精品解析：湖北省黄石市第二中学2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

湖北省黄石市第二中学2026~2027学年高一（上）第一次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列图形可作为函数图象的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则实数（） A. 或 B. C. D. 或 3. “关于 的一元二次方程 有一个正根和一个负根”的充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的不等式的解集为 ，则不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（　　） A. B. 若 且 ，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，，则 6. 当 时，不等式 （）恒成立，则整数 的最大值为（　　） A. B. C. D. 7. 在整数集 中，被 除所得余数为 的所有整数组成一个“类”，记为 ，即 ，．则下面选项正确的为（　　） A. B. C. ，，则 D. 整数 属于同一类的充分不必要条件是 8. 设矩形（）的周长为16，把沿折叠，折叠后与 交于点E．设，的面积为S，则S关于x的解析式为（　　） A. （） B. （） C. （） D. （） 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（　　） A. 命题“，”的否定是“，” B. 集合 与集合 是同一个集合 C. 集合 ，，若 ，则符合条件的实数 的取值集合是 D. ，则 的子集个数为 10. 已知 ，则下列选项中正确的有（　　） A. B. 函数 与 （）是同一个函数 C. 函数 的定义域是 D. 若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 11. 已知，，且，则下列选项中正确的有（　　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数 ，若，则______． 13. 某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共 名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为 ，，，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有 人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有 人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有 人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是______． 14. 若关于 的不等式 恰有两个整数解，则 的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数是一次函数，且，． （1）求函数的解析式； （2）求的值域． 16. 设函数 （）． （1）当 时，求 在区间 的最小值； （2）解关于 的不等式：； （3）设 ， 是关于 的方程 的两个根，求 的最小值． 17. 一般认为，现代化办公室的窗户面积必须小于地板面积，但为了保证良好的自然采光，窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好． （1）若一间办公室的地板面积为，且窗户的面积比地板面积的少，则这间办公室的采光是否达标？如果不达标，窗户面积至少还需要增加多少平方米？ （2）若办公室装修时同时增加相同的窗户面积和地板面积，办公室的采光效果是变好了还是变坏了？证明你的结论． 18. 已知全集 ，集合 ，集合 ． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （3）命题：，，若是真命题，求实数的取值范围． 19. 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当 时，等号成立．我们从不等式 出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式．柯西不等式的一般形式为： ，且 ， ，当且仅当 时，等号成立． （1）若 ，求 的最小值； （2）已知 ，，且 恒成立，求实数 的取值范围； （3）求 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省黄石市第二中学2026~2027学年高一（上）第一次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列图形可作为函数图象的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用函数的定义分析判断得解. 【详解】A中，当时有两个与之对应，不是函数图象； B中，曲线在轴左侧“回头”，对某些有两个不同的与之对应，不是函数图象； C中，时对应2个，不是函数图象； D中，每个至多对应一个，可以作为函数图象． 2. 已知，则实数（） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由属于集合，分“”与“”两种情况讨论，并用集合中元素的互异性检验． 【解答】若，则，集合为，不满足互异性，舍去； 若，则，解得或（舍去）， 当时，，集合为，满足互异性，符合题意． 所以． 3. “关于 的一元二次方程 有一个正根和一个负根”的充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求“有一个正根和一个负根”的充要条件，再在选项中找它的真子集（充分不必要）． 