体的体积最小时，是否存在点，使得？并说明理由． （2）当时，记四面体内切球的半径为，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $山西大学附中2026-2027学年第一学期高二10月模块诊断教师版 数学试题参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 2 > 8 B A D C 二、选择题： (本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分) 9 10 11 AB ABD AB 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分） 1 337-m2 12.3 13.V5x+y-3-5014.(7,25),288 15.(1)方法一： 由题意知 4G-AB+BC+CG-+D+CB-+DB-BC) =孤++（瓜-0）=6+0+从 方法二： 因为G为CB的中点， 所以G-瓜+aC)-6+4+丽+0)=孤+0+4 因为四边形ABCD是正方形，∠4AD=∠AAB=60°，AA=2AB=2 所以AB.AD=0,AB·AA=1×2×cos60°=1，AD.A4=1×2×c0s60°=1 所以 网丽+兮而+网-丽而++孤而孤环+兮而a √5 即线段AG的长为2· (2)因为BD=AD-AB=AD+A4-AB 所以BD-D+杯-@=V0+4+丽+2D4-2D-2 =+4+1+2-2=6. 2G丽-(+号0+}（而4-0+-丽+兮0： 丽+而-+2-1+1=3 cos(AG.BD= AG·BD V10 AG BD x6 5 所以 2 10 即直线AG与BD所成角的余弦值为5. 16.略 17.(1)由题意可设直线1：3x-2y+c=0, 所以3×3-2×2+c=0,所以c=-5,即1：3x-2y-5=0」 (2)当直线斜率不存在时，不存在点B,舍去. 黄g本，6上-，n售之刘02-的，日s是如 3k-2>0 0<0w号42红-刘-》6 k -9k2 9k.2=6 -9k2 k<0时， 2-k 22表6，当且仅当2天，即3时取等号： 5w666=12 (3)由题意，设4(a,0),B(0,b),因为4P=2PB,点P(3,2), 即(3-4,2)=2(-3，b-2)=(-62b-4). 3-a=-6 a=9 2=2b-4,即b=3,A9,0）,B(0,3) 过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,则M(0,2) 直角梯形OAPM的顶点为O(0,0）,A(9,0),P(3,2),M(0,2),上底MP=3,下底OA=9,高为 2,梯形OAPM的面积S=12×(3+9)x2=12 设动点E(c,2)0≤c≤3)，F(a,0(0≤d≤9). 因为直线EF平分直角梯形OAPM的面积，所以四边形OEFM的面积为6， 四边形OEFM是梯形，其上底为ME=C,下底为OF=d,高为2， 1 所以 o=(c+d)x2=c+d=6 即d=6-c,因此点F的坐标为6-c0), k=2-0 1 直线EF经过点E(c,2)和F(6-c,0),其斜率c-(6-c)c-3 则直线F的方程为：-03x-(6- y=x-6+c ，化简得c-3, 去分母整理得c(-)-3y-x+6=0,上式对任意c[0,3]恒成立，因此需满足 y-1=0 x=3 -3y-x+6=0,解得y=1 所以，直线EF必过定点，该定点坐标为(3，） 18.(1)①由题意得AB=2V2,AE=√2+2=2，BE=2, 在△ABE中，因为AB=AE2+BE2,所以BE⊥AE, 同理PB=V6,PE=DE=V2,BE=2, 在△BEP中，因为PB=PE2+BE2,所以BE⊥PE, 因为AE∩PE=E,AE,PEc平面PAE,所以BE⊥平面PAE. 因为BEC平面ABCE,所以平面ABCE⊥平面PAE. ②以E为原点，以EA,EB所在直线分别为X,y轴，以过E垂直于平面ABCE的直线为z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系： D 则4A(2,0,0),B(0,2,0).P10,1),E(0,00), 则4B=(-2,2,0）,EB=(0,20）.EP=(1,0,1) EB·m=0 设平面PBE的法向量为m=(G,片，马)，则E严m=0, -2y=0 即+名=0，取本=1，则m=(,0-) m·AB 2 1 sin=- 设AB与平面PBE所成角为B,所以 m:ABV2×222 ,所以AB与平面PBE所成角的 1 正弦值2： (2)设Pa,6c,因为PE=2,AP=V2,所以a-2y++c2=2,va+b+c=5. 所以a=1,b+c2=1,且c>0,所以P(1,b,c, 则AB=(-2,20),PA=(L,-b,-c),PC=（-2,1-b,-c) AB.=0 -2x+2y=0 设平面PAB的法向量为i=(化，乃2)，则PA:i=0,即x-y-2=0,取x=1,所以 -u2片9).量PC与raP0微为E n.PC sin= v2ld PC 所以 2-2- FV9-b2)1-b) √2sina 2cos sinB= 2 9-cos2a)(1-cosa) v8+sin2a 设b=cosa,c=sina,所以 f 1 sinβ= cosa=1 V-t2+t+2 -t+1+ 令2，所以 t sinB= sinB=- V1+142 -1+1+2 2 te(0, t单调递增，所以 0 所以PC与平面PAB所成角的正弦值的范围是V 2 19.【答案】(1)① om-}ow+oi-o+ocjoa-oitotoc 3 1 所以 9 36*16+ 1 3 36 39 3 3 93 3c0sB-43 =1+1+4+2cos0+4cos0+4cos0=2+14c0 DM-④ 9，所以 13 ②不存在，理由： 0A=20p0B=3000c.4oR 设OP=x,O0=y,OR=z,则 20 oM=10P+1o0 11.2 =1 所以 x y 3z,由共面定理，得xy3z, 记棱长为1的正四面体的体积为，所以'o-Ox=2少， 1=二+二+ ≥32 1.1.2 由均值不等式xy3z“3z, 1121 此时当xy3z3,即x=y=3,z=2,Vo-PQn取得最小值， OM-0P+100+OR 则此时 3 3 3 .即D+M0+M源=0，iM是△PQR的童， 对空间中任意点7，则严=7+证，币=(+MP=7M+2M.M师+MP 同理0=M+2M.M0+M0,7R2=772+27M.M派+M派2， 所d()=F+70+7R=+2丽(M+M+Mm+m+M0+派=3m+dw0） ≥d(M) 故不存在空间中一点T,使得d(T)d(M) 3V r= (2) S装 由勾股定理，PQ=VR+y,PR=2+2,QR=P+ cos∠QPR= intOpR= 由余弦定理， x2+y2.vx2+2 ,所以 Vx+y.vx+2 门z 所 S△PR= ++ r= ，所以 xy+yz+zx+x2y2+x2y2+y222 1 r= 所以 r≤ 所以 f'"()=1+ 11t-1 ·￡4取Y售明1M坶‘（希难0，=，宗）￡。，河坶 S个-b S个-b g+a01-=I-I++I=()f=r a堆·01=0 、业拇 SAE-01 m- 专w>1>0 I +1=()A I-I ‘乙 II宗 >15 I 0< -+I=（)f I-II