【详解】因为方程是一元二次方程，所以 ． 设两根为 ，则 ，得 ； 此时 恒成立，故“有一个正根和一个负根”的充要条件是 ． 因为 ，而 不能推出 （如 时 ，但 不成立）， 所以 是充分不必要条件． 4. 若关于的不等式的解集为 ，则不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断的正负，将不等式的解集端点转化成一元二次方程的两根，结合韦达定理把用表示再进一步求解即可. 【详解】因为 的解集为，所以 ， 且是的两根． 由韦达定理，，， 得，． 所以． 因为，所以， 即，解得． 5. 下列命题为真命题的是（　　） A. B. 若 且 ，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，先分别取倒数，再利用不等式的同向可加性即可判断；对于B，考虑，的情况即可判断；对于C，举反例即可；对于D，用换元后整体求范围． 【详解】对于A，因为 ，， 因为，所以， 所以 ，故A错误； 对于B，当，时，满足且， 此时，与矛盾；故B错误； 对于C，若 ，，例如 ，，，， 此时，故C错误； 对于D，设 ，，则 ，， ， 又，． 则，， 所以，故D正确． 6. 当 时，不等式 （）恒成立，则整数 的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】先用基本不等式求 的最小值，再由恒成立转化为关于 的不等式． 【解答】因为 ， 所以 ，，且 ． 所以， 由基本不等式 ， 所以 ，当且仅当 （即 ）时取等号． 由恒成立得 ， 即 ， 又 ，所以 的最大值为 ． 7. 在整数集 中，被 除所得余数为 的所有整数组成一个“类”，记为 ，即 ，．则下面选项正确的为（　　） A. B. C. ，，则 D. 整数 属于同一类的充分不必要条件是 【答案】C 【解析】 【分析】把“类”理解为“被 5 除的余数相同”，逐项用除法验证余数． 【详解】A项：，所以 ，A错误； B项：，所以 ，B错误； C项：设 ，（），则 ，所以 ，C正确； D项： 属于同一类等价于是5的整数倍，即 ，这是充要条件，不是充分不必要条件，D错误． 8. 设矩形（）的周长为16，把沿折叠，折叠后与 交于点E．设，的面积为S，则S关于x的解析式为（　　） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定x的范围，再利用折叠和平行的性质推出，设，已知，则，，由求出y关于x的表达式，代入，即中，化简即可. 【详解】 因为，，所以． 由得，即；又，得，故． 由折叠知，又得，所以，故 ． 设，则． 在 中，， 解得. 则（）． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（　　） A. 命题“，”的否定是“，” B. 集合 与集合 是同一个集合 C. 集合 ，，若 ，则符合条件的实数 的取值集合是 D. ，则 的子集个数为 【答案】AD 【解析】 【详解】逐项判断：A 考查存在量词命题的否定，B 考查集合元素的属性，C 注意 的情形，D 先求 的元素个数． 【解答】对于A项：存在量词命题的否定是全称命题，， 的否定为 ，，故A正确； 对于B项：是数集， 是点集，二者不是同一个集合，故B错误； 对于C项：由 得 ．当 时 ，符合；当 时 ，由 或 得 或 ， 所以 的取值集合是 ，故C错误； 对于D项：由 且 得 ，即 ，所以 ，其子集个数为 ，故D正确． 10. 已知 ，则下列选项中正确的有（　　） A. B. 函数 与 （）是同一个函数 C. 函数 的定义域是 D. 若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】先用换元法求 的解析式与定义域，再逐项判断定义域、对应关系与恒成立问题． 【详解】令 ，则 ，， 所以 ，即 （）． A项：解析式 ，，A错误； B项：（）与 （）定义域相同、对应关系相同，是同一个函数，B正确； C项：由 且 得 且 ，定义域为 ，C正确； D项：需 恒成立．当 时 恒成立； 当 时需 ，即 ； 当 时开口向下，不可能恒成立．故 ，D正确． 11. 已知，，且，则下列选项中正确的有（　　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】A利用基本不等式即可；B利用“1”的妙用把2代换，再利用基本不等式即可；C平方再利用基本不等式即可；D把化成，相乘，再利用基本不等式即可. 【解答】A项：由得， 当且仅当时取等号，即的最大值为（当时，无最小值），A错误； B项：因为，， 所以， 当且仅当（即，）时取等号，B正确； C项：， 所以，当时取等号，C正确； D项：由，得， 又因为，， 故， ， 所以，当且仅当，即，时取等号，D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数 ，若，则______． 【答案】 或 【解析】 【分析】分与两种情况代入对应解析式求解，并检验是否在相应范围内． 【详解】当时，由 得，即，符合； 当时，由 得，即，结合得． 综上，或． 13. 某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共 名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为 ，，，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有 人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有 人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有 人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是______． 【答案】 【解析】 【分析】用三个集合的容斥原理：． 【详解】设报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生分别组成集合 ，． 由容斥原理，， 即 ，解得 ． 所以同时报了这三门培训课的学生人数是 ． 14. 若关于 的不等式 恰有两个整数解，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因式分解得两根为 与 ，按 与 的大小分类讨论，数出区间内的整数． 【解答】原不等式即 ，两根为 与 ． ①当 ，即 时，解集为 ，其中的整数为 ， 恰有两个整数解需 ，解得 ； ②当 ，即 时，解集为 ，其中的整数为 ， 恰有两个整数解需 ，解得 ； ③当 ，即 时，不等式为 ，无解，不合题意． 综上， 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数是一次函数，且，． （1）求函数的解析式； （2）求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，比较系数并用取舍即可； （2）先化简分母，再换元用分离常数法即可求值域． 【小问1详解】 设（），则 ， 所以且. 当时，则，得，此时，则，符合题意； 当时，则，得，此时，则，不合题意，舍去． 故． 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以． 令，则． 因为，所以，则， 所以，即的值域为． 16. 设函数 （）． （1）当 时，求 在区间 的最小值； （2）解关于 的不等式：； （3）设 ， 是关于 的方程 的两个根，求 的最小值． 【答案】（1）； （2）当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ； （3） 【解析】 【分析】（1）配方看对称轴与区间的位置关系； （2）因式分解后按两根大小分类； （3）用韦达定理化为关于 的函数，再用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当时，，对称轴为， 所以在上单调递增，最小值为. 【小问2详解】 由题可得， 当时，解集为； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 由韦达定理，，， 所以. 令，则， 由基本不等式，当且仅当（即）时取等号， 所以，即最小值为. 17. 一般认为，现代化办公室的窗户面积必须小于地板面积，但为了保证良好的自然采光，窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好． （1）若一间办公室的地板面积为，且窗户的面积比地板面积的少，则这间办公室的采光是否达标？如果不达标，窗户面积至少还需要增加多少平方米？ （2）若办公室装修时同时增加相同的窗户面积和地板面积，办公室的采光效果是变好了还是变坏了？证明你的结论． 【答案】（1）不达标，至少还需要增加； （2）采光效果变好．证明如下： 设原来的窗户面积为，地板面积为，且，同时增加的面积为， 则． 因为，，，所以，即， 所以比值变大，采光效果变好． 【解析】 【分析】（1）先算出窗户面积，再计算窗户与地板的面积比值，与比较即可；设窗户面积至少再增加， 利用窗户与地板面积比值大于等于，即可求出结果； （2）用“同时增加相同的量”后的窗、地板面积比值与之前的窗户、地板面积比值作差，比较大小即可． 【小问1详解】 由题意知，窗户面积为， 则窗户面积与地板面积的比为，所以这间办公室的采光不达标． 设窗户面积至少再增加，则，解得， 即窗户面积至少还需要增加． 【小问2详解】 略 18. 已知全集 ，集合 ，集合 ． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （3）命题：，，若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式求得集合，代入直接求出集合，再根据集合运算法则可求出结果； （2）依题意可知，分和两种情形讨论，求出实数的取值范围； （3）根据为真命题，可知 ，利用交集结果计算可得实数的取值范围． 【小问1详解】 由 得且，所以． 当时，，， 所以 ． 【小问2详解】 由“是 的必要不充分条件”得． ①当时，，即，此时满足，符合题意； ②当时，，由得且， 解得 ． 又为开区间，不可能等于，故． 综上，的取值范围是． 【小问3详解】 为真命题即． 此时 ，即，且需与同时成立， 解得，符合， 所以的取值范围是． 19. 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当 时，等号成立．我们从不等式 出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式．柯西不等式的一般形式为： ，且 ， ，当且仅当 时，等号成立． （1）若 ，求 的最小值； （2）已知 ，，且 恒成立，求实数 的取值范围； （3）求 的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）已知一次式，先构造形式直接代入柯西不等式求解； （2）先分离参数，之后构造表达式，代入不等式求最值； （3）逆用柯西不等式，观察形式代入求值。 【小问1详解】 由柯西不等式，， 所以 ， 当且仅当 ，即 ，， 时取等号，最小值为 ． 【小问2详解】 由柯西不等式，， 所以 ，即 ， 当且仅当 ，即 时取等号． 由 恒成立得 ， 所以 的取值范围是 ． 【小问3详解】 由柯西不等式， ， 所以原式 ． 当且仅当 时取等号， 由 解得 ，此时 ，等号成立， 所以最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